代幾綜合及新定義（17題）

專題11代幾綜合及新定義一．解答題（共17小題）1．（2020?海安市一模）已知平面直角坐標系中，直線與拋物線相交于，兩點（點在點的左側(cè)），與拋物線的對稱軸相交于點，記拋物線的頂點為，過點作軸，垂足為．（1）若軸，，求的值；（2）當，拋物線與軸交于時，設(shè)射線與直線相交于點，求的值；（3）延長，相交于點，求證：四邊形是平行四邊形．【分析】（1）由軸，可得，可求點，點坐標，代入解析式可求的值；（2）先求出直線和拋物線解析式，再求出點，點，點，點，點坐標，即可求解；（3）設(shè)點坐標為，，點坐標為，，所在直線解析式為：，由題意可求，先求出點坐標，可求，可得結(jié)論．【解答】解：（1）軸，，即直線解析式為，且拋物線對稱軸為，，．點坐標為，點坐標為，，；（2），直線解析式為；拋物線與軸交于時，，拋物線解析式為，點聯(lián)立方程組可得或，直線與拋物線交點坐標為，，直線與拋物線的對稱軸相交于點，點坐標，，設(shè)直線解析式為，過，，直線解析式．射線與直線相交于點，，點坐標為；（3）設(shè)點坐標為，，點坐標為，，所在直線解析式為：．將點代入解析式中得：．直線解析式為：．令，可得點坐標為，，，點，當，，點，，為直線與拋物線的交點，．設(shè)，是方程的兩根，，．．，又，四邊形是平行四邊形．2．（2020?崇川區(qū)校級一模）在平面直角坐標系中，的半徑為，是圓內(nèi)與圓心不重合的點，的“完美點”的定義如下：若直線與交于點，，滿足，則稱點為的“完美點”，如圖為及其“完美點”的示意圖．（1）當?shù)陌霃綖?時，①在點，，，，中，的“完美點”是，；②若的“完美點”在直線上，求的長及點的坐標；（2）的圓心在直線上，半徑為2，若軸上存在的“完美點”，求圓心的縱坐標的取值范圍．【分析】（1）①利用圓的“完美點”的定義直接判斷即可得出結(jié)論；②先確定出滿足圓的“完美點”的的長度，然后分情況討論計算即可得出結(jié)論；（2）先判斷出圓的“完美點”的軌跡，然后確定出取極值時與軸的位置關(guān)系即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）①點，，設(shè)與軸的交點為，，的半徑為2，取，，，點不是的“完美點”，同理：點，是的“完美點”．故答案為，；②如圖1，根據(jù)題意，，，．若點在第一象限內(nèi)，作軸于點，點在直線上，，，．，．若點在第三象限內(nèi)，根據(jù)對稱性可知其坐標為，．綜上所述，的長為1，點的坐標為，或，．（2）對于的任意一個“完美點”都有，．．對于任意的點，滿足，都有，，故此時點為的“完美點”．因此，的“完美點”是以點為圓心，1為半徑的圓．設(shè)直線與軸交于點，如圖2，當移動到與軸相切且切點在點的下方時，的值最小．設(shè)切點為，連接，的圓心在直線上，此直線和軸，軸的交點，，，，，，，，，．，的最小值為．當移動到與軸相切且切點在點的上方時，的值最大．同理可得的最大值為．綜上所述，的取值范圍為．3．（2020?錫山區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點的坐標為，點從點出發(fā)沿軸負方向以每秒的速度移動，同時點從原點出發(fā)沿軸正方向以每秒的速度移動．設(shè)移動的時間為秒．（1）若點在線段上，試問當為何值時，與以點、、為頂點的三角形相似？（2）若直線與外接圓的另一個交點是點．①試說明：當時，、、在移動過程滿足；②試探究：當時，、、之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，并說明理由．【分析】（1）由題意先把、的值算出來，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出等量關(guān)系，求出即可；（2）①當時，在的延長線的截取，連接、、，證明及．