數(shù)列專題教案

專題數(shù)列求通項(xiàng)問題到求9項(xiàng)常用方法知識框架數(shù)列求通項(xiàng)情列求通項(xiàng)方法【一】歸納法求通項(xiàng)通過數(shù)列前若干項(xiàng)歸納出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是依托基本數(shù)列如等差數(shù)列、等比數(shù)列，尋找an與n，an與an+1的聯(lián)系.【例1】由數(shù)列的前n項(xiàng)，寫出通項(xiàng)公式:(1)3,5,3,5,3,5,…，(1)3,5,3,5,3,5,…，3，4，5，6，(3)25133381(3)2，(3)25133381(3)2，2，4，8，16,11112，20，30，【二】公式法求通項(xiàng)等差數(shù)列：a等差數(shù)列：a=a1+(n-1)d等比數(shù)列：a-aqn-1n11 1【例1】數(shù)列1 1【例1】數(shù)列｛a｝滿足a--, -n12a—1n+1 1(ngN*a—1n9A-1010By9A-1010ByC.1011D.1110【例2】已知數(shù)列U｛【例2】已知數(shù)列U｛%｝滿足q=44,a=4— (n>1)na/n—1n=大,求證：數(shù)歹打叫是等差數(shù)列,并求an。n【例3】已知數(shù)列｛a【例3】已知數(shù)列｛a｝和｛b｝滿足-b+1-2,a-3bn+1n+4n-1,b-3a—4n+1n+1 n(2)求數(shù)列｛a｝和｛b｝的通項(xiàng)公式.(1)求證：｛a+(2)求數(shù)列｛a｝和｛b｝的通項(xiàng)公式.nn【三】累加法求通項(xiàng)型如an+1=an+f(n)的遞推公式求通項(xiàng)可以使用累加法，步驟如下：第一步將遞推公式寫成an+1-an=f(n);第二步依次寫出an—an_1，…，a2—a1,并將它們累加起來；第三步得到an—a1的值，解出an;第四步檢驗(yàn)a1是否滿足所求通項(xiàng)公式，若成立，則合并；若不成立，則寫出分段形式累乘法類似.【例1】在數(shù)列【例1】在數(shù)列"｝中，a「2，/1)a=a+ln1+—，則a=(n+1nInJ10A.2+ln10 b.2+9ln10 C.2+10ln10 d.11+ln10【例2】對于等差數(shù)列和等比數(shù)列，我國古代很早就有研究成果，北宋大科學(xué)家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)的“隙積術(shù)〃，就是關(guān)于高階等差級數(shù)求和的問題.現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有2個(gè)貨物，第二層比第一層多3個(gè)，第三層比第二層多4個(gè)，以此類推，記第n層貨物的個(gè)數(shù)為an，則數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式a= ，數(shù)列</1\的前n項(xiàng)和S= .n (n+2)a nn【例3】兩千多年前，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題，他們在沙灘上畫點(diǎn)或用小石子來表示數(shù)，按照點(diǎn)或小石子能排列的形狀對數(shù)進(jìn)行分類，如圖2中的實(shí)心點(diǎn)個(gè)數(shù)1,5,12,22,…，被稱為五角形數(shù)，其中第1個(gè)五角形數(shù)記作。1=1,第2個(gè)五角形數(shù)記作,a2=5，第3個(gè)五角形數(shù)記作a3=12，第4個(gè)五角形數(shù)記作a4=22，…，若按此規(guī)律繼續(xù)下去，得數(shù)列｛an｝，則an-an_1=(n>2)；對neN*,a=.【五】Sn法(項(xiàng)與和互化求通項(xiàng))[s,(n=1)a=<1n[s_s,(n>1)nn一1已知Sn=f(an)或Sn=f(n)解題步驟：第一步利用Sn滿足條件p，寫出當(dāng)n三2時(shí)，Sn-1的表達(dá)式；第二步利用an=Sn—Sn-1(n三2),求出an或者轉(zhuǎn)化為an的遞推公式的形式；第三步若求出n三2時(shí)的｛an｝的通項(xiàng)公式，則根據(jù)a1=S1求出a1,并代入｛an｝的通項(xiàng)公式進(jìn)行驗(yàn)證，若成立，則合并；若不成立，則寫出分段形式.如果求出的是｛an｝的遞推公式，則問題化歸為類型二.【例1】已知數(shù)列Ln｝的前9項(xiàng)和S/且Sn=3n_2,則Ua:

