數(shù)列高考大題的類型與解法-高考二輪復(fù)習(xí)專題講義

數(shù)列高考大題的類型與解法數(shù)列問題也是近幾年高考的熱點(diǎn)問題之一，可以這樣毫不夸張地說，只要是數(shù)學(xué)高考試卷，都必有一個(gè)數(shù)列問題的12分大題或兩到三個(gè)數(shù)列問題的5分小題。從題型上看是17或18題的12分大題或選擇題（也可能是填空題）的5分小題；難度為中，低檔題型，一般的考生都會(huì)拿到7到12分；縱觀近幾年高考試卷，歸結(jié)起來數(shù)列大題問題主要包括：①等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的綜合，求基本數(shù)列（等差數(shù)列或等比數(shù)列）的前n項(xiàng)和；②等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的綜合，運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和；③等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的綜合，運(yùn)用拆項(xiàng)求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和；④等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的綜合，運(yùn)用錯(cuò)項(xiàng)相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和；⑤等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的綜合，求數(shù)列前n項(xiàng)和的最值等幾種類型。各種類型問題結(jié)構(gòu)上具有一定的特征，解答方法也有一定的規(guī)律可尋。那么在實(shí)際解答數(shù)列大題問題時(shí)，到底應(yīng)該如何抓住問題的結(jié)構(gòu)特征，快捷，準(zhǔn)確地解答問題呢？下面通過典型例題的詳細(xì)解析來回答這個(gè)問題?！镜淅?】解答下列問題：記為等差數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，已知=11，=40。求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；求數(shù)列｛||｝的前n項(xiàng)和（2023全國高考乙卷文）設(shè)等差數(shù)列｛｝的公差為d，且d>1，令=，記，分別為數(shù)列｛｝，｛｝的前n項(xiàng)和。若3=3+，+=21，求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；若｛｝為等差數(shù)列，且-=99，求d（2023全國高考新高考I）3、數(shù)列｛｝為等差數(shù)列，=-6，n為奇數(shù)，記，分別為｛｝，｛｝的2，n為偶數(shù)，前n項(xiàng)和，=32，=16。求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；證明：當(dāng)n>5時(shí)，>（2023全國高考新高考II）4、（理）已知數(shù)列｛｝滿足：=-2，=2+4.（1）證明數(shù)列｛+4｝是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和。（文）在等比數(shù)列｛｝中，已知=8，且，+1，成等差數(shù)列。（1）求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列｛|-4|｝的前n項(xiàng)和（2017成都市一珍）5、已知數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和=(n)。（1）求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)=+，求數(shù)列｛｝的前2n項(xiàng)和?！妓伎紗栴}1〗（1）【典例1】是等差數(shù)列，等比數(shù)列之間的綜合與一般數(shù)列求和的問題，解答這類問題需要理解等差數(shù)列，等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式等基本概念，掌握等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能熟練運(yùn)用公式解答相關(guān)問題，注意一般數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，選用恰當(dāng)?shù)那蠛头椒ㄇ蟪鼋Y(jié)果；（2）第一小題一般是求通項(xiàng)公式的問題，解答時(shí)只需根據(jù)題給條件求出數(shù)列的首項(xiàng)和公差d（或公比q），再運(yùn)用通項(xiàng)公式就可以得出結(jié)果；第二小題是一般數(shù)列求和的問題，解答時(shí)注意數(shù)列通項(xiàng)是幾項(xiàng)的和，各項(xiàng)分別組合構(gòu)成一個(gè)基本數(shù)列（等差數(shù)列或等比數(shù)列）的特征，然后利用拆項(xiàng)求和法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和?！镜淅?】解答下列問題：1、已知數(shù)列{}中，=1，設(shè)為{}的前n項(xiàng)和，2=n。（1）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和。（2023全國高考甲卷理）2、已知等比數(shù)列{}的公比為3，且，+3，-6成等差數(shù)列。（1）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{n}的前n項(xiàng)和（成都市高2020級(jí)高三二診）3、(理）設(shè)數(shù)列｛｝滿足=3，=3-4n。（1）計(jì)算，，猜想數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）求數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和（文）設(shè)等比數(shù)列｛｝滿足+=4，-=8。（1）求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（2）記為數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，若+=，求m（2020全國高考新課標(biāo)III）。4、已知等比數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為，公比q＞1，且+1為，的等差中項(xiàng)，=14。（1）求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；(2)記=.，求數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和（2019成都市高三二診）〖思考問題2〗（1）【典例2】是等差數(shù)列，等比數(shù)列之間的綜合與一般數(shù)列求和的問題，解答這類問題需要理解等差數(shù)列，等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式等基本概念，掌握等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能熟練運(yùn)用公式解答相關(guān)問題，注意一般數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，選用恰當(dāng)?shù)那蠛头椒ㄇ蟪鼋Y(jié)果；（2）第一小題一般是求通項(xiàng)公式的問題，解答時(shí)只需根據(jù)題給條件求出數(shù)列的首項(xiàng)和公差d（或公比q），再運(yùn)用通項(xiàng)公式就可以得出結(jié)果；第二小題是一般數(shù)列求和的問題，解答時(shí)注意數(shù)列通項(xiàng)是兩個(gè)因式的積，其中一個(gè)因式分裂出來構(gòu)成等差數(shù)列，另一個(gè)因式分裂出來構(gòu)成等比數(shù)列的特征，然后利用錯(cuò)項(xiàng)相減法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和?！镜淅?】解答下列問題：1、已知數(shù)列｛｝為等差數(shù)列，數(shù)列｛｝是公比為2的等比數(shù)列，且-=-=-。（1）證明：=；（2）求集合{k|=+，1m500}中元素個(gè)數(shù)（2022全國高考新高考II卷）2、已知等差數(shù)列{}滿足2+=0，=2-2。（1）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)=，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和（成都市2019級(jí)高三一診）+1，n為奇數(shù)，3、已知數(shù)列｛｝滿足：=1，=+2，n為偶數(shù)。（1）記=，寫出，，并求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）求｛｝的前20項(xiàng)和（2021全國高考新高考I）。4、（理）已知數(shù)列{}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為{}的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立。①數(shù)列{}是等差數(shù)列；②數(shù)列{}是等差數(shù)列；③=3。注：若選擇不同組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分。（文）記為{}的前n項(xiàng)和，已知>0，=3，且數(shù)列{}是等差數(shù)列，證明：數(shù)列{}是等差數(shù)列（2021全國高考甲卷）。5、（理）記為{}的前n項(xiàng)和，為數(shù)列{}的前n項(xiàng)積，已知+=2。（1）證明：數(shù)列{}是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式。（文）設(shè){}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列{}滿足：=，已知，3，9成等差數(shù)列。（1）求數(shù)列{}，{}的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為{}，{}的前n項(xiàng)和，證明：<（2021全國高考乙卷）。