重難點突破03 最全歸納平面向量中的范圍與最值問題 （十大題型）（原卷版）

重難點突破03最全歸納平面向量中的范圍與最值問題目錄技巧一．平面向量范圍與最值問題常用方法：（1）定義法第一步：利用向量的概念及其基本運算將所求問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系第二步：運用基木不等式求其最值問題第三步：得出結(jié)論（2）坐標法第一步：根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺讼挡懗鱿鄳?yīng)點的坐標第二步：將平面向量的運算坐標化第三步：運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解（3）基底法第一步：利用其底轉(zhuǎn)化向量第二步：根據(jù)向量運算律化簡目標第三步：運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結(jié)論（4）幾何意義法第一步：先確定向量所表達的點的軌跡第二步：根據(jù)直線與曲線位置關(guān)系列式第三步：解得結(jié)果技巧二．極化恒等式（1）平行四邊形平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：證明：不妨設(shè)，則，①②①②兩式相加得：（2）極化恒等式：上面兩式相減，得：————極化恒等式①平行四邊形模式：幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的．②三角形模式：（M為BD的中點）AABCM技巧三．矩形大法矩形所在平面內(nèi)任一點到其對角線端點距離的平方和相等已知點O是矩形ABCD與所在平面內(nèi)任一點，證明：．【證明】（坐標法）設(shè)，以AB所在直線為軸建立平面直角坐標系xoy，則，設(shè)，則技巧四．等和線（1）平面向量共線定理已知，若，則三點共線；反之亦然．（2）等和線平面內(nèi)一組基底及任一向量，，若點在直線上或者在平行于的直線上，則（定值），反之也成立，我們把直線以及與直線平行的直線稱為等和線．①當(dāng)?shù)群途€恰為直線時，；②當(dāng)?shù)群途€在點和直線之間時，；③當(dāng)直線在點和等和線之間時，；④當(dāng)?shù)群途€過點時，；⑤若兩等和線關(guān)于點對稱，則定值互為相反數(shù)；技巧五．平行四邊形大法1、中線長定理2、為空間中任意一點，由中線長定理得：兩式相減：技巧六．向量對角線定理題型一：三角不等式例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量滿足，若對任意，恒成立，則的取值范圍是___________.例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量滿足：，若對滿足條件的任意向量，恒成立，則的最小值是______________．例3．已知向量滿足，，若關(guān)于的方程有解，記向量的夾角為，則的取值范圍是___________.變式1．已知是平面向量，且是互相垂直的單位向量，若對任意均有的最小值為，則的最小值為___________．變式2．已知平面向量滿足，設(shè)，若，則的取值范圍為________．變式3．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）已知平面向量，，滿足，，，則的取值范圍是___________．題型二：定義法例4．已知向量，的夾角為，且，向量滿足，且，記，，則的最大值為______.例5．（2023·四川成都·高二校聯(lián)考期中）已知向量，，滿足，，，向量與向量的夾角為，則的最大值為______．例6．（2023·浙江紹興·高二?？紝W(xué)業(yè)考試）已知向量，滿足，，且，若向量滿足，則的最大值是______．變式4．已知向量，滿足，，且，若向量與的夾角為30°，則的最大值是___________.變式5．已知向量，滿足，若以向量為基底，將向量表示成為實數(shù)），都有，則的最小值為________變式6．已知向量、滿足：，.設(shè)與的夾角為，則的最大值為___________.題型三：基底法例7．已知菱形ABCD的邊長為2，，點E，F(xiàn)分在邊BC，CD上，，．若，則的最小值為___________．例8．（2023·天津·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知菱形的邊長為，，點、分別在邊，上，，，若，則的最小值__________．例9．如圖，菱形ABCD的邊長為4，，M為DC的中點，若N為菱形內(nèi)任意一點（含邊界），則的最大值為_____________．變式7．菱形的邊長為，，若為菱形內(nèi)任意一點（含邊界），則的最大值為______．變式8．如圖，菱形的邊長為為的中點，若為菱形內(nèi)任意一點（含邊界），則的最大值為___________.變式9．平面四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且，點N是DC邊上的點，且，點M是四邊形ABCD內(nèi)或邊界上的一個動點，則的最大值為______.變式10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，滿足，．若，且，則的最大值為______．變式11．已知平面向量，，滿足，，，且與的夾角為，則的最大值為______________．變式12．已知平面向量、、滿足，，，，則最大值為__________.變式13．在中，為邊上任意一點，為的中點，且滿足，則的最小值為________.題型四：幾何意義法例10．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，，是平面向量，滿足，，，則向量在向量上的投影的數(shù)量的最小值是______.例11．（2023·上海浦東新·上海市建平中學(xué)校考三模）已知非零平面向量，，滿足：，的夾角為，與的夾角為，，，則的取值范圍是__________.例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量夾角為，且平面向量滿足記為（）的最小值，則的最大值是__________．變式14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量，，滿足，，與的夾角為，則的最大值為___________．變式15．（2023·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考開學(xué)考試）已知非零平面向量，，滿足：，的夾角為，與的夾角為，，，則的取值范圍是______．變式16．已知非零平面向量，，滿足，且，若與的夾角為，且，則的最大值是______.變式17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）平面向量滿足：的夾角為，，則的最大值為_____.變式18．（2023·廣東陽江·高二統(tǒng)考期中）已知非零平面向量，，滿足，且，若與的夾角為，且，則的模取值范圍是___________.變式19．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）已知平面向量，，，若，且，則的取值范圍是______.變式20．（2023·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？计谀┮阎蛄?，滿足，且，若向量滿足，則的最大值為________.變式21．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知向量，，滿足，與的夾角為，則的最大值為______．變式22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量滿足：，向量與向量的夾角為，，向量與向量的夾角為，則的最大值為___________.題型五：坐標法例13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，滿足，，則的最大值為___________.例14．（2023·江蘇常州·高三統(tǒng)考期中）已知平面向量滿足，，，的夾角為，且，則的最大值是______.例15．設(shè)平面向量，，滿足，與的夾角為，則的最大值為______．變式23．（2023·安徽滁州·?？既＃┮阎矫嫦蛄浚?，滿足，，，與的夾角是，則的最大值為__________.變式24．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在邊長為2的正方形中．以為圓心，1為半徑的圓分別交，于點，．當(dāng)點在劣弧上運動時，的最小值為_________．變式25．（2023·山東·山東省實驗中學(xué)校考一模）若平面向量，，滿足，，，，則的最小值為______．變式26．（2023·四川眉山·仁壽一中?？家荒＃┤鐖D，在平面四邊形中，，，，若點為邊上的動點，則的最小值為______．變式27．（2023·安徽滁州·校考模擬預(yù)測）已知，，則的最小值是______.變式28．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知向量，滿足，且的最小值為1（為實數(shù)），記，，則最大值為______.變式29．在矩形中，，，，分別是，上的動點，且滿足，設(shè)，則的最小值為（