再把求出來，即可證明；②當時，過點作交于點，連接、，先證明為等腰直角三角形，再證明，按照全等三角形的性質(zhì)及即可求得答案．【解答】解：（1）由題意，得，．當時，，．若，則，即，解得．若，則，即，解得．綜上，當為1或時，與以點、、為頂點的三角形相似．（2）①當時，在的延長線的截取，連接、、，如圖所示：直線與軸的夾角為，平分．．．又在中，，．．，．又，為的直徑，．．．．又，．．．②當時，過點作交于點，連接、，如圖所示：，為等腰直角三角形，．為的直徑，．又在中，，．又，．．．又，．．4．（2020?錫山區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與直線分別交于軸、軸上的、兩點，拋物線的頂點為點，聯(lián)結(jié)交軸于點．（1）求拋物線的解析式以及點的坐標；（2）求；（3）點在直線上，若，求點的坐標．【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式進而得出答案；（2）利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出，的長，進而得出答案；（3）分別利用①點在軸上方，②點在軸下方，分別得出點的坐標．【解答】解：（1）由題意得，，把，，代入得，解得：，拋物線的解析式為：，；（2）可得點，，，過點作，垂足為點在中，，在中，，同理，，，在中，；（3）設(shè)點，，①點在軸上方，解得：，點，，②點在軸下方，解得：，點，綜上所述，點，或．5．（2020?江都區(qū)校級一模）如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，是等腰直角三角形，，．（1）求點的坐標；（2）求經(jīng)過、、三點的拋物線的函數(shù)表達式；（3）在（2）所求的拋物線上，是否存在一點，使四邊形的面積最大？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）過作軸于點，過作軸于點，則可證明，則可求得和的長，可求得點坐標；（2）根據(jù)、、三點的坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（3）由四邊形可知點在線段的下方，過作軸交線段于點，可求得直線解析式，設(shè)出點坐標，則可表示出點坐標，可表示出的長，進一步表示出的面積，則可得到四邊形的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其面積最大時點的坐標．【解答】解：（1）如圖1，過作軸于點，過作軸于點，為等腰三角形，，，，，在和中，，，，；（2）拋物線過點，可設(shè)拋物線解析式為，把、兩點坐標代入可得，解得，經(jīng)過、、原點的拋物線解析式為；（3）四邊形，可知點在線段的下方，過作軸交于點，如圖2，設(shè)直線解析式為，，，直線解析式為，設(shè)點坐標為，則，，，由可求得，，，，當時，四邊形的面積最大，此時點坐標為，綜上可知存在使四邊形的面積最大的點，其坐標為．6．（2020?宜興市校級一模）已知，二次函數(shù)圖象的頂點為，與軸交于，兩點（點在點的左側(cè)），點，關(guān)于過點的直線對稱，直線與軸交于．（1）求，兩點坐標及直線的解析式；（2）求二次函數(shù)解析式；（3）在第三象限拋物線上有一個動點，連接交直線于點，求的最大值．【分析】（1）、（2）對于，令，則或1，求出點、的坐標，利用點，關(guān)于直線對稱得，求出的值，進而求解；（3）利用，得到，即可求解．