傳染病的數(shù)學模型

傳染病的數(shù)學模型

目前，有四種方法可以研究傳染病。敘述性研究、分析性研究、預備研究和理論研究。在理論性研究中,數(shù)學模型起著極其重要的作用。它把傳染病的主要特征通過假設、參數(shù)、變量和它們之間的聯(lián)系清晰地揭示出來。數(shù)學模型的分析結果能提供許多強有力的理論基礎和概念。用數(shù)學模型幫助發(fā)現(xiàn)傳染病的傳播機理預測傳染病的流行趨勢已成為共識。通過建立適當?shù)臄?shù)學模型,對傳染病的發(fā)生時間,傳播方式進行預測,以便政府有關部門可以及時采取有效地措施,減小其危害。下面,就對現(xiàn)在幾種常用的傳染病的數(shù)學模型進行綜述。si模型基本參數(shù)微分方程模型是比較簡單和基本的封閉體系模型,此模型假設:該地區(qū)的總?cè)藬?shù)N恒定,無遷出、遷入和死亡等現(xiàn)象,并假設染病者一經(jīng)發(fā)病既不會痊愈,也不會死亡,保持染病狀態(tài),易感者轉(zhuǎn)入染病者的變化率與當時易感者人數(shù)及染病者人數(shù)之積成正比。下面就是微分方程的基本模型SI(susceptibleInfective)模型:dS(t)/dt=-βS(t)I(t)(1)S(t)+I(t)=N(2)從中推導,將(2)式I(t)=N-S(t)代入(1)式,再用可分離方程解法,其中令B=βN,A=I0/N(3)最終得到I(t)=I0eBt/[1-A(1-eBt)](4)其中S(t)為t時刻的易受傳染者的數(shù)目,I(t)為t時刻的傳染者數(shù)目,I0是開始時傳染者數(shù)目。β是感染速率常數(shù),A、B均為數(shù)學模型(4)的參數(shù)。對公式(4)求一階導數(shù),化簡后推導得:I′(t)=I0BeBt(1-A)/[1-A(10eBt)]2(5)公式(5)實際上是感染者累計的變化速度,反映了傳染病的平均的變化規(guī)律,一般稱為流行病曲線。對公式(5)在求一階導數(shù)得二階導數(shù)I″(t),并設二階導數(shù)I″(t)=0,求得累計數(shù)變化速度最大的時間T:T=(1/B)Ln[(1/A)-1](6)T常稱發(fā)病高峰時間。以上是SI模型的一些重要指標的推導,但SI模型也有它的局限性,當t→∞,即I(t)=n,這表明了最后所有的人都被傳染了,這顯然不符合常理。因為通常患病者痊愈后會有一定的免疫力,于是Kermack等在1927年提出了另一個基于SI模型基礎上的傳染病模型,簡稱SIR模型,他把整個人口分為3類,易受傳染者(Susceptiblehosts)、傳染者(Infectedhosts)、病愈后具有免疫力者(Recoveredandimmunehosts)。得出的排除人數(shù)變化率近似等于:dR/dt=Asech2(βt-Ψ),其中,A、β、Ψ都是正常數(shù),可以通過曲線擬合確定。雖然此模型較SI模型有了很大進步,但是以上兩種模型都沒有考慮傳染病的潛伏期,從患病到治愈的恢復期等。因此,后來又在kermack模型的3類人中增加一類人,即感染而未發(fā)病者(exposedhosts)。由這4類人的關系可以得到更復雜的傳染病微分方程模型:SEIR(假設病愈后獲得終生的免疫力)。然而,以上模型描述的都是傳染病的自然發(fā)展過程,沒有考慮人的因素,當人被發(fā)現(xiàn)患病后,會采取有效的措施進行控制,隔離或者治療,因此使用該模型時要注意應用條件的限制。