三角形的相關(guān)概念（測試）

專題01三角形的相關(guān)概念專題測試學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、選擇題1．（2018秋?濱江區(qū)期末）已知線段a＝2cm，b＝4cm，則下列長度的線段中，能與a，b組成三角形的是（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【點撥】利用三角形三邊關(guān)系判斷即可，兩邊之和＞第三邊＞兩邊之差．【解析】解：∵a＝2cm，b＝4cm，∴2cm＜第三邊＜6cm∴能與a，b能組成三角形的是4cm，故選：B．【點睛】考查了三角形三邊關(guān)系，利用三邊關(guān)系判斷時，常用兩個較小邊的和與較大的邊比較大小．兩個較小邊的和＞較大的邊，則能組成三角形，否則，不可以．2．（2019秋?蕭山區(qū)期中）在△ABC中，∠A＝75°，∠B＝65°，則下列關(guān)于∠C的說法正確的是（）A．它等于40° B．它等于50° C．它是個直角 D．它是個鈍角【點撥】根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【解析】解：∵在△ABC中，∠A＝75°，∠B＝65°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°，故選：A．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和，熟練掌握三角形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．3．（2019秋?溫州期中）將一副三角板按如圖位置擺放，若∠BDE＝75°，則∠AMD的度數(shù)是（）A．75° B．80° C．85° D．90°【點撥】由題意得：∠A＝30°，∠FDE＝45°，利用平角等于180°，可得到∠ADF的度數(shù)，在△AMD中，利用三角形內(nèi)角和為180°，可以求出∠AMD的度數(shù)．【解析】解：∵∠B＝60°，∴∠A＝30°，∵∠BDE＝75°，∠FDE＝45°，∴∠ADF＝180°﹣75°﹣45°＝60°，∴∠AMD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，故選：D．【點睛】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，題目比較簡單，關(guān)鍵是要注意角之間的關(guān)系．4．（2019?杭州）在△ABC中，若一個內(nèi)角等于另外兩個內(nèi)角的差，則（）A．必有一個內(nèi)角等于30° B．必有一個內(nèi)角等于45° C．必有一個內(nèi)角等于60° D．必有一個內(nèi)角等于90°【點撥】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠A+∠B+∠C＝180°，把∠C＝∠A+∠B代入求出∠C即可．【解析】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠C﹣∠B，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故選：D．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能求出三角形最大角的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵，注意：三角形的內(nèi)角和等于180°．5．（2019春?慈溪市期末）△ABC的內(nèi)角分別為∠A，∠B，∠C，下列能判定△ABC是直角三角形的條件是（）A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠C＝2∠B C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A+∠B＝∠C【點撥】根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【解析】解：A、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝2∠B＝3∠C，∴，解得：，錯誤；B、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠C＝2∠B，不能得出∠C＝90°，錯誤；C、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝75°≠90°，錯誤；D、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝∠C，∴∠C＝90°，正確；故選：D．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和，直角三角形的判定，熟練掌握三角形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．6．（2019春?西湖區(qū)校級月考）如圖，直線AB∥CD，直線EF分別與AB、CD相交，則有（）A．∠1+∠2﹣∠3＝180° B．∠1﹣∠2+∠3＝180° C．∠3+∠2﹣∠1＝180° D．∠1+∠2+∠3＝180°【點撥】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠3＝∠4，根據(jù)∠4+∠5＝180°可得出∠3+∠5＝180°，由三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系即可得出結(jié)論．【解析】解：∵AB∥CD，∴∠3＝∠4，∵∠4+∠5＝180°，∴∠3+∠5＝180°…①，∵∠1+∠5＝∠2…②，∴∠5＝∠2﹣∠1…③，把③代入①得，∠3+∠2﹣∠1＝180°．故選：C．【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系及平行線的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是熟知以下知識：①兩直線平行，同位角相等；②三角形的一個外角等于與之不相鄰的兩個內(nèi)角的和．7．（2019?玉環(huán)市一模）如圖，將一副三角板如圖放置．若AE∥BC，則∠AFD＝（）A．90° B．85° C．75° D．