【例2】設(shè)數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和S，若-1,S-1a =0(ne雙【例2】設(shè)數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和S，若TOC\o"1-5"\h\zn2n+1 n【例3】設(shè)Sn是數(shù)歹U｛an｝的前n項(xiàng)和，且aj=—1,an+1=SnSn+1，則Sn=\o"CurrentDocument"即時(shí)訓(xùn)練、設(shè)數(shù)列iJ｛a｝滿足a?2a?3a?…?na=2n(neN*).n 1 2 3 n(1)求｛a｝的通項(xiàng)公式;

n\o"CurrentDocument"I2+2n+1(1)求｛a｝的通項(xiàng)公式;

n(2)求數(shù)列^—―j的前n項(xiàng)和Sn.n【六】構(gòu)造法求通項(xiàng)1.型如an+1=pan+式其中p,q為常數(shù)，且pq(p-1)￡0)可用待定系數(shù)法求得通項(xiàng)公式，步驟如下:第一步假設(shè)將遞推公式改寫為an+1+1=p(an+1);第二步由待定系數(shù)法，解得t=*;p—1第三步寫出數(shù)列1a+-^—\的通項(xiàng)公式；〔np-1J第四步寫出數(shù)列｛an｝通項(xiàng)公式.Zan+1=pan+f(n)型【參考思考思路】確定f(n)f設(shè)數(shù)列｛an+九]f(n)｝一列關(guān)系式a1+九1f(n+1)=九][a+九1f(n)]f比較系數(shù)求九1,九2【例1】已知數(shù)列U｛an｝中，a1=1,an「2.an+3,求an.【例2】已知數(shù)列U｛an｝滿足an+1=2an+n,a1=2,求數(shù)歹U｛an｝的通項(xiàng)公式.【例3】已知數(shù)列U｛an｝滿足an+1=2an+3X5n,a1=6,求數(shù)歹U｛an｝的通項(xiàng)公式.A.a=n?2n b.a=n?2n-1即時(shí)訓(xùn)練、已知數(shù)列｛an｝滿足：。1=1,an=2an」+2A.a=n?2n b.a=n?2n-1C.a=(2n-1)?2nd.a=(2n-1)?2n-1

nn【七】其他求通項(xiàng)方法【例1】已知數(shù)列｛an【例1】已知數(shù)列｛an｝滿足a1=3，an+11+a n1-an(neN*)，則a1?a2^a302019二(A.A.-3 B.-2 C.--2【例2】若數(shù)列U｛an｝中，aj=3且an「an(n是正整數(shù))，1D-3則它的通項(xiàng)公式an為即時(shí)訓(xùn)練、已知數(shù)列｛即時(shí)訓(xùn)練、已知數(shù)列｛a｝滿足遞推關(guān)系:na

