第27講巧求周長（教）

學(xué)科教師輔導(dǎo)講義學(xué)員編號：年級：三年級課時數(shù)：3學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：奧數(shù)學(xué)科教師：授課主題第27講-巧求周長授課類型T同步課堂P實(shí)戰(zhàn)演練S歸納總結(jié)教學(xué)目標(biāo)學(xué)會利用拆拼、平移等方法，巧妙地運(yùn)用周長公式來求它們的周長。授課日期及時段T（Textbook-Based）——同步課堂知識梳理知識梳理基本概念①周長：封閉圖形一周的長度就是這個圖形的周長．②面積：物體的表面或封閉圖形的大小，叫做它們的面積．基本公式：①長方形的周長(長寬)，面積長寬．②正方形的周長邊長，正方形的面積邊長邊長．常用方法：對于基本的長方形和正方形圖形，可以直接用公式求出它們的周長和面積，對于一些不規(guī)則的比較復(fù)雜的幾何圖形，我們可以采用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法割補(bǔ)成基本圖形，利用長方形、正方形周長及面積計(jì)算的公式求解．轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，在轉(zhuǎn)化過程中要抓住“變”與“不變”兩個部分．轉(zhuǎn)化后的圖形雖然形狀變了，但其周長和面積不應(yīng)該改變，所以在求解過程中不能遺漏掉某些線段的長度或某部分圖形的面積．轉(zhuǎn)化的目標(biāo)是將復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為周長或面積可求的圖形．本講主要通過求一些不規(guī)則圖形的周長，體會一種轉(zhuǎn)化思想，重點(diǎn)在于把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的方法，包括平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ)、差不變原理，通過這些方法的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體會求周長的技巧，提高學(xué)生的觀察能力、動手操作能力、綜合運(yùn)用能力．典例分析典例分析例1、求圖中所有線段的總長(單位：厘米)【解析】要注意到，題目所求的是圖中所有線段的總長，而圖中的線段，并不僅僅是、、、四段，還包括、等等，因此不能簡單地將圖中標(biāo)示的線段長度進(jìn)行求和．同時應(yīng)該注意到，；，等等．因此，為了計(jì)算圖中所有線段的總長，需要先計(jì)算AB、BC、CD、DE這四條線段分別被累加了幾次．這里，可以按照每條線段分別是由幾部分組成的加以討論：由1段組成的線段共有4條，即AB、BC、CD、DE，而求和過程中AB、BC、CD、DE這四條線段各被累加了1次．類似地考慮到，由2段組成的線段共有3條，求和過程中AB、DE各被累加了1次，BC、CD各被累加了2次．由3段組成的線段共有2條，求和過程中AB、DE各被累加了1次，BC、CD各被累加了2次．由4段組成的線段只有AE，其中AB、BC、CD、DE各被計(jì)算了1次．綜上所述，AB、DE各被計(jì)算了4次，BC、CD各被計(jì)算了6次．因而圖中所有線段的總長度為：例2、下圖表示一塊地，四周都用籬笆圍起來，轉(zhuǎn)彎處都是直角．已知西邊籬笆長米，南邊籬笆長米．四周籬笆長多少米？【解析】因?yàn)檫@塊地的東邊和北邊的籬笆轉(zhuǎn)彎處是直角，可以將東西方向的籬笆平移到最外邊得到線段，將南北方向的籬笆平移到最外邊得到線段，則折線的長等于折線的長．所以東邊和北邊籬笆的長分別和西邊、南邊的籬笆長相等．列式為：四周籬笆長為：(米)例3、一個周長是20厘米的正方形，剪下一個周長是6厘米的正方形，剩下的圖形的周長是．(寫出所有可能的結(jié)果)【解析】周長為6厘米的正方形的邊長為：(厘米)，周長為20厘米的正方形的邊長為(厘米)，在一個正方形中剪下一個小正方形有兩種情況：對于圖1的周長，與原來正方形的周長相等，為20厘米；圖2的周長，觀察可以發(fā)現(xiàn)，比原來正方形的周長多了兩條小正方形的邊，即為：(厘米)．例4、如下圖是某校的平面圖，已知線段a＝120米，b＝130米，c＝70米，d＝60米，l＝250米．楊老師每天早晨繞學(xué)校跑3圈，問每天跑多少米？【解析】平移法轉(zhuǎn)化為長方形再求．［(120＋130+60)＋(70+250)］×2×3＝3780(米)．