高三一輪復(fù)習(xí)-13函數(shù)模型及其應(yīng)用

第二章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第十節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用高考成功方案第一步高考成功方案第二步高考成功方案第三步高考成功方案第四步考綱點(diǎn)擊1．了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長(zhǎng)特征，知道直線上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義．2．了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用．1．據(jù)調(diào)查，蘋果園地鐵的自行車存車處在某星期日的存車量為4000輛次，其中變速車存車費(fèi)是每輛一次0.3元，普通車存車費(fèi)是每輛一次0.2元，若普通車存車數(shù)為x輛次，存車費(fèi)總收入為y元，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系是(

)A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4000)B．y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000)C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4000)D．y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)解析：y＝0.2x＋(4000－x)×0.3＝－0.1x＋1200.答案：D答案：

D2．某種商品進(jìn)價(jià)為每件100元，按進(jìn)價(jià)增加25%出售，后因庫(kù)存積壓降價(jià)，按九折出售，每件還獲利(

)A．25元 B．20.5元C．15元

D．12.5元解析：九折出售時(shí)價(jià)格為100×(1＋25%)×90%＝112.5元，此時(shí)每件還獲利112.5－100＝12.5元．解析：通過(guò)檢驗(yàn)可知，y＝log2x較為接近．答案：B4.一高為H，滿缸水量為V的魚缸截面如圖所示，

其底部破了一個(gè)小洞，滿缸水從洞中流出．

若魚缸水深為h時(shí)的水的體積為v，則函數(shù)

v＝f(h)的大致圖象可能是圖中的________．答案：②5．某商場(chǎng)宣傳在節(jié)假日對(duì)顧客購(gòu)物實(shí)行一定的優(yōu)惠，商場(chǎng)規(guī)定：①如一次購(gòu)物不超過(guò)200元，不予以折扣；②如一次購(gòu)物超過(guò)200元，但不超過(guò)500元，按標(biāo)價(jià)予以九折優(yōu)惠；③如一次購(gòu)物超過(guò)500元的，其中500元給予九折優(yōu)惠，超過(guò)500元的給予八五折優(yōu)惠；某人兩次去購(gòu)物，分別付款176元和432元，如果他只去一次購(gòu)買同樣的商品，則應(yīng)付款________元．答案：582.61．幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a、b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a＞0且a≠1，x>0)冪函數(shù)模型f(x)＝axα＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)2．三種增長(zhǎng)型函數(shù)模型的性質(zhì)

函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xα(α>0)在(0，＋∞)上的單調(diào)性增長(zhǎng)速度相對(duì)平穩(wěn)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)越來(lái)越快越來(lái)越慢[做一題][例1]

電信局為了配合客戶不同需要，設(shè)有A，B兩種優(yōu)惠方案．這兩種方案應(yīng)付話費(fèi)y(元)與通話時(shí)間x(分鐘)之間的關(guān)系如圖所示，其中MN∥CD.(1)若通話時(shí)間為2小時(shí)，按方案A，B各付話費(fèi)多少元？(2)方案B從500分鐘以后，每分鐘收費(fèi)多少元？(3)通話時(shí)間在什么范圍內(nèi)，方案B比方案A優(yōu)惠？[悟一法]1.在現(xiàn)實(shí)生活中，很多問(wèn)題的兩變量之間的關(guān)系是一次函數(shù)模型，其增長(zhǎng)特點(diǎn)是直線上升(自變量的系數(shù)大于0)或直

線下降(自變量的系數(shù)小于0)．2.在現(xiàn)實(shí)生活中，很多問(wèn)題的兩變量之間的關(guān)系，不能用同一個(gè)關(guān)系式給出，而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成分段函數(shù)．如出租車票價(jià)與路程之間的關(guān)系，就是分段函數(shù)．[通一類]1．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，某商品在最近40天內(nèi)的價(jià)格P與時(shí)間t

的關(guān)系用圖(1)中的一條折線表示，銷售量Q與時(shí)間t

的關(guān)系用圖(2)中的線段表示(t∈N*)．(1)分別寫出圖(1)表示的價(jià)格與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系P＝f(t)，圖(2)表示的銷售量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系Q＝g(t)；(2)求這種商品的銷售額S(銷售量與價(jià)格之積)的最大值及此時(shí)的時(shí)間．[做一題][例2]

某特許專營(yíng)店銷售西安世界園藝博覽會(huì)紀(jì)念章，每枚進(jìn)價(jià)為5元，同時(shí)每銷售一枚這種紀(jì)念章還需向世博會(huì)管理處交特許經(jīng)營(yíng)管理費(fèi)2元，預(yù)計(jì)這種紀(jì)念章以每枚20元的價(jià)格銷售時(shí)該店一年可銷售2000枚，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)每枚紀(jì)念章的銷售價(jià)格在每枚20元的基礎(chǔ)上每減少一元?jiǎng)t增加銷售400枚，而每增加一元?jiǎng)t減少銷售100枚，現(xiàn)設(shè)每枚紀(jì)念章的銷售價(jià)格為x(元)．(1)寫出該特許專營(yíng)店一年內(nèi)銷售這種紀(jì)念章所獲得的利潤(rùn)y(元)與每枚紀(jì)念章的銷售價(jià)格x的函數(shù)關(guān)系式(并寫出這個(gè)函數(shù)的定義域)；(2)當(dāng)每枚紀(jì)念章銷售價(jià)格x為多少元時(shí)，該特許專營(yíng)店一年內(nèi)利潤(rùn)y(元)最大，并求出這個(gè)最大值．[悟一法]二次函數(shù)的應(yīng)用主要有以下方面(1)利用二次函數(shù)關(guān)系式或圖象求最值．(2)利用二次函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)取值或范圍．(3)二次函數(shù)如果是分段表示，則應(yīng)注意分段區(qū)間端點(diǎn)值的應(yīng)用．(4)利用二次函數(shù)對(duì)應(yīng)方程根的分布求參數(shù)范圍．[做一題][例3]