6、記是公差不為0的等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，若=，.=。（1）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）求使>成立的n的最小值（2021全國高考新高考II卷）。7、已知數(shù)列｛｝中，=1，=3，+3=4，=-，n。（1）求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（2）記=（+），數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為，求（2021成都市高三三診）。8、設(shè)｛｝是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)。（1）求｛｝的公比；（2）若=1，求數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和（2020全國高考新課標(biāo)I理）。9、已知公比大于1的等比數(shù)列｛｝滿足+=20，=8。（1）求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（2）記為｛｝在區(qū)間（0，m]（m∈）中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列{}的前100項(xiàng)和（2020全國高考新高考I）10、已知公比大于1的等比數(shù)列｛｝滿足+=20，=8。（1）求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（2）求-+------+（2020全國高考新高考II）11、（文）記為等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，已知=-。（1）若=4，求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）若＞0，求使得的n的取值范圍（2019全國高考新課標(biāo)I）12、（理）已知數(shù)列{}和{}滿足=1，=0，4=3-+4，4=3--4。（1）證明：{+}是等比數(shù)列，{-}是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列{}和{}的通項(xiàng)公式。（文）已知{}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，=2，=2+16。（1）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)=，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和（2019全國高考新課標(biāo)II）〖思考問題3〗（1）【典例3】是等差數(shù)列，等比數(shù)列之間的綜合問題，解答這類問題需要理解等差數(shù)列，等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式等基本概念，掌握等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能熟練運(yùn)用公式解答相關(guān)問題；（2）第一小題一般是求通項(xiàng)公式的問題，解答時(shí)只需根據(jù)題給條件求出數(shù)列的首項(xiàng)和公差d（或公比q），再運(yùn)用通項(xiàng)公式就可以得出結(jié)果；第二小題一般是求數(shù)列的前n項(xiàng)和，解答時(shí)應(yīng)該分辨清楚數(shù)列是等差數(shù)列，還是等比數(shù)列，然后直接選用相應(yīng)的前n項(xiàng)和公式通過運(yùn)算求出結(jié)果。【典例4】解答下列問題：1、記為數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，已知=1，{}是公差為的等差數(shù)列。（1）求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（2）證明：++------+<2（2022全國高考新高考I卷）2、（理）為數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，已知>0，+2=4+3。（1）求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)=，求數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和。（文）已知等差數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和滿足：=0，=-5。（1）數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和（2021全國高考乙卷）。3、已知｛｝是遞增的等比列數(shù)，=1，且2，，成等差數(shù)列。（1）求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)=（n∈），求數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和（2020成都市高三二珍）4、已知等差數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為，且=2，=66.（1）求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（2）（理）若數(shù)列｛｝滿足=，求證：++------+＜1。（文）若數(shù)列｛｝滿足=，求數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和（2017成都市高三零珍）〖思考問題4〗（1）【典例4】是等差數(shù)列，等比數(shù)列之間的綜合與一般數(shù)列求和的問題，解答這類問題需要理解等差數(shù)列，等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式等基本概念，掌握等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能熟練運(yùn)用公式解答相關(guān)問題，注意一般數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，選用恰當(dāng)?shù)那蠛头椒ㄇ蟪鼋Y(jié)果；（2）第一小題一般是求通項(xiàng)公式的問題，解答時(shí)只需根據(jù)題給條件求出數(shù)列的首項(xiàng)和公差d（或公比q），再運(yùn)用通項(xiàng)公式就可以得出結(jié)果；第二小題是一般數(shù)列求和的問題，解答時(shí)注意數(shù)列通項(xiàng)是一個(gè)分式，分式的分子為常數(shù)，分母是幾個(gè)連續(xù)整數(shù)的積這一結(jié)果特征，然后利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和?！镜淅?】解答下列問題：1、記為數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，已知+n=2+1。（1）證明：數(shù)列{}是等差數(shù)列；（2）若，，成等比數(shù)列，求的最小值（2022全國高考甲卷）2、設(shè)為等差數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，已知=-7，=-15。（1）求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（2）求，并求的最小值（2018全國高考新課標(biāo)II卷（理））3、設(shè){}是等差數(shù)列，=-10，+10，+8，+6成等比數(shù)列。（1）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）記{}的前n項(xiàng)和為，求的最小值（2019全國高考北京（文））〖思考問題5〗（1）【典例5】是等差數(shù)列，等比數(shù)列之間的綜合與求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題，解答這類問題需要理解等差數(shù)列，等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式等基本概念，掌握等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能熟練運(yùn)用公式解答相關(guān)問題，注意等差數(shù)列前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，運(yùn)用求函數(shù)最值的基本方法就可求出結(jié)果；（2）第一小題一般是求通項(xiàng)公式的問題，解答時(shí)只需根據(jù)題給條件求出數(shù)列的首項(xiàng)和公差d（或公比q），再運(yùn)用通項(xiàng)公式就可以得出結(jié)果；第二小題是求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題，解答時(shí)注意等差數(shù)列前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，利用求函數(shù)最值的基本方法就可求出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值。數(shù)列高考大題的類型與解法數(shù)列問題也是近幾年高考的熱點(diǎn)問題之一，可以這樣毫不夸張地說，只要是數(shù)學(xué)高考試卷，都必有一個(gè)數(shù)列問題的12分大題或兩到三個(gè)數(shù)列問題的5分小題。從題型上看是17或18題的12分大題或選擇題（也可能是填空題）的5分小題；難度為中，低檔題型，一般的考生都會(huì)拿到7到12分；縱觀近幾年高考試卷，歸結(jié)起來數(shù)列大題問題主要包括：①等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的綜合，求基本數(shù)列（等差數(shù)列或等比數(shù)列）的前n項(xiàng)和；②等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的綜合，運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和；③等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的綜合，運(yùn)用拆項(xiàng)求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和；④等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的綜合，運(yùn)用錯(cuò)項(xiàng)相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和；⑤等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的綜合，求數(shù)列前n項(xiàng)和的最值等幾種類型。