專題43直線平面平行的判定與性質(zhì)

專題43直線、平面平行的判定與性質(zhì)知識梳理考綱要求考點(diǎn)預(yù)測常用結(jié)論方法技巧題型歸類題型一：直線與平面平行的判定與性質(zhì)題型二：平面與平面平行的判定與性質(zhì)題型三：平行關(guān)系的綜合應(yīng)用培優(yōu)訓(xùn)練訓(xùn)練一：訓(xùn)練二：訓(xùn)練三：訓(xùn)練四：訓(xùn)練五：訓(xùn)練六：強(qiáng)化測試單選題：共8題多選題：共4題填空題：共4題解答題：共6題一、【知識梳理】【考綱要求】1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，并加以證明.2.掌握直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)，并會(huì)簡單應(yīng)用．【考點(diǎn)預(yù)測】1.直線與平面平行(1)直線與平面平行的定義直線l與平面α沒有公共點(diǎn)，則稱直線l與平面α平行.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行a?α，b?α，a∥b?a∥α性質(zhì)定理一條直線和一個(gè)平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b2.平面與平面平行(1)平面與平面平行的定義沒有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫做平行平面.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β性質(zhì)兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面α∥β，a?α?a∥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b【常用結(jié)論】(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.(3)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即a⊥α，b⊥α，則a∥b.(4)若α∥β，a?α，則a∥β.【方法技巧】1.判斷或證明線面平行的常用方法①利用線面平行的定義(無公共點(diǎn))．②利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．③利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α?a∥β)．④利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．2.應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時(shí)需要經(jīng)過已知直線作輔助平面確定交線．3.證明面面平行的方法(1)面面平行的定義．(2)面面平行的判定定理．(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．(4)兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化．4.解決這種數(shù)值或存在性問題的題目時(shí)，注意先給出具體的值或先假設(shè)存在，然后再證明．二、【題型歸類】【題型一】直線與平面平行的判定與性質(zhì)【典例1】如圖所示，正方形ABCD與正方形ABEF所在的平面相交于AB，在AE、BD上各有一點(diǎn)P、Q，且AP＝DQ.求證：PQ∥平面BCE.【解析】證明法一如圖所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，連接MN.∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共邊AB.又AP＝DQ，∴PE＝QB，又PM∥AB∥QN，∴eq\f(PM,AB)＝eq\f(PE,AE)＝eq\f(QB,BD)＝eq\f(QN,DC)，∴eq\f(PM,AB)＝eq\f(QN,DC).又AB∥DC，且AB=DC，∴PM∥QN，且PM=QN，∴四邊形PMNQ為平行四邊形，∴PQ∥MN.又MN?平面BCE，PQ?平面BCE，∴PQ∥平面BCE.法二如圖，在平面ABEF內(nèi)，過點(diǎn)P作PM∥BE交AB于點(diǎn)M，連接QM.則PM∥平面BCE，∵PM∥BE，∴eq\f(AP,PE)＝eq\f(AM,MB)，又AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ，∴eq\f(AP,PE)＝eq\f(DQ,BQ)，∴eq\f(AM,MB)＝eq\f(DQ,QB)，∴MQ∥AD，又AD∥BC，∴MQ∥BC，∴MQ∥平面BCE，又PM∩MQ＝M，∴平面PMQ∥平面BCE，又PQ?平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.【典例2】如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和PA作平面交BD于點(diǎn)H.求證：PA∥GH.【解析】證明如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OM，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點(diǎn)，又M是PC的中點(diǎn)，∴PA∥OM，又OM?平面BMD，PA?