a——n—

n+1 a+1，n則a2018=(A.——-2016B. 2017C. 2018D. 2019【八】特征根和不動點(diǎn)法求通項(xiàng)（自我提升）一、形如a+2=pa+1+qa（p,q是常數(shù)）的數(shù)列形如q=m,A.——-2016B. 2017C. 2018D. 2019【八】特征根和不動點(diǎn)法求通項(xiàng)（自我提升）一、形如a+2=pa+1+qa（p,q是常數(shù)）的數(shù)列形如q=m,a2=m2,a2=pa1+qa（p,q是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項(xiàng)a，其特征方程為x2=px+q…①若①有二異根a,P，則可令a=can+cPn（c,c是待定常數(shù)）若①有二重根a=P，則可令a=（c+nc）an（c,c是待定常數(shù)）再利用q=m,a2【例1】已知數(shù)列｛a｝滿足a=2,a=3,a =3a —2a(neN*)，求數(shù)歹ij｛a｝的通項(xiàng)a.n+2n+1n【例2】已知數(shù)列｛a｝滿足a=1,a=2,4a=4a12n+1-an（neN*），求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)a.二、形如an+2”,+B的數(shù)列Ca+D對于數(shù)列an+2Aa+BCa+D，a1=m,neN*(A,B,C,D是常數(shù)且C豐0,AD—BC豐0)值.nAx+B其特怔方程為x=Cx+D變形為Cx2+(D—A)x—B=0…②a-a若②有二異根a,P,則可令「一

a-pn+1a-a=c——（其中c是待定常數(shù)），代入a,a的值可求得ca-P 12na-aa-Pna-a4是首項(xiàng)為十二a-p1公比為c的等比數(shù)列，于是這樣可求得an.若②有二重根a二P1貝“可令 a -an+11 +c（其中c是待定常數(shù)），代入a,a的值可求a-a 12n得c值.a-a

n。，，11是首項(xiàng)為 ,a—an公差為c的等差數(shù)列，于是這樣可求得a”.此方法又稱不動點(diǎn)法.【例3】已知數(shù)列｛a｝滿足a=2,a=an1+2(n>2)，求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)a.n1n2a+1 n nn-12a—1,【例4】已知數(shù)列｛a｝滿足a=2,a=『 (neN*)，求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)a.n1 n+14a+6 n nn專題數(shù)列求和問題「公式法分組求和法奇偶并項(xiàng)求和法例序相加法錯(cuò)位和洞^去裂項(xiàng)相清法A【列求和的常用方法知識框列^和方法「公式法分組求和法奇偶并項(xiàng)求和法例序相加法錯(cuò)位和洞^去裂項(xiàng)相清法A【列求和的常用方法知識框列^和方法【一】公式求和法【例1】求1+2+22H H2n的和.【例2】已知等比數(shù)歹U｛a/中，a3=4,S3=12,求數(shù)歹U｛an｝的通項(xiàng)公式.【例3】在公差為d的等差數(shù)列｛an｝中，已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比數(shù)歹U.(1)求d,a；(2)若d<0,求|aj+|a2|+|a3H +|a|.【例4】在平面直角坐標(biāo)系中，已知A【例4】在平面直角坐標(biāo)系中，已知A](a,2)AAnn+1(2n+1,2n)(eN*)(1)若OA//AA，求a的值；(2)若a=1,求OA的坐標(biāo);即時(shí)訓(xùn)練1、已知數(shù)列｛4｝和｛2｝滿足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn討=3bn-an-4.(1)證明：｛an+bn｝是等比數(shù)列，｛an-bn｝是等差數(shù)列；(2)求｛?！保停鸼n｝的通項(xiàng)公式.即時(shí)訓(xùn)練2、記Sn為等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，已知S9=-a5.(1)若a3=4,求｛an｝的通項(xiàng)公式； (2)若a1>0,求使得Sn>an的n的取值范圍.a=2,a=2a=2,a=2a+16,

1 3 2(1)求｛an｝的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=log2an,求數(shù)歹*(1)求｛an｝的通項(xiàng)公式;【二】分組求和法分組分解求和的基本思路：通過分解每一項(xiàng)重新組合，化歸為等差數(shù)列和等比數(shù)列求和【例1】求和：1g+2z-+3]-I \~(n+2").2 22 23 V 乙n【例2】求數(shù)列1,1+a,1+a+a2,…，1+a+a2- an—,…的前n項(xiàng)和Sn.(其中aW0,n￡N*)【例3】求和T=1x2義3+2*3義4++n(n+1)(n+2)n【三】奇偶并項(xiàng)求和法奇偶并項(xiàng)求和的基本思路：有些數(shù)列單獨(dú)看求和困難，但相鄰項(xiàng)結(jié)合后會變成熟悉的等差數(shù)列、等比數(shù)列求和.但當(dāng)求前n項(xiàng)和而n是奇數(shù)還是偶數(shù)不確定時(shí)，往往需要討論.【例1】求和12—22+32—42+…+992—1002.

