微積分發(fā)展簡(jiǎn)史-PowerPoint演示文稿課件

聊聊天微積分的產(chǎn)生——17、18、19世紀(jì)的微積分.很久很久以前,在很遠(yuǎn)很遠(yuǎn)的一塊古老的土地上,有一群智者……開普勒、笛卡爾、卡瓦列里、費(fèi)馬、帕斯卡、格雷戈里、羅伯瓦爾、惠更斯、巴羅、瓦里斯、牛頓、萊布尼茨、…….聊聊天微積分的產(chǎn)生——17、18、19世紀(jì)的微積分.很久很久1任何研究工作的開端，幾乎都是極不完美的嘗試，且通常并不成功。每一條通向某個(gè)目的地的路都有許多未知的真理，唯有一一嘗試，方能覓得捷徑。也只有甘愿冒險(xiǎn)，才能將正確的途徑示以他人?！梢赃@樣說(shuō)，為了尋找真理，我們是注定要經(jīng)歷挫折和失敗的?！业铝_十七世紀(jì)的微積分任何研究工作的開端，幾乎都是極不完美的嘗試，2任何重要思想的起源都可以追溯到幾十年或幾百年以前，函數(shù)的概念也是如此。直到17世紀(jì)，人們對(duì)函數(shù)才有了明確的理解。函數(shù)概念的提出，與伽利略和格雷戈里有關(guān)。格雷戈里將函數(shù)定義為這樣一個(gè)量：它是其他的量經(jīng)過(guò)一系列代數(shù)運(yùn)算而得到的，或者經(jīng)過(guò)任何其他可以想象到的運(yùn)算而得到的。任何重要思想的起源都可以追溯到幾十年或幾百3因?yàn)檫@個(gè)定義太窄，所以很快就被遺忘了，并被陸續(xù)出現(xiàn)的其它關(guān)于函數(shù)的定義替代。但即使是最簡(jiǎn)單的函數(shù)也會(huì)涉及到實(shí)數(shù)。而無(wú)理數(shù)在17世紀(jì)時(shí)并不被人們充分了解，于是，人們?cè)谔幚頂?shù)值時(shí)就跳過(guò)邏輯，對(duì)函數(shù)也是如此。在1650年以前，無(wú)理數(shù)就一直被人們隨心所欲地使用著。因?yàn)檫@個(gè)定義太窄，所以很快就被遺忘了，并被陸4緊接著函數(shù)概念的采用，產(chǎn)生了微積分，它是繼歐幾里德幾何之后，全部數(shù)學(xué)中的一個(gè)最偉大的創(chuàng)造。雖然在某種程度上，它是已被古希臘人處理過(guò)的那些問(wèn)題的解答，但是，微積分的創(chuàng)立，首先還是為了處理十七世紀(jì)主要的科學(xué)問(wèn)題的。緊接著函數(shù)概念的采用，產(chǎn)生了微積分，它是繼歐5哪些主要的科學(xué)問(wèn)題呢?有四種主要類型的問(wèn)題.Archimedes哪些主要的科學(xué)問(wèn)題呢?有四種主要類型的問(wèn)題.Archimed6第一類問(wèn)題已知物體移動(dòng)的距離表為時(shí)間的函數(shù)的公式，求物體在任意時(shí)刻的速度和加速度；反過(guò)來(lái)，已知物體的加速度表為時(shí)間的函數(shù)的公式，求速度和距離。第一類問(wèn)題已知物體移動(dòng)的距離表7困難在于：十七世紀(jì)所涉及的速度和加速度每時(shí)每刻都在變化。例如，計(jì)算瞬時(shí)速度，就不能象計(jì)算平均速度那樣，用運(yùn)動(dòng)的時(shí)間去除移動(dòng)的距離，因?yàn)樵诮o定的瞬刻，移動(dòng)的距離和所用的時(shí)間都是0，而0/0是無(wú)意義的。但根據(jù)物理學(xué)，每個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體在它運(yùn)動(dòng)的每一時(shí)刻必有速度，是不容懷疑的。第一類問(wèn)題困難在于：十七世紀(jì)所涉及的速度和加速度每時(shí)每8求曲線的切線。這個(gè)問(wèn)題的重要性來(lái)源于好幾個(gè)方面：純幾何問(wèn)題、光學(xué)中研究光線通過(guò)透鏡的通道問(wèn)題、運(yùn)動(dòng)物體在它的軌跡上任意一點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)方向問(wèn)題等。第二類問(wèn)題求曲線的切線。第二類問(wèn)題9第二類問(wèn)題困難在于：曲線的“切線”的定義本身就是一個(gè)沒(méi)有解決的問(wèn)題。古希臘人把圓錐曲線的切線定義為“與曲線只接觸于一點(diǎn)而且位于曲線的一邊的直線”。這個(gè)定義對(duì)于十七世紀(jì)所用的較復(fù)雜的曲線已經(jīng)不適應(yīng)了。第二類問(wèn)題困難在于：曲線的“切10第三類問(wèn)題求函數(shù)的最大最小值問(wèn)題。十七世紀(jì)初期，伽利略斷定，在真空中以角發(fā)射炮彈時(shí)，射程最大。研究行星運(yùn)動(dòng)也涉及最大最小值問(wèn)題。第三類問(wèn)題求函數(shù)的最大最小值問(wèn)11困難在于：原有的初等計(jì)算方法已不適于解決研究中出現(xiàn)的問(wèn)題。但新的方法尚無(wú)眉目。第三類問(wèn)題困難在于：原有的初等計(jì)算方法已不適于解決研究12第四類問(wèn)題求曲線的長(zhǎng)度、曲線所圍成的面積、曲面所圍成的體積、物體的重心、一個(gè)體積相當(dāng)大的物體作用于另一個(gè)物體上的引力。第四類問(wèn)題求曲線的長(zhǎng)度、曲線所13困難在于：古希臘人用窮竭法求出了一些面積和體積，盡管他們只是對(duì)于比較簡(jiǎn)單的面積和體積應(yīng)用了這個(gè)方法，但也必須添加許多技巧，因?yàn)檫@個(gè)方法缺乏一般性，而且經(jīng)常得不到數(shù)值的解答。