平面BMD，∴PA∥平面BMD，又平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.【典例3】如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF是矩形，M是線段EF的中點(diǎn).(1)求證：AM∥平面BDE；(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，試分析l與m的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【解析】(1)證明如圖，記AC與BD的交點(diǎn)為O，連接OE.因?yàn)镺，M分別為AC，EF的中點(diǎn)，四邊形ACEF是矩形，所以四邊形AOEM是平行四邊形，所以AM∥OE.又因?yàn)镺E?平面BDE，AM?平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)解l∥m，證明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM?平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，又AM?平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m.【題型二】平面與平面平行的判定與性質(zhì)【典例1】如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，過BC的平面與上底面A1B1C1交于GH(GH與B1C1不重合)．(1)求證：BC∥GH；(2)若E，F(xiàn)，G分別是AB，AC，A1B1的中點(diǎn)，求證：平面EFA1∥平面BCHG.【解析】證明(1)∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，∴平面ABC∥平面A1B1C1，又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，∴由面面平行的性質(zhì)定理得BC∥GH.(2)∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC，∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，A1B1∥AB，且A1B1=AB，∴A1G∥EB，且A1G=EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.【典例2】如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G分別為B1C1，A1B1，AB的中點(diǎn)．(1)求證：平面A1C1G∥平面BEF；(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求證：H為BC的中點(diǎn)．【解析】證明(1)∵E，F(xiàn)分別為B1C1，A1B1的中點(diǎn)，∴EF∥A1C1，∵A1C1?平面A1C1G，EF?平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G，又F，G分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，∴A1F＝BG，又A1F∥BG，∴四邊形A1GBF為平行四邊形，則BF∥A1G，∵A1G?平面A1C1G，BF?平面A1C1G，∴BF∥平面A1C1G，又EF∩BF＝F，EF，BF?平面BEF，∴平面A1C1G∥平面BEF.(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1C1G與平面ABC有公共點(diǎn)G，則有經(jīng)過G的直線，設(shè)交BC于點(diǎn)H，如圖，則A1C1∥GH，得GH∥AC，∵G為AB的中點(diǎn)，∴H為BC的中點(diǎn)．【典例3】如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)若平面ABCD∩平面CD1B1＝直線l，證明：B1D1∥l.【解析】證明(1)由題設(shè)知BB1，DD1平行且相等，所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，所以BD∥B1D1.又BD?平面CD1B1，B1D1?平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因?yàn)锳1D1，B1C1，BC平行且相等.所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥D1C.又A1B?平面CD1B1，D1C?平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.又因?yàn)锽D∩A1B＝B，BD，A1B?平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面CD1B1＝直線l，平面ABCD∩平面A1BD＝直線BD，所以直線l∥直線BD，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四邊形BDD1B1為平行四邊形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.【題型三】平行關(guān)系的綜合應(yīng)用【典例1】如圖，在四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點(diǎn)，AC與BE交于O點(diǎn)，G是線段OF上一點(diǎn).