2023江蘇省高考數(shù)學(xué)真題

2024江蘇省高考數(shù)學(xué)真題2024年一般高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試江蘇卷數(shù)學(xué)全解全析

數(shù)學(xué)Ⅰ試題

留意事項(xiàng)

考生在答題前請仔細(xì)閱讀本留意事項(xiàng)及各題答題要求

1.本試卷共4頁，包含填空題（第1題——第14題）、解答題（第15題——第20題）。本卷滿分

160分，考試時(shí)間為120分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，請將本卷和答題卡一并交回。

2.答題前，請您務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的

規(guī)定位置。

3.請仔細(xì)核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與您本人是否相符。

4.請?jiān)诖痤}卡上根據(jù)晤挨次在對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無效。作答必需用0.5

毫米黑色墨水的簽字筆。請留意字體工整，筆跡清晰。

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清晰，線條、符號等須加黑、加粗。

6.請保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損。

參考公式：

1

錐體的體積公式:V錐體=

Sh，其中S是錐體的底面積，h是高。

3

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分。請把答案填寫在答題．卡．相．應(yīng)．的．位．．置．上．.

1、設(shè)集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，則實(shí)數(shù)a=______▲_____.

2、設(shè)復(fù)數(shù)z滿意z(2-3i)=6+4i（其中i為虛數(shù)單位），則z的模為______▲_____.

3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若從中隨機(jī)地摸出兩只球，兩只球顏色不同

的概率是_▲__.

4、某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機(jī)抽取

了100根棉花纖維的長度（棉花纖維的長度是棉花質(zhì)

量的重要指標(biāo)），所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間中，其頻率

分布直方圖如圖所示，則其抽樣的100根中，有_▲___

根在棉花纖維的長度小于20mm。

5、設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=_______▲_________

2y

2

x

6、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線1

上一點(diǎn)M，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3，則M到412

雙曲線右焦點(diǎn)的距離是___▲_______

7、右圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出S的值是______▲_______

8、函數(shù)y=x2(x>0)的圖像在點(diǎn)(ak,ak2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak+1,k為正整數(shù)，a1=16，則a1+a3+a5=____▲_____

2y2

9、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x4上有且僅有四個(gè)點(diǎn)到直線12x-5y+c=0的

距離為1，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是______▲_____

10、定義在區(qū)間0,上的函數(shù)y=6cosx的圖像與y=5tanx的圖像的交點(diǎn)為P，過點(diǎn)P作

2

PP1⊥x軸于點(diǎn)P1，直線PP1與y=sinx的圖像交于點(diǎn)P2,則線段P1P2的長為_______▲_____。

11、已知函數(shù)f(x)

21,0

xx

1,x0

2

f(1x)f(2x)的x的范圍是__▲___。

,則滿意不等式

12、設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿意3≤

2

xy≤8，4≤

2

x

y

≤9，則

3

4

x

y

的最大值是▲。

ba

13、在銳角三角形ABC，A、B、C的對邊分別

為a、b、c，6cos

abC

，則

tanCtanC

tanAtanB

=____▲_____。

14、將邊長為1m正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記2

(梯形的周長）

S

,則S的最小值是____▲____。梯形的面積

二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分，請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明或演算步驟.

15、（本小題滿分14分）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。

(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；

(2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿意(ABtOC)·OC=0，求t的值。

16、（本小題滿分14分）

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。

(1)求證：PC⊥BC；

(2)求點(diǎn)A到平面PBC的距離。

17、（本小題滿分14分）

某愛好小組測量電視塔AE的高度H(單位：m），如示意圖，垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。

(1)該小組已經(jīng)測得一組、的值，tan=1.24，tan=1.20，請據(jù)此算出H的值；

(2)該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d

（單位：m），使與之差較大，可以提高測量精確度。若電視塔的

實(shí)際高度為125m，試問d為多少時(shí)，-最大？

18、（本小題滿分16分）

2y2x

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，如圖，已知橢圓1

的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為95F。設(shè)過點(diǎn)T（t,m）的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M(x1,y1)、N(x2,y2)，其中m>0,y10,y20。

2PB

2

（1）設(shè)動點(diǎn)P滿意PF4,求點(diǎn)P的軌跡；

（2）設(shè)

1

x12,x2，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；

3

（3）設(shè)t9,求證：直線MN必過x軸上的肯定點(diǎn)（其坐

標(biāo)與m無關(guān)）。

19、（本小題滿分16分）

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知2a2a1a3，數(shù)列Sn是公差為d

的等差數(shù)列。

（1）求數(shù)列a的通項(xiàng)公式（用n,d表示）；

n

（2）設(shè)c為實(shí)數(shù)，對滿意mn3k且mn的任意正整數(shù)m,n,k，不等式SmSncSk

都成立。求證：c的最大值為

9

2

。

20、（本小題滿分16分）

設(shè)f(x)是定義在區(qū)間(1,)上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f'(x)。假如存在實(shí)數(shù)a和函數(shù)

2ax

h(x)，其中h(x)對任意的x(1,)都有h(x)>0，使得f'(x)h(x)(x1)，則稱

函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(a)。

(1)設(shè)函數(shù)f(x)

b2

lnx(x1)

x1

，其中b為實(shí)數(shù)。

(i)求證：函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(b)；(ii)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。

(2)已知函數(shù)g(x)具有性質(zhì)P(2)。給定x1,x2(1,),x1x2,設(shè)m為實(shí)數(shù)，

mx1(1m)x，(1m)x1mx2，且1,1，

2

若|g()g()|0，

所以對任意的x(1,)都有g(shù)(x)0，g(x)在(1,)上遞增。又x1x2,(2m1)(x1x2)。

當(dāng)

