專題03基本不等式（重難點突破）

專題03基本不等式知識點一：基本不等式及的理解.（1）成立的條件是不同的：前者只要求都是實數(shù)，而后者要求都是正數(shù)；（2）取等號“=”的條件在形式上是相同的，都是“當(dāng)且僅當(dāng)時取等號”.知識點二：用基本不等式求最大（?。┲翟谟没静坏仁角蠛瘮?shù)的最值時，應(yīng)具備三個條件：一正二定三取等.①一正：函數(shù)的解析式中，各項均為正數(shù)；②二定：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；③三取等：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項均相等，取得最值.知識點三：基本不等式的變形與拓展1．(1)、若,則；(2)、若,則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）．2．(1)、若,則；(2)、若,則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）；(3)、若,則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）．3．(1)、若,則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）；(2)、若,則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）；(3)、若,則,即或（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）．4．(1)、若,則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）；(2)、若,則,即或（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）．5．一個重要的不等式鏈：．6．函數(shù)圖象及性質(zhì)(1)函數(shù)圖象如右圖所示：(2)函數(shù)性質(zhì)：①值域：；②單調(diào)遞增區(qū)間：；單調(diào)遞減區(qū)間：

重難點突破(一)基本不等式的簡單應(yīng)用例1.（1）、（2022秋·甘肅臨夏·高一?？计谥校┤簦瑒t函數(shù)（

）A．有最大值 B．有最小值C．有最大值 D．有最小值【答案】B【分析】利用基本不等式計算可得.【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，所以當(dāng)時函數(shù)有最小值.故選：B（2）、（2023春·湖北恩施·高二?？计谀┤簦瑒t的最小值為．【答案】【分析】因為，直接利用基本不等式求出其最小值．【詳解】因為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故答案為：【變式訓(xùn)練1-1】、（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）若，則下列不等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)以及基本不等式判斷各選項．【詳解】由，則，所以；由，則，所以；由基本不等式可得.所以，故B正確，選項A、C、D錯誤.故選：B.【變式訓(xùn)練1-1】、（2023春·青海海東·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知兩個正數(shù)滿足，則的最小值為．【答案】20【分析】利用基本不等式求最值可得答案.【詳解】因為為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以則的最小值為20.故答案為：20.重難點突破(二)利用基本不等式求最小值例2.（1）、（2023春·海南省直轄縣級單位·高一?？计谥校┮阎?，則的最小值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】利用基本不等式，即可求解.【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，因此所求的最小值為2.故選：C（2）、（2023春·甘肅天水·高二校考期中）已知，則的最小值是.【答案】5【分析】由配湊法結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即舍去）時取等號，的最小值為，故答案為：.【變式訓(xùn)練2-1】、（2023春·貴州遵義·高一統(tǒng)考期中）函數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式可求得函數(shù)的最小值.【詳解】因為，則，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故函數(shù)的最小值為.故選：C.【變式訓(xùn)練2-2】、（2021秋·高一課時練習(xí)）（多選題）已知，，且，則（）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)公式即可判斷選項正確，選項B，C錯誤；根據(jù)不等式可判斷選項D正確.【詳解】因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即，所以，故選項正確，選項B,C錯誤；因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故選項D正確.故選：AD.重難點突破(三)利用基本不等式求最大值例3.（1）、（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的最大值為.【答案】【分析】變形，利用基本不等式求解.【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.故答案為：.（2）、（2022秋·云南曲靖·高一?？茧A段練習(xí)）已知，則的最大值是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】直接使用基本不等式可得.【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最大值是.故選：C【變式訓(xùn)練3-1】、（2023春·陜西·高二校聯(lián)考期中）已知，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用基本不等式，即可求解.【詳解】因為，由基本不等式可得，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最大值為.故選：A.【變式訓(xùn)練3-2】、（2022秋·新疆·高一兵團(tuán)第一師高級中學(xué)校考階段練習(xí)）若，則的最大值是．【答案】【分析】根據(jù)基本不等式即得.【詳解】因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．故答案為：.重難點突破(四)不等式變形技巧：“1”的代換例4.（1）、（2023春·貴州黔東南·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)，且，則的最小值為（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解即可.【詳解】因為，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為.故選：B.（2）、（2023秋·山東菏澤·高一山東省鄆城第一中學(xué)?？计谀┤?，，且，則的最小值為．【答案】9【分析】運用“乘1法”求解即可．【詳解】由于，，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號．故的最小值為9．故答案為：9．【變式訓(xùn)練4-1】、（2023春·遼寧·高二校聯(lián)考期末）已知，，且，則的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】利用“乘1法”與基本不等式即可得出．【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立．故選：D.【變式訓(xùn)練4-2】、（2022秋·山東臨沂·高一?？茧A段練習(xí)）（多選題）設(shè)正實數(shù)，滿足，則（