(1)求證：AP∥平面BEF；(2)求證：GH∥平面PAD.【解析】證明(1)如圖，連接EC，因?yàn)锳D∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，所以BC∥AE，BC＝AE，所以四邊形ABCE是平行四邊形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn).又因?yàn)镕是PC的中點(diǎn)，所以FO∥AP，因?yàn)镕O?平面BEF，AP?平面BEF，所以AP∥平面BEF.(2)連接OH，因?yàn)镕，H分別是PC，CD的中點(diǎn)，所以FH∥PD，因?yàn)镻D?平面PAD，F(xiàn)H?平面PAD，所以FH∥平面PAD.又因?yàn)镺是AC的中點(diǎn)，H是CD的中點(diǎn)，所以O(shè)H∥AD，因?yàn)锳D?平面PAD，OH?平面PAD，所以O(shè)H∥平面PAD.又FH∩OH＝H，F(xiàn)H，OH?平面OHF，所以平面OHF∥平面PAD.又因?yàn)镚H?平面OHF，所以GH∥平面PAD.【典例2】如圖，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn).求證：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.【解析】證明(1)如圖，連接AE，則AE必過DF與GN的交點(diǎn)O，因?yàn)樗倪呅蜛DEF為平行四邊形，所以O(shè)為AE的中點(diǎn).連接MO，則MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO，又BE?平面DMF，MO?平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因?yàn)镹，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點(diǎn)，所以DE∥NG，又DE?平面MNG，NG?平面MNG，所以DE∥平面MNG.因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，N為AD的中點(diǎn)，所以MN為△ABD的中位線，所以BD∥MN，又BD?平面MNG，MN?平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線，所以平面BDE∥平面MNG.【典例3】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分別為對角線BD，CD1上的點(diǎn)，且eq\f(CQ,QD1)＝eq\f(BP,PD)＝eq\f(2,3).(1)求證：PQ∥平面A1D1DA；(2)若R是AB上的點(diǎn)，eq\f(AR,AB)的值為多少時(shí)，能使平面PQR∥平面A1D1DA？請給出證明．【解析】(1)證明連接CP并延長，與DA的延長線交于M點(diǎn)，如圖，連接MD1，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以BC∥AD，故△PBC∽△PDM，所以eq\f(CP,PM)＝eq\f(BP,PD)＝eq\f(2,3)，又因?yàn)閑q\f(CQ,QD1)＝eq\f(BP,PD)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(CQ,QD1)＝eq\f(CP,PM)＝eq\f(2,3)，所以PQ∥MD1.又MD1?平面A1D1DA，PQ?平面A1D1DA，故PQ∥平面A1D1DA.(2)解當(dāng)eq\f(AR,AB)的值為eq\f(3,5)時(shí)，能使平面PQR∥平面A1D1DA.如圖，證明如下：因?yàn)閑q\f(AR,AB)＝eq\f(3,5)，即eq\f(BR,RA)＝eq\f(2,3)，故eq\f(BR,RA)＝eq\f(BP,PD).所以PR∥DA.又DA?平面A1D1DA，PR?平面A1D1DA，所以PR∥平面A1D1DA，又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR?平面PQR，所以平面PQR∥平面A1D1DA.三、【培優(yōu)訓(xùn)練】【訓(xùn)練一】(多選)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，P是線段BC1上的一動(dòng)點(diǎn)，則下列說法中正確的是()A.A1P∥平面AD1CB.A1P與平面BCC1B1所成角的正切值的最大值是eq\f(2\r(5),5)C.A1P＋PC的最小值為eq\f(\r(170),5)D.以A為球心，eq\r(2)為半徑的球面與側(cè)面DCC1D1的交線長是eq\f(π,2)【解析】對于A，由于平面A1BC1∥平面AD1C，A1P?平面A1BC1，所以A1P∥平面AD1C，所以A正確；對于B，當(dāng)B1P⊥BC1時(shí)，A1P與平面BCC1B1所成角的正切值最大，易求最大值是eq\f(\r(5),2)，所以B錯(cuò)誤；對于C，將△A1C1B沿BC1翻折與△BCC1在同一平面，且點(diǎn)A1，C在直線BC1的異側(cè)，此時(shí)在△A1CC1中，由三角恒等變換可求得cos∠A1C1C＝－eq\f(\r(2),10)，由余弦定理可得A1C＝eq\f(\r(170),5)，所以A1P＋PC的最小值為eq\f(\r(170),5)，C正確；對于D，由于AD⊥平面DCC1D1，所以交線為以D為圓心，1為半徑的圓周的四分之一，所以交線長是eq\f(π,2)，D正確.故選ACD.