【解答】解：（1）對于，令，則或1，則點、的坐標分別為：、，則函數(shù)的對稱軸為：，則頂點坐標為：，點，關(guān)于直線對稱，如下圖：，即，解得：（負值已舍去），故點的坐標為：，則，故為等邊三角形，點，關(guān)于直線對稱，則，故，則設(shè)直線的表達式為：，將點的坐標代入上式并解得：，故直線的表達式為：；（2）由（1）知，故拋物線的表達式為：；（3）直線的表達式為：；點的坐標為：，即，過點作軸的平行線交于點，設(shè)點，則點，則，軸，，，，故有最大值，當時，最大值為．7．（2020?啟東市一模）在平面直角坐標系中，拋物線，與軸交于、兩點（點在點的左側(cè)）．（1）求點和點的坐標；（2）若點是拋物線上的一點，過點作軸的垂線，垂足為點．①在的條件下，當時，的取值范圍是，求拋物線的表達式；②若點坐標，當時，求的取值范圍．【分析】（1）解方程即可得到點和點坐標；（2）①由于拋物線的對稱軸為直線，而時，的取值范圍是，則為二次函數(shù)的最小值，從而得到拋物線的頂點坐標為，然后把頂點坐標代入中求出即可得到拋物線解析式；②利用點坐標，軸得到點的橫坐標為4，從而得到，然后利用得到，從而解不等式得到的范圍．【解答】解：（1）把代入二次函數(shù)得：即，，，點在點的左側(cè)，，；（2）①拋物線的對稱軸為直線，時，的取值范圍是，為二次函數(shù)的最小值，時，，拋物線的頂點坐標為把代入得，解得，拋物線的解析式為；②點坐標，軸，點的橫坐標為4，當時，，點坐標為，點坐標為，或．8．（2020?啟東市一模）定義：當點在射線上時，把的的值叫做點在射線上的射影值；當點不在射線上時，把射線上與點最近點的射影值，叫做點在射線上的射影值．例如：如圖1，三個頂點均在格點上，是邊上的高，則點和點在射線上的射影值均為．（1）在中，①點在射線上的射影值小于1時，則是銳角三角形；②點在射線上的射影值等于1時，則是直角三角形；③點在射線上的射影值大于1時，則是鈍角三角形．其中真命題有．．①②．①③．②③．①②③（2）已知：點是射線上一點，，以〇為圓心，為半徑畫圓，點是上任意點．①如圖2，若點在射線上的射影值為．求證：直線是的切線；②如圖3，已知為線段的中點，設(shè)點在射線上的射影值為，點在射線上的射影值為，直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式為．【分析】（1）根據(jù)射影值的定義一一判斷即可．（2）①根據(jù)兩邊成比例夾角相等的兩個三角形相似，可得，由相似三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)切線的判定定理可得答案；②圖形是上下對稱的，只考慮在直線上及上方部分的情形．分兩種情況考慮：當時；當時．【解答】解：（1）①錯誤．點在射線上的射影值小于1時，可以是鈍角，故不一定是銳角三角形；②正確．點在射線上的射影值等于1時，，，是直角三角形；③正確．點在射線上的射影值大于1時，是鈍角，故是鈍角三角形；故答案為：．（2）①如圖2，作于點，點在射線上的射影值為，，，，，又，，，，直線是的切線；②圖形是上下對稱的，只考慮在直線上及上方部分的情形．過點作，作，當時，設(shè)，為線段的中點，，，，在和中，，，①，，②，①②消去得：．如圖，當時，過點作于點，為線段的中點，，，，，，，設(shè)，則，，，，，當點在上時，，綜上所述，當時，；當時，．故答案為：或．9．（2020?揚州校級一模）如圖，拋物線與兩軸分別交于、、三點，已知點，．點在第二象限內(nèi)的拋物線上運動，作軸于點，交直線于點．（1）；；（2）求線段取最大值時點的坐標，這個最大值是多少；（3）連接，并以為邊作等腰直角，當頂點恰好落在拋物線的對稱軸上時，直接寫出對應的點坐標．【分析】（1）設(shè)拋物線的表達式為：，即可求解；（2）設(shè)點的坐標為：，則點，則，即可求解；（3）分為直角、為直角、為直角三種情況，利用三角形全等分別求解即可．