例5、(第七屆”小機(jī)靈杯”競賽初賽)下面兩張圖中，周長較大的是．(在橫線上填寫表示圖名的字母)【解析】通過平移比較發(fā)現(xiàn)比多兩小段邊，得的周長較大．例6、下圖是一面磚墻的平面圖，每塊磚長20厘米，高8厘米，像圖中那樣一層、二層…一共擺十層，求擺好后這十層磚墻的周長是多少？【解析】我們?nèi)匀豢梢酝ㄟ^平移轉(zhuǎn)化為長方形來求．長方形的長是10塊磚的長度，即20×10=200(厘米)，寬是10塊磚的寬度，即8×10=80(厘米)，所以十層磚墻的周長是(200+80)×2=560(厘米)．例7、右圖是由個同樣大小的正方形組成的，如果這個圖形的面積是平方厘米，那么它的周長是多少厘米？【解析】考慮此類問題我們即可以局部分析，各個突破，也可以縱觀全局整體思考．每個正方形的面積為(平方厘米)，所以每個正方形的邊長是厘米．觀察右圖，這個圖形的周長從上下方向來看是由條正方形的邊組成，從左右方向來看是由條正方形的邊組成，所以其周長為厘米．例8、兩個大小相同的正方形拼成了一個長方形，長方形的周長比原來的兩個正方形周長的和減少了厘米，原來一個正方形的周長是多少厘米？【解析】先想一想，減少的厘米相當(dāng)于正方形的幾條邊的邊長呢？把兩個正方形拼成一個長方形時，拼成的長方形的周長比原來兩個正方形的條邊減少了條邊(如圖所示)而這兩條邊的和正好是減少的厘米，所以，正方形的邊長是厘米，原來一個正方形的周長是厘米．所以原來一個正方形的周長是：(厘米)例9、如右圖所示，在一個正方形內(nèi)畫中、小兩個正方形，使三個正方形具有公共頂點(diǎn)，這樣大正方形被分割成了正方形區(qū)域甲，和形區(qū)域乙和丙．甲的周長為厘米，乙的邊長是甲的周長的倍，丙的周長是乙的周長的倍，那么丙的周長為多少厘米？長多少厘米？【解析】乙的周長實(shí)際上是正方形的周長(我們可將乙與甲重合的兩條線段分別向左、向下平移)，同樣的，丙的周長也就是正方形的周長．由于，，所以丙的周長為厘米，(厘米)．例10、有個小長方形，它們的長和寬分別相等，用這個小長方形拼成的大長方形(如圖)的面積是平方厘米，求這個大長方形的周長．【解析】從圖上可以知道，小長方形的長的倍等于寬的倍，所以長是寬的倍．每個小長方形的面積為平方厘米，所以寬寬，所以寬為厘米，長為厘米．大長方形的周長為厘米．例11、用同樣的長方形條磚，在一個盆的周圍砌成一個正方形邊框，如右圖所示．已知外面大正方形的周長是厘米，里面小正方形的面積是平方厘米，每塊長方形條磚的長是_________厘米，寬是______厘米．【解析】外面大正方形的邊長為厘米,里面小正方形的邊長為厘米,從圖中可以看出，長方形的寬為厘米，長方形的長為厘米．例12、(第二屆希望杯復(fù)試)將若干個邊長為的正六邊形(即單位六邊形)拼接起來，得到一個拼接圖形，如圖：那么，要拼接成周長等于的拼接圖形，需要多少個單位六邊形？畫出對應(yīng)的一種圖形．【解析】先從變化中觀察，尋找規(guī)律．細(xì)心觀察四個圖形，可以發(fā)現(xiàn)：在拼接圖形時，每增加一個單位六邊形，拼接圖形的周長要么不增加，要么增加或，如圖因?yàn)閮蓚€單位六邊形拼接的圖形的周長只能是，因?yàn)?，，所以?dāng)拼接圖形的周長等于時，所拼接的單位六邊形有個、個、個或個．如圖：個：個：個：個：P(Practice-Oriented)——實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練課堂狙擊1、如圖，正方形的邊長為4，被分割成如下個小長方形，求這個小長方形的所有周長之和．【解析】．2、(希望杯培訓(xùn)題)右圖的周長是分米．【解析】把那些與水平方向平行的小線段都”放”下來，恰好與底邊一致；把豎直方向的小線段都依次”貼到”左邊，恰好貼滿左邊，因此多有的短橫線的長的和為分米，所有的短豎線的長的和為分米，圖形的周長為(分米)3、是一個鋸齒狀的零件，每一個鋸齒的兩條線段都長2厘米，求這個零件的周長．【解析】平移法，將鋸齒狀的零件轉(zhuǎn)化成平行四邊形，兩組對邊相等都等于24厘米，所以這個零件的周長是24×2=48(厘米)．4、是由七個長5厘米、寬3厘米的相同長方形經(jīng)過豎放、橫放而成的圖形．求這個圖形的周長？【解析】平移法．{[(3+5)×3+3]+5}×2+6×(5-3)2=76(厘米)5、求右圖所示圖形的周長(單位：分米)【解析】這道題最簡單的方法也是用平移法來解．下面我們來看一個基本解法．這是一個組合圖形，由兩個矩形組成，不要誤認(rèn)為兩個矩形周長的和就是組合圖形的周長。