【訓(xùn)練二】在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，則點(diǎn)Q滿足條件________時(shí)，有平面D1BQ∥平面PAO.【解析】如圖所示，設(shè)Q為CC1的中點(diǎn)，因?yàn)镻為DD1的中點(diǎn)，所以QB∥PA.連接DB，因?yàn)镻，O分別是DD1，DB的中點(diǎn)，所以D1B∥PO，又D1B?平面PAO，QB?平面PAO，PO?平面PAO，PA?平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q為CC1的中點(diǎn)時(shí)，有平面D1BQ∥平面PAO.【訓(xùn)練三】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分別為對角線BD，CD1上的點(diǎn)，且eq\f(CQ,QD1)＝eq\f(BP,PD)＝eq\f(2,3).(1)求證：PQ∥平面A1D1DA；(2)若R是AB上的點(diǎn)，eq\f(AR,AB)的值為多少時(shí)，能使平面PQR∥平面A1D1DA？請給出證明.【解析】(1)證明連接CP并延長與DA的延長線交于M點(diǎn)，如圖，連接MD1，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以BC∥AD，故△PBC∽△PDM，所以eq\f(CP,PM)＝eq\f(BP,PD)＝eq\f(2,3)，又因?yàn)閑q\f(CQ,QD1)＝eq\f(BP,PD)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(CQ,QD1)＝eq\f(CP,PM)＝eq\f(2,3)，所以PQ∥MD1.又MD1?平面A1D1DA，PQ?平面A1D1DA，故PQ∥平面A1D1DA.(2)解當(dāng)eq\f(AR,AB)的值為eq\f(3,5)時(shí)，能使平面PQR∥平面A1D1DA.如圖，證明：因?yàn)閑q\f(AR,AB)＝eq\f(3,5)，即eq\f(BR,RA)＝eq\f(2,3)，故eq\f(BR,RA)＝eq\f(BP,PD).所以PR∥DA.又DA?平面A1D1DA，PR?平面A1D1DA，所以PR∥平面A1D1DA，又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR?平面PQR，所以平面PRQ∥平面A1D1DA.【訓(xùn)練四】如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為AB1，A1C1上的點(diǎn)，A1N＝AM.(1)求證：MN∥平面BB1C1C；(2)求MN的最小值．【解析】(1)證明如圖，作NE∥A1B1交B1C1于點(diǎn)E，作MF∥AB交BB1于點(diǎn)F，連接EF，則NE∥MF.∵NE∥A1B1，∴eq\f(NE,A1B1)＝eq\f(C1N,A1C1).又MF∥AB，∴eq\f(MF,AB)＝eq\f(B1M,AB1)，∵A1C1＝AB1，A1N＝AM，∴C1N＝B1M.∴eq\f(NE,A1B1)＝eq\f(MF,AB)，又AB＝A1B1，∴NE＝MF.∴四邊形MNEF是平行四邊形，∴MN∥EF，又MN?平面BB1C1C，EF?平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.(2)解設(shè)B1E＝x，∵NE∥A1B1，∴eq\f(B1E,B1C1)＝eq\f(A1N,A1C1).又∵M(jìn)F∥AB，∴eq\f(B1F,BB1)＝eq\f(B1M,AB1)，∵A1N＝AM，A1C1＝AB1＝eq\r(2)a，B1C1＝BB1＝a，B1E＝x，∴eq\f(B1E,B1C1)＋eq\f(B1F,BB1)＝eq\f(A1N,A1C1)＋eq\f(B1M,AB1)，∴eq\f(x,a)＋eq\f(B1F,a)＝1，∴B1F＝a－x，從而MN＝EF＝eq\r(B1E2＋B1F2)＝eq\r(x2＋a－x2)＝eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(2))))2)，∴當(dāng)x＝eq\f(a,2)時(shí)，MN的最小值為eq\f(\r(2),2)a.【訓(xùn)練五】如圖，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)棱PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，PA＝AB＝2，AD＝3BC＝3，E在棱AD上，且AE＝1，若平面CEF與棱PD相交于點(diǎn)F，且平面CEF∥平面PAB.(1)求eq\f(PF,FD)的值；(2)求點(diǎn)F到平面PBC的距離．【解析】(1)∵平面CEF∥平面PAB，且平面CEF∩平面PAD＝EF，平面PAB∩平面PAD＝PA，∴PA∥EF，又AE＝1＝eq\f(1,3)AD，∴PF＝eq\f(1,3)PD，∴eq\f(PF,FD)＝eq\f(1,2).(2)∵F為PD的三等分點(diǎn)，∴F到平面PBC的距離等于D到平面PBC的距離的eq\f(1,3)，設(shè)D到平面PBC的距離為h，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又∵BC∥AD，AB⊥AD，∴BC⊥AB，∵PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，由等體積法得VD－PBC＝VP－BCD，即eq\f(1,3)S△PBC·h＝eq\f(1,3)S△DBC·PA，∵PA＝AB＝2，AD＝3BC＝3，∴PB＝2eq\r(2)，BC＝1，∴S△PBC＝eq\f(1,2)PB·BC＝eq\r(2)，S△DBC＝eq\f(1,2)BC·AB＝1，∴h＝eq\r(2)，∴F到平面PBC的距離等于eq\f(\r(2),3).