【例2】已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛與｝的前n項(xiàng)和為Sn，且S2=6,S44=30,n￡N*,數(shù)列｛丹｝滿足bn-bn_^1=an,b1=1. (1)求an,bn； (2)求數(shù)歹U｛bn｝的前n項(xiàng)和Tn.【例3】已知函數(shù)f(n)=n2cos(n兀)，且an=f(n)+f(n+D，則a1+a2+...+a20=【四】倒序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)（a1+an）.(10【例1】求和sin210+sin220+sin23°+ +sin289°(10【例2】設(shè)f（x）【例3】已知正數(shù)數(shù)列【例3】已知正數(shù)數(shù)列1?：是公比不等于1的等比數(shù)列，???且“金」若」.?「則;'| 1 ’.??.： (A.2018B.4036C.A.2018B.4036C.2019D.4038【例4】已知函數(shù)f（x）=cosx+In，若f12019)1009(a+b)ln(a>0,b>0)，則1+1的最小值為(abA.A.2B.4 C.6D.8【五】錯(cuò)位相減求和數(shù)列｛anb/的前n項(xiàng)和，其中｛an卜｛bn｝分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.求和時(shí)一般在已知和式的兩邊都乘以組成這個(gè)數(shù)列的等比數(shù)列的公比q；然后再將得到的新和式和原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和，這種方法就是錯(cuò)位相減法?！纠?】求和：1X21+2X22+3X23H——bnX2n,n￡N*.【例2】在數(shù)列｛an｝,｛bn｝中a=3a一b一3n-1,b =3b-a+3n+1【例2】在數(shù)列｛an｝,｛bn｝中的前兩項(xiàng)依次為a2,b2.（1（1）求｛c｝的通項(xiàng)公式;

n（2）求數(shù)列Kajb）c/的前n項(xiàng)和Sn.【例3】已知數(shù)列｛a』是公差不為0的等差數(shù)列，且4=1,a2,a4,a8成等比數(shù)列.（1）求（1）求｛an｝的通項(xiàng)公式;⑵若bn=a.?2n，求｛b｝的前n項(xiàng)和t.n+1 n即時(shí)訓(xùn)練1、設(shè)數(shù)列｛a｝滿足a=3，a=3a-4nn+1 n猜想｛a｝的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）求數(shù)列｛2na｝的前n項(xiàng)和S。即時(shí)訓(xùn)練2、設(shè)｛an即時(shí)訓(xùn)練2、設(shè)｛an｝是公比不為1的等比數(shù)列a1為a2,a3的等差中項(xiàng).（1）求｛an｝的公比;(2)若a1=1求數(shù)列｛na｝的前n項(xiàng)和.n【六】裂項(xiàng)求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如:（1）n(（1）n(n+1) nn+1［一般an（2）（3）(2n)2(2n-1)(2n+1)=1+2(2n-12n+1（4）n(n-1)(n+2)=2[n(n+1)(n+1)(n+2)（4）（5）vn+1+nn=\'n+1一'n(1)求數(shù)列｛〃｝的通項(xiàng)公式；

n一 1⑵令bn=(a+D(a—D(nEN*)，Sn為數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和，求Sn.n n【例2】已知數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和S滿足2S,-na=3nQeN*），且a-5(1)證明數(shù)列｛a｝為等差數(shù)列，并求｛a｝的通項(xiàng)公式;n/— 1（2）設(shè); :—，Tna:a+aann n+1 n+1 n為數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)和，求使T>成立的最小正整數(shù)n的值.10n 1 n