窮竭法先是被逐步修改，后來(lái)由微積分的創(chuàng)立而被根本修改了。第四類問(wèn)題困難在于：古希臘人用窮竭法求出了一些面積和體14歐多克斯的窮竭法是一種有限且相當(dāng)復(fù)雜的幾何方法。它的思想雖然古老，但很重要，阿基米德用得相當(dāng)熟練，我們就用他的一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明一下這種方法?？匆幌掳⒒椎略谧C明兩個(gè)圓的面積比等于其直徑平方比所作的工作。Archimedes歐多克斯的窮竭法是一種有限且相當(dāng)復(fù)雜的幾何方15阿基米德證明的主要精神是證明圓可以被圓內(nèi)接多邊形窮竭。在圓里面內(nèi)接一個(gè)正方形，其面積大于圓面積的1/2（因?yàn)樗笥趫A外切正方形面積的1/2，而外切正方形的面積大于圓的面積。）阿基米德證明的主要精神是證明圓可以被圓內(nèi)接多16設(shè)AB是內(nèi)接正方形的一邊，平分弧AB于點(diǎn)C處并連接AC與CB。作C處的切線，并作AD及BE垂直于切線。（一半的三角形ABC的面積大于弓形ACB面積的一半。

對(duì)正方形的每邊都這樣做，得到一個(gè)正八邊形。從而，ABED是一個(gè)矩形，其面積大于弓形ACB的面積。因此，等于矩形面積設(shè)AB是內(nèi)接正方形的一邊，平分弧AB178邊形所得到的八邊形不僅包含正方形且包含圓與正方形面積之差的一半以上。8邊形所得到的八邊形不僅包含正方形且18在八邊形的每邊上也可按照在AB上作三角形ABC那樣地作一個(gè)三角形，從而得到一個(gè)正十六邊形。16邊形在八邊形的每邊上也可按照在AB上作三角形A1932邊形64邊形

16邊形這個(gè)正十六邊形不僅包含八邊形且包含圓與八邊形面積之差的一半以上。這種做法你想做多少次就可以做多少次。可以肯定，圓與某一邊數(shù)足夠多的正多邊形面積之差可以弄得比任何預(yù)先給定的量還要小。32邊形64邊形16邊形20希臘數(shù)學(xué)的重大成就之一，是將許多數(shù)學(xué)命題和定理按邏輯上連貫的方式歸為為數(shù)不多的非常簡(jiǎn)單的公設(shè)或公理。即熟知的幾何公理和算術(shù)法則，它們支配著如整數(shù)、幾何點(diǎn)這樣一些基本對(duì)象之間的關(guān)系。這些基本對(duì)象是作為客觀現(xiàn)實(shí)的抽象或理想化而產(chǎn)生的。希臘數(shù)學(xué)的重大成就之一，是將許多數(shù)學(xué)命題和定21各項(xiàng)公理，或因從哲學(xué)觀點(diǎn)看可以認(rèn)為是“顯然”的，或僅僅因其非常有說(shuō)服力，而被不加證明地予以接受。這可靠嗎？各項(xiàng)公理，或因從哲學(xué)觀點(diǎn)看可以認(rèn)為是“顯然”22已定型的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)就建立在這些公理的基礎(chǔ)之上。在后來(lái)的許多世紀(jì)中，公理化的歐幾里德數(shù)學(xué)曾被認(rèn)為是數(shù)學(xué)體系的典范，甚至為其他學(xué)科所努力效仿。（例如，像笛卡爾、斯賓諾沙等哲學(xué)家，就曾試圖把他們的學(xué)說(shuō)用公理方式，或者如他們所說(shuō)，“更加幾何化”地提出來(lái)，以便使之更有說(shuō)服力。）已定型的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)就建立在這些公理的基礎(chǔ)之上。23經(jīng)過(guò)中世紀(jì)的停滯時(shí)期后，數(shù)學(xué)同自然科學(xué)一起，在新出現(xiàn)的微積分的基礎(chǔ)上開始了突飛猛進(jìn)的發(fā)展，這時(shí)公理化的方法才被人們遺棄了。經(jīng)過(guò)中世紀(jì)的停滯時(shí)期后，數(shù)學(xué)同自然科學(xué)一起，24曾經(jīng)極其廣泛地開拓了數(shù)學(xué)領(lǐng)域的有創(chuàng)造才能的先驅(qū)們，并不因?yàn)橐惯@些新發(fā)現(xiàn)受制于協(xié)調(diào)的邏輯分析而束縛住自己，因此，在十七世紀(jì)，逐漸廣泛地采用直觀證據(jù)來(lái)代替演繹的證明。一些第一流的數(shù)學(xué)家在確實(shí)感到結(jié)論無(wú)誤地情況下，運(yùn)用了一些新的概念，有時(shí)甚至運(yùn)用一些神秘的聯(lián)想。由于對(duì)微積分新方法的全面威力的信念，促使研究者們走得很遠(yuǎn)（如果束縛于嚴(yán)格的限制的框架上，這將是不可能的）。不過(guò)只有具備卓越才能的數(shù)學(xué)大師們才有可能能避免發(fā)生大錯(cuò)。曾經(jīng)極其廣泛地開拓了數(shù)學(xué)領(lǐng)域的有創(chuàng)造才能的先25微積分不僅使用了函數(shù)概念，還引入了兩個(gè)全新的且更為復(fù)雜的概念：微分和積分。這樣，除了用來(lái)處理數(shù)值所需要的基礎(chǔ)外，還需要邏輯方面的基礎(chǔ)。微積分不僅使用了函數(shù)概念，還引入了兩個(gè)全新的26微分與積分是分析中的兩種基本的極限過(guò)程。這兩種過(guò)程的一些特殊的情況，甚至在古代就已經(jīng)有人考慮過(guò)（在阿基米德工作中達(dá)到高峰），而在十六世紀(jì)和十七世紀(jì)，更是越來(lái)越受到人們的重視。