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的表達式為：，故，，故答案為：，3；（2），點，設(shè)直線的表達式為：，則，解得：，故直線的表達式為：，設(shè)點的坐標為：，則點，則，，故有最大值，此時，的最大值為，點的坐標為；（3）設(shè)點的坐標為：，①，點，①當為直角時，如圖1，過點作軸的平行線交拋物線對稱軸于點，交過點與軸的平行線于點，，，，又，，，，即②，聯(lián)立①②并解得：（舍去正值），故點，；②當為直角時，如圖2，過點作垂直于拋物線對稱軸于點，拋物線對稱軸交軸于點，同理可得：△，，，即：③，④，聯(lián)立①③④并解得：或1（舍去，故點；③當為直角時，同理可得：點的坐標為：，；綜上點的坐標為：．10．（2020?崇川區(qū)校級一模）對于平面直角坐標系中的點，，給出如下定義：若，為某個三角形的頂點，且邊上的高，滿足，則稱該三角形為點，的“生成三角形”．（1）已知點；①若以線段為底的某等腰三角形恰好是點，的“生成三角形”，求該三角形的腰長；②若是點，的“生成三角形”，且點在軸上，點在直線上，則點的坐標為，或．；（2）的圓心為點，半徑為2，點的坐標為，為直線上一點，若存在，是點，的“生成三角形”，且邊與有公共點，直接寫出點的橫坐標的取值范圍．【分析】（1）①畫圖，不妨設(shè)滿足條件的三角形為等腰，則．過點作于點，由勾股定理可求得其腰長；②分點為直角頂點和點為直角頂點兩種情況，結(jié)合圖形可得結(jié)論；（2）分點為直角頂點和點為直角頂點，由圖形可得答案．【解答】解：（1）①如圖，不妨設(shè)滿足條件的三角形為等腰，則．過點作于點，，以線段為底的等腰恰好是點，的“生成三角形”，．，答：該三角形的腰長為．（2）②如圖所示：若為直角頂點時，點的坐標為或；若為直角頂點時，點的坐標為或綜上，點的坐標為，或．（2）由圖可得：若為直角頂點：；若為直角頂點：；綜上，．答：點的橫坐標的取值范圍為：．11．（2020?崇川區(qū)校級一模）在平面直角坐標系中，函數(shù)的圖象記為，函數(shù)的圖象記為，其中為常數(shù)，且，圖象，合起來得到的圖象記為．（1）若圖象有最低點，且最低點到軸距離為3，求的值；（2）當時，若點在圖象上，求的值；（3）點、的坐標分別為，，連結(jié)．直接寫出線段與圖象恰有三個公共點時的取值范圍．【分析】（1）因為提到“最低點”，所以函數(shù)圖象對應的拋物線開口向上，，令頂點縱坐標即求出的值；（2）把點在圖象或圖象進行分類討論，把和代入解析式即求出的值；（3）把和時圖象的大致草圖畫出，根據(jù)圖象觀察和計算說明線段所在位置對交點個數(shù)的影響，得到的范圍．【解答】解：（1），且圖象的最低點到軸距離為3，，，即；（2）當時，點在圖象上，①若點在圖象上，即，，解得：，（舍去），②若點在圖象上，即，，解得：（舍去），，綜上所述，的值為或；（4）若，則圖象的大致形狀如圖1，若線段經(jīng)過圖象的頂點，則，得，對于圖象，時，解得：（舍去），，，直線與圖象的交點在點的右側(cè)，線段與圖象恰有三個公共點時，則，解得；若，則圖象的大致形狀如圖2，函數(shù)圖象的頂點，若線段經(jīng)過圖象的頂點，則，得，對于圖象，時，解得：，（舍去），，直線與圖象的交點在點的左側(cè)，此時線段與圖形只有一個交點，不符合題意，若線段與軸的交點等于圖象與軸交點高時，如圖2，則，解得：，對于圖象，時，解得：，（舍去），的坐標為，此時線段與圖形有三個交點，符合題意，綜上所述，線段與圖象有三個個交點時，或．12．（2020?無錫一模）如圖①，一次函數(shù)的圖象交軸于點，交軸于點，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過、兩點，與軸交于另一點．（1）求二次函數(shù)的關(guān)系式及點的坐標；（2）如圖②，若點是直線上方的拋物線上一點，過點作軸交于點，軸交于點，求的最大值；（3）如圖③，若點在拋物線的對稱軸上，且，求出所有滿足條件的點的坐標．