1

m,m1時(shí)，，且x1(m1)x1(1m)x2,x2(1m)x1(m1)x2，2

綜合以上爭論，得：所求m的取值范圍是（0，1）。

（方法二）由題設(shè)知，g(x)的導(dǎo)函數(shù)g'(x)h(x)(x22x1)，其中函數(shù)h(x)0對于任

意的x(1,)都成立。所以，當(dāng)x1時(shí)，

2

g'(x)h(x)(x1)0，從而g(x)在區(qū)間

(1,)上單調(diào)遞

增

。

①當(dāng)m(0,1)時(shí)，有mx

1(1m)x2mx1(1m)x1x1，

mx1(1m)x2mx2(1m)x2x2，得(x1,x2)，同理可得(x1,x2)，所以

由g(x)的單調(diào)性知g()、g()(g(x),g(x))，

12

從而有|g()g()|<|()()

gx1gx|，符合題設(shè)。

2

②當(dāng)m0時(shí)，mx1(1m)x2mx2(1m)x2x2，

(1m)xmx(1m)xmxx，于是由1,1及g(x)的單調(diào)性知

12111

g()g(x)g(x)g()，所以|g()g()|≥|g(x1)g(x2)|，與題設(shè)不符。

12

③當(dāng)m1時(shí)，同理可得

x1,x2，進(jìn)而得|g()g()|≥|g(x1)g(x2)|，與題設(shè)不符。

因此綜合①、②、③得所求的m的取值范圍是（0，1）。

21、A本題主要考查三角形、圓的有關(guān)學(xué)問，考查推理論證能

力

。

（方法一）證明：連結(jié)OD，則：

OD⊥DC，

又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，

∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，

所以∠DCO=300，∠DOC=600，

所以O(shè)C=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。

（方法二）證明：連結(jié)OD、BD。

由于AB是圓O的直徑，所以∠ADB=900，AB=2OB。

由于DC是圓O的切線，所以∠CDO=900。

又由于

DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，

于是△ADB≌△CDO，從而AB=CO。

即2OB=OB+BC，得OB=BC。

故AB=2BC。

B本題主要考查圖形在矩陣對應(yīng)的變換下的變化特點(diǎn)，考查運(yùn)算求解力量。滿分10分。

解：由題設(shè)得MN

k0010k011010

由

0k02200k10001022

，可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（k，-2）。

計(jì)算得△ABC面積的面積是1，△A1B1C1的面積是|k|，則由題設(shè)知：|k|212。所以k的值為2或-2。

C本題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程等基本學(xué)問，考查轉(zhuǎn)化問題的力量。滿分10分。解：

22cos，圓ρ=2cosθ的一般方程為：222,(1)2

21

xyxxy，

直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的一般方程為：3x4ya0，

又圓與直線相切，所以

|3140a|2234

解得：a2，或a8。1,

D本題主要考查證明不等式的基本方法，考查推理論證的力量。滿分10分。（方法一）證明：33(22

)2()2()

abababaaabbbba

55

(ab)

2432234

(ab)由于實(shí)數(shù)a、b≥0，2432234

(ab)0,0

所以上式≥0。即有33(22)

ababab。

（方法二）證明：由a、b是非負(fù)實(shí)數(shù)，作差得33(22

)2()2()abababaaabbbba

55

(ab)

當(dāng)ab

時(shí)，ab，從而

55(a)(b)，得

55(ab)0；

當(dāng)ab時(shí)，ab，從而

55

(a)(b)，得

55

(ab)0；

所以33(22)

ababab。

22、本題主要考查概率的有關(guān)學(xué)問，考查運(yùn)算求解力量。滿分10分。解：（1）由題設(shè)知，X的可能取值為10，5，2，-3，且

P（X=10）=0.8×0.9=0.72，P（X=5）=0.2×0.9=0.18，

P（X=2）=0.8×0.1=0.08，P（X=-3）=0.2×0.1=0.02。

由此得X的分布列為：

X1052-3

P0.720.180.080.02

（2）設(shè)生產(chǎn)的4件甲產(chǎn)品中一等品有n件，則二等品有4n件。

由題設(shè)知4n(4n)10，解得又nN，得n3，或n4。

14n，

5

所求概率為

334

PC40.80.20.80.8192

答：生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤不少于10萬元的概率為0.8192。

23、本題主要考查余弦定理、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)學(xué)問，考查推理論證的力量與分析問題、解決問題的力量。滿分10分。

（方法一）（1）證明：設(shè)三邊長分別為a,b,c，cosA

222

bca

2bc

，∵a,b,c是有理

數(shù)，

222

bca是有理數(shù)，分母2bc為正有理數(shù)，又有理數(shù)集對于除法的具有封閉性，

∴

222

bca

2bc

必為有理數(shù)，∴cosA是有理數(shù)。

（2）①當(dāng)n1時(shí)，明顯cosA是有理數(shù)；

當(dāng)n2時(shí)，∵

2

cos2A2cosA1，由于cosA是有理數(shù)，∴cos2A也是有理數(shù)；

②假設(shè)當(dāng)nk(k2)時(shí)，結(jié)論成立，即coskA、cos(k1)A均是有理數(shù)。當(dāng)nk1時(shí)，cos(k1)AcoskAcosAsinkAsinA，

1

cos(k1)AcoskAcosA，