然而，微積分的系統(tǒng)發(fā)展是在十七世紀(jì)才開始的，通常認(rèn)為是牛頓和萊布尼茨兩位偉大的科學(xué)先驅(qū)的創(chuàng)造。這一系統(tǒng)發(fā)展的關(guān)鍵在于認(rèn)識(shí)到：過(guò)去一直分別研究的微分和積分這兩個(gè)過(guò)程，實(shí)際上是彼此互逆的聯(lián)系著。微分與積分是分析中的兩種基本的極限過(guò)程。這兩27公正的歷史評(píng)價(jià)，是不能把創(chuàng)建微積分歸功于一兩個(gè)人的偶然的或不可思議的靈感的。許多人，例如，費(fèi)馬、伽利略、開普勒、巴羅等都曾為科學(xué)中的這些具有革命性的新思想所鼓舞，對(duì)微積分的奠基作出過(guò)貢獻(xiàn)。事實(shí)上，牛頓的老師巴羅，就曾經(jīng)幾乎充分認(rèn)識(shí)到微分與積分之間的互逆關(guān)系。牛頓和萊布尼茨創(chuàng)建的系統(tǒng)的微積分就是基于這一基本思想。公正的歷史評(píng)價(jià)，是不能把創(chuàng)建微積分歸功于一兩28如果我們考慮用小球下落中時(shí)間間隔來(lái)代替時(shí)刻，用它在這一段時(shí)間間隔內(nèi)下降的距離除以所用時(shí)間，就得到這一間隔中小球的平均速度。我們可以計(jì)算從第四秒起，間隔為1/2秒，1/4秒，1/8秒，……內(nèi)的平均速度。顯然，時(shí)間間隔越短，計(jì)算出來(lái)的平均速度就越接近第四秒時(shí)的速度。這就是說(shuō)，我們有了一個(gè)方案：首先計(jì)算不同時(shí)間間隔內(nèi)的平均速度，然后研究當(dāng)時(shí)間間隔越來(lái)越小時(shí)，它們會(huì)趨近于哪一個(gè)數(shù)。這個(gè)數(shù)就是要求的小球在第四秒時(shí)第瞬時(shí)速度。費(fèi)馬研究的一個(gè)問(wèn)題假設(shè)一個(gè)小球正向地面落去，我們想知道下落后第4秒時(shí)小球的速度（瞬時(shí)速度）。如果我們考慮用小球下落中時(shí)間間隔來(lái)代替時(shí)刻，29小球下落的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可用下面的公式描述：費(fèi)馬所在時(shí)代用的是英制單位設(shè)任意一個(gè)時(shí)間增量是h，在第（4+h）秒時(shí)，小球會(huì)下降256英尺加上距離增量k:即小球下落的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可用下面的公式描述：費(fèi)馬所在時(shí)代用的是英制30在h秒內(nèi)（時(shí)間間隔）的平均速度為幸好費(fèi)馬作了這個(gè)現(xiàn)在看來(lái)并不合理的除法運(yùn)算，……令h=0，得到小球在第四秒時(shí)的下落速度?在h秒內(nèi)（時(shí)間間隔）的平均速度為幸好費(fèi)馬31費(fèi)馬推導(dǎo)的問(wèn)題所在這樣就不能令h=0而得出結(jié)論。此外,對(duì)于這樣簡(jiǎn)單的函數(shù),可以進(jìn)行上述化簡(jiǎn)工作,而對(duì)于更為復(fù)雜的函數(shù),就不一定可以進(jìn)行這樣的化簡(jiǎn)工作了,一般只能導(dǎo)出如下的關(guān)系式：,這樣，當(dāng)h=0時(shí)，k/h就是0/0了，這是沒(méi)有意義的。費(fèi)馬推導(dǎo)的問(wèn)題所在這樣就不能令h=0而得出結(jié)論。32費(fèi)馬一直沒(méi)能證明他所做的這些，也沒(méi)有把這項(xiàng)工作非常深入地進(jìn)行下去，但他堅(jiān)信最終可以得到一個(gè)合理的幾何證明。盡管如此，事實(shí)上我們必須承認(rèn)他是微積分學(xué)的創(chuàng)始人之一。費(fèi)馬推導(dǎo)的問(wèn)題所在費(fèi)馬一直沒(méi)能證明他所做的這些，也沒(méi)有把這項(xiàng)工33

這里的問(wèn)題是，當(dāng)把非均勻變化的問(wèn)題看成均勻變化時(shí)，能表示為兩個(gè)量的商的形式，則此時(shí)處理非均勻變化問(wèn)題，可以采用……？？？用什么方法？我們以后再慢慢講。它是微分學(xué)的問(wèn)題。這里的問(wèn)題是，當(dāng)把非均勻變化的問(wèn)題看成均34古希臘人研究過(guò)的面積問(wèn)題古希臘人研究過(guò)的面積問(wèn)題35微積分發(fā)展簡(jiǎn)史-PowerPoint演示文稿課件36微積分發(fā)展簡(jiǎn)史-PowerPoint演示文稿課件37直觀地看，小矩形越多，其面積和就越接近于所求曲線下的面積。如何求此面積的精確值？直觀地看，小矩形越多，其面積和就越接近于所求3817世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們解決這個(gè)問(wèn)題的方法是讓n變成無(wú)窮大。然而，無(wú)窮大的含義本身就不清楚。它是一個(gè)數(shù)嗎？如果是，怎么對(duì)它進(jìn)行計(jì)算呢？如果它不是一個(gè)數(shù)，那它又是什么呢？17世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們解決這個(gè)問(wèn)題的方法是讓n39費(fèi)馬在推導(dǎo)求面積的公式時(shí)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)n為無(wú)窮大時(shí)，包含的1/n和1/n2