）A．48 B．49 C．50 D．51題型六：極化恒等式例16．（2023·山東師范大學(xué)附中模擬預(yù)測）邊長為的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓，是內(nèi)切圓的一條弦，點為正方形四條邊上的動點，當(dāng)弦的長度最大時，的取值范圍是_________．例17．（2023·湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測）如圖直角梯形ABCD中，EF是CD邊上長為6的可移動的線段，，，，則的取值范圍為________________．

例18．（2023·陜西榆林·三模）四邊形為菱形，，，是菱形所在平面的任意一點，則的最小值為________．變式30．（2023·福建莆田·模擬預(yù)測）已知P是邊長為4的正三角形所在平面內(nèi)一點，且，則的最小值為（

）A．16 B．12 C．5 D．4變式31．（2023·重慶八中模擬預(yù)測）中，，，，PQ為內(nèi)切圓的一條直徑，M為邊上的動點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．題型七：矩形大法例19．已知圓與，定點，A、B分別在圓和圓上，滿足，則線段AB的取值范圍是．例20．在平面內(nèi)，已知，，，若，則的取值范圍是（）A．B．C．D．例21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓，點，M、N為圓O上兩個不同的點，且若，則的最小值為______．變式32．設(shè)向量，，滿足，，，則的最小值是（

）A． B． C． D．1題型八：等和線例22．如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓，為圓上任一點，若，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．1例23．在中，M為BC邊上任意一點，N為線段AM上任意一點，若（，），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖,，點在由射線、線段及的延長線圍成的區(qū)域內(nèi)(不含邊界)運動,且.當(dāng)時，的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式33．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在扇形中，，為弧上的一動點，若，則的取值范圍是_________．變式34．（2023·江西上饒·統(tǒng)考三模）在扇形中，，為弧上的一個動點.若，則的取值范圍是________.變式35．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在扇形中，，，C為弧上的一個動點，若，則的取值范圍是______.變式36．（2023·福建三明·高二三明一中?？奸_學(xué)考試）如圖，在扇形中，，C為弧AB上的一個動點，若，則的取值范圍是________.變式37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，，點由射線、線段及的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界）.且，則實數(shù)對可以是（

）A． B． C． D．變式38．如圖，B是的中點，，P是平行四邊形內(nèi)（含邊界）的一點，且，則下列結(jié)論正確的個數(shù)為（

）①當(dāng)時，②當(dāng)P是線段的中點時，，③若為定值1，則在平面直角坐標系中，點P的軌跡是一條線段④的最大值為A．1 B．2 C．3 D．4變式39．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，，點在線段（含端點）上運動，點是以為圓心，1為半徑的圓及內(nèi)部一動點，若，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．變式40．在中，為上的中線，為的中點，，分別為線段，上的動點（不包括端點A，B，C），且M，N，G三點共線，若，，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．變式41．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，，M為線段EF的中點，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．變式42．在扇形中，，，為弧上的一個動點，且．則的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式43．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在扇形中，，為弧上且與不重合的一個動點，且，若（）存在最大值，則的取值范圍為（）

A． B． C． D．題型九：平行四邊形大法例25．如圖，圓是半徑為1的圓，，設(shè)，為圓上的任意2個點，則的取值范圍是___________.例26．如圖，C，D在半徑為1的上，線段是的直徑，則的取值范圍是_________.例27．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知為單位向量，平面向量，滿足，的取值范圍是____.變式44．（2023·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測）半徑為的兩圓和圓外切于點，點是圓上一點，點