仔細(xì)觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)：右邊矩形的右邊邊長可以移到左邊，這樣就可以使左邊的矩形變得完整所以，這個組合圖形的周長就是左邊矩形的周長再加上右邊矩形的一條已知邊長的倍．即：(分米)6、下圖是由邊長為1厘米的11個正方形堆成的“土”字圖形．試求出其周長．【解析】周長是由24條1厘米的邊長組成，所以周長=1×24=24(厘米)．課后反擊1、如圖，在長方形中，是正方形．已知，，求長方形的周長．【解析】通過觀察發(fā)現(xiàn)是長方形的長與寬，所以長方形的周長是()．2、用若干個邊長都是厘米的平行四邊形與三角形(如右圖)拼接成一個大的平行四邊形，已知大平行四邊形的周長是厘米，那么平行四邊形和三角形各有多少個？【解析】大平行四邊形上、下兩邊的長為厘米，觀察上邊，每厘米有兩個平行四邊形的邊，，所以有三角形個，小平行四邊形個．3、有個小長方形，它們的長和寬分別相等，用這個小長方形拼成的大長方形(如圖)的面積是平方厘米，求這個大長方形的周長．【解析】從圖上可以知道，小長方形的長的倍等于寬的倍，所以長是寬的倍．每個小長方形的面積為平方厘米，所以寬寬，所以寬為厘米，長為厘米．大長方形的周長為厘米．4、右圖的長方形被分割成個正方形，已知原長方形的面積為平方厘米，求原長方形的長與寬．【解析】大正方形邊長的倍等于小正方形邊長的倍，所以大正方形的邊長是小正方形邊長的倍，大正方形的面積是小正方形面積的倍，所以小正方形面積為平方厘米，所以小正方形的邊長為厘米，大正方形的邊長為厘米，原長方形的長為厘米，寬為厘米．5、如圖，每個小方格是一個正方形，如果該圖總面積是52個平方單位，試求這個圖形的外沿周長是多少個長度單位？【解析】兩塊邊長分米的正方形紙可以拼成一個長分米，寬分米的長方形紙板，與原有的一塊分米，寬分米的長方形紙板的面積一樣大，而且這兩個長方形兩條寬的和正好等于一條長．所以，拼法如圖所示．然后運(yùn)用正方形的周長計(jì)算公式很容易求出它的周長．拼成的正方形的周長是：(分米)直擊賽場直擊賽場1、（“希望杯”第一試）如右圖，正方形的邊長是厘米，過正方形內(nèi)的任意兩點(diǎn)畫直線，可把正方形分成個小長方形。這個小長方形的周長之和是多少厘米？【解析】從總體考慮，在求這9個小長方形的周長之和時，、、、這四條邊被用了次，其余四條虛線被用了次，所以9個小長方形的周長之和是：（厘米）。(Summary-Embedded)——?dú)w納總結(jié)名師點(diǎn)撥名師點(diǎn)撥尋求正確有效的解題思路，意味著尋找一條擺脫困境、繞過障礙的途徑．因此，我們在解決數(shù)學(xué)問題時，思考的著重點(diǎn)就是要把所需解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)能夠解決的問題．也就是說，在直接求解不容易或很難找到解題途徑的問題時，我們往往轉(zhuǎn)化問題的形式，從側(cè)面或反面尋找突破口，知道最終把它轉(zhuǎn)化成一個或若干個能解決的問題．這種解決問題的思想在數(shù)學(xué)中叫“化歸”，它是數(shù)學(xué)思維中重要的思想和方法．對稱對稱旋轉(zhuǎn)平移原有圖形結(jié)構(gòu)新的圖形結(jié)構(gòu)原有圖形結(jié)構(gòu)新的圖形結(jié)構(gòu)在新的圖形結(jié)構(gòu)中解決問題較容易在原有圖形結(jié)構(gòu)中解決問題較困難在新的圖形結(jié)構(gòu)中解決問題較容易在原有圖形結(jié)構(gòu)中解決問題較困難在幾何中，有許多圖形是由一些基本圖形組合、拼湊而成的．這樣的圖形我們稱為不規(guī)則圖形．不規(guī)則圖形的面積往往無法直接應(yīng)用公式計(jì)算．那么，不規(guī)則圖形的面積怎樣去計(jì)算呢？對稱、旋轉(zhuǎn)、平移這幾種幾何變換就是解決這類面積問題的手段．平移：在平面圖形的計(jì)算中，常常要將一個平面圖形移動到平面上的另一個位置進(jìn)行計(jì)算．其中，將圖形沿一個固定方向的移動叫做平移，一個圖形經(jīng)過平行移動不改變其形狀與大小，所以圖形面積是保持不變的．利用圖形的平移，可以使面積計(jì)算問題的解法簡捷明快，頗有新意．割補(bǔ)：割補(bǔ)法在我國古代叫“出入相補(bǔ)原理”，我國古代魏晉時期著名的數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中就明確地提出“出入相補(bǔ)，各從其類”的出入相補(bǔ)原理．這個原理的內(nèi)容是幾何圖形經(jīng)過分、合、移、補(bǔ)所拼湊成的新