角廣義管諧量余弦模型分析是研究周期現(xiàn)象的簡單模型,可用于分析角度、生物節(jié)律和時間成周期性的變量,因此,余弦模型常用來研究傳染病的季節(jié)變化規(guī)律。模型的余弦曲線用中值M,振幅A,峰值位相時Ψ和角頻率ω四個參數(shù)來表示。曲線以余弦函數(shù)表示為:Yi=M+Acos(ωti-Ψ)(6)ti為自變量,通常是有一定的周期T的時間,通過三角函數(shù)變換,可將(6)式演變?yōu)?Yi=M+Xcosωti+Ysinωti(2)式中X=AcosΨ,Y=AsinΨ,X,Y為參數(shù)。將(7)式的三角函數(shù)改用系數(shù)表示:Yi=M+CiX+SiY(8)式中,Ci=cosωti,Si=sinωti,(8)式中的參數(shù)是線性的,是線性回歸方程。在周期性回歸中,雖然常用簡單余弦模型,即(6)式,但要對數(shù)據(jù)更好地擬合,有時需要把兩個或多個余弦曲線疊加起來。其通式為:yi=M+A1cos(ωti-Ψ1)+A2cos(2ωti-Ψ2)+…+Akcos(kωtk-Ψk)(9)式(9)稱為三角多項式,A1cos(ωti-Ψ1),A2cos(2ωti-Ψ2),Akcos(kωtk-Ψk)等項稱為第1,2,…第k諧量。如果第1諧量沒有得到滿意的擬合效果,一般資料用到第2諧量即可得到較滿意的擬合效果,仿式(3),含第2諧量的余弦模型可寫成:yi=M+C1iX1+S1iY1+C2iX2+S2iY2(10)式中Xj=AjcosΨj,yj=AisinΨj,Cji=cosjωti,Sji=sinjωti,j=1,2式(9)用最小二乘法,可得方程組:???????????????????????nM+(∑C1i)X1+(∑S1i)Y1+(∑C2i)X2+(∑S2i)Y2=∑yi(∑C1i)M+(∑C1i2)X1+(∑C1iS1i)Y1+(∑C1iC2i)X2+(∑C1iS2i)Y2=∑C1iyi(∑S1i)M+(∑C1iS1i)X1+(∑S1i2)Y1+(∑C2iS1i)X2+(∑S1iS2i)Y2=∑S1iyi(∑C2i)M+(∑C1iC2i)X1+(∑C2iS2i)Y1+(∑C2iC2)X2+(∑C2iS2i)Y2=∑C2iyi(∑S2i)M+(∑C1S2i)X1+(∑S1iS2i)Y1+(∑C2iS2i)X2+(∑S2i2)Y2=∑S2iyi(11){nΜ+(∑C1i)X1+(∑S1i)Y1+(∑C2i)X2+(∑S2i)Y2=∑yi(∑C1i)Μ+(∑C1i2)X1+(∑C1iS1i)Y1+(∑C1iC2i)X2+(∑C1iS2i)Y2=∑C1iyi(∑S1i)Μ+(∑C1iS1i)X1+(∑S1i2)Y1+(∑C2iS1i)X2+(∑S1iS2i)Y2=∑S1iyi(∑C2i)Μ+(∑C1iC2i)X1+(∑C2iS2i)Y1+(∑C2iC2)X2+(∑C2iS2i)Y2=∑C2iyi(∑S2i)Μ+(∑C1S2i)X1+(∑S1iS2i)Y1+(∑C2iS2i)X2+(∑S2i2)Y2=∑S2iyi(11)根據(jù)A,Ψ和X,Y的關系可求得Aj,Ψj。決定系數(shù)R2=∑(Yi-Yji)2/∑(Yi-Y)2,它表示用余弦曲線擬合可以解釋發(fā)病率Yi變異的百分率。利用以上的余弦模型,可以預測流行病的周期性變化。楊倬等人用此種方法對深圳龍崗區(qū)甲乙類傳染病季節(jié)變化規(guī)律進行了探討,證實了該數(shù)學模型與實際資料符合度較高,效果良好。謝學勤等人將其用于北京市痢疾月平均發(fā)病率的對數(shù)擬合及發(fā)病季節(jié)特征進行分析,其對實際資料進行擬合,效果良好。