某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬(wàn)人，如果年自然增長(zhǎng)率為1.2%，試解答以下問(wèn)題：(1)寫出該城市人口總數(shù)y(萬(wàn)人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式；(2)計(jì)算10年以后該城市人口總數(shù)(精確到0.1萬(wàn)人)；(3)計(jì)算大約多少年以后，該城市人口將達(dá)到120萬(wàn)人(精確到1年)．(參考數(shù)據(jù)：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg1.2≈0.079，lg2≈0.301，lg1.012≈0.005，lg1.009≈0.0039)[自主解答]

(1)1年后該城市人口總數(shù)為y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)．2年后該城市人口總數(shù)為y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2.3年后該城市人口總數(shù)為y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3.x年后該城市人口總數(shù)為：y＝100×(1＋1.2%)x.[悟一法]1．指數(shù)函數(shù)模型，常與增長(zhǎng)率相結(jié)合進(jìn)行考查，在實(shí)際問(wèn)題中有人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)問(wèn)題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來(lái)表示；2．應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型時(shí)，關(guān)鍵是對(duì)模型的判斷，先設(shè)定模型將有關(guān)已知數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證，確定參數(shù)，從而確定函數(shù)模型．3．y＝a(1＋x)n通常利用指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．[通一類]3．一個(gè)人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時(shí)25%的速度減少，為了保障交通安全，某地根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定：駕駛員血液中的酒精含量不得超過(guò)0.09mg/mL，那么，一個(gè)喝了少量酒后的駕駛員，至少經(jīng)過(guò)多少小時(shí)才能開車？(精確到1小時(shí))解析：設(shè)至少經(jīng)過(guò)x小時(shí)才能開車，由題意得0.3(1－25%)x≤0.09.∴0.75x≤0.3∴x≥log0.750.3≈5.即一個(gè)喝了少量酒后的駕駛員，至少經(jīng)過(guò)5小時(shí)才能開車．[熱點(diǎn)分析]高考中對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的考查，更多地以社會(huì)生活實(shí)際和生產(chǎn)實(shí)際為背景來(lái)命制題目，其創(chuàng)意新穎而不失公平性，設(shè)問(wèn)角度獨(dú)特，常利用函數(shù)、方程、不等式等有關(guān)知識(shí)為解題工具，解題方法靈活。能很好的考查學(xué)生的閱讀理解能力和分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，仍是今后高考的一個(gè)重要考向．[考題印證](2011·湖北高考)(12分)提高過(guò)江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)，當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí)，研究表明：當(dāng)20≤x≤200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．(1)當(dāng)0≤x≤200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某測(cè)觀點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí))f(x)＝x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值．(精確到1輛/小時(shí))[考題巧解]——————(一樣的結(jié)果，更簡(jiǎn)潔的過(guò)程)[巧思]

(1)利用待定系數(shù)法求解，同時(shí)注意函數(shù)v(x)是分段函數(shù)；(2)在求解當(dāng)20≤x≤200時(shí)，f(x)的最大值時(shí)，可巧妙使用均值等式，從而起到減少運(yùn)算時(shí)間的功效．1．將進(jìn)貨單價(jià)為80元的商品按90元一個(gè)售出時(shí)，能賣出400個(gè)，已知這種商品每漲價(jià)1元，其銷售量就要減少20個(gè)，為了獲得最大利潤(rùn)，每個(gè)售價(jià)應(yīng)定為(

)A．95元B．100元C．105元

D．110元答案：

A答案：

A3．國(guó)家規(guī)定某行業(yè)收入稅如下：年收入在280萬(wàn)元及其以下的稅率為p%，超過(guò)280萬(wàn)元的部分按(p＋2)%征稅，有一公司的實(shí)際繳稅比例為(p＋0.25)%，則該公司的年收入是 (

)A．560萬(wàn)元

B．420萬(wàn)元C．350萬(wàn)元

D．320萬(wàn)元答案：

D已知加密為y＝ax－2(x為明文、y為密文)，如果明文“3”通過(guò)加密后得到密文為“6”，再發(fā)送，接收方通過(guò)解密得到明文“3”，若接收方接到密文為“14”，則原發(fā)的明文是________．解析：依題意y＝ax－2中，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝6，故6＝a3－2.解得a＝2.所以加密為y＝2x－2.因此，當(dāng)y＝14時(shí)，由14＝2x－2，解得x＝4.答案：45．某公司欲投資13億元進(jìn)行項(xiàng)目開發(fā)，現(xiàn)有以下6個(gè)項(xiàng)目可供選擇.設(shè)計(jì)一個(gè)投資方案，使投資13億元所獲利潤(rùn)大于1.6億元，則應(yīng)選的項(xiàng)目是________(只需寫出項(xiàng)目的代