【分析】（1）先根據(jù)一次函數(shù)解析式確定，，再利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；然后解方程得點坐標；（2）如圖2，先證明．利用相似比得到．設(shè)，則．再利用表示出得到，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題；（3）討論：當點在直線上方時，根據(jù)圓周角定理可判斷點在的外接圓上，如圖1，由于拋物線的對稱軸垂直平分，則的外接圓的圓心在對稱軸上，設(shè)圓心的坐標為，，根據(jù)半徑相等得到，解方程求出得到圓心的坐標為，，然后確定的半徑半徑為．從而得到此時點坐標；當點在在直線下方時，作關(guān)于的對稱點，如圖2，通過證明可判斷在軸上，則點的坐標為，，然后計算出即可得到此時點坐標．【解答】解：（1）令，解得，則．令，得，則；二次函數(shù)的圖象經(jīng)過、兩點，，解得二次函數(shù)的關(guān)系式為；當時，，解得，，則；（2）如圖2，軸，軸，，．．，．設(shè)，則．；，當時，有最大值6；（3）當點在直線上方時，則點在的外接圓上，如圖1．的外接圓的圓心在對稱軸上，設(shè)圓心的坐標為，，，，解得．圓心的坐標為，．，即的半徑半徑為．此時點坐標為，；當點在在直線下方時，作關(guān)于的對稱點，如圖2．，．軸，．，在軸上，點的坐標為，．，．此時點的坐標為，．綜上所述，點的坐標為，或，．13．（2020?灌南縣一模）如圖，拋物線與軸交于、兩點（點在點的左側(cè)），點的坐標為，與軸交于點，作直線．動點在軸上運動，過點作軸，交拋物線于點，交直線于點，設(shè)點的橫坐標為．（1）求拋物線的解析式和直線的解析式；（2）當點在線段上運動時，求線段的最大值；（3）當點在線段上運動時，若是以為腰的等腰直角三角形時，求的值；（4）當以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出的值．【分析】（1）由、兩點的坐標利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式，則可求得點坐標，再利用待定系數(shù)法可求得直線的解析式；（2）用可分別表示出、的坐標，則可表示出的長，再利用二次函數(shù)的最值可求得的最大值；（3）由題意可得當是以為腰的等腰直角三角形時則有，且，則可求表示出點坐標，代入拋物線解析式可求得的值；（4）由條件可得出，結(jié)合（2）可得到關(guān)于的方程，可求得的值．【解答】解：（1）拋物線過、兩點，代入拋物線解析式可得，解得，拋物線解析式為，令可得，，解，，點在點右側(cè)，點坐標為，設(shè)直線解析式為，把、坐標代入可得，解得，直線解析式為；（2）軸，點的橫坐標為，，，在線段上運動，點在點上方，，當時，有最大值，的最大值為；（3）軸，當是以為腰的等腰直角三角形時，則有，點縱坐標為3，，解得或，當時，則、重合，不能構(gòu)成三角形，不符合題意，舍去，；（4）軸，，當以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形時，則有，當點在線段上時，則有，，此方程無實數(shù)根，當點不在線段上時，則有，，解得或，綜上可知當以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形時，的值為或．14．（2020?亭湖區(qū)校級一模）如圖1，拋物線經(jīng)過點，兩點，（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)拋物線的頂點為，直線與軸交于點，與直線交于點，現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點在直線上，若平移的拋物線與射線（含端點只有一個公共點，求它的頂點橫坐標的值或取值范圍；（3）如圖2，將拋物線平移，當頂點至原點時，過作不平行于軸的直線交拋物線于、兩點，問在軸的負半軸上是否存在一點，使的內(nèi)心在軸上？