模型預測模型的建立灰色系統(tǒng)理論(GreySystemTheory)是鄧聚龍教授于20世紀80年代創(chuàng)立的,該理論最早應用于農(nóng)業(yè)和工業(yè)問題,近年來,灰色理論開始應用于傳染病等的預測和預報?；疑到y(tǒng)理論認為:任何隨機過程都可以看作是在一定時空區(qū)域變化的灰色過程,隨機量可看作是灰色量,無規(guī)的離散時空數(shù)列是潛在的、有規(guī)序列的一種表現(xiàn),通過生成變換可將無規(guī)序列變成可以滿足灰色建模條件的有規(guī)序列。所以,灰色系統(tǒng)理論建模實際上是對生成數(shù)列的建模,而一般建模方法則是對原始數(shù)據(jù)建模?；疑A測是基于微分方程的預測,在實際預測中所采用的多為一階一元灰色模型預測方法,即GM(1,1)預測,它在灰色理論的基礎上,根據(jù)系統(tǒng)的已知信息,用灰色模塊理論將無規(guī)律的原始數(shù)據(jù)經(jīng)累加生成為有規(guī)律的生成數(shù)據(jù),進而建立一階線性微分動態(tài)時間序列模型,利用這一模型對灰色信息進行處理,按一定規(guī)律提高灰色模塊的白化度,從而達到揭示事物內(nèi)部的特征與規(guī)律的目的。以獨特的數(shù)字方法把難以描述的理論作為灰色理論來處理,弱化隨機因素的干擾,從雜亂無章的現(xiàn)象中揭示事物的發(fā)展規(guī)律。GM(1,1)模型已在各個領域被普遍采用,它的微分方程為:dX(1)/dt+aX(1)=μ在該模型中,多數(shù)μ稱灰色作用量,其大小反映因子作用的強弱,即數(shù)據(jù)變化的關系:參數(shù)a稱發(fā)展系數(shù),可反映疾病發(fā)展態(tài)勢,若為負,發(fā)展態(tài)勢是增長,若為正,發(fā)展態(tài)勢是衰減,它的絕對值越大,則增長(或減少)越快。預測模型的方程為:X(1)=[X(0)(1)-(μ/a)]e-ak+(μ/a),k=0,1,2…(12)①當a<0.3時,GM(1,1)模型可用于中長期預測。②當0.3<-a<0.5時,GM(1,1)模型可用于短期預測,中長期預測慎用。③當0.5<-a<1時,應采用GM(1,1)改進模型,包括GM(1,1)殘差修正模型。④當-a>1時,不宜采用GM(1,1)模型,可考慮其他預測方法。與傳統(tǒng)的統(tǒng)計模型相比,該模型在疾病預測方面具有明顯優(yōu)點:(1)少數(shù)據(jù)性,少到只需4個數(shù)據(jù)就可以建立模型進行預測,并且可允許使用被噪聲污染了的數(shù)據(jù),它通過就數(shù)找數(shù),注意用現(xiàn)有數(shù)據(jù)來挖掘隱含信息。(2)良好的時效性,它將系統(tǒng)看成一個隨時間變化而變化的函數(shù),因而可揭示系統(tǒng)隨時間發(fā)展變化的規(guī)律,并且在模型中可不斷地引入最新信息,剔除最老信息。(3)較強的系統(tǒng)和關聯(lián)性,它將研究對象作為一個發(fā)展變化的系統(tǒng),可對事物發(fā)展態(tài)勢進行量化比較分析,其動態(tài)過程能反映系統(tǒng)已知信息和未知信息互相影響,互相制約的系統(tǒng)特征,并能揭示系統(tǒng)內(nèi)涵的本質(zhì)聯(lián)系。