65°【點撥】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠EDC，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)計算即可．【解析】解：∵AE∥BC，∴∠EDC＝∠E＝45°，∴∠AFD＝∠FDC+∠C＝75°，故選：C．【點睛】本題考查的是三角形的外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．8．（2018秋?江干區(qū)期末）若線段AP，AQ分別是△ABC邊上的高線和中線，則（）A．AP＞AQ B．AP≥AQ C．AP＜AQ D．AP≤AQ【點撥】根據(jù)垂線段最短即可判斷．【解析】解：如圖，∵PA⊥BC，∴根據(jù)垂線段最短可知：PA≤AQ，故選：D．【點睛】本題考查三角形的高，中線，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．9．（2019秋?永嘉縣期中）如圖所示，在△ABC中，D、E、F分別為BC、AD、CE的中點，且S△ABC＝16cm2，則陰影部分（△BEF）的面積等于（）A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2【點撥】三角形的一條中線分三角形為兩個三角形，這兩個三角形的面積相等，根據(jù)以上內(nèi)容求出每個三角形的面積，即可求出答案．【解析】解：∵S△ABC＝16cm2，D為BC中點，∴S△ADB＝S△ADC＝＝8cm2，∵E為AD的中點，∴S△BED＝＝4cm2，S△CED＝S△ADC＝4cm2，∴S△BEC＝S△BED+S△CED＝4cm2+4cm2＝8cm2，∵F為CE的中點，∴S△BEF＝S△BEC＝4cm2，故選：B．【點睛】本題考查了三角形的面積，能靈活運用等底等高的三角形的面積相等進行求解是解此題的關(guān)鍵．10．（2019春?西湖區(qū)校級月考）四根長度分別為3，4，6，x（x為正整數(shù)）的木棒，從中任取三根，首尾順次相接都能組成一個三角形，則（）A．組成的三角形中周長最小為9 B．組成的三角形中周長最小為10 C．組成的三角形中周長最大為19 D．組成的三角形中周長最大為16【點撥】首先寫出所有的組合情況，再進一步根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，進行分析．【解析】解：其中的任意三根的組合有3、4、6；3、4、x；3、6、x；4、6、x共四種情況，由題意：從中任取三根，首尾順次相接都能組成一個三角形，可得3＜x＜7，即x＝4或5或6．①當三邊為3、4、6時，其周長為3+4+6＝13；②當x＝4時，周長最小為3+4+4＝11，周長最大為4+6+4＝14；③當x＝5時，周長最小為3+4+5＝12，周長最大為4+6+5＝15；④若x＝6時，周長最小為3+4+6＝13，周長最大為4+6+6＝16；綜上所述，三角形周長最小為11，最大為16，故選：D．【點睛】本題考查的是三角形三邊關(guān)系，利用了分類討論的思想．掌握三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解答本題的關(guān)鍵11．（2017秋?杭州期中）如圖，把△ABC紙片的∠A沿DE折疊，點A落在四邊形CBDE外，則∠1、∠2與∠A的關(guān)系是（）A．∠1﹣∠A＝2∠2 B．∠2+∠1＝2∠A C．∠1﹣∠2＝2∠A D．2∠2+2∠A＝∠1【點撥】先根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)得出∠A＝∠A′，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)進行解答即可．【解析】解：∵△A′ED是△AED翻折變換而成，∴∠A＝∠A′，∵∠AFD是△A′EF的外角，∴∠AFD＝∠A′+∠2，∵∠1是△ADF的外角，∴∠1＝∠A+∠AFD，即∠1＝∠A+∠A′+∠2＝2∠A′+∠2，∴∠1﹣∠2＝2∠A，故選：C．【點睛】本題考查的是圖形翻折變換的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟知以上知識是解答此題的關(guān)鍵．二、填空題12．（2017秋?兗州區(qū)期末）三角形兩邊長分別是2，4，第三邊長為偶數(shù)，第三邊長為4．【點撥】利用三角形三邊關(guān)系定理，先確定第三邊的范圍，進而就可以求出第三邊的長．【解析】解：設(shè)第三邊為a，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系知，4﹣2＜a＜4+2．即2＜a＜6，由周長為偶數(shù)，則a為4．故答案為：4．【點睛】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系，要注意三角形形成的條件：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．13．（2019?溫州一模）如圖，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝50°，∠B＝35°，則∠ECD等于42.5°．【點撥】利用三角形的外角的性質(zhì)求出∠ACD即可．【解析】解：∵∠ACD＝∠A+∠B＝50°+35°＝85°，又∵CE平分∠ACD，∴∠ECD＝∠ACD°，故答案為42.5．【點睛】本題考查三角形的外角的性質(zhì)，角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．14．（2019秋?溫嶺市期中）如圖，AD是△ABC的中線，若AB：AC＝3：4，則S△ABD：S△ACD＝1：1．【點撥】根據(jù)三角形的中線的性質(zhì)即可解決問題．【解析】解：在△ABC中，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝DC，∴S△ABD＝S△ADC，∴S△ABD：S△ACD＝1：1．故答案為1：1【點睛】本題考查三角形的中線的性質(zhì)，解題時注意不要與角平分線的性質(zhì)定理混淆．15．（2019?余杭區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高線，CE是一條角平分線，且相交于點P．已知∠APE＝55°，∠AEP＝80°，則∠B為45度．【點撥】根據(jù)∠AEP＝∠B+∠ECB，只要求出∠ECB即可解決問題．