項(xiàng)可以忽略不計(jì)?？ㄍ吡欣飳⑸厦嬗懻摰拿娣e看成無(wú)限多個(gè)他稱之為不可分量（牛頓稱之為終結(jié)不可分量）的總和。這個(gè)終結(jié)不可分量到底是什么？當(dāng)時(shí)沒(méi)有人能將它說(shuō)清楚。牛頓后來(lái)甚至重申他已經(jīng)放棄了終結(jié)不可分量，而卡瓦列里只是說(shuō)，把一塊面積分割為越來(lái)越小的小矩形時(shí)，最終就會(huì)得到終結(jié)不可分量，面積就是由這些終結(jié)不可分量組成的。終結(jié)不可分量后來(lái)發(fā)展為無(wú)窮小量。費(fèi)馬在推導(dǎo)求面積的公式時(shí)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)n為無(wú)窮40用什么方法？我們以后再慢慢講。它是積分學(xué)的問(wèn)題。這里的問(wèn)題是，當(dāng)把非均勻變化的問(wèn)題看成均勻變化時(shí)，能表示為兩個(gè)量的積的形式，則此時(shí)處理非均勻變化問(wèn)題，可以采用……？？？用什么方法？我們以后再慢慢講。這41牛頓與萊布尼茨實(shí)際上在牛頓與萊布尼茨作出他們的沖刺之前，微積分的大量知識(shí)已經(jīng)積累起來(lái)了。甚至在巴羅的一本書里就能看到求切線的方法、兩個(gè)函數(shù)的積和商的微分定理、x

的冪的微分、求曲線的長(zhǎng)度、定積分中的變量代換、隱函數(shù)的微分定理等等。牛頓與萊布尼茨實(shí)際上在牛頓與萊布尼茨作出42牛頓與萊布尼茨于是人們驚問(wèn)，在主要的新結(jié)果方面，還有什么有待于發(fā)現(xiàn)呢？問(wèn)題的回答是，方法的較大普遍性以及從特殊問(wèn)題里已建立起來(lái)的東西中認(rèn)識(shí)其普遍性。牛頓與萊布尼茨于是人們驚問(wèn)，在主要的新43牛頓與萊布尼茨數(shù)學(xué)的真正劃分不是分為幾何和算術(shù)，而是分成普遍的和特殊的。這普遍的東西是由兩個(gè)包羅萬(wàn)象的思想家，牛頓和萊布尼茨提供的。牛頓與萊布尼茨數(shù)學(xué)的真正劃分不是分為幾何441.牛頓（Newton）數(shù)學(xué)和科學(xué)中的巨大進(jìn)展，幾乎總是建立在幾百年中作出一點(diǎn)一滴貢獻(xiàn)的許多人的工作之上的。需要有一個(gè)人來(lái)走那最高和最后的一步，這個(gè)人要能足夠敏銳地從紛亂的猜測(cè)和說(shuō)明中清理出前人的有價(jià)值的想法，有足夠想象力地把這些碎片重新組織起來(lái)，并且能足夠大膽地制定一個(gè)宏偉的計(jì)劃。在微積分中，這個(gè)人就是牛頓。1.牛頓（Newton）數(shù)學(xué)和科學(xué)中的巨45牛頓（1642~1727年），英國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、自然哲學(xué)家。生于英格蘭林肯郡伍爾索普的一個(gè)小村莊里。他的母親在那里管理著丈夫遺留下來(lái)的農(nóng)莊，他父親是在他出生前兩個(gè)月去世的。牛頓（1642~1727年），英國(guó)數(shù)學(xué)家、物46少年時(shí)期，牛頓在一個(gè)低標(biāo)準(zhǔn)的地方學(xué)校接受教育，而且是一個(gè)除了對(duì)機(jī)械有興趣以外，沒(méi)有特殊才華的青年人。

少年時(shí)期，牛頓在一個(gè)低標(biāo)準(zhǔn)的地方學(xué)校接受教育471661年他進(jìn)入了劍橋大學(xué)的三一學(xué)院，安靜而沒(méi)有阻力地學(xué)習(xí)著自然哲學(xué)。1665年牛頓剛結(jié)束他的大學(xué)課程，學(xué)校就因?yàn)閭惗氐貐^(qū)鼠疫流行而關(guān)閉。他離開劍橋，回到家鄉(xiāng)，在那里開始了他在機(jī)械、數(shù)學(xué)和光學(xué)上的偉大工作，于1665-1666年間做出流數(shù)術(shù)、萬(wàn)有引力和光的分析三大發(fā)明，年僅23歲。1661年他進(jìn)入了劍橋大學(xué)的三一學(xué)院，安靜而481667年牛頓回到劍橋，獲得碩士學(xué)位，成為三一學(xué)院的研究員。1669年牛頓接替他的數(shù)學(xué)老師巴羅的職位，擔(dān)任盧卡斯數(shù)學(xué)教授。他不是一個(gè)成功的教師，聽(tīng)他課的學(xué)生很少。1667年牛頓回到劍橋，獲得碩士學(xué)位，成為三49他提出的創(chuàng)造性的材料也沒(méi)有受到同事們的注意，只有巴羅及天文學(xué)家哈雷認(rèn)識(shí)到他的偉大，并給他以鼓勵(lì)。牛頓涉獵的學(xué)科很多，知識(shí)面很廣。他從事過(guò)光學(xué)、天體力學(xué)、數(shù)學(xué)、化學(xué)、流體靜力學(xué)、流體動(dòng)力學(xué)、物理學(xué)方面的研究工作，還自己動(dòng)手制作實(shí)驗(yàn)裝置，甚至自己制作了兩臺(tái)反射望遠(yuǎn)鏡（制作出做架子用的合金、澆鑄框架、做底座、磨光鏡頭等。）