(4)建模精度較高,可保持原系統(tǒng)的特征,能較好地反映系統(tǒng)的實際情況,根據(jù)不同的預測等級和容許誤差值,選用不同的模型,既可做長期趨勢預報分析,也可做中,短期預測。但是其缺點是當數(shù)據(jù)序列的波動幅度較大時,GM(1,1)模型的精度很難提高,只能用于數(shù)據(jù)離散較小且發(fā)展趨勢呈單調(diào)序列的情況,無法分析系統(tǒng)的波動規(guī)律,但是,經(jīng)殘差修正后,得到的殘差GM(1,1)模型的精度會有所提高。Markov模型Markov模型是近年來應用較多的利用概率建立一種隨機時序模型來進行預測的數(shù)學模型,其是以俄國數(shù)學家A.A.Markov來命名的。從20世紀80年代起逐漸用來模擬慢性疾病的發(fā)展過程。Markov模型是一種非參數(shù)的離散型時間序列分析方法,是通過對隨機過程在不同時刻所處狀態(tài)之間的變化規(guī)律,預測這一過程在下一時刻和下幾個時間所處狀態(tài)的方法。Markov模型無后效性,就是在已知現(xiàn)在狀態(tài)的條件下,其將來的狀態(tài)只與現(xiàn)在有關,而不依賴過去。它根據(jù)疾病的不同階段和各種狀態(tài)間的轉(zhuǎn)換概率來模擬疾病進行和結局,相比其他模型能較好地反映疾病的過程,被認為特別適用于慢性疾病研究。其模型為:s(k)=s(k-1)·P=s(0)·pk。(13)主要的計算步驟是:收集疫情資料,劃分狀態(tài)(一般可分為3～6個),統(tǒng)計各個狀態(tài)的頻數(shù),在除以總頻數(shù),從而計算出各狀態(tài)的初始概率,計算一階概率隨機矩陣,根據(jù)要預測的次數(shù),計算2階至預測次數(shù)為階數(shù)的概率隨機矩陣。然后,利用以上各階概率隨機矩陣,分別進行預測。正是由于Markov模型預測結果取決于一階轉(zhuǎn)移概率矩陣,而這個矩陣是不會一成不變的,故其近期預測結果較好。用Markov模型特別適用于有波動性改變的疾病資料,關鍵是要有足夠長的時間序列資料,才能保證處理結果的可靠性,取不同階段的發(fā)病的歷史資料建立模型進行預測,對預測值與實際值進行擬合,發(fā)現(xiàn)其在短期預測中的準確度很高,而對長期預測效果欠佳,故在進行預測時,要隨時根據(jù)新的資料對轉(zhuǎn)移概率陣不斷進行調(diào)整,確保預測結果的合理可靠。Markov鏈預測是區(qū)間預測,雖然降低了預測的精度,但卻提高預測的準確度。在含有未知因素和隨機性的情況下很少有點預測值同將來的實際值完全一致的情況。因此預測發(fā)病率實際值實現(xiàn)的范圍,對預防傳染病具有現(xiàn)實意義。近年來國外醫(yī)學還引進狀態(tài)空間模型State-SpaceModel),即描述符合Markov特性的動態(tài)完整的模型。Ghahra-man等人曾詳細介紹過該模型的原理,方法與意義;Penny等人在此基礎上介入Kalman濾波技術。王倩等人通過以人群中篩查幽門螺旋桿菌感染,以預測胃癌的方案進行衛(wèi)生經(jīng)濟學評價為例,研究Markov模型在衛(wèi)生經(jīng)濟評價的應用,其結論認為能夠較好地應用于臨床決策分析中。丁元林等人通過多應用多狀態(tài)Markov模型研究2型糖尿病不同發(fā)展階段的影響因素,取得了滿意的效果,其結論是多狀態(tài)Markov模型是探討慢性病不同發(fā)展階段影響因素的一種有效工具,在慢性病流行病學研究中具有廣闊的應用前景。