各種類型問題結(jié)構(gòu)上具有一定的特征，解答方法也有一定的規(guī)律可尋。那么在實(shí)際解答數(shù)列大題問題時(shí)，到底應(yīng)該如何抓住問題的結(jié)構(gòu)特征，快捷，準(zhǔn)確地解答問題呢？下面通過典型例題的詳細(xì)解析來回答這個(gè)問題?！镜淅?】解答下列問題：1、記為等差數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，已知=11，=40。（1）求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列｛||｝的前n項(xiàng)和（2023全國高考乙卷文）【解析】【考點(diǎn)】①等差數(shù)列定義與性質(zhì)；②等差數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；③等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及運(yùn)用；④拆項(xiàng)求和法及運(yùn)用?！窘忸}思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，運(yùn)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，結(jié)合問題條件得到關(guān)于首項(xiàng)，公差d的方程組，求解方程組求出首項(xiàng)，公差d的值，就可求出數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)數(shù)列{}通項(xiàng)公式得到數(shù)列{||}的通項(xiàng)公式，運(yùn)用拆項(xiàng)求和的基本方法就可求出數(shù)列{||}的前n項(xiàng)和。【詳細(xì)解答】（1）設(shè)等差數(shù)列｛｝的首項(xiàng)為，公差為d，=11，=40，+d=11①，10+45d=40②，聯(lián)立①②解得：=13，d=-2，=+（n-1）d=13-2n+2=15-2n；（2）由（1）知，==15-2n，||=15-2n，1≤n≤7，=14n-，1≤n≤7，2n-15，n≥8，-14n+98，n≥8。2、設(shè)等差數(shù)列｛｝的公差為d，且d>1，令=，記，分別為數(shù)列｛｝，｛｝的前n項(xiàng)和。（1）若3=3+，+=21，求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（2）若｛｝為等差數(shù)列，且-=99，求d（2023全國高考新高考I）【解析】【考點(diǎn)】①等差數(shù)列定義與性質(zhì)；②等差數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；③等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及運(yùn)用；④拆項(xiàng)求和法及運(yùn)用。【解題思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，運(yùn)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，結(jié)合問題條件得到關(guān)于首項(xiàng)，公差d的方程組，求解方程組求出首項(xiàng)，公差d的值，就可求出數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)數(shù)列{}通項(xiàng)公式，數(shù)列{}的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合問題條件得到關(guān)于首項(xiàng)為，公差d的等式，從而得到首項(xiàng)為關(guān)于d的表示式，運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，拆項(xiàng)求和的基本方法得到關(guān)于d的方程，求解方程就可求出d的值?！驹敿?xì)解答】（1）設(shè)等差數(shù)列｛｝的首項(xiàng)為，等差數(shù)列｛｝的公差為d，且d>1，=，3=3+，+=21，3+3d=4+2d①，3+3d+++=21②，聯(lián)立①②解得：=3，d=3，=+3（n-1）=3n；（2）設(shè)等差數(shù)列｛｝的首項(xiàng)為，等差數(shù)列｛｝的公差為d，且d>1，=，=，=，=，｛｝為等差數(shù)列，=+，（-d）（-2d）=0，=d或=2d，當(dāng)=d時(shí)，===+，=99d+9949d=9950d，=（1+2+------+99）+=，-=9950d-=99，50d-=1，（50d-51）(d+1)=0，d=；=2d時(shí)，===，=299d+9949d=9951d，=（1+2+------+99）=，-=9951d-=99，51d-=1，（51d+50）(d-1)=0，d=1與題意不符，綜上所述，若｛｝為等差數(shù)列，且-=99，則d=。3、數(shù)列｛｝為等差數(shù)列，=-6，n為奇數(shù)，記，分別為｛｝，｛｝的2，n為偶數(shù)，前n項(xiàng)和，=32，=16。（1）求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（2）證明：當(dāng)n>5時(shí)，>（2023全國高考新高考II）【解析】【考點(diǎn)】①等差數(shù)列定義與性質(zhì)；②等差數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；③等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及運(yùn)用；④拆項(xiàng)求和法及運(yùn)用?！窘忸}思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，運(yùn)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，結(jié)合問題條件得到關(guān)于首項(xiàng)，公差d的方程組，求解方程組求出首項(xiàng)，公差d的值，就可求出數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)數(shù)列{}通項(xiàng)公式得到數(shù)列{}的通項(xiàng)公式，運(yùn)用拆項(xiàng)求和的基本方法就可求出數(shù)列{}的前n項(xiàng)和關(guān)于n的表示式，運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得到關(guān)于n的表示式，就可證明結(jié)論?！驹敿?xì)解答】（1）設(shè)等差數(shù)列｛｝的首項(xiàng)為，公差為d，=32，=16，2+3d=16①，+d-3=4②，聯(lián)立①②解得：=5，d=2，=+（n-1）d=5+2n-2=2n+3；（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，=-6=2n+3-6=2n-3，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，=2=4n+6，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，=2（1+3+------+n-2）++4(2+4+-------+n-1)++2n-3=+n-8，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，=2（1+3+------+n-1）+n+4(2+4+-------+n)+3n=+n，=5n+2=+4n，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，-=+n-8--4n=+n-8>+-8=20-8=12>0；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，-=+n--4n=+n>0，綜上所述，當(dāng)n>5時(shí)，>。4、（理）已知數(shù)列｛｝滿足：=-2，=2+4.（1）證明數(shù)列｛+4｝是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和。（文）在等比數(shù)列｛｝中，已知=8，且，+1，成等差數(shù)列。（1）求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列｛|-4|｝的前n項(xiàng)和（2017成都市一珍）【解析】【考點(diǎn)】①等比數(shù)列定義與性質(zhì)；②證明數(shù)列是等比數(shù)列的基本方法；③等比數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；④等差中項(xiàng)定義與性質(zhì)；=5\*GB3⑤等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及運(yùn)用；=7\*GB3⑦拆項(xiàng)求和法及運(yùn)用?！窘忸}思路】（理）（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，運(yùn)用證明數(shù)列是等比數(shù)列的基本方法，結(jié)合問題條件就可證明數(shù)列｛+4｝是等比數(shù)列；（2）根據(jù)（1）得到數(shù)列數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式，運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式與拆項(xiàng)求和的基本方法就可求出數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和。（文）根據(jù)等比數(shù)列和等差中項(xiàng)的性質(zhì)，運(yùn)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式，結(jié)合問題條件得到關(guān)于首項(xiàng)，公比q的方程組，求解方程組求出首項(xiàng)，公比q的值，就可求出數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）得到數(shù)列{-4}的通項(xiàng)公式，運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式與拆項(xiàng)求和的基本方法就可求出數(shù)列{|-4|}的前n項(xiàng)和?！