【訓(xùn)練六】如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝4，側(cè)面PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，PB上的點(diǎn)，平面CEF∥平面PAD.(1)確定點(diǎn)E，F(xiàn)的位置，并說明理由；(2)求三棱錐F-DCE的體積．【解析】(1)因?yàn)槠矫鍯EF∥平面PAD，平面CEF∩平面ABCD＝CE，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以CE∥AD，又AB∥DC，所以四邊形AECD是平行四邊形，所以DC＝AE＝eq\f(1,2)AB，即點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．因?yàn)槠矫鍯EF∥平面PAD，平面CEF∩平面PAB＝EF，平面PAD∩平面PAB＝PA，所以EF∥PA，又點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)．綜上，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點(diǎn)．(2)連接PE，由題意及(1)知PA＝PB，AE＝EB，所以PE⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以PE⊥平面ABCD.又AB∥CD，AB⊥AD，所以VF-DEC＝eq\f(1,2)VP-DEC＝eq\f(1,6)S△DEC×PE＝eq\f(1,6)×eq\f(1,2)×2×2×2＝eq\f(2,3).四、【強(qiáng)化測試】【單選題】1.下列命題中正確的是()A．若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面B．若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行C．平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行D．若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，則b∥α【解析】A中，a可以在過b的平面內(nèi)；B中，a與α內(nèi)的直線也可能異面；C中，兩平面可能相交；D中，由直線與平面平行的判定定理知b∥α，正確．故選D.2.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD上的點(diǎn)，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，則()A．BD∥平面EFGH，且四邊形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四邊形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四邊形EFGH是平行四邊形【解析】由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF平行等于eq\f(1,5)BD，又EF?平面BCD，BD?平面BCD，所以EF∥平面BCD.又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，所以HG平行等于eq\f(1,2)BD，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四邊形EFGH是梯形．故選B.3.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，E∈PC，F(xiàn)∈PB，eq\o(PE,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))，eq\o(PF,\s\up6(→))＝λeq\o(FB,\s\up6(→))，如圖．若AF∥平面BDE，則λ的值為()A．1 B．3C．2 D．4【解析】連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接OE.因?yàn)锳F∥平面BDE，所以過點(diǎn)A作AH∥平面BDE，交PC于點(diǎn)H，連接FH，則得到平面AFH∥平面BDE，所以FH∥BE.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以在△ACH與△OCE中，eq\f(OC,OA)＝eq\f(EC,HE)＝1，即EC＝EH.又因?yàn)閑q\o(PE,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))，所以PH＝2HE.因?yàn)閑q\f(PF,FB)＝eq\f(PH,HE)＝2，所以λ＝2.故選C.故選C.4.設(shè)a，b，c表示不同直線，α，β表示不同平面，下列命題：①若a∥c，b∥c，則a∥b；②若a∥b，b∥α，則a∥α；③若a∥α，b∥α，則a∥b；④若a?α，b?β，α∥β，則a∥b.真命題的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4【解析】由題意，對于①，根據(jù)線線平行的傳遞性可知①是真命題；對于②，根據(jù)a∥b，b∥α，可以推出a∥α或a?α，故②是假命題；對于③，根據(jù)a∥α，b∥α，可以推出a與b平行、相交或異面，故③是假命題；對于④，根據(jù)a?α，b?β.α∥β，可以推出a∥b或a與b異面，故④是假命題，所以真命題的個(gè)數(shù)是1，故選A．