多層前饋網(wǎng)絡神經(jīng)網(wǎng)絡1943年,美國心理學家WarrenMcCulloch和數(shù)學家WalterPitts合作提出了形式神經(jīng)元的數(shù)學模型M-P模型,近年來人工神經(jīng)網(wǎng)絡(ANN)在傳染病分析與預測中的應用越來越廣泛,成為傳染病研究的熱點模型之一心。按模型性質(zhì)神經(jīng)網(wǎng)絡可分為數(shù)學模型和認知模型:數(shù)學模型是對系統(tǒng)特征的數(shù)學抽象描述;認知模型是根據(jù)神經(jīng)系統(tǒng)信息處理過程建立的,可以模擬感知,思維,問題求解等過程。目前已出現(xiàn)數(shù)十種神經(jīng)網(wǎng)絡模型中最為典型的數(shù)學模型有前饋神經(jīng)網(wǎng)絡,反饋神經(jīng)網(wǎng)絡以及隨機神經(jīng)網(wǎng)絡等。主要的認知模型有Kohonen自組織模型,自適應諧振理論(ART),遺傳神經(jīng)網(wǎng)絡,模糊神經(jīng)網(wǎng)絡等。人工神經(jīng)網(wǎng)絡的最大優(yōu)點在于能夠調(diào)整自身結構去適應樣本特性,完全克服了傳統(tǒng)參數(shù)模型讓樣本來適應自身的固有缺陷,可以不受任何限制自動學習識別變量間的關系。該特性適合于探索性研究,其基本思路是從理論上提出病因假設,然后用神經(jīng)網(wǎng)絡進行模擬,如果神經(jīng)網(wǎng)絡可以很好地模擬出這種關系,即可支持病因假設,反之則推翻。人工神經(jīng)網(wǎng)絡不需要精確的數(shù)學模型,沒有任何對變量的假設要求,能通過模擬人的智能行為處理一些復雜的,不確定的,非線性的問題,具有很強的容錯性和聯(lián)想記憶功能。由于它是大量神經(jīng)元的集體行為,因而表現(xiàn)出一般復雜非線性動態(tài)系統(tǒng)的特性,可以處理環(huán)境信息十分復雜,知識背景不清楚,推理規(guī)則不明確的問題。它為處理模糊的,數(shù)據(jù)不完全的,模擬的,不精確的模式識別提供了一個全新的途徑。多層前饋網(wǎng)絡,即誤差反向傳播網(wǎng)絡BP網(wǎng)絡(BackpropagationNeuralNetwork)神經(jīng)網(wǎng)絡模型,是人工神經(jīng)網(wǎng)絡中應用最廣泛的一種,尤其在流行病學領域應用更為廣泛。其是一種非線性映射人工神經(jīng)網(wǎng)絡,它是以一種有教師示教的方式進行學習,由于BP網(wǎng)及誤差逆?zhèn)鞑ニ惴ň哂兄虚g隱含層并有相應的學習規(guī)則可尋,使得它具有對非線性模式的識別能力,是非線性可微分函數(shù)進行權值訓練的多層前饋網(wǎng)絡。特別是其數(shù)學意義明確,步驟分明的學習算法,更使其有廣泛的應有前景。John等通過神經(jīng)網(wǎng)絡方法驗證了艾滋病進展的過程依賴于HLA-I和HLA-II等位基因與TAP變易體的相互作用的假說,神經(jīng)網(wǎng)絡方法為病因分析提供了新的工具。貝葉斯法的假設貝葉斯統(tǒng)計是當今兩大主要統(tǒng)計學派之一,它與經(jīng)典統(tǒng)計學派(又稱頻率學派)在統(tǒng)計推斷理論和方法上存在重大差異。托馬斯·貝葉斯(ReverendThomasBayes,1702～1761)的論文“機遇理論中一個問題的解”被公認為貝葉斯統(tǒng)計的奠基之作。