）A．有最大值 B．有最大值C．有最大值 D．有最小值【答案】BCD【分析】利用基本不等式結(jié)合已知條件逐個分析判斷即可【詳解】對于A，正實數(shù)，滿足，即有，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以當(dāng)時，取得最小值，無最大值，所以A錯誤，對于B，由選項A可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以可得有最大值，所以B正確，對于C，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以當(dāng)時，取得最大值，所以C正確，對于D，由可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則，故當(dāng)時，取得最小值，所以D正確，故選：BCD例5.（1）、（2022秋·安徽蕪湖·高二?？茧A段練習(xí)）已知實數(shù)，且，則的最小值是（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】根據(jù)題意，將所求式子進(jìn)行整理變形，再利用基本不等式即可求解.【詳解】，等式恒成立，，由于，所以，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號.，，故的最小值為1.故選：.（2）、（2023春·福建福州·高二福州三中?？计谀┮阎渲?，，，則的最小值為．【答案】16【分析】根據(jù)給定條件，利用“1”的妙用求解作答.【詳解】因為，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為16.故答案為：16【變式訓(xùn)練5-1】、（2023春·天津南開·高二天津市第二南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知且，則的最小值是．【答案】/【分析】由已知利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】因為且，則而，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時取等號.故答案為：.【變式訓(xùn)練5-2】、（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知實數(shù)，若，則的最小值為（

）A．12 B． C． D．8【答案】A【分析】構(gòu)造基本不等式，利用基本不等式即可.【詳解】由，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以的最小值為：12，故選：A.重難點突破(五)不等式的證明技巧與綜合處理技巧例6.（2023春·河北石家莊·高一石家莊市第十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若正數(shù)a，b，c滿足.(1)求的最大值；(2)求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由，應(yīng)用基本不等式求最大值，注意取值條件；（2）利用基本不等式求、、，即可證結(jié)論，注意等號成立條件.【詳解】（1）由，所以，即，僅當(dāng)時等號成立，綜上，的最大值為.（2）由，僅當(dāng)，即時等號成立，由，僅當(dāng)，即時等號成立，由，僅當(dāng)，即時等號成立，綜上，，僅當(dāng)時等號成立.【變式訓(xùn)練6-1】、（2023·全國·高一假期作業(yè)）（1）已知，，，求證：；（2）已知a，b，c為不全相等的正實數(shù)，求證：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）將兩兩組合，利用基本不等式即可證明；（2）,利用基本不等式即可證明.【詳解】（1），當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以.（2），當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，因為a，b，c為不全相等的正實數(shù)，所以.重難點突破(六)均值不等式在實際問題中的應(yīng)用例7.（2020秋·高一課時練習(xí)）建造一個體積為，高為的長方體簡易木屋，如果屋頂和四周墻壁的造價分別為40元/和30元/，而整修木屋地面的費用為20元/，那么此木屋的最低造價為元．【答案】6720【分析】由題意，木屋地面的面積為.設(shè)木屋的長為，總造價為關(guān)于的函數(shù)解析式，利用基本不等式求的最小值.【詳解】由題意，木屋地面的面積為.設(shè)木屋的長為，總造價為元.則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.此木屋的最低造價為6720元.故答案為：6720.【點睛】本題考查函數(shù)模型及其應(yīng)用，考查基本不等式，屬于基礎(chǔ)題.【變式訓(xùn)練7-1】、（2023春·北京順義·高二牛欄山一中校考期末）某地要建造一批外形為長方體的簡易工作房，如圖所示．房子的高度為3m，占地面積為，墻體ABFE和DCGH的造價均為80元/m2，墻體ADHE和BCGF的造價均為120元/m2，地面和房頂?shù)脑靸r共2000元．則一個這樣的簡易工作房的總造價最低為元．

