第七講 正則坐標(biāo)與主振型

第七講正則坐標(biāo)與主振型第1頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月22第一章振動(dòng)理論基礎(chǔ)1.1振動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)介1.2單自由度系統(tǒng)1.3多自由度系統(tǒng)1.4連續(xù)振動(dòng)系統(tǒng)1.5隨機(jī)振動(dòng)第2頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月復(fù)習(xí)：多自由度系統(tǒng)固有頻率和主振型一般的振動(dòng)系統(tǒng)的n個(gè)固有頻率的值互不相等(也有特殊情況)。將各個(gè)固有頻率按照由小到大的順序排列為其中最低階固有頻率ω1稱為第一階固有頻率或稱基頻，然后依次稱為二階、三階固有頻率等。

第3頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)應(yīng)于ωi可以求得A(i)，它滿足返回首頁(yè)A(i)為對(duì)應(yīng)于ωi的特征矢量。它表示系統(tǒng)在以ωi的頻率作自由振動(dòng)時(shí)，各物塊振幅的相對(duì)大小，稱之為第i階主振型，也稱固有振型或主模態(tài)。對(duì)于任何一個(gè)n自由度振動(dòng)系統(tǒng)，總可以找到n個(gè)固有頻率和與之對(duì)應(yīng)的n階主振型第4頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在主振型矢量中，規(guī)定某個(gè)元素的值為1，并進(jìn)而確定其它元素的過(guò)程稱為歸一化。令，于是可得第i階主振型矢量為第5頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1圖是三自由度振動(dòng)系統(tǒng)，設(shè)k1=k2=k3=k，m1=m2=m，m3=2m，試求系統(tǒng)的固有頻率和主振型。解：選擇x1、x2、x3坐標(biāo)如圖所示。則系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣分別為將M和K代入頻率方程第6頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解方程得到求出系統(tǒng)的三個(gè)固有頻率為=0代入第7頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月可得主振型第8頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月主坐標(biāo)和正則坐標(biāo)主振型的正交性主振型矩陣與正則振型矩陣主坐標(biāo)和正則坐標(biāo)第9頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月返回首頁(yè)n自由度的振動(dòng)系統(tǒng)，具有n個(gè)固有頻率和與之對(duì)應(yīng)的n階主振型。且這些主振型之間存在著關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正交性。對(duì)應(yīng)于兩邊左乘轉(zhuǎn)置，然后右乘

相減

第10頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月表明，對(duì)應(yīng)于不同固有頻率的主振型之間，既關(guān)于質(zhì)量矩陣相互正交，又關(guān)于剛度矩陣相互正交，這就是主振型的正交性。還可以證明，零固有頻率對(duì)應(yīng)的主振型也必定與系統(tǒng)的其它主振型關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣正交。

Ki稱為第i階主剛度或第i階模態(tài)剛度；Mi稱為第i階主質(zhì)量或第i階模態(tài)質(zhì)量。令j=i,第11頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月可見(jiàn)，由于主振型的正交性，不同階的主振動(dòng)之間不存在動(dòng)能的轉(zhuǎn)換，或者說(shuō)不存在慣性耦合。同樣可以證明第i階固有振動(dòng)的廣義彈性力在第j階固有振動(dòng)的微小位移上的元功之和也等于零，因此不同階固有振動(dòng)之間也不存在勢(shì)能的轉(zhuǎn)換，或者說(shuō)不存在彈性耦合。對(duì)于每一個(gè)主振動(dòng)來(lái)說(shuō)，它的動(dòng)能和勢(shì)能之和是個(gè)常數(shù)。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，每個(gè)主振動(dòng)內(nèi)部的動(dòng)能和勢(shì)能可以互相轉(zhuǎn)化，但各階主振動(dòng)之間不會(huì)發(fā)生能量的傳遞。因此，從能量的觀點(diǎn)看，各階主振動(dòng)是互相獨(dú)立的，這就是主振動(dòng)正交性的物理意義。第12頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月以各階主振型矢量為列，按順序排列成一個(gè)n×n階方陣，稱此方陣為主振型矩陣或模態(tài)矩陣，即根據(jù)主振型的正交性，可以導(dǎo)出主振型矩陣的兩個(gè)性質(zhì)主質(zhì)量矩陣主剛度矩陣第13頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月使MP由對(duì)角陣變換為單位陣正則振型的正交關(guān)系是第i階正則振型第i階固有頻率第14頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月以各階正則振型為列，依次排列成一個(gè)n×n階方陣，稱此方陣為正則振型矩陣，即由正交性可導(dǎo)出正則矩陣兩個(gè)性質(zhì)譜矩陣