貝葉斯統(tǒng)計是綜合未知參數(shù)的先驗信息與樣本信息,依據(jù)貝葉斯定理,求出后驗分布,根據(jù)后驗分布推斷未知參數(shù)的統(tǒng)計方法。它與經(jīng)典統(tǒng)計的主要區(qū)別有:在統(tǒng)計推斷中包括先驗信息,未知參數(shù)可以看作是隨機變量,事件的概率一定要有頻率解釋和概率可用經(jīng)驗來確定。統(tǒng)計推斷所使用的信息可以歸納為三種:總體信息、樣本信息和先驗信息。貝葉斯學派很重視先驗信息的收集、挖掘和加工,使它數(shù)量化,形成先驗分布,參加到統(tǒng)計推斷中來,以提高統(tǒng)計推斷的質(zhì)量。忽視先驗信息的利用,有時是一種浪費,有時會導致不合理的結論。同時,若誤用先驗信息,或統(tǒng)計結論過多的依賴于先驗,也會造成不良后果。貝葉斯方法的優(yōu)點在于可以將多種來源的信息、參數(shù)的不確定性整合于一個模型中,充分利用先驗信息并可以不斷用抽樣研究的信息對其進行更新從而積累證據(jù)指導實踐。貝葉斯法比普通法計算的結果更加穩(wěn)定,特別是人口規(guī)模小時,利用貝葉斯方法,可以減少人口規(guī)模小的地區(qū)的推測值的離散程度,使指標更加穩(wěn)定,可以有效地減少隨機變異對結果的影響,為制定決策提供更為可靠的數(shù)據(jù)支持。但是本方法也有一些缺陷:第一,發(fā)病數(shù)為零。有時會出現(xiàn)某地區(qū)發(fā)病數(shù)為零的情況,這時也可以用貝葉斯方法推測出該地區(qū)的標準化發(fā)病率。如果推測所用的省級發(fā)病數(shù)為零,則無法用貝葉斯方法進行推測。第二,關于貝葉斯推測的假設:貝葉斯推測時有一些基本假設,其中對結果影響較大的假設為:各省省內(nèi)發(fā)病為同質(zhì)的。如果有的地區(qū)發(fā)病與期望值差別很大,則應該對該地區(qū)進行單獨分析。第三,關于柏松分布的假設:有些疾病可能并不符合柏松分布。Geurden等應用Bayes方法對3個診斷試驗下的十二指腸賈第蟲感染率進行了估計,Dorny等在考慮專家意見的基礎上,獲得了4個診斷試驗下的豬囊蟲病患病率的較好估計,Erkanli等將Bayes估計用于兩階段篩查試驗的縱向資料,Tu等提出了一種帶協(xié)變量的Bayes率估計方法并用于HIV篩查,他們將這種方法與傳統(tǒng)的最大似然估計進行了比較,認為該方法不僅納入了篩查方法靈敏度和特異的有關信息,而且考慮到這些信息的不正確定性,不失為一種正確估計率的重要方法。通徑分析中的作用機制通徑分析(pathanalysis)是數(shù)量遺傳學家SewallWright于1921年提出來,經(jīng)遺傳育種學者不斷改進和完善形成的一種多元統(tǒng)計技術,已在眾多領域廣泛應用。通徑分析是回歸分析的補充和發(fā)展,通徑分析方法的核心思想是,將復雜系統(tǒng)內(nèi)某一自變量對因變量的總影響有效分解為直接影響和間接影響。通徑分析是標準的線性回歸分析,一個性狀(自變量)除了可通過直接作用引起目標性狀(依變量)變化外,還可通過其相關性狀間接引起目標性狀的變化,要弄清這些性狀的直接效應和間接效應,就是通徑分析。通徑分析把相關系數(shù)分解為直接作用和間接作用,匯集相關,回歸分析的許多結果,可以更清楚、直觀地反映各自變量對因變量的影響,以及自變量之間的相互關系,揭示多元線性回歸難以表達的變量間的復雜關系。通過計算通徑系數(shù)和剩余通徑系數(shù)可指出各影響因素以及研究中未被觀察和考慮到的因素及其作用的大小。通徑分析是建立在相關分析的基礎上,可定量地分析