5.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD上的點(diǎn)，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，則()A．BD∥平面EFGH，且四邊形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四邊形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四邊形EFGH是平行四邊形【解析】由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EFeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,5)BD，又EF?平面BCD，所以EF∥平面BCD.又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，所以HGeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)BD，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四邊形EFGH是梯形．故選B.6.已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分別為AC，B1C1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為BC，B1B的中點(diǎn)，則直線MN與直線EF、平面ABB1A1的位置關(guān)系分別為()A．平行、平行B．異面、平行C．平行、相交D．異面、相交【解析】∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分別為AC，B1C1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為BC，B1B的中點(diǎn)，∴EF?平面BCC1B1，MN∩平面BCC1B1＝N，N?EF，∴由異面直線判定定理得直線MN與直線EF是異面直線；取A1C1的中點(diǎn)P，連接PM，PN，如圖，則PN∥B1A1，PM∥A1A，∵AA1∩A1B1＝A1，PM∩PN＝P，∴平面PMN∥平面ABB1A1，∵M(jìn)N?平面PMN，∴直線MN與平面ABB1A1平行．故選B.7.如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，P，Q分別為棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中點(diǎn)，則下列敘述中正確的是()A．直線BQ∥平面EFGB．直線A1B∥平面EFGC．平面APC∥平面EFGD．平面A1BQ∥平面EFG【解析】過點(diǎn)E，F(xiàn)，G的截面如圖所示(H，I分別為AA1，BC的中點(diǎn))，連接A1B，BQ，AP，PC，易知BQ與平面EFG相交于點(diǎn)Q，故A錯(cuò)誤；∵A1B∥HE，A1B?平面EFG，HE?平面EFG，∴A1B∥平面EFG，故B正確；AP?平面ADD1A1，HG?平面ADD1A1，延長HG與PA必相交，故C錯(cuò)誤；易知平面A1BQ與平面EFG有交點(diǎn)Q，故D錯(cuò)誤．故選B.8.正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)M，N分別是棱BC，CC1的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方形BCC1B1(包括邊界)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且PA1∥平面AMN，則PA1的長度范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(5),2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，\f(\r(5),2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，\f(3,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))【解析】取B1C1的中點(diǎn)E，BB1的中點(diǎn)F，連接A1E，A1F，EF，取EF的中點(diǎn)O，連接A1O，如圖所示，∵點(diǎn)M，N分別是棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中棱BC，CC1的中點(diǎn)，∴AM∥A1E，MN∥EF，∵AM∩MN＝M，A1E∩EF＝E，AM，MN?平面AMN，A1E，EF?平面A1EF，∴平面AMN∥平面A1EF，∵動(dòng)點(diǎn)P在正方形BCC1B1(包括邊界)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且PA1∥平面AMN，∴點(diǎn)P的軌跡是線段EF，∵A1E＝A1F＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(5),2)，EF＝eq\f(1,2)eq\r(12＋12)＝eq\f(\r(2),2)，∴A1O⊥EF，∴當(dāng)P與O重合時(shí)，PA1的長度取最小值A(chǔ)1O，A1O＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)))2)＝eq\f(3\r(2),4)，當(dāng)P與E(或F)重合時(shí)，PA1的長度取最大值A(chǔ)1E或A1F，A1E＝A1F＝eq\f(\r(5),2).