驹敿?xì)解答】（理）（1）=2+4.，+4=2+8+2（+4），=2，=-2，+4=-2+4=2，數(shù)列｛+4｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）知，+4=2=，=-4，=-4n+（2++-----+）=-4n+=-4n-2。（文）設(shè)等比數(shù)列｛｝的首項(xiàng)為，公比為q，=8，且，+1，成等差數(shù)列，=8①，2q+2=+②，聯(lián)立①②解得：=2，q=2，數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式為=2=；（2）由（1）知，-4=-4，=-4n+（2++-----+）=-4n+=-4n-2。5、已知數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和=(n)。（1）求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)=+，求數(shù)列｛｝的前2n項(xiàng)和?！窘馕觥俊究键c(diǎn)】①數(shù)列通項(xiàng)公式與前n和公式之間的關(guān)系及運(yùn)用；②已知數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法；③拆項(xiàng)求和法及運(yùn)用?！窘忸}思路】（1）根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式與前n和公式之間的關(guān)系，運(yùn)用已知數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法，結(jié)合問題條件就可求出數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）得到數(shù)列數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式，運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式與拆項(xiàng)求和的基本方法就可求出數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和。【詳細(xì)解答】（1）①當(dāng)n=1時(shí)，===1，②當(dāng)n≥2時(shí)，=-===n，當(dāng)n=1時(shí)，=1成立，數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式為=n；（2）=+=+n，=（-1+2-3+4---------（n-1）+n）+=+-2（n為偶數(shù)）或=（-1+2-3+4--------+（n-1）+n）+=+-n-2=--2（n為奇數(shù)）。〖思考問題1〗（1）【典例1】是等差數(shù)列，等比數(shù)列之間的綜合與一般數(shù)列求和的問題，解答這類問題需要理解等差數(shù)列，等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式等基本概念，掌握等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能熟練運(yùn)用公式解答相關(guān)問題，注意一般數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，選用恰當(dāng)?shù)那蠛头椒ㄇ蟪鼋Y(jié)果；（2）第一小題一般是求通項(xiàng)公式的問題，解答時(shí)只需根據(jù)題給條件求出數(shù)列的首項(xiàng)和公差d（或公比q），再運(yùn)用通項(xiàng)公式就可以得出結(jié)果；第二小題是一般數(shù)列求和的問題，解答時(shí)注意數(shù)列通項(xiàng)是幾項(xiàng)的和，各項(xiàng)分別組合構(gòu)成一個(gè)基本數(shù)列（等差數(shù)列或等比數(shù)列）的特征，然后利用拆項(xiàng)求和法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和?！镜淅?】解答下列問題：已知數(shù)列{}中，=1，設(shè)為{}的前n項(xiàng)和，2=n。（1）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和。（2023全國高考甲卷理）【解析】【考點(diǎn)】①數(shù)列定義與性質(zhì)；②數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式之間的關(guān)系及運(yùn)用；③數(shù)學(xué)疊乘法及運(yùn)用；④錯(cuò)項(xiàng)相減求和法及運(yùn)用?！窘忸}思路】（1）根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式之間的關(guān)系，結(jié)合問題條件得到關(guān)于，的等式，利用數(shù)學(xué)疊乘法就可求出數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)數(shù)列{}通項(xiàng)公式得到數(shù)列{}的通項(xiàng)公式，運(yùn)用錯(cuò)項(xiàng)相減求和的基本方法就可求出數(shù)列{}的前n項(xiàng)和?！驹敿?xì)解答】（1）當(dāng)n=1時(shí)，2=2=，=0；當(dāng)n2時(shí)，2=n①，2=（n-1）②，①-②得：2（-）=2=n-（n-1），（n-2）=（n-1），=，=，-------，=，=，=n-1，=n-1(n2)，當(dāng)n=1時(shí)，=1-1=0成立，數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為=n-1；（2）數(shù)列{}={}={}，=+2+3+------+（n-1）+n①，①得：=+2+3+------+（n-1）+n②，①-②得：=+++------++-n=1--n=1-（n+2），=2-（n+2）。2、已知等比數(shù)列{}的公比為3，且，+3，-6成等差數(shù)列。（1）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{n}的前n項(xiàng)和（成都市高2020級(jí)高三二診）【解析】【考點(diǎn)】①等比數(shù)列定義與性質(zhì)；②等差中項(xiàng)定義與性質(zhì)；③等比數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；④錯(cuò)項(xiàng)相減法求數(shù)列前n和的基本方法?！窘忸}思路】（1）根據(jù)等比數(shù)列和等差中項(xiàng)的性質(zhì)，運(yùn)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式，結(jié)合問題條件得到關(guān)于的等式，從而求出的值，就可求出數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)數(shù)列{n}的結(jié)構(gòu)特征，運(yùn)用錯(cuò)項(xiàng)相減法求數(shù)列前n和的基本方法，就可求出數(shù)列{n}的前n項(xiàng)和?！驹敿?xì)解答】（1）等比數(shù)列{}的公比為3，且，+3，-6成等差數(shù)列，2（3+3）=+3-6，=-6，=-6=-2；（2）n=-2n，=-2（3+2+3+-------+（n-1）+n）①，①3得：3=-2（+2+3+-------+（n-1）+n）②。①-②得：-2=-2（3++++-------+-n）=-2（-n），=（-n）-。3、（理）已知數(shù)列｛｝滿足：=-2，=2+4.（1）證明數(shù)列｛+4｝是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和。（文）在等比數(shù)列｛｝中，已知=8，且，+1，成等差數(shù)列。（1）求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列｛|-4|｝的前n項(xiàng)和（2017成都市一珍）【解析】【考點(diǎn)】①等比數(shù)列的定義與性質(zhì)；②等差中項(xiàng)的定義與性質(zhì)；③證明數(shù)列是等比數(shù)列的基本方法；④求等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法；⑤拆項(xiàng)求數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法?！窘忸}思路】（理）（1）運(yùn)用證明數(shù)列是等比數(shù)列的基本方法就可證明數(shù)列｛+4｝是等比數(shù)列；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，求出數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式，利用拆項(xiàng)求和法求出數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和.；（文）（1）運(yùn)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式和等差中項(xiàng)的性質(zhì)，結(jié)合問題條件得到關(guān)于首項(xiàng)，公比q的方程組，求解方程組求出首項(xiàng)，公比q的值，從而求出數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，求出數(shù)列｛-4｝的通項(xiàng)公式，利用拆項(xiàng)求和法求出數(shù)列｛-4｝的前n項(xiàng)和?！驹敿?xì)解答】（理）（1）證明：=2+4.，+4=2+8=2（+4），=2，=-2，+4=-2+4=2，數(shù)列｛+4｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）知+4=2=，=-4，=2-4+-4+-4+-----+-4=（-4-4--------4）+（2+++-----+）=-4n+=-4n-2；（文）（1）設(shè)等比數(shù)列｛｝的公比為q，==8①，，+1，成等差數(shù)列，2q+2=+②，聯(lián)立①②解得=2，q=2，數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式為：=2=；（2）由（1）知-4==-4，==2-4+-4+-4+-----+-4=（-4-4--------4）+（2+++-----+）=-4n+=-4n-2。4、已知數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和=(n)。