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．【分析】（1）根據(jù)拋物線經(jīng)過點，兩點，代入解析式求出即可；（2）由（1）配方得，利用函數(shù)平移①當拋物線經(jīng)過點時，②當拋物線與直線只有一個公共點時，分別分析求出；（3）由點、的坐標分別為，，得出，，利用作點關(guān)于軸的對稱點，作直線交軸于點，由對稱性知，此時的內(nèi)心在軸上，求出即可．【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過點，兩點，，解得，，拋物線解析式為；（2）由（1）配方得拋物線的頂點，直線的解析式為．于是設(shè)平移后的拋物線的頂點坐標為，平移后的拋物線解析式為，①當拋物線經(jīng)過點時，，，解得，當時，平移的拋物線與射線（含端點只有一個公共點，②當拋物線與直線只有一個公共點時，由方程組，得，△，解得，此時拋物線與射線只有唯一一個公共點為，綜上所述，平移的拋物線與射線（含端點只有一個公共點時，頂點橫坐標的取值范圍為或；（3）設(shè)直線的解析式為，點、的坐標分別為，，由得，，，作點關(guān)于軸的對稱點，作直線交軸于點，由對稱性知，此時的內(nèi)心在軸上，點即為所求的點．由，的坐標可得直線的解析式為記，當時，，，軸的負半軸上存在點使的內(nèi)心在軸上．15．（2020?高郵市一模）對于平面直角坐標系中的任意一點，我們定義：當為常數(shù)，且時，點，為點的“對應點”．（1）點的“3對應點”的坐標為，；若點的“對應點”的坐標為，且點的縱坐標為4，則點的橫坐標；（2）若點的“對應點”在第一、三象限的角平分線（原點除外）上，求值；（3）若點在軸的負半軸上，點的“對應點”為點，且，求值．【分析】（1）根據(jù)點的“對應點”的定義列式計算，得到答案；（2）根據(jù)第一、三象限的角平分線上的點的橫縱坐標相等計算；（3）根據(jù)點的“對應點”的定義表示出點的坐標，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、正切的定義計算即可．【解答】解：（1），，則點的“3對應點”的坐標為，，點的“對應點”的坐標為，點的縱坐標為4，，解得，，即點的橫坐標，故答案為：；故答案為：，；；（2）點在第一、三象限的角平分線（原點除外）上，，整理得，，由題意得，，，解得，；（3）點在軸的負半軸上，設(shè)點的坐標為，則點的“對應點”為點的坐標為，軸，，，，解得，，則點在軸的負半軸上，點的“對應點”為點，時，或．16．（2020?南通一模）已知拋物線，是常數(shù)，且，過點．（1）求的值，并通過計算說明點是否也在該拋物線上；（2）若該拋物線與直線只有一個交點，求的值；（3）若當時，隨的增大而增大，求的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)拋物線，是常數(shù)，且，過點，可以得到的值，然后將代入拋物線解析式，即可得到的值，從而可以判斷點是否也在該拋物線上；（2）根據(jù)該拋物線與直線只有一個交點，可知該拋物線頂點的縱坐標是5，從而可以求得的值；（3）根據(jù)當時，隨的增大而增大，可知，該拋物線的對稱軸，從而可以求得的取值范圍．【解答】解：（1）拋物線，是常數(shù)，且，過點，，拋物線，當時，，即點在該拋物線上；（2）拋物線，該拋物線與直線只有一個交點，，解得，，即的值是或；（3）當時，隨的增大而增大，拋物線，，，解得，，即的取值范圍是．17．（2020?南通一模）平面直角坐標系中，對于點和線段，給出如下定義：若是等腰直角三角形，則稱點為的“等直點”；特別的，若是以為斜邊的等腰直角三角形，則稱點為的“完美等直點”．（1