3.1.2 第2課時(shí) 直線與橢圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用（分層練習(xí)）-高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

3.1.2第2課時(shí)直線與橢圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用基礎(chǔ)練鞏固新知夯實(shí)基礎(chǔ)1.若直線y＝kx＋2與橢圓eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1相切，則斜率k的值是()A.eq\f(\r(6),3)B．－eq\f(\r(6),3)C．±eq\f(\r(6),3)D．±eq\f(\r(3),3)2.若直線y＝x＋2與橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,3)＝1有兩個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是()A．(－∞，0)∪(1，＋∞)B．(1,3)∪(3，＋∞)C．(－∞，－3)∪(－3,0) D．(1,3)3.已知橢圓eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1以及橢圓內(nèi)一點(diǎn)P(4,2)，則以P為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．2D．－24.過橢圓x2＋2y2＝4的左焦點(diǎn)作傾斜角為eq\f(π,3)的弦AB，則弦AB的長(zhǎng)為()A．eq\f(6,7)B．eq\f(16,7)C．eq\f(7,16) D．eq\f(7,6)5．（多選）已知橢圓C：內(nèi)一點(diǎn)M(1,2)，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且M為線段AB的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)?(-2,0) B．橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為C．直線的方程為 D．6.過橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的右焦點(diǎn)F作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為________．7.已知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，經(jīng)過點(diǎn)F1的一條直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．(1)求△ABF2的周長(zhǎng)；(2)若直線AB的傾斜角為eq\f(π,4)，求弦長(zhǎng)|AB|.8.設(shè)直線y＝x＋b與橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1相交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(2)當(dāng)b＝1時(shí)，求|AB|.能力練綜合應(yīng)用核心素養(yǎng)9.若直線和圓沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)的直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0個(gè) B．至多有一個(gè) C．1個(gè)D．2個(gè)10.已知F是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，AB為過橢圓中心的一條弦，則△ABF面積的最大值為()A．6B．15C．20D．1211.(多選)已知直線y=kx+1與橢圓，則（）A．直線y=kx+1恒過定點(diǎn)(0，1)B．方程表示橢圓的條件為m>0C．方程表示橢圓的條件為0<m<5D．直線與橢圓總有公共點(diǎn)的m取值范圍是m≥1且m≠512.橢圓mx2＋ny2＝1與直線y＝1－x交于M，N兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段MN中點(diǎn)所在直線的斜率為eq\f(\r(2),2)，則eq\f(m,n)的值是()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(9\r(2),2)D.eq\f(2\r(3),27)13.在橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1內(nèi)，過點(diǎn)M(1,1)且被該點(diǎn)平分的弦所在的直線方程為()A．9x－16y＋7＝0B．16x＋9y－25＝0C．9x＋16y－25＝0 D．16x－9y－7＝014.已知橢圓：的離心率為，短軸長(zhǎng)為．(1)求橢圓的方程；(2)若過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)，求直線的方程．15.已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為，過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線AM和直線AN的斜率分別為和，求證：為定值16.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的離心率為，且過點(diǎn)．(1)求C的方程；(2)若直線與C交于P，Q兩點(diǎn)，且的面積是，求證：．【參考答案】1.C解析：聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,\f(x2,3)＋\f(y2,2)＝1，))可得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，Δ＝144k2－24(2＋3k2)＝0，解得k＝±eq\f(\r(6),3).2.B解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,\f(x2,m)＋\f(y2,3)＝1，))消去y整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.若直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋m≠0，,Δ＝4m2－4m3＋m>0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠－3，,m<0或m>1.))由eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,3)＝1表示橢圓，知m>0且m≠3.綜上可知，m>1且m≠3，故選B.3.B解析：設(shè)弦的端點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),36)＋\f(y\o\al(2,1),9)＝1，,\f(x\o\al(2,2),36)＋\f(y\o\al(2,2),9)＝1，))兩式相減，得eq\f(x1＋x2x1－x2,36)＋eq\f(y1＋y2y1－y2,9)＝0，所以eq\f(2x1－x2,9)＝－eq\f(4y1－y2,9)，所以k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(1,2).