∴PA1的長度范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，\f(\r(5),2))).故選B.【多選題】9.已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，則下列說法錯(cuò)誤的是()A．若m⊥α，m⊥n，則n∥αB．若m⊥α，n∥β且α∥β，則m⊥nC．若m?α，n?α且m∥β，n∥β，則α∥βD．若直線m，n與平面α所成的角相等，則m∥n【解析】對于A，滿足m⊥α，m⊥n的n，α的位置關(guān)系可能是n∥α或n?α，故A錯(cuò)誤；對于B，由m⊥α，α∥β，得m⊥β，結(jié)合n∥β，知m⊥n，故B正確；對于C，根據(jù)面面平行的判定定理知需當(dāng)m，n為相交直線時(shí)，才有α∥β，故C錯(cuò)誤；對于D，若m，n為圓錐的兩條母線，平面α為圓錐的底面所在平面，此時(shí)直線m，n與平面α所成的角相等，但此時(shí)m，n為相交直線，故D錯(cuò)誤．故選ACD.10.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點(diǎn)，下列四個(gè)推斷中正確的是()A．FG∥平面AA1D1DB．EF∥平面BC1D1C．FG∥平面BC1D1D．平面EFG∥平面BC1D1【解析】因?yàn)樵谡襟wABCD-A1B1C1D1中，F(xiàn)，G分別是B1C1，BB1的中點(diǎn)，所以FG∥BC1，因?yàn)锽C1∥AD1，所以FG∥AD1，因?yàn)镕G?平面AA1D1D，AD1?平面AA1D1D，所以FG∥平面AA1D1D，故A正確；因?yàn)镋F∥A1C1，A1C1與平面BC1D1相交，所以EF與平面BC1D1相交，故B錯(cuò)誤；因?yàn)镕，G分別是B1C1，BB1的中點(diǎn)，所以FG∥BC1，因?yàn)镕G?平面BC1D1，BC1?平面BC1D1，所以FG∥平面BC1D1，故C正確；因?yàn)镋F與平面BC1D1相交，所以平面EFG與平面BC1D1相交，故D錯(cuò)誤．故選AC.11.如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1各條棱的長度均相等，D為AA1的中點(diǎn)，M，N分別是線段BB1和線段CC1上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn))，且滿足BM＝C1N，當(dāng)M，N運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論中正確的是()A．在△DMN內(nèi)總存在與平面ABC平行的線段B．平面DMN⊥平面BCC1B1C．三棱錐A1-DMN的體積為定值D．△DMN可能為直角三角形【解析】用平行于平面ABC的平面截平面DMN，則交線平行于平面ABC，故A正確；當(dāng)M，N分別在BB1，CC1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若滿足BM＝C1N，則線段MN必過正方形BCC1B1的中點(diǎn)O，由DO⊥平面BCC1B1可得平面DMN⊥BCC1B1故B正確；當(dāng)M，N分別在BB1，CC1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△A1DM的面積不變，點(diǎn)N到平面A1DM的距離不變，所以三棱錐N-A1DM的體積不變，即三棱錐A1-DMN的體積為定值，故C正確；若△DMN為直角三角形，則必是以∠MDN為直角的直角三角形，易證DM＝DN，所以△DMN為等腰直角三角形，所以DO＝OM＝ON，即MN＝2OD，設(shè)正三棱柱的棱長為2，則DO＝eq\r(3)，MN＝2eq\r(3)，因?yàn)镸N的最大值為BC1＝2eq\r(2)，所以MN不可能為2eq\r(3)，所以△DMN不可能為直角三角形，故D錯(cuò)誤．故選ABC.12.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長為2，側(cè)棱AA1＝1，P為上底面A1B1C1D1上的動(dòng)點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論中正確的為()A．若PD＝3，則滿足條件的P點(diǎn)有且只有一個(gè)B．若PD＝eq\r(3)，則點(diǎn)P的軌跡是一段圓弧C．若PD∥平面ACB1，則DP長的最小值為2D．若PD∥平面ACB1，且PD＝eq\r(3)，則平面BDP截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球所得平面圖形的面積為eq\f(9π,4)【解析】如圖所示，因?yàn)檎睦庵鵄BCD-A1B1C1D1的底面邊長為2，所以B1D1＝2eq\r(2)，又側(cè)棱AA1＝1，所以DB1＝eq\r(（2\r(2)）2＋12)＝3，則P與B1重合時(shí)PD＝3，此時(shí)P點(diǎn)唯一，故A項(xiàng)正確；因?yàn)镻D＝eq\r(3)∈(1，3)，DD1＝1，則PD1＝eq\r(2)，即點(diǎn)P的軌跡是一段圓弧，故B項(xiàng)正確；連接DA1，DC1，可得平面A1DC1∥平面ACB1，則當(dāng)P為A1C1中點(diǎn)時(shí)，DP有最小值，為eq\r(（\r(2)）2＋12)＝eq\r(3)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；由C選項(xiàng)知，平面BDP即為平面BDD1B1，平面BDP截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球所得平面圖形為外接球的大圓，其半徑為eq\f(1,2)eq\r(22＋22＋12)＝eq\f(3,2)，面積為eq\f(9π,4)，故D項(xiàng)正確．