（1）求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)=+，求數(shù)列｛｝的前2n項(xiàng)和?！窘馕觥俊究键c(diǎn)】①數(shù)列前n項(xiàng)和公式及運(yùn)用；②數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用。【解題思路】（1）運(yùn)用數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式之間的關(guān)系，結(jié)合問題條件就可求出數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得到數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式：=（n+1）+，將每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)，從而可知數(shù)列｛｝由兩個(gè)基本數(shù)列（等差數(shù)列或等比數(shù)列），利用基本數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，分別求出兩個(gè)基本數(shù)列的前n和，把兩個(gè)前n和相加，就可求出數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和的值?！驹敿?xì)解答】（1）數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和=(n∈)，當(dāng)n=1時(shí)，===1；當(dāng)n2時(shí)，=-=-==2n-1，當(dāng)n=1時(shí)，=21-1=1成立，=2n-1(n∈)；（2）由（1）得=2n-1，=+，=+（2n-1），=（2+++---------+）-（1+5+9+-------+4n-3）+（3+7+11+-------+4n-1）=-+=--（2-n）+（2+n）=+2n-。〖思考問題2〗（1）【典例2】是等差數(shù)列，等比數(shù)列之間的綜合與一般數(shù)列求和的問題，解答這類問題需要理解等差數(shù)列，等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式等基本概念，掌握等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能熟練運(yùn)用公式解答相關(guān)問題，注意一般數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，選用恰當(dāng)?shù)那蠛头椒ㄇ蟪鼋Y(jié)果；（2）第一小題一般是求通項(xiàng)公式的問題，解答時(shí)只需根據(jù)題給條件求出數(shù)列的首項(xiàng)和公差d（或公比q），再運(yùn)用通項(xiàng)公式就可以得出結(jié)果；第二小題是一般數(shù)列求和的問題，解答時(shí)注意數(shù)列通項(xiàng)是幾項(xiàng)的和，各項(xiàng)分別組合構(gòu)成一個(gè)基本數(shù)列（等差數(shù)列或等比數(shù)列）的特征，然后利用拆項(xiàng)求和法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和。【典例3】解答下列問題：1、已知數(shù)列｛｝為等差數(shù)列，數(shù)列｛｝是公比為2的等比數(shù)列，且-=-=-。（1）證明：=；（2）求集合{k|=+，1m500}中元素個(gè)數(shù)（2022全國高考新高考II卷）【解析】【考點(diǎn)】①等差數(shù)列定義與性質(zhì)；②等比數(shù)列定義與性質(zhì)；③等差數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；④等比數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；⑤表示集合的基本方法?！窘忸}思路】（1）設(shè)等差數(shù)列｛｝的首項(xiàng)為，公差為d，等比數(shù)列｛｝首項(xiàng)為，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合問題條件得到關(guān)于，d，的方程組，求解方程組求出，就可證明結(jié)論；（2）由（1）知==，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合問題條件得到k關(guān)于m的表示式，由m的取值范圍，求出k的取值范圍，從而就可求出求集合{k|=+，1m500}中元素個(gè)數(shù)?！驹敿?xì)解答】（1）證明：設(shè)等差數(shù)列｛｝的首項(xiàng)為，公差為d，等比數(shù)列｛｝首項(xiàng)為，-=-=-，+d-2=+2d-4，d-2=0①，+2d-4=8--3d，12-2-5d=0②，聯(lián)立①②得：2-2=0，=；（2）由（1）知==，=.=d.，+=+(m-1)d+=md，=+，d.=md，=m，1m500，1500，0k-28，2k10，集合{k|=+，1m500}={2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合{k|=+，1m500}中元素個(gè)數(shù)是9個(gè)。2、已知等差數(shù)列{}滿足2+=0，=2-2。（1）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)=，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和（成都市2019級(jí)高三一診）【解析】【考點(diǎn)】①等差數(shù)列定義與性質(zhì)；②等差數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；③數(shù)列前n項(xiàng)和定義與性質(zhì)；④求數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法?！窘忸}思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，運(yùn)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到關(guān)于等差數(shù)列{}的首項(xiàng)，公差的方程組，求解方程組求出數(shù)列{}的首項(xiàng)，公差的值就可得出數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，運(yùn)用求數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法就可求出數(shù)列{}的前n項(xiàng)和。【詳細(xì)解答】（1）設(shè)等差數(shù)列{}的首項(xiàng)為，公差為d，2+=0，=2-2，3+6d=0①，+6d=2+6d-2②，聯(lián)立①②解得：=2，d=-1，數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為=2+（n-1）(-1)=-n+3；（2）===，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為=+2+1+++------+==8（1-）=8-。+1，n為奇數(shù)，3、已知數(shù)列｛｝滿足：=1，=+2，n為偶數(shù)。（1）記=，寫出，，并求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）求｛｝的前20項(xiàng)和（2021全國高考新高考I）。【解析】【考點(diǎn)】①數(shù)列遞推公式及運(yùn)用；②等差數(shù)列的定義與性質(zhì)；③等差數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；④等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及運(yùn)用；⑤判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的基本方法?！窘忸}思路】（1）根據(jù)數(shù)列遞推公式，結(jié)合問題條件求出，，運(yùn)用判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的基本方法，判斷數(shù)列{}為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式就可求出數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）由（1）知求數(shù)列｛｝的奇項(xiàng)數(shù)列和偶項(xiàng)數(shù)列都是以3為公差的等差數(shù)列，運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就可求出｛｝的前20項(xiàng)和?！驹敿?xì)解答】（1）=1，=，==+1=1+1=2，==+1=+2+1=2+2+1=5，==+1=+2+1=+3，=，-=+3-=3，數(shù)列{}是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，=2+3（n-1）=3n-1，即數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為：=3n-1；（2）由（1）知數(shù)列｛｝的奇項(xiàng)數(shù)列和偶項(xiàng)數(shù)列都是以3為公差的等差數(shù)列，=101+3+102+3=30+1093=300，即數(shù)列｛｝的前20項(xiàng)和為300。4、（理）已知數(shù)列{}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為{}的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立。①數(shù)列{}是等差數(shù)列；②數(shù)列{}是等差數(shù)列；③=3。注：若選擇不同組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分。（文）記為{}的前n項(xiàng)和，已知>0，=3，且數(shù)列{}是等差數(shù)列，證明：數(shù)列{}是等差數(shù)列（2021全國高考甲卷）?！窘馕觥俊究键c(diǎn)】①等差數(shù)列的定義與性質(zhì)；②等差數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；③等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及運(yùn)用；④證明數(shù)列是等差數(shù)列的基本方法?！