他提出的創(chuàng)造性的材料也沒(méi)有受到同事們的注意，只有巴羅50他在數(shù)學(xué)上以創(chuàng)建微積分而著稱，其流數(shù)法（即物質(zhì)的變化率）始于1665年，系統(tǒng)敘述于《流數(shù)法和無(wú)窮級(jí)數(shù)》（1671年完成，1736年出版），首先發(fā)表在《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》（1687）中。其中借助運(yùn)動(dòng)學(xué)中描述的連續(xù)量及其變化率闡述他的流數(shù)理論，并創(chuàng)用字母上加一點(diǎn)的符號(hào)表示流動(dòng)變化率（即導(dǎo)數(shù)符號(hào)）。他在數(shù)學(xué)上以創(chuàng)建微積分而著稱，其流數(shù)法（即物質(zhì)的變化51討論的基本問(wèn)題是：已知流量間的關(guān)系，求它們的流數(shù)的關(guān)系以及逆運(yùn)算，確立了微分與積分這兩類運(yùn)算的互逆關(guān)系，即微積分基本定理。他用級(jí)數(shù)處理微分和積分，已對(duì)級(jí)數(shù)的收斂和發(fā)散有所認(rèn)識(shí)。他也研究微分方程、隱函數(shù)微分、曲線切線、曲線曲率、曲線的拐點(diǎn)和曲線長(zhǎng)度等。討論的基本問(wèn)題是：已知流量間的關(guān)系，求它們的流數(shù)的關(guān)系以52此外他還論述了有理指數(shù)的二項(xiàng)定理（1664年）以及數(shù)論、解析幾何、曲線分類、變分法等中的有關(guān)問(wèn)題。此外他還論述了有理指數(shù)的二項(xiàng)定理（1664年）以及數(shù)53他在物理學(xué)上發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力定律（1666-1684年），并據(jù)此指出行星運(yùn)行成橢圓軌道的原因。1666年用三棱鏡實(shí)驗(yàn)光的色散現(xiàn)象，1668年發(fā)明并親手制作了第一架反射望遠(yuǎn)鏡。

他在物理學(xué)上發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力定律（1666-1684年54他在哲學(xué)上深信物質(zhì)、運(yùn)動(dòng)、空間和時(shí)間的客觀存在性，堅(jiān)持用觀察和實(shí)驗(yàn)方法發(fā)現(xiàn)自然界的規(guī)律，力求用數(shù)學(xué)定量方法表述的定律說(shuō)明自然現(xiàn)象，其科學(xué)研究方法支配后世近300年的物理學(xué)研究。

他在哲學(xué)上深信物質(zhì)、運(yùn)動(dòng)、空間和時(shí)間的客觀存在性，堅(jiān)55晚年的牛頓變得消沉，精神幾乎崩潰。他放棄研究工作，于1695年接受任命，擔(dān)任大英造幣廠監(jiān)察。1705年，封為爵士，享年85歲。牛頓對(duì)于他一生的成就，一直是十分謙虛的。晚年的牛頓變得消沉，精神幾乎崩潰。他放棄研究工作，于562.萊布尼茨（Leibniz）萊布尼茨（1646~1716年）是在建立微積分中唯一可以與牛頓并列的科學(xué)家。他研究法律，在答辯了關(guān)于邏輯的論文后，得到哲學(xué)學(xué)士學(xué)位。1666年以論文《論組合的藝術(shù)》獲得阿爾特道夫大學(xué)哲學(xué)博士學(xué)位，同時(shí)獲得該校的教授席位。2.萊布尼茨（Leibniz）萊布尼茨（571671年，他制造了他的計(jì)算機(jī)。1672年3月作為梅因茲的選帝侯大使，政治出差導(dǎo)巴黎。這次訪問(wèn)使他同數(shù)學(xué)家和科學(xué)家有了接觸，激起了他對(duì)數(shù)學(xué)的興趣?？梢哉f(shuō)，在此之前（1672年前）萊布尼茨基本上不懂?dāng)?shù)學(xué)。1671年，他制造了他的計(jì)算機(jī)。1672年3581673年他到倫敦，遇到另一些數(shù)學(xué)家和科學(xué)家，促使他更加深入地鉆研數(shù)學(xué)。雖然萊布尼茨靠做外交官生活，卷入各種政治活動(dòng)，但他的科學(xué)研究工作領(lǐng)域是廣泛的，他的業(yè)余生活的活動(dòng)范圍是龐大的。

1673年他到倫敦，遇到另一些數(shù)學(xué)家和科學(xué)家59除了是外交官外，萊布尼茨還是哲學(xué)家、法學(xué)家、歷史學(xué)家、語(yǔ)言學(xué)家和先驅(qū)的地質(zhì)學(xué)家，他在邏輯學(xué)、力學(xué)、數(shù)學(xué)、流體靜力學(xué)、氣體學(xué)、航海學(xué)和計(jì)算機(jī)方面做了重要工作。雖然他的教授席位是法學(xué)的，但他在數(shù)學(xué)和哲學(xué)方面的著作被列于世界上曾產(chǎn)生過(guò)的最優(yōu)秀的著作中。他用通信保持和人們的接觸，最遠(yuǎn)的到錫蘭（Ceylon）和中國(guó)。除了是外交官外，萊布尼茨還是哲學(xué)家、法學(xué)家、60他于1669年提議建立德國(guó)科學(xué)院，從事對(duì)人類有益的力學(xué)中的發(fā)明和化學(xué)、生理學(xué)方面的發(fā)現(xiàn)（1700年柏林科學(xué)院成立）。