故選ABD.【填空題】13.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長等于________．【解析】因?yàn)镋F∥平面AB1C，EF?平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以點(diǎn)F為DC的中點(diǎn)．故EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).14.在下面給出的條件中，若條件足夠推出a∥α，則在橫線上填“OK”；若條件不能保證推出a∥α，則請?jiān)跈M線上補(bǔ)足條件：(1)條件：a∥b，b∥c，c?α，______，結(jié)論：a∥α；(2)條件：α∩β＝b，a∥b，a?β，______，結(jié)論：a∥α.【解析】因?yàn)閍∥b，b∥c，c?α，所以由直線與平面平行的判定定理得，當(dāng)a?α?xí)r，a∥α.因?yàn)棣痢搔拢絙，a∥b，a?β，則由直線與平面平行的判定定理得a∥α.15.在四面體A-BCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個(gè)面中與MN平行的是________．【解析】如圖，取CD的中點(diǎn)E，連接AE，BE，則EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB.因?yàn)锳B?平面ABD，MN?平面ABD，AB?平面ABC，MN?平面ABC，所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.16.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中判斷下列位置關(guān)系：(1)AD1所在的直線與平面BCC1的位置關(guān)系是______；(2)平面A1BC1與平面ABCD的位置關(guān)系是______．【解析】(1)AD1所在直線與平面BCC1的位置關(guān)系是平行．理由：AB∥C1D1，且AB＝C1D1，可得四邊形ABC1D1為平行四邊形，即有AD1∥BC1，AD1?平面BCC1，BC1?平面BCC1，則AD1∥平面BCC1.(2)平面A1BC1與平面ABCD的位置關(guān)系是相交．理由：平面A1BC1與平面ABCD有一個(gè)交點(diǎn)B，由公理3得，如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)在一條直線上，這條直線為交線．如圖，過點(diǎn)B作AC的平行線l，即為交線．【解答題】17.已知在四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，DC＝2AB，Q為PC的中點(diǎn).(1)求證：BQ∥平面PAD；(2)若PD＝3，BC＝eq\r(2)，BC⊥BD，試在線段PC上確定一點(diǎn)S，使得三棱錐S－BCD的體積為eq\f(2,3).【解析】(1)證明取PD的中點(diǎn)G，連接AG，GQ，因?yàn)镼為PC的中點(diǎn)，所以GQ∥DC，且GQ＝eq\f(1,2)DC，又因?yàn)锳B∥DC，DC＝2AB，所以GQ∥AB，GQ＝AB，所以四邊形ABQG是平行四邊形，所以BQ∥AG，又BQ?平面PAD，AG?平面PAD，所以BQ∥平面PAD.(2)解因?yàn)樵谒倪呅蜛BCD中，AB∥CD，AD⊥DC，DC＝2AB，所以點(diǎn)B在線段CD的垂直平分線上，又因?yàn)锽C＝eq\r(2)，BC⊥BD，所以BD＝BC＝eq\r(2)，所以△BCD的面積S＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝1.設(shè)點(diǎn)S到平面ABCD的距離為h，所以eq\f(1,3)×1×h＝eq\f(2,3)，所以h＝2，又PD⊥平面ABCD，PD＝3，所以點(diǎn)S在線段PC上靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)處.18.如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn).(1)證明：MN∥平面C1DE；(2)求點(diǎn)C到平面C1DE的距離.【解析】(1)證明如圖，連接B1C，ME.因?yàn)镸，E分別為BB1，BC的中點(diǎn)，所以ME∥B1C，且ME＝eq\f(1,2)B1C.又因?yàn)镹為A1D的中點(diǎn)，所以ND＝eq\f(1,2)A1D.由題設(shè)知A1B1平行且相等DC，可得B1C平行且相等A1D，故ME平行且相等ND，因此四邊形MNDE為平行四邊形，所以MN∥ED.又MN?平面C1DE，DE?平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.(2)解過點(diǎn)C作C1E的垂線，垂足為H.由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，又BC∩C1C＝C，BC，C1C?平面C1CE，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH.所以CH⊥平面C1DE，故CH的長即為點(diǎn)C到平面C1DE的距離.由已知可得CE