窘忸}思路】（理）由題意，不妨選擇①③為條件，證明②成立，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列通項(xiàng)公式，結(jié)合問題條件得到關(guān)于等差數(shù)列{}首項(xiàng)，公差d的等式，從而把首項(xiàng)表示為關(guān)于公差d的式子，運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得到關(guān)于公差d的式子，利用證明數(shù)列為等差數(shù)列的基本方法就可證明數(shù)列{}是等差數(shù)列。（文）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列通項(xiàng)公式，結(jié)合問題條件得到關(guān)于等差數(shù)列{}公差d，的等式，從而把公差d表示為關(guān)于首項(xiàng)的式子，運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得到關(guān)于數(shù)列首項(xiàng)的式子，從而得到關(guān)于數(shù)列首項(xiàng)的式子，利用證明數(shù)列為等差數(shù)列的基本方法就可證明數(shù)列{}是等差數(shù)列?！驹敿?xì)解答】（理）設(shè)等差數(shù)列{}的公差為d，=+d，=3，=，=n+d=(+-)d=d，數(shù)列{}的各項(xiàng)均為正數(shù)，d>0，==，當(dāng)n=1時(shí)，=，當(dāng)n2時(shí)，=，=，-=（-）=為常數(shù)，數(shù)列{}是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列。（文）證明：設(shè)等差數(shù)列{}的公差為d，>0，=3，=，==2，d=-=2-=，=+（n-1）=n，=，當(dāng)n=1時(shí)，==，當(dāng)n2時(shí)，=-=-=（-+2n-1）=（2n-1），=[2（n-1）-1]=（2n-3），-=[2n-1-(2n-3)]=2為常數(shù)，-=3-=2，數(shù)列{}是以為首，2為公差的等差數(shù)列。5、（理）記為{}的前n項(xiàng)和，為數(shù)列{}的前n項(xiàng)積，已知+=2。（1）證明：數(shù)列{}是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式。（文）設(shè){}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列{}滿足：=，已知，3，9成等差數(shù)列。（1）求數(shù)列{}，{}的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為{}，{}的前n項(xiàng)和，證明：<（2021全國高考乙卷）?！窘馕觥俊究键c(diǎn)】①等差數(shù)列的定義與性質(zhì)；②判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的基本方法；③數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系；④等比數(shù)列的定義與性質(zhì)；⑤等差中項(xiàng)的定義與性質(zhì)；⑥等比數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；⑦等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及運(yùn)用；⑧裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法?！窘忸}思路】（理）（1）根據(jù)判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的基本方法，結(jié)合問題條件就可證明數(shù)列{}是等差數(shù)列；（2）根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系，運(yùn)用（1）的結(jié)論就可求出數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式。（文）根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式和等差中項(xiàng)的性質(zhì)，結(jié)合問題條件得到關(guān)于等比數(shù)列｛｝公比的方程，求解方程求出公比的值就可求出數(shù)列{}，{}的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式與裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法分別求出數(shù)列｛｝，{}的前n項(xiàng)和與就可證明結(jié)論?！驹敿?xì)解答】（理）（1）證明：當(dāng)n2時(shí)，=，+=2，+=2，2（-）=1，-=，當(dāng)n=1時(shí)，+=2，=2，=，數(shù)列{}是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；（2）由（1）得：=+（n-1）=，+=2，+=2，=，=，當(dāng)n=1時(shí)，==，當(dāng)n2時(shí)，=-=-=-，當(dāng)n=1時(shí)，=-，數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為：=，n=1，-，n2。（文）設(shè)等比數(shù)列{}的公比為q，數(shù)列{}首項(xiàng)為1，，3，9成等差數(shù)列，6q=1+9，=0，q=，=，==n，數(shù)列{}，{}的通項(xiàng)公式分別為：=，=n；（2）==-，=+2+3+------+（n-1）+n①，=+2+3+-----+（n-1）+n②，①-②得：=+++-----+-n=-n=--n=-（+），=-（+），-=-（+）-+=（--）=-<0，<。6、記是公差不為0的等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，若=，.=。（1）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）求使>成立的n的最小值（2021全國高考新高考II卷）?！窘馕觥俊究键c(diǎn)】①等差數(shù)列的定義與性質(zhì)；②等差數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；③等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及運(yùn)用?！窘忸}思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，結(jié)合問題條件得到關(guān)于等差數(shù)列{}首項(xiàng)，公差的方程組，求解方程組求出等差數(shù)列{}首項(xiàng)，公差的值就可求出數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得到等差數(shù)列{}的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，從而得到關(guān)于n的不等式，求解不等式就可求出使>成立的n的最小值?！驹敿?xì)解答】（1）設(shè)等差數(shù)列{}的首項(xiàng)為，公比為q，=，.=，+2d=3+3d①，（+d）（+3d）=4+6d②，聯(lián)立①②解得：=0，d=0或=-，d=，d0，=-，d=，=-+（n-1）=n-，數(shù)列{}的通項(xiàng)公式=n-；（2）由（1）得：=-n+=-n，>，-n>n-，-4n+3>0，n<1或n>3，n，n>3，即使>成立的n的最小值為4。7、已知數(shù)列｛｝中，=1，=3，+3=4，=-，n。（1）求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（2）記=（+），數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為，求（2021成都市高三三診）?！窘馕觥俊究键c(diǎn)】①等比數(shù)列的定義與性質(zhì)；②判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列的基本方法；③等比數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；④對(duì)數(shù)的定義與性質(zhì)；⑤等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及運(yùn)用?！窘忸}思路】（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)和判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列的基本方法，結(jié)合問題條件得到數(shù)列｛｝是等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式就可求出數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）求出關(guān)于n的式子，從而得到=+，運(yùn)用對(duì)數(shù)的性質(zhì)得到數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式，運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就可求出的值?！驹敿?xì)解答】（1）+3=4，=-，-=3（-），=3，=3，=1，=3，=-=3-1=2，數(shù)列｛｝是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式為：=2；（2）=（-）+（-）+------+（-）+（-）+=++------+++=+1=，=-，=+，=（+）===n，=++------+=1+2+------+（n-1）+n=，即==210。8、設(shè)｛｝是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)。（1）求｛｝的公比；（2）若=1，求數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和（2020全國高考新課標(biāo)I理）?！窘馕觥俊究键c(diǎn)】①等比數(shù)列的定義與性質(zhì)；②等差中項(xiàng)的定義與性質(zhì)；③等比數(shù)列通項(xiàng)公式的定義與性質(zhì)；④等比數(shù)列前n項(xiàng)和的定義，公式與求法。