他于1669年提議建立德國(guó)科學(xué)院，從事對(duì)人類61萊布尼茨從1684年開始發(fā)表論文，但他的許多成果以及他的思想的發(fā)展，實(shí)際上都包含在他從1673年起寫的，但從未發(fā)表過(guò)的成百的筆記本中。從這些筆記本中人們可以看到，他從一個(gè)課題跳到另一個(gè)課題，并隨著他的思想的發(fā)展而改變他所用的記號(hào)。有些是它在研究格雷戈里、費(fèi)馬、帕斯卡、巴羅的書和文章時(shí)，或是試圖將他們的思想納入自己處理微積分的方式時(shí)所出現(xiàn)的簡(jiǎn)單思想。萊布尼茨從1684年開始發(fā)表論文，但他的許多621714年萊布尼茨寫了《微分學(xué)的歷史和起源》，在這本書中，他給出了一些關(guān)于自己思想發(fā)展的記載，由于他出書的目的是為了澄清當(dāng)時(shí)加于他的剽竊罪名，所以他可能不自覺(jué)地歪曲了關(guān)于他的思想來(lái)源的記載。不管他的筆記本多么混亂，都揭示了一個(gè)最偉大的才智，怎樣為了達(dá)到理解和創(chuàng)造而奮斗。1714年萊布尼茨寫了《微分學(xué)的歷史和起源》63特別值得一提的是：萊布尼茨很早就意識(shí)到，微分與積分（看作是和）必定是相反的過(guò)程；1676年6月23日的手稿中，他意識(shí)到求切線的最好方法是求dy/dx，其中dy，dx是變量的差，dy/dx是差的商。萊布尼茨的工作，雖然富于啟發(fā)性而且意義深遠(yuǎn)，但它是十分零亂不全的，以致幾乎不能理解。幸好貝努利兄弟將他的文章大大加工，并做了大量的發(fā)展工作。1716年，他無(wú)聲無(wú)息地死去。特別值得一提的是：萊布尼茨很早就意識(shí)到，微分64微積分是能應(yīng)用于許多類函數(shù)的一種新的普遍的方法，這一發(fā)現(xiàn)必須歸功于牛頓和萊布尼茨倆人。經(jīng)過(guò)他們的工作，微積分不再是古希臘幾何的附庸和延展，而是一門獨(dú)立的科學(xué)，用來(lái)處理較以前更為廣泛的問(wèn)題。微積分是能應(yīng)用于許多類函數(shù)的一種新的普遍65任何一件新事物出現(xiàn)時(shí)，一般不可能是十分完美的。如果牛頓和萊布尼茨想到過(guò)連續(xù)函數(shù)不一定有導(dǎo)數(shù)——而這卻是一般情形——那么微分學(xué)就決不會(huì)被創(chuàng)造出來(lái)?！吙ㄈ魏我患率挛锍霈F(xiàn)時(shí)，一般不可能是十分完美的66創(chuàng)建微積分優(yōu)先權(quán)的爭(zhēng)論牛頓從1665年到1687年把結(jié)果通知了他的朋友，特別是把他的短文《分析學(xué)》送給了巴羅，但他于1687年以前，并沒(méi)有正式公開發(fā)表過(guò)微積分方面的任何工作。創(chuàng)建微積分優(yōu)先權(quán)的爭(zhēng)論牛頓從1665年到67創(chuàng)建微積分優(yōu)先權(quán)的爭(zhēng)論雖然萊布尼茨于1672年訪問(wèn)巴黎，1673年訪問(wèn)倫敦時(shí)，和一些知道牛頓工作的人通信。然而，他直到1684年才正式公開發(fā)表微積分的著作。于是就發(fā)生了萊布尼茨是否知道牛頓工作詳情的問(wèn)題。萊布尼茨被指責(zé)為剽竊者。創(chuàng)建微積分優(yōu)先權(quán)的爭(zhēng)論雖然萊布尼茨于1668在這兩個(gè)人死了很久以后，調(diào)查證明：雖然牛頓的大部分工作是在萊布尼茨之前做的，但是萊布尼茨是微積分思想的獨(dú)立發(fā)明者。兩個(gè)人都受到巴羅的很多啟發(fā)。創(chuàng)建微積分優(yōu)先權(quán)的爭(zhēng)論在這兩個(gè)人死了很久以后，調(diào)查證明：雖然牛頓的69這件事的結(jié)果是，英國(guó)的和大陸的數(shù)學(xué)家停止了思想交換。因?yàn)榕ｎD在微積分方面的主要工作是以幾何為工具的，所以在他死后近一百年中，英國(guó)人繼續(xù)以幾何為主要工具研究微積分。而大陸的數(shù)學(xué)家繼續(xù)使用萊布尼茨的分析方法，使它發(fā)展并不斷進(jìn)行改善。這件事的影響非常巨大，它不僅使英國(guó)的數(shù)學(xué)家落在后面，而且使數(shù)學(xué)學(xué)科損失了一批最有才能的人所應(yīng)作出的貢獻(xiàn)。創(chuàng)建微積分優(yōu)先權(quán)的爭(zhēng)論這件事的結(jié)果是，英國(guó)的和大陸的數(shù)學(xué)家停止了思70十八世紀(jì)的微積分

因此，看來(lái)現(xiàn)代的數(shù)學(xué)家們象從事科學(xué)的人們那樣，在應(yīng)用他們的原理方面費(fèi)的心血比在了解這些原理方面多得多?！惪巳R主教十八世紀(jì)的微積分因此，看來(lái)現(xiàn)代的數(shù)學(xué)家們象71十七世紀(jì)最偉大的成就就是微積分。由此起源產(chǎn)生了數(shù)學(xué)的一些主要的新分支，如微分方程，無(wú)窮級(jí)數(shù)，微分幾何，變分法，復(fù)變函數(shù)等等。其中某些工作的萌芽確實(shí)在牛頓和萊布尼茨的工作中就已經(jīng)出現(xiàn)了。十八世紀(jì)，人們大量地致力于這些分析分支的發(fā)展。但是在這一發(fā)展完成之前，首先必須擴(kuò)展微積分本身。十八世紀(jì)的微積分十七世紀(jì)最偉大的成就就是微積分。