故選B.4.B解析：易求得直線AB的方程為y＝eq\r(3)(x＋eq\r(2))．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x＋\r(2)，,x2＋2y2＝4))消去y并整理，得7x2＋12eq\r(2)x＋8＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－eq\f(12\r(2),7)，x1x2＝eq\f(8,7).由弦長(zhǎng)公式，得|AB|＝eq\r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq\r(1＋\r(3)2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12\r(2),7)))\s\up12(2)－4×\f(8,7))＝eq\f(16,7).]5.BCD解析：A：由橢圓方程知：其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，錯(cuò)誤；B：，即橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，正確；C：由題意，可設(shè)直線為，，，則，聯(lián)立橢圓方程并整理得：，M為橢圓內(nèi)一點(diǎn)則，∴，可得，即直線為，正確；D：由C知：，，則，正確.故選：BCD.6.eq\f(5,3)解析：由已知可得直線方程為y＝2x－2，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，,y＝2x－2，))解得A(0，－2)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(4,3)))，∴S△AOB＝eq\f(1,2)·|OF|·|yA－yB|＝eq\f(5,3).7.解：(1)橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，a＝2，b＝eq\r(3)，c＝1，由橢圓的定義，得|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，|BF1|＋|BF2|＝2a＝4，又|AF1|＋|BF1|＝|AB|，∴△ABF2的周長(zhǎng)為|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝8.(2)由(1)可得F1(－1,0)，∵AB的傾斜角為eq\f(π,4)，則AB的斜率為1，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，故直線AB的方程為y＝x＋1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))整理得7y2－6y－9＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系得y1＋y2＝eq\f(6,7)，y1y2＝－eq\f(9,7)，則由弦長(zhǎng)公式|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\r(1＋1)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))2－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,7))))＝eq\f(24,7).8.解：(1)將y＝x＋b代入eq\f(x2,2)＋y2＝1，消去y并整理，得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.①因?yàn)橹本€y＝x＋b與橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1相交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，所以Δ＝16b2－12(2b2－2)＝24－8b2＞0，解得－eq\r(3)＜b＜eq\r(3).所以b的取值范圍為(－eq\r(3)，eq\r(3))．(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，當(dāng)b＝1時(shí)，方程①為3x2＋4x＝0.解得x1＝0，x2＝－eq\f(4,3).所以y1＝1，y2＝－eq\f(1,3).所以|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\f(4\r(2),3).9.D解析：因?yàn)橹本€和圓沒有交點(diǎn)，可得，即，所以點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓及其內(nèi)部的點(diǎn)，又因?yàn)闄E圓，可得，所以圓內(nèi)切于橢圓，即點(diǎn)是橢圓內(nèi)的點(diǎn)，所以點(diǎn)的一條直線與橢圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.故選：D.10.D解析：S＝eq\f(1,2)|OF|·|y1－y2|≤eq\f(1,2)|OF|·2b＝12.11.AD解析：由于直線y=kx+1可以化為y-1=k(x-0)，恒過點(diǎn)(0，1)，故A正確；而方程表示橢圓的條件為m>0且m≠5，故B，C錯(cuò)誤；若直線與橢圓總有公共點(diǎn)，則點(diǎn)(0，1)必在橢圓內(nèi)或橢圓上，則0<≤1且m≠5，故m≥1且m≠5，故D正確.故選：AD.12.A解析：聯(lián)立方程組可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝1－x，,mx2＋ny2＝1，))即(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點(diǎn)P(x0，y0)，則x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(n,m＋n)，y0＝1－x0＝1－eq\f(n,m＋n)＝eq\f(m,m＋n)，所以kOP＝eq\f(y0,x0)＝eq\f(m,n)＝eq\f(\r(2),2).13.C解析：設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2)，則有eq\f(x\o\al(2,1),16)＋eq\f(y\o\al(2,1),9)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),16)＋eq\f(y\o\al(2,2),9)＝1，兩式相減，又x1＋x2＝y(tǒng)1＋y2＝2，因此eq\f(x1－x2,16)＋eq\f(y1－y2,9)＝0，即eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(9,16)，所求直線的斜率是－eq\f(9,16)，弦所在的直線方程是y－1＝－eq\f(9,16)(x－1)，即9x＋16y－25＝0，故選C.14.解：（1），，又，所以