【解析】解：∵AD⊥BC，∴∠PDC＝90°，∵∠CPD＝∠APE＝55°，∴∠PCD＝90°﹣55°＝35°，∵∠AEP＝∠B+∠ECB，∴∠B＝80°﹣35°＝45°，故答案為45．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．16．（2019秋?新昌縣期中）在△ABC中，AC＝2BC，BC邊上的中線AD把△ABC的周長分成60和40兩部分，則AC＝48，AB＝28．【點撥】先根據(jù)AD是BC邊上的中線得出BD＝CD，設(shè)BD＝CD＝x，AB＝y(tǒng)，則AC＝4x，再分△ACD的周長是60與△ABD的周長是60兩種情況進行討論即可．【解析】解：∵AD是BC邊上的中線，AC＝2BC，∴BD＝CD，設(shè)BD＝CD＝x，AB＝y(tǒng)，則AC＝4x，分為兩種情況：①AC+CD＝60，AB+BD＝40，則4x+x＝60，x+y＝40，解得：x＝12，y＝28，即AC＝4x＝48，AB＝28；②AC+CD＝40，AB+BD＝60，則4x+x＝40，x+y＝60，解得：x＝8，y＝52，即AC＝4x＝32，AB＝52，BC＝2x＝16，此時不符合三角形三邊關(guān)系定理；綜合上述：AC＝48，AB＝28．故答案為：48；28．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系定理的應(yīng)用，注意：要分情況進行討論．17．（2018秋?江干區(qū)期末）一根長為1的繩子恰好圍成一個三角形，則這個三角形的最長邊x的取值范圍是≤x＜．【點撥】由圍成兩個三角形是全等三角形，可得兩個三角形的周長相等，根據(jù)三角形三條邊的關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊可列出兩個不等式，解不等式可出結(jié)論．【解析】解：設(shè)三角形的其他兩邊為：y，z，∵x+y+z＝l，y+z＞x∴可得x＜，又因為x為最長邊大于等于，∴≤x＜；故答案為：≤x＜．【點睛】本題考查三角形三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，且最長邊不能小于周長．18．（2018秋?嘉善縣期末）若△ABC三邊a、b、c的長都是偶數(shù)，且a＜b≤c，若b＝2k（k是正整數(shù)），則這樣的三角形共有個．【點撥】由三角形的三邊關(guān)系與a＜b≤c，即可得a+b＞c，繼而可得b≤c＜a+b，又由c﹣b＜a＜b，三角形的三邊a，b，c的長都是整數(shù)，即可得a＝2，k，然后分別從a＝2，4，6，8去分析求解即可求得答案．【解析】解：若三邊能構(gòu)成三角形則必有兩小邊之和大于第三邊，即a+b＞c．∵b≤c，∴b≤c＜a+b，又∵c﹣b＜a＜b，三角形的三邊a，b，c的長都是偶數(shù)，∴0＜a＜2k，∴當a＝2時，2k≤c＜2k+2，此時，c＝2k．①當a＝4時，2k≤c＜2k+4，此時，c＝2k，2k+2．②當a＝6時，2k≤c＜2k+6，此時，c＝2k，2k+2，2k+4；③當a＝8時，2k≤c＜2k+8，此時，c＝2k，2k+2，2k+4，2k+6；④當a＝2k﹣2時，2k≤c＜4k﹣2，此時，c＝2k，2k+2，2k+4，2k+6…4k﹣4．根據(jù)以上結(jié)論可以得到：b＝2k（k是正整數(shù)），則這樣的三角形共有＝個．故答案為：．【點睛】此題考查了三角形的三邊關(guān)系．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的三邊關(guān)系與a，b，c的長都是整數(shù)，且a＜b≤c，b＝2k去分析求解，得到a＝2，4，6，8．三、解答題19．（2018秋?西湖區(qū)校級月考）如圖所示，AD，CE是△ABC的兩條高，AB＝4cm，BC＝8cm，CE＝6cm，求AD的長．【點撥】利用三角形的面積列式計算即可得解．【解析】解：S△ABC＝AB?CE＝BC?AD，∵AB＝4cm，BC＝8cm，CE＝6cm，∴×4×6＝×8?AD，解得AD＝3cm．【點睛】本題考查了三角形的角平分線、中線和高，根據(jù)三角形的面積列出等式是解題的關(guān)鍵．20．（2019春?西湖區(qū)校級月考）如圖所示，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝30°，CD平分∠ACB，DE∥AC．（1）求∠DEB的度數(shù)；（2）求∠BDC的度數(shù)．【點撥】（1）由三角形的內(nèi)角和定理求出∠ACB的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)可得∠DEB＝∠ACB，可得出∠DEB的度數(shù)；（2）由CD為∠ACB的平分線，根據(jù)角平分線定義求出∠ECD的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理即可得出答案．【解析】解：（1）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝30°，∴∠ACB＝180°﹣80°﹣30°＝70°，又∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠ACB＝70°；（2）∵CD平分∠ACB，∠ACB＝70°，∴∠ACD＝∠ECD＝∠ACB＝35°，∴∠BDC＝180°﹣∠B﹣∠ECD＝180°﹣30°﹣35°＝115°．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，以及三角形的內(nèi)角和定理，利用了轉(zhuǎn)化的思想，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．21．（2019秋?新昌縣期中）如圖，△ABC中，∠A＝40°，（1）若點P是∠ABC與∠ACB平分線的交點，求∠P的度數(shù)；（2）若點P是∠CBD與∠BCE平分線的交點，求∠P的度數(shù)；（3）若點P是∠ABC與∠ACF平分線的交點，求∠P的度數(shù)；（4）若∠A＝β，求（1）（2）（3）中∠P的度數(shù)（用含β的代數(shù)式表示，直接寫出結(jié)果）【點撥】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線定義得出∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝65°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠P的度數(shù)；