【答案】4880【分析】設(shè)，則可表示出這個簡易工作房總造價為，利用基本不等式即可求出.【詳解】設(shè)，，則，則這個簡易工作房總造價為，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以一個這樣的簡易工作房的總造價最低為4880元.故答案為：4880.例8.（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖，某人計劃用籬笆圍成一個一邊靠墻（墻的長度沒有限制）的矩形菜園．設(shè)菜園的長為xm，寬為ym．(1)若菜園面積為72m2，則x，y為何值時，可使所用籬笆總長最??？(2)若使用的籬笆總長度為30m，求的最小值．【答案】(1)菜園的長x為12m，寬y為6m時，可使所用籬笆總長最小(2)．【分析】（1）由已知可得xy＝72，而籬笆總長為x+2y．利用基本不等式x+2y≥2即可得出；（2）由已知得x+2y＝30，利用基本不等式（）?（x+2y）＝55+2，進(jìn)而得出．【詳解】（1）由已知可得xy＝72，而籬笆總長為x+2y．又∵x+2y≥224，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y，即x＝12，y＝6時等號成立．∴菜園的長x為12m，寬y為6m時，可使所用籬笆總長最小．（2）由已知得x+2y＝30，又∵（）?（x+2y）＝55+29，∴，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)，即x＝10，y＝10時等號成立．∴的最小值是．【變式訓(xùn)練8-1】、（2022秋·河北石家莊·高三?？茧A段練習(xí)）為持續(xù)推進(jìn)“改善農(nóng)村人居環(huán)境，建設(shè)宜居美麗鄉(xiāng)村”，某村委計劃在該村廣場旁一矩形空地進(jìn)行綠化.如圖所示，兩塊完全相同的長方形種植綠草坪，草坪周圍（斜線部分）均擺滿寬度相同的花，已知兩塊綠草坪的面積均為400平方米.（1）若矩形草坪的長比寬至少多9米，求草坪寬的最大值；（2）若草坪四周及中間的花壇寬度均為2米，求整個綠化面積的最小值.【答案】（1）最大值為16米；（2）最小值為平方米.【分析】（1）設(shè)草坪的寬為x米，長為y米，依題意列出不等關(guān)系，求解即可；（2）表示，利用均值不等式，即得最小值.【詳解】（1）設(shè)草坪的寬為x米，長為y米，由面積均為400平方米，得.因為矩形草坪的長比寬至少大9米，所以，所以，解得.又，所以.所以寬的最大值為16米.（2）記整個的綠化面積為S平方米，由題意可得（平方米）當(dāng)且僅當(dāng)米時，等號成立.所以整個綠化面積的最小值為平方米.重難點突破(七)沖刺滿分（壓軸題）例9.（1）、（2022·全國·高三專題練習(xí)）若實數(shù)滿足，則的最大值為.【答案】【解析】已知條件可化為，故可設(shè)，從而目標(biāo)代數(shù)式可化為，利用基本不等式可求其最大值.【詳解】由，得，設(shè)，其中.則，從而，記，則，不妨設(shè)，則,當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，即最大值為.故答案為：.【點睛】本題考查二元二次等式條件下二元分式的最大值，注意根據(jù)已知條件可因式分解從而采用換元法來改造目標(biāo)代數(shù)式，再根據(jù)目標(biāo)代數(shù)式的特征再次換元，從而得到能使用基本不等式的結(jié)構(gòu)形式，本題屬于難題.（2）、（2022秋·廣東梅州·高一五華縣水寨中學(xué)校考階段練習(xí)）（多選題）若，，，則的可能取值有（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】利用題設(shè)條件，將式子化成，觀察得出，之后利用乘以1不變，結(jié)合基本不等式求得其范圍，進(jìn)而得到正確答案.【詳解】原式（當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號）.故選：CD.【變式訓(xùn)練9-1】、（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，則的最小值為.【答案】【解析】先利用把化成，利用基本不等式可求的最小值，再根據(jù)不等式的性質(zhì)把目標(biāo)代數(shù)式放縮為與有關(guān)的代數(shù)式，再利用基本不等式可求題設(shè)中目標(biāo)代數(shù)式的最小值.【詳解】因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．又因為，由不等式的性質(zhì)可得.又因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．所以的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查多元代數(shù)式的最值，處理這類問題的基本策略是降元處理，降元時要結(jié)合目標(biāo)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點，找出能整體處理的部分，本題屬于難題.【變式訓(xùn)練9-2】、（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求得及的取值范圍，再把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的代數(shù)式，利用函數(shù)的單調(diào)性去求的取值范圍即可解決【詳解】由，可得，則，則，令，則，又在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，則，即故選：C1．（2022秋·江西景德鎮(zhèn)·高一統(tǒng)考期中）已知x，，x＋2y＝1，則的最小值（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】由基本不等式“1”的代換求解即可.【詳解】因為x，，x＋2y＝1，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等.故選：B.2．（2023秋·山西朔州·高一統(tǒng)考期末）已知，則的最大值為（