由此起源產(chǎn)生72牛頓和萊布尼茨創(chuàng)造了基本方法，但也留下了許多要做的事情：必須清楚地認(rèn)識(shí)或造出許多新的一元函數(shù)和多元函數(shù)；微分和積分的技巧必須推廣到某些已經(jīng)存在或別的有待引入的函數(shù)；此外還缺少微積分的邏輯基礎(chǔ)。當(dāng)然，第一目標(biāo)是擴(kuò)展微積分的主要內(nèi)容。十八世紀(jì)的微積分牛頓和萊布尼茨創(chuàng)造了基本方法，但也留下了許多73十八世紀(jì)，人們的確擴(kuò)展了微積分，并創(chuàng)立了一些新的分析分支。數(shù)學(xué)家們對(duì)微積分以及隨后產(chǎn)生的分析分支做了純形式的處理。在這個(gè)經(jīng)受了挫折、錯(cuò)誤、不完全和混亂的處理過(guò)程中，雖然他們的技巧是很高超的，但卻不是由明確的數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)的，而是由直觀和物理見(jiàn)解指引的。這些形式的努力經(jīng)受了后來(lái)的批判性檢查的考驗(yàn)，并產(chǎn)生了偉大的思想線索。人們深深感受到，數(shù)學(xué)新領(lǐng)域的征服有時(shí)超過(guò)軍事上的征服。它大膽地闖入敵人的領(lǐng)土，攻占要塞，然后，就必須由更廣闊，更徹底，更謹(jǐn)慎的行動(dòng)來(lái)擴(kuò)大和支持這些入侵，以保衛(wèi)那些僅僅暫時(shí)地、不牢固地控制了的東西。十八世紀(jì)試圖在微積分中注入嚴(yán)密性十八世紀(jì)，人們的確擴(kuò)展了微積分，并創(chuàng)立了一些74十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)家和思想家們，沒(méi)有意識(shí)到需要極限的概念。又因?yàn)樗麄儧](méi)有看出使用無(wú)窮級(jí)數(shù)而產(chǎn)生的問(wèn)題，所以他們天真地認(rèn)為微積分只是代數(shù)的推廣。對(duì)于即使稍微復(fù)雜一點(diǎn)的代數(shù)函數(shù)，基本的積分法還是把函數(shù)表示成級(jí)數(shù)形式（沿用牛頓的方法），再逐項(xiàng)積分。數(shù)學(xué)家們只是將積分技巧從一種有限形式發(fā)展到另一種有限形式，僅把積分當(dāng)作導(dǎo)數(shù)或微分的的逆運(yùn)算。他們從來(lái)就不問(wèn)一個(gè)積分的存在性。好在十八世紀(jì)出現(xiàn)的大部分應(yīng)用問(wèn)題中，積分都能被明確地求出來(lái)，因而也就不會(huì)發(fā)生積分存在與否的問(wèn)題。十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)家和思想家們，沒(méi)有意識(shí)到需要極75在十八世紀(jì)初期，就已經(jīng)出現(xiàn)了兩個(gè)和三個(gè)變量的函數(shù)的微積分（多元函數(shù)的微積分）。通常的導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別在一開始并未被人們明確地認(rèn)識(shí)，因而對(duì)兩者使用相同的記號(hào)。而物理意義又要求人們?cè)诙鄠€(gè)自變量的函數(shù)中，考慮只有一個(gè)自變量變化的導(dǎo)數(shù)。兩個(gè)或多個(gè)變量的函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)研究的主要?jiǎng)恿?lái)自偏微分方程方面的工作。偏導(dǎo)數(shù)的演算是由歐拉研究流體力學(xué)問(wèn)題的一系列文章提供的。達(dá)朗貝爾在1744年前后，推廣了偏導(dǎo)數(shù)的演算。在十八世紀(jì)初期，就已經(jīng)出現(xiàn)了兩個(gè)和三個(gè)變量的76在十八世紀(jì)，雖然數(shù)學(xué)家們致力于在微積分中注入嚴(yán)密性，但由于時(shí)代的局限性，這項(xiàng)工作顯得十分混亂。其中比較有代表性的思想是達(dá)朗貝爾的工作。他在一篇論文中說(shuō)道：“極限，極限論是微積分的真正抽象……，它決不是微分學(xué)中的無(wú)窮小量的一個(gè)問(wèn)題：它獨(dú)特地是有限量的極限問(wèn)題。這樣，無(wú)窮大量和無(wú)窮小量相互間較大，較小的空談，對(duì)微分學(xué)來(lái)說(shuō)是全然無(wú)用的?！睙o(wú)窮小量?jī)H僅是一種說(shuō)法，用以避免冗長(zhǎng)的極限術(shù)語(yǔ)的描述。事實(shí)上，達(dá)朗貝爾給出了極限正確定義的一個(gè)極好的近似：一個(gè)變量趨近一個(gè)固定量，趨近的程度小于任何給定量?？上麤](méi)有能結(jié)合并利用他的基本準(zhǔn)正確思想作出微積分形式的闡述。在十八世紀(jì)，雖然數(shù)學(xué)家們致力于在微積分中注入77告誡學(xué)習(xí)微積分的學(xué)生們：堅(jiān)持,你就會(huì)有信心.達(dá)朗貝爾告誡學(xué)習(xí)微積分的學(xué)生們：堅(jiān)持,你就會(huì)有信心.達(dá)朗貝爾78評(píng)語(yǔ)盡管幾乎十八世紀(jì)的每位數(shù)學(xué)家都在微積分的邏輯上做了努力，或至少表示了他們的看法，其中也有一、兩個(gè)走對(duì)了路的，但他們所有的努力都是沒(méi)有多大用處的。