【解題思路】（1）運(yùn)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式和等差中項(xiàng)的性質(zhì)得到關(guān)于公比q的方程，求解方程就可求出等比數(shù)列｛｝的公比；（2）根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式通過運(yùn)算就可得出等比數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和?！驹敿?xì)解答】（1）設(shè)等比數(shù)列｛｝的公比為q，=q，=，為，的等差中項(xiàng)，2=q+，+q-2=0，q=1或q=-2，q1，q=-2；（2）=1，q=-2，==-。9、已知公比大于1的等比數(shù)列｛｝滿足+=20，=8。（1）求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（2）記為｛｝在區(qū)間（0，m]（m∈）中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列{}的前100項(xiàng)和（2020全國高考新高考I）【解析】【考點(diǎn)】①等比數(shù)列的定義與性質(zhì)；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式的定義與求法；④等比數(shù)列前n項(xiàng)和的定義，公式與求法；⑤任意數(shù)列前n項(xiàng)和的定義與求法?！窘忸}思路】（1）運(yùn)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式得到關(guān)于首項(xiàng)，公比q的方程組，求解方程組就可求出首項(xiàng)，公比q的值，從而得出等比數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)題意確定出數(shù)列{}各項(xiàng)的值，利用任意數(shù)列前n項(xiàng)和的定義與求法就可求出數(shù)列｛｝的前100項(xiàng)的和。【詳細(xì)解答】（1）設(shè)等比數(shù)列｛｝的首項(xiàng)為，公比為q，=q，=，=，20，+==8，q+=20①，=8②，聯(lián)立①②解得：q=2，=2，或=32，q=，q>1，q=2，=2，=2=；（2）1<=22，2<==44，4<==88，10<==1616，30<==3232，60<==6464，==128>100，=0，==1，====2，==-----==3，==-----==4，==-----==5，==-----=6，=0+12+24+38+416+532+637=0+2+8+24+64+160+236=484。10、已知公比大于1的等比數(shù)列｛｝滿足+=20，=8。（1）求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（2）求-+------+（2020全國高考新高考II）【解析】【考點(diǎn)】①等比數(shù)列的定義與性質(zhì)；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式的定義與求法；③④對(duì)數(shù)的定義與性質(zhì)；⑤等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式定義與運(yùn)用；⑥錯(cuò)項(xiàng)相減求數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法。【解題思路】（1）運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)，求等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法，結(jié)合問題條件求出等比數(shù)列首項(xiàng)和公比q的值，從而得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）得到=.=，從而知道-+------+中奇次項(xiàng)為正，偶次項(xiàng)為負(fù)，將奇次項(xiàng)組合在一起得到一個(gè)等比數(shù)列，偶次項(xiàng)組合在一起也得到一個(gè)等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式分別求出兩個(gè)等比數(shù)列的和再相加就可求出-+------+，這里需要注意項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況的不同結(jié)果?！驹敿?xì)解答】（1）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為q，+=q（1+）=20，==8，=32，q=，或=2，q=2，q>1，=2，q=2，=2=；（2）=.=，-+------+=-+-+----+=（++-------）-（++-------），①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，-+------+=+-=-+++-=8+（1-4）+=8-+；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，-+------+=-=-++-=8+（1-4）=8-。11、（文）記為等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，已知=-。（1）若=4，求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）若＞0，求使得的n的取值范圍（2019全國高考新課標(biāo)I）【解析】【考點(diǎn)】①等差數(shù)列的定義；②等差數(shù)列前n項(xiàng)和的定義與公式；③等差數(shù)列通項(xiàng)的定義與公式；④不等式的解法；【解題思路】（1）求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式求出數(shù)列｛｝的首項(xiàng)和公差d，問題條件：+4d=0，=9+36d=-(+4d)，+2d=4，=+2d=4；（2）=9+36d=-(+4d)，+4d=0，=-4d，>0，d<0，=n+d=d-dn，=+（n-1）d=nd-5d，d-dnnd-5d，-11n+100，解這個(gè)不等式即可。【詳細(xì)解答】（1）設(shè)等差數(shù)列{}的首項(xiàng)為，公差為d，根據(jù)題意有：=9+36d=-(+4d)，+4d=0，=8，=8+（n-1）（-2）=-2n+10；=+2d=4，+2d=4，d=-2，（2）=9+36d=-(+4d)，+4d=0，=-4d，>0，d<0，=n+d=d-dn，=+（n-1）d=nd-5d，d-dnnd-5d，-11n+100，1n10，當(dāng)時(shí)，n的取值范圍是[1，10]。12、（理）已知數(shù)列{}和{}滿足=1，=0，4=3-+4，4=3--4。（1）證明：{+}是等比數(shù)列，{-}是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列{}和{}的通項(xiàng)公式。（文）已知{}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，=2，=2+16。（1）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)=，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和（2019全國高考新課標(biāo)II）【解析】【考點(diǎn)】①數(shù)列的定義；②數(shù)列通項(xiàng)公式的定義；③證明數(shù)列為等比數(shù)列，等差數(shù)列的基本方法；④等差數(shù)列前n項(xiàng)和的定義與公式；⑤對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；【解題思路】（理）（1）證明數(shù)列{+}是等比數(shù)列，=常數(shù)；證明數(shù)列{-}是等差數(shù)列，（-）-（-）=常數(shù)；問題條件：=1，=0，4=3-+4，4=3--4，+=1+0=1，-=1-0=1，4（+）=2（+），4（-）=4（-）+8，=，（-）-（-）=2；（2）由（1）得：+=，=+n-，-=1+（n-1）2=2n-1，=-n+。（文）（1）求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式求出數(shù)列｛｝的首項(xiàng)和公差d，問題條件：=2，=2，-2q-8=0=2=2+16=4q+16；（2）由（1）可得=.==2n-1，求出?！驹敿?xì)解答】（理）（1）4=3-+4，4=3--4，4（+）=2（+），4（-）=4（-）+8，=，（-）-（-）=2；=1，=0，+=1+0=1，-=1-0=1，數(shù)列{+}是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，數(shù)列{-}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；（2）由（1）得：+=，=+n-，-=1+（n-1）2=2n-1，=-n+。（文）（1）=2，=2，q=-2或q=4，數(shù)列{}=2=2+16=4q+16；-2q-8=0，各項(xiàng)均為正數(shù)，q=4，=2=； （2）由（1）可得=.==2n-1，=++-----+=1+3+-------+2n-1==?！妓伎紗栴}3〗（1）【典例3】是等差數(shù)列，等比數(shù)列之間的綜合問題，解答這類問題需要理解等差數(shù)列，等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式等基本概念，掌握等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能熟練運(yùn)用公式解答相關(guān)問題；（2）第一小題一般是求通項(xiàng)公式的問題，解答時(shí)只需根據(jù)題給條件求出數(shù)列的首項(xiàng)和公差d（或公比q），再運(yùn)用通項(xiàng)公式就可以得出結(jié)果；第二小題一般是求數(shù)列的前n項(xiàng)和，解答時(shí)應(yīng)該分辨清楚數(shù)列是等差數(shù)列，還是等比數(shù)列，然后直接選用相應(yīng)的前n項(xiàng)和公式通過運(yùn)算求出結(jié)果。【典例4】解答下列問題：1、記為數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，已知=1，{}是公差為的等差數(shù)列。