重難點(diǎn)04三角恒等變換（3種考向）（原卷版）

重難點(diǎn)04三角恒等變換（3種考向）【目錄】考向1：給值求值問題考向2：給值求角問題考向3：利用三角恒等變換判斷三角形的形狀二、命題規(guī)律與備考策略二、命題規(guī)律與備考策略本專題是高考常考內(nèi)容，結(jié)合往年命題規(guī)律，命制三角函數(shù)恒等變換題目，諸如“給值求角”“給值求值”“給角求值”三種考向進(jìn)行分類講解。1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：sin2α+cos2α＝1．（2）商數(shù)關(guān)系：＝tanα．2．誘導(dǎo)公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sinα，tan（﹣α）＝cotα．公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα，tan（+α）＝﹣cotα．3．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sinαcosα；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α＝．三三、題型方法考向1：給值求值問題一、單選題1．（2022·上海·高三專題練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．2．（2023·上海奉賢·統(tǒng)考一模）已知，，，，滿足，，，有以下個(gè)結(jié)論：①存在常數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，使得的值是一個(gè)常數(shù)；②存在常數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，使得的值是一個(gè)常數(shù).下列說法正確的是（

）A．結(jié)論①、②都成立B．結(jié)論①不成立、②成立C．結(jié)論①成立、②不成立D．結(jié)論①、②都不成立二、填空題3．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知，則__________.4．（2023春·上海寶山·高三上海交大附中校考階段練習(xí)）已知，，則______.5．（2023·上海普陀·曹楊二中?？寄M預(yù)測）已知，則的值為_____________．6．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若，，則_______.7．（2022秋·上海普陀·高三統(tǒng)考期中）若，則_____；8．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若，則____.9．（2022春·上海浦東新·高三校考階段練習(xí)）已知，若，則______．10．（2022春·上海寶山·高三上海市行知中學(xué)?？计谥校┮阎?，則_________.三、解答題11．（2022春·上海浦東新·高三上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考開學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)若，，求的值；(2)在銳角△中，、、分別是角、、的對(duì)邊，若，，△的面積，求的值．12．（2022秋·上海嘉定·高三校考期中）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且．(1)求的值；(2)若，求的最大值．13．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知，，.（1）若，求的值；（2）在（1）的條件下，若，，求sinβ的值.14．（2023·上海松江·?？寄M預(yù)測）設(shè)．(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間及對(duì)稱中心；(2)當(dāng)時(shí)，，求的值．15．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)的最小正周期為.（1）求與的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，若，求的取值范圍.16．（2023春·上海松江·高三上海市松江二中?？茧A段練習(xí)）已知.(1)求在上的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若，求的值.考向2：給值求角問題一、單選題1．（2022春·上海寶山·高三上海交大附中?？奸_學(xué)考試）已知、都是銳角，且，，那么、之間的關(guān)系是（

）A． B．C． D．2．（2021秋·上海徐匯·高三上海市南洋模范中學(xué)?？茧A段練習(xí)）將方程的所有正數(shù)解從小到大組成數(shù)列，記，則（

）A． B． C． D．二、填空題3．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知(均是銳角),則的值為_______.4．（2022秋·上海楊浦·高三上海市控江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）把化成的形式，則常數(shù)的值為___________.5．（2022春·上海虹口·高三上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則方程的解集是________．6．（2022春·上海黃浦·高三上海市大同中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若，且，則的值為___________.7．（2022秋·上海嘉定·高三校考期中）若為銳角，，則角__________.8．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）費(fèi)馬點(diǎn)是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn).當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角都小于時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)與三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成的三個(gè)角都為.已知點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，且，則的值為__________.三、解答題9．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）設(shè)常數(shù)，函數(shù)．（1）若為奇函數(shù)，求的值；（2）若，求方程在區(qū)間上的解．10．（2022春·上海虹口·高三上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期與單調(diào)增區(qū)間；（2）在中，若，求角的值．11．（2021秋·上海寶山·高三上海市行知中學(xué)校考開學(xué)考試）已知、、是中、、的對(duì)邊，，，．(1)求邊長；(2)求的值．考向3：利用三角恒等變換判斷三角形的形狀一、單選題1．（2022·上海·高三專題練習(xí)）對(duì)于，若存在，滿足，則稱為“類三角形”．“類三角形”一定滿足．A．有一個(gè)內(nèi)角為 B．有一個(gè)內(nèi)角為C．有一個(gè)內(nèi)角為 D．有一個(gè)內(nèi)角為2．（2020秋·上海浦東新·高三華師大二附中?？茧A段練習(xí)）在中，若，則這個(gè)三角形一定是（