任何棘手的問(wèn)題都被有意避開或是漠然視之，人們很難區(qū)別很大的數(shù)與無(wú)窮數(shù)，數(shù)學(xué)家們?cè)谟邢夼c無(wú)限之間隨意通行。微積分被稱為“計(jì)算與度量一個(gè)其存在性是不可思議的事物的藝術(shù)”。尤其是歐拉、拉格朗日這樣的大師對(duì)微積分微積分嚴(yán)格化的努力的最終結(jié)果，是誤導(dǎo)了他們的同代人以及后來(lái)者，并且搞亂了他們的思想。總的來(lái)說(shuō)，他們那么明目張膽地犯錯(cuò)誤，以致于人們對(duì)數(shù)學(xué)家能否能清楚他們涉及到的邏輯感到絕望。評(píng)語(yǔ)盡管幾乎十八世紀(jì)的每位數(shù)學(xué)家都在微積分79十八世紀(jì)的思想家們所采取的論據(jù)的一個(gè)奇怪地特點(diǎn)是他們求助于“形而上學(xué)”，用它來(lái)暗示數(shù)學(xué)領(lǐng)域之外還存在一個(gè)真理體系，雖然這個(gè)真理體系究竟是什么還不清楚，但如果需要的話，可以用它來(lái)檢驗(yàn)人們所做的工作。萊布尼茨、歐拉等數(shù)學(xué)家都曾借助于形而上學(xué)得出過(guò)錯(cuò)誤的結(jié)論。例如，萊布尼茨曾證明過(guò)級(jí)數(shù)的和為1/2,實(shí)際上，該級(jí)數(shù)無(wú)和。十八世紀(jì)的思想家們所采取的論據(jù)的一個(gè)奇怪地特80一般說(shuō)來(lái)，當(dāng)十七、十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們不能為一個(gè)觀點(diǎn)提供更好的證明時(shí)，他們就慣于說(shuō)這其中的理由是形而上學(xué)的。因此，在十八世紀(jì)結(jié)束之際，微積分和建立在微積分基礎(chǔ)上的分析的其它分支的邏輯處于一種完全混亂的狀態(tài)之中?？梢哉f(shuō)，1800年微積分基礎(chǔ)方面的狀況比1700年的更差。數(shù)學(xué)巨匠，尤其是歐拉和拉格朗日給出了不正確的邏輯基礎(chǔ)。因?yàn)樗麄兪菣?quán)威，他們的許多同事接受了并不加批判地重復(fù)這些觀點(diǎn)，甚至將它們進(jìn)一步發(fā)展。他們被引上了一條錯(cuò)誤的路。一般說(shuō)來(lái)，當(dāng)十七、十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們不能為一81十九世紀(jì)的微積分噢，上帝，為什么二加二等于四？——亞歷山大·蒲柏十九世紀(jì)的微積分噢，上帝，為什么二加二等于四？——亞歷82歷史進(jìn)入十九世紀(jì)，數(shù)學(xué)陷入更加自相矛盾的處境。雖然它在描述和預(yù)測(cè)物理現(xiàn)象方面所取得的成功遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)人們的預(yù)料，但是，正如十八世紀(jì)的人所指出的那樣，大量的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)沒(méi)有邏輯基礎(chǔ)，因此不能保證數(shù)學(xué)是正確無(wú)誤的。盡管這種自相矛盾的情況一直存在于十九世紀(jì)上半葉，但并不影響許多數(shù)學(xué)家在開始研究的自然科學(xué)的一些新領(lǐng)域中成績(jī)斐然。十九世紀(jì)的微積分歷史進(jìn)入十九世紀(jì)，數(shù)學(xué)陷入更加自相矛盾的處境83分析（微積分）中的錯(cuò)誤在十九世紀(jì)繼續(xù)發(fā)展，這方面的例子不勝枚舉。我們舉一個(gè)例子：直觀上連續(xù)函數(shù)可以用一條不間斷的（連續(xù)）曲線來(lái)表示，而函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線上點(diǎn)P處的切線的斜率。分析（微積分）中的錯(cuò)誤在十九世紀(jì)繼續(xù)發(fā)展，這84十九世紀(jì)早期的數(shù)學(xué)家們都致力于盡可能地運(yùn)用邏輯方法證明“一個(gè)連續(xù)函數(shù)中任何一點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)存在?！睂?shí)際上，這就是要證明“一條連續(xù)曲線上，任何一點(diǎn)處的切線均存在?！敝灰聪旅娴膱D形，就可以知道要證明的東西是錯(cuò)誤的。此處無(wú)切線十九世紀(jì)早期的數(shù)學(xué)家們都致力于盡可能地運(yùn)用85這樣的嚴(yán)重錯(cuò)誤在今天對(duì)一個(gè)大學(xué)生來(lái)說(shuō)也是不可原諒的，然而犯錯(cuò)誤的卻是當(dāng)時(shí)的偉人——傅立葉、柯西、伽羅瓦、勒讓德、高斯，還有其他一些名聲稍遜，但也成就斐然的數(shù)學(xué)家。17、18、19世紀(jì)，邏輯問(wèn)題一直困擾著數(shù)學(xué)家。傅立葉高斯這樣的嚴(yán)重錯(cuò)誤在今天對(duì)一個(gè)大學(xué)生來(lái)說(shuō)也是不可86從1605年至今，數(shù)學(xué)分析一直是人們研究的主要對(duì)象，連續(xù)性和可微性是分析的基本概念，而數(shù)學(xué)家們對(duì)這些基本概念竟然如此模糊不清，對(duì)此你就不能不感到震驚。17、18、19世紀(jì)，邏輯問(wèn)題一直困擾著數(shù)學(xué)家。