（1）求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（2）證明：++------+<2（2022全國高考新高考I卷）【解析】【考點(diǎn)】①等差數(shù)列定義與性質(zhì)；②等差數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；③等差數(shù)列前N項(xiàng)和公式及運(yùn)用；④數(shù)列前N項(xiàng)和公式與通項(xiàng)公式之間的關(guān)系及運(yùn)用；⑤裂項(xiàng)相消求數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法?！窘忸}思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合問題條件得到與之間的關(guān)系式，求出，從而得到關(guān)于，的等式，運(yùn)用判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的基本方法判斷數(shù)列｛｝是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式就可求出數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消求數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法就可求出數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和。（文）（1）設(shè)等差數(shù)列｛｝的首項(xiàng)為，公差為d，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，結(jié)合問題條件得到關(guān)于等差數(shù)列｛｝的首項(xiàng)為，公差為d的方程組，求解方程組求出等差數(shù)列｛｝的首項(xiàng)為，公差為d的值就可求出數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消求數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法就可求出數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和?！驹敿?xì)解答】（1）=1，==1，=1，{}是公差為的等差數(shù)列，=1+（n-1）=n+，=（n+），=（n+）（n2），-==n（-）+-，（n-1）-（n+1）=0，=，=，-------，=，=，=，=1+=，3（+）=4，=3=3，=（n2），當(dāng)n=1時(shí)，==1成立，數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式為：=；（2）證明：由（1）知，=，==2（-），++------+=2（1-+-+-------+-+-）=2（1-）<21=2，++------+<2。2、（理）為數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，已知>0，+2=4+3。（1）求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)=，求數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和。（文）已知等差數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和滿足：=0，=-5。（1）數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和（2021全國高考乙卷）?！窘馕觥俊究键c(diǎn)】①等差數(shù)列的定義與性質(zhì)；②等差數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；③數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式之間的關(guān)系；④判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的基本方法；⑤等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及運(yùn)用；⑥裂項(xiàng)相消求數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法。【解題思路】（理）（1）根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式之間的關(guān)系，結(jié)合問題條件求出，從而得到關(guān)于，的等式，運(yùn)用判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的基本方法判斷數(shù)列｛｝是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式就可求出數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消求數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法就可求出數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和。（文）（1）設(shè)等差數(shù)列｛｝的首項(xiàng)為，公差為d，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，結(jié)合問題條件得到關(guān)于等差數(shù)列｛｝的首項(xiàng)為，公差為d的方程組，求解方程組求出等差數(shù)列｛｝的首項(xiàng)為，公差為d的值就可求出數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消求數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法就可求出數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和。【詳細(xì)解答】（理）（1）當(dāng)n=1時(shí)，+2=4+3，=4，=3或=-1，>0，=3；當(dāng)n2時(shí)，+2=4+3①，+2=4+3②，①-②得：-+2-2=4（-）=4，（+）（-）-2（+）=（+）（--2）=0，+>0，--2=0，-,=2，+2=4（+）+3，=16，=5或=-3，>0，=5，當(dāng)n2時(shí)，數(shù)列｛｝是以5為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，=5+2（n-2）=2n+1（n2），當(dāng)n=1時(shí)，=21+12+1=3成立，數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式為：=2n+1；（2）===（-），=++------+=（-+-+-------+-+-）=（-）=，即數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為。（文）（1）設(shè)等差數(shù)列｛｝的首項(xiàng)為，公差為d，=3+3d=0①，=5+10d=-5②，聯(lián)立①②解得：=1，d=-1，=1-（n-1）=2-n，即數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式為：=2-n；（2）===（-），=（-1-1+1-+-+-+-------+-+-）=（-1-）=-，即數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為-。3、已知｛｝是遞增的等比列數(shù)，=1，且2，，成等差數(shù)列。（1）求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)=（n∈），求數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和（2020成都市高三二珍）【解析】【考點(diǎn)】①等比數(shù)列的定義與性質(zhì)；②等差中項(xiàng)的定義與性質(zhì)；③等比數(shù)列通項(xiàng)公式的定義與求法；④對(duì)數(shù)的定義與性質(zhì)；⑤裂項(xiàng)相消求數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法?！窘忸}思路】（1）運(yùn)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式和等差中項(xiàng)的性質(zhì)得到關(guān)于公比q的方程，求解方程求出等比數(shù)列｛｝的公比就可得到等比數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消求數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法就可求出數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和。【詳細(xì)解答】（1）設(shè)等比數(shù)列｛｝的公比為q，=q，=，=，2，，成等差數(shù)列，3=2q+，-3+2q=0，q=0或q=1或q=2，=1，｛｝是遞增的等比列數(shù)，q=2，=1=；（2）===-，=1-+-+-------+-+-=1-=。4、已知等差數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為，且=2，=66.（1）求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（2）（理）若數(shù)列｛｝滿足=，求證：++------+＜1。（文）若數(shù)列｛｝滿足=，求數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和（2017成都市高三零珍）【解析】【考點(diǎn)】①等差數(shù)列的定義與性質(zhì)；②等差數(shù)列通項(xiàng)公式的定義與性質(zhì)；③等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的定義與性質(zhì)；④等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及運(yùn)用；⑤裂項(xiàng)相消求數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法?！窘忸}思路】（理）（1）運(yùn)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得到關(guān)于首項(xiàng)，公差d的方程組，求解方程組求出等差數(shù)列｛｝的首項(xiàng)和公差d就可得到等差數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式