第15頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在一般情況下，具有有限個(gè)自由度振動(dòng)系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣都不是對(duì)角陣。因此，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程中既有動(dòng)力偶合又有靜力偶合。對(duì)于n自由度無(wú)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)，有可能選擇這樣一組特殊坐標(biāo)，使方程中不出現(xiàn)偶合項(xiàng)亦即質(zhì)量矩陣和剛度矩陣都是對(duì)角陣，這樣每個(gè)方程可以視為單自由度問(wèn)題，稱這組坐標(biāo)為主坐標(biāo)或模態(tài)坐標(biāo)。由前面的討論可知，主振型矩陣AP與正則振型矩陣AN，均可使系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣轉(zhuǎn)換成為對(duì)角陣。因此，可利用主振型矩陣或正則振型矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換，以尋求主坐標(biāo)或正則坐標(biāo)。第16頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.正則坐標(biāo)用正則振型矩陣AN進(jìn)行坐標(biāo)變換，設(shè)正則坐標(biāo)矢量前乘以由正則振型矩陣的兩個(gè)性質(zhì)第17頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5試求例1中系統(tǒng)的主振型矩陣和正則振型矩陣。由質(zhì)量矩陣

，可求出主質(zhì)量矩陣解：將在例1中求得的各階主振型依次排列成方陣，得到主振型矩陣第18頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月于是，可得各階正則振型以各階正則振型為列，寫(xiě)出正則振型矩陣第19頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由剛度矩陣可求出譜矩陣可寫(xiě)出以正則坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)方程展開(kāi)式為第20頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月固有頻率相等的情況在前面的討論中，曾假設(shè)系統(tǒng)的固有頻率均不相等，而每個(gè)固有頻率對(duì)應(yīng)一個(gè)主振型。但復(fù)雜系統(tǒng)中也會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上頻率相等或相近的情形，這時(shí)相對(duì)應(yīng)的主振型就不能唯一地確定。為了說(shuō)明這一點(diǎn)，假設(shè)頻率方程有二重根?？蓪?xiě)出線性組合說(shuō)明對(duì)應(yīng)于ω0的主振型不能唯一地確定

兩個(gè)任意常數(shù)第21頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月因此，當(dāng)系統(tǒng)具有重根時(shí)，其等固有頻率的主振型要根據(jù)各振型間的正交性來(lái)確定。不僅所選定的A(1)和A(2)之間應(yīng)滿足對(duì)M、K的正交關(guān)系，而且還必須滿足與其它振型間關(guān)于M、K的正交關(guān)系。例6圖示系統(tǒng)是由兩個(gè)質(zhì)量均為m的質(zhì)點(diǎn)與一無(wú)重剛桿組成，且兩質(zhì)點(diǎn)又分別與彈簧常數(shù)為k的彈簧相連。試求該系統(tǒng)的固有頻率及主振型。第22頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：以系統(tǒng)的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)x1,x2

。寫(xiě)出系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為得到特征矩陣得到頻率方程解出系統(tǒng)的兩個(gè)固有頻率，是重根。

第23頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月需由正交化求得。由觀察系統(tǒng)的振動(dòng)現(xiàn)象可知，剛桿具有兩種運(yùn)動(dòng)即平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。因此可假設(shè)然后用兩振型關(guān)于M、