）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能二、解答題3．（2022春·上海浦東新·高三上海市進(jìn)才中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，x∈R，且f(x)的最大值為1.（1）求m的值，并求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊a、b、c，若，且，試判斷△ABC的形狀.四、刷真題與模擬四、刷真題與模擬一．選擇題（共3小題）1．（2022?北京）已知函數(shù)f（x）＝cos2x﹣sin2x，則（）A．f（x）在（﹣，﹣）上單調(diào)遞減 B．f（x）在（﹣，）上單調(diào)遞增 C．f（x）在（0，）上單調(diào)遞減 D．f（x）在（，）上單調(diào)遞增2．（2023?虹口區(qū)二模）對(duì)于函數(shù)，給出下列結(jié)論：（1）函數(shù)y＝f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；（2）函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間上的值域?yàn)?；?）將函數(shù)y＝f（x）的圖像向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)y＝﹣cos2x的圖像；（4）曲線y＝f（x）在處的切線的斜率為1．則所有正確的結(jié)論是（）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（1）（3）3．（2019?上海）已知tanα?tanβ＝tan（α+β）．有下列兩個(gè)結(jié)論：①存在α在第一象限，β在第三象限；②存在α在第二象限，β在第四象限；則（）A．①②均正確 B．①②均錯(cuò)誤 C．①對(duì)②錯(cuò) D．①錯(cuò)②對(duì)二．填空題（共6小題）4．（2022?上海）若tanα＝3，則tan（α+）＝．5．（2020?浦東新區(qū)校級(jí)二模）函數(shù)y＝sin2x﹣sin2x的最小正周期為．6．（2020?上海）已知3sin2x＝2sinx，x∈（0，π），則x＝．7．（2023?上海）已知tanα＝3，則tan2α＝．8．（2002?上海）已知f（x）＝，α∈（，π），則f（cosα）+f（﹣cosα）可化簡為．9．（2023?嘉定區(qū)校級(jí)三模）若關(guān)于x的方程2sin2x﹣sin2x+m﹣1＝0在（，π）上在實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．三．解答題（共11小題）10．（2021?浙江）設(shè)函數(shù)f（x）＝sinx+cosx（x∈R）．（Ⅰ）求函數(shù)y＝[f（x+）]2的最小正周期；（Ⅱ）求函數(shù)y＝f（x）f（x﹣）在[0，]上的最大值．11．（2023?青浦區(qū)二模）已知函數(shù)y＝f（x）的表達(dá)式為．（1）求函數(shù)y＝f（x）的最小正周期及圖像的對(duì)稱軸的方程；（2）求函數(shù)y＝f（x）在上的值域．12．（2022?崇明區(qū)二模）已知．（1）求函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A滿足f（A）＝0，且，求BC邊長的最小值．13．（2021?青浦區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）＝2sincos+2cos2﹣．（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，π]上的值域；（2）若方程f（ωx）＝（ω＞0）在區(qū)間[0，π]上至少有兩個(gè)不同的解，求ω的取值范圍．14．（2018?上海）已知y＝cosx．（1）若，且α∈[0，π]，求的值；（2）求函數(shù)y＝f（2x）﹣2f（x）的最小值．15．（2018?上海）設(shè)常數(shù)a∈R，函數(shù)f（x）＝asin2x+2cos2x．（1）若f（x）為偶函數(shù)，求a的值；（2）若f（）＝+1，求方程f（x）＝1﹣在區(qū)間[﹣π，π]上的解．16．（2023?寶山區(qū)二模）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)y＝f（x）的最小正周期和單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于x的方程f（x）﹣m＝0在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．17．（2022?奉賢區(qū)模擬）已知函數(shù)f（x）＝sin2ωx+cos2ωx+1（0＜ω＜5），將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)y＝g（x）的圖像，x＝是g（x）一個(gè)零點(diǎn)．（1）求函數(shù)y＝f（x）的最小正周期；（2）求函數(shù)y＝g（x）在x∈[0，]上的單調(diào)區(qū)間．18．（2021?徐匯區(qū)校級(jí)三模）如圖，OA，OB是兩條互相垂直的筆直公路，半徑OA＝2km的扇形AOB是某地的一名勝古跡區(qū)域．當(dāng)?shù)卣疄榱司徑庠摴袍E周圍的交通壓力，欲在圓弧AB上新增一個(gè)入口P（點(diǎn)P不與A，B重合），并新建兩條都與圓弧AB相切的筆直公路MB，MN，切點(diǎn)分別是B，P．當(dāng)新建的兩條公路總長最小時(shí)，投資費(fèi)用最低．設(shè)∠POA＝θ，公路MB，MN的總長為f（θ）．（1）求f（θ）關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)θ為何值時(shí)，投資費(fèi)用最低？并求出f（θ）的