）A． B． C． D．3【答案】B【分析】根據(jù)基本不等式的變形形式直接求解.【詳解】由題意得，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時等號成立，所以的最大值為.故選：B3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）近年來受各種因素影響，國際大宗商品價格波動較大，我國某鋼鐵企業(yè)需要不間斷從澳大利亞采購鐵礦石，為保證企業(yè)利益最大化，提出以下兩種采購方案.方案一：不考慮鐵礦石價格升降，每次采購鐵礦石的數(shù)量一定；方案二：不考慮鐵礦石價格升降，每次采購鐵礦石所花的錢數(shù)一定，則下列說法正確的是（

）A．方案一更經(jīng)濟(jì) B．方案二更經(jīng)濟(jì)C．兩種方案一樣 D．條件不足，無法確定【答案】B【分析】設(shè)第一次價格為，第二次價格為，進(jìn)而求解兩種方案的平均數(shù)，并比較大小即可.【詳解】解：設(shè)第一次價格為，第二次價格為，方案一：若每次購買數(shù)量，則兩次購買的平均價格為，方案二：若每次購買錢數(shù)為，則兩次購買的平均價格為，所以，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，“=”號成立，所以方案二更經(jīng)濟(jì).故選：B4．（2023春·江西南昌·高二校聯(lián)考期末）已知，且，則（

）A．的最小值是B．的最小值是4C．的最小值是8D．的最小值是【答案】BC【分析】利用基本不等式根據(jù)可得，即可求解選項A；利用基本不等式“1”的妙用即可求解選項B；利用基本不等式可得即可求解選項C；根據(jù)，再結(jié)合等號成立條件可求解選項D.【詳解】因為，且，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則A錯誤；由題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則B正確；因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則C正確；由題意可得，此時，．因為，所以不存在，使得，則D錯誤．故選:BC.5．（2021秋·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）若，則的最小值為.【答案】【分析】由基本不等式求解即可.【詳解】因為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，所以當(dāng)時，取最小值.故答案為：6．（2023春·山東德州·高二?？茧A段練習(xí)）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為.【答案】【分析】因為，再利用基本不等式即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即最取到等號.故答案為：.7．（2022秋·貴州黔