相關搜索的亞像素插值法

相關搜索的亞像素插值法在整像素位移搜索時，通常是以一個像素為步長來移動模板子區(qū)的中心位置，從而來計算各個位置上的相關系數(shù)，找到相關系數(shù)取最大值的位置來獲得位移信息的。同樣，如果將步長改為0.1個像素，那么就得到0.1個像素量級的搜索精度；如果將步長改為0.01個像素，就得到了0.01個像素量級的搜索精度。這里，我們假設步長為0.01像素。這樣，首先需要做的就是得出每0.01像素上的灰度值。這就需要對離散灰度進行插值運算。一般來說有雙線性插值(bilinearinterpolation)、拉格朗日插值,和雙三次樣條插值(bicubicsplineinterpolation)o雙線性插值又稱為一階插值算法,灰度值連續(xù),灰度的已接到數(shù)不連續(xù)。拉格朗日插值和雙三次樣條插值為高階插值算法,灰度的一階、二階倒數(shù)連續(xù)。由于這里我們需要的只是插值出亞像素上的灰度值,對灰度的倒數(shù)并不關心,所以只需要用雙線性插值就可以滿足需求。如果拉格朗日插值或者雙三次樣條插值,對于精度的提高并不明顯,反而會大大提高運算量。非整像素點(x,y)的灰度值可用雙線性插值方法近似得到，假設(x,y)點在鄰近的四個像素點(i,j)、(i+1,j)、(i,j+1)、(i+1,j+1)之間。亞像素點(x,y)上灰度值得雙性差值為g(x,y)=A+Aa+A卩+Aa卩00100111式中A二g(i,j)00A=g(i+1,j)-g(i,j)10A=g(i,j+1)-g(i,j)01A=g(i+1,j+1)+g(i,j)-g(i,j+1)-g(i+1,j)11這里a,P分別為(x,y)點到(i,j)點距離的水平、垂直分量。雙線性插值示意圖如圖：實際計算中，通常選擇整像素相關搜素得出的位置周圍8個像素內(nèi)的范圍作為相關子區(qū)（模板）中心的搜素范圍。中心從左上角一次在x方向或y方向一0.01個像素為步長移動。這樣總共就得到100X100=10000各相關系數(shù)，曲折10000個相關系數(shù)極大值所在的位置作為搜索到的目標相關子區(qū)的中心。圖是相關子區(qū)中心的搜索示意圖。如果能對目標圖像進行理想插值（重建），那么理論上的相關定位進度取決于搜索步長的大小。但是由于圖像中各種噪聲和插值算法誤差的影響，當步長小到一定的程度后，得到的定位精度是沒有意義的。實驗表明步長取0.01個像素即可。在理想情況下，這種亞像素定位精度為0.02~0.1個像素。該方法計算量大（雖然采用一些快速相關搜素方法可在一定程度上減小計算量），但是效果并不理想。這是因為通過灰度插值方法重構近似連續(xù)的散斑圖像灰度場與真實的情況有很大的差別，且由于各種噪聲的影響，其獲得的精度有限，實際上該方法現(xiàn)在已很少采用。曲面擬合、插值法求解亞像素位移圖顯示了整像素位移相關的搜索結果及其相鄰8個點的相關系數(shù)矩陣。對于該相關系數(shù)矩陣可以將其擬合或插值為連續(xù)曲面，然后求出該曲面的機制作為亞像素位移的求解結果。常用的曲面你和方法有高斯函數(shù)擬合和二次多項式擬合。對于相關系數(shù)取面較平緩的情況，高斯擬合不僅需要較大的你和窗口，而且可能產(chǎn)生較大的誤會，因此實際中多采用二元二次多項式來擬合相關函數(shù)曲面。對整像素位移搜索到的（x',y'），周圍各點的相關系數(shù)，都可用下面的二元二次函數(shù)表示：C（x+y）=a+ax+ay+ax2+axy+ay2ij01i2j3i4ij5j對于nxn（n通常取3、4或5）的擬合窗口就有nXn個式（），因此可以用最小二乘法求解二次曲面的待定系數(shù)a,a, ,a。對3x3的擬合窗口上式也0 1 5可以寫成下面的矩陣形式：i二1為yii二1為yii二1為x2ii二1工xyiii二1工y2ii二1為xii二1為x2ii二1為xyiii二1為x3ii二1工x2yiii二1工xy2iii二1為yii二1Xxyiii二1Xy2ii二1Xx2yiii二1Xxy2iii二1Xy3ii二1Xx2ii二1Xx3ii二1Xx2yiii二1Xx4ii二1Xx3yiii二1Xx2y2iii二1X9xyiii二1Xx2yiii二1Xxy2iii二1Xx3yiii二1Xx2y2iii二1Xxy3iii二1工y2ii=1‘XCii=1Xxy2XCxiiaiii=10i=1Xy3a1XCyiaiii=1■2=i=1Xx2y2a3XCx2iiaiii=14i=1Xxy3iii=1(a5JXCxyiiii=1Xy4XCy2iii函數(shù)C（x,y）在擬合曲面的極值點應滿足以下方程組:°C(x,y)=a+2ax+ay=0°x134°C(x,y)=a+2ax+ay=0°x254于是，由式（）、式（）就可以求出你和曲面的極值點位置：2aa—aa 2aa—aax二1—5 2~,y= 14a2—4aa a2—4aa4 35 4 35同理，對已獲得的整像素點周圍9點的相關系數(shù)矩陣可以利用拉格朗日插值法插值為以下形式的四次曲面:C(x,y)=Ax2y2+Bx2y+Cx2+Dxy2+Exy+Fx+Gy2+Hy+I同樣，函數(shù)C(x,y)在插值曲面的極值點應該滿足以下方程組：°C(x'y)=2Axy2+2Bxy+2Cx+Dy2+Ey+F=0dx°C(°C(x,y)=2Ax2y+Bx2+2Dxy+Ex+2Gy+H=0該非線性方程組可以通過Newton迭代法求出極值點位置。迭代的初值估計為(0,0)，當相鄰兩次迭代解之差的絕對值小于設定閾值時迭