真空中靜電場場強的計算

常數(shù)，0為半徑R與X軸所成的夾角，如圖常數(shù)，0為半徑R與X軸所成的夾角，如圖1所示。它在O點產(chǎn)生的場強為dE=4k8R20在x、y軸上的二個分量dE二-dEcos0dE二-dEsin0真空中靜電場場強的計算張貴銀任何帶電體都要在空間激發(fā)電場，靜止帶電體激發(fā)的電場稱為靜電場，靜電場的空間分布通過物理量電場強度來描述，靜電場的有源無旋性通過與電場強度相關(guān)聯(lián)的高斯定理和場強環(huán)路定理來體現(xiàn)。所以電場強度是靜電學部分最重要、最基本的一個概念，對于給定的任一帶電體，了解和掌握其電場強度的計算方法具有重要的實際意義。場強的計算是靜電學的重點和難點，本文對電場強度的計算方法進行了歸納、總結(jié)。一、迭加法電場強度的基本特性之一就是可迭加性，該特性提供了計算任意帶電體場強的基本方法一一迭加法，該方法的基本思想是：以熟知的點電荷場強公式E二 戸為基礎(chǔ)，當4兀sr30帶電體系由若干個分離的點電荷組成時，直接應(yīng)用點電荷場強公式，進行矢量迭加，即得空間場強的分布；當帶電體電荷連續(xù)分布時，將帶電體視為由無數(shù)個電荷元組成，電荷元激發(fā)的場強由點電荷場強公式描述，無數(shù)個電荷元場強的迭加，即整個帶電體激發(fā)的電場強度。例1、一帶電細線彎成半徑為R的半圓形，電荷線密度為九二九sin0，式中九為試求環(huán)心O處的電場強度。解：在①處取電荷元，如圖2,其電量為dq=Xdl=九°Rsin0d0dq九sin0d0=—o—4K8R0九o—九o—8eR0九E=Ei+Ej=— o—xy8eR0對各分量分別求和九fo JKsin0cos0d0=04K8R00九o sin2?d04K8R00迭加法求場強的一般步驟是：首先在帶電體上選取適當?shù)碾姾稍?，寫出電荷元在場點激發(fā)的電場強度，若各電荷元在場點激發(fā)的電場強度方向相同，將電荷元在場點激發(fā)的場強直接積分即得帶電體在場點激發(fā)的電場強度；反之，需將電荷元在場點激發(fā)的場強沿選取的

正交方向進行分解，對場強分量積分得總場強的分量，進而獲得待求點的電場強度。原則上，利用迭加法，可計算任何帶電體激發(fā)的電場分布，主要困難是積分的運算。二、高斯定理法場源電荷分布的對稱性決定著場強分布的對稱性，當電荷分布具有特殊對稱性時利用高斯定理可方便地求出場強。例2、均勻帶電球面內(nèi)外的場強分布。設(shè)球面半徑為R,所帶總電量為Q。解：由題意知，電荷分布具有球?qū)ΨQ性，所以場強的分布亦具有球?qū)ΨQ性，場強的方向沿著徑向，且在以球心為圓心的各球面上的場強處處相等。可選同心球面為高斯面。如圖3所示，當r>R時，高斯面內(nèi)電荷為Q,通過高斯面的電通量①=jjE-dS=EjjdS=4兀r2Ee根據(jù)高斯定理：①°根據(jù)高斯定理：①°二4兀廠2E二Q/8o二呈=欽二rRr>R4兀sr20當r<R時，高斯面內(nèi)電荷為0該例題代表著一類對稱性電荷分布激發(fā)場強的計算方法，只要帶電體電荷分布具有球?qū)ΨQ性（均勻帶電球體、均勻帶電球殼等圖）3,則場強的分布亦具有球?qū)ΨQ性?？蛇x取同心球面形狀高斯面求場強分布。利用高斯定理求場強的一般步驟是：首先根據(jù)電荷分布的對稱性分析場強分布的對稱性，然后根據(jù)場強對稱性分布的特征選取適當?shù)母咚姑?，最后利用高斯定理求出電場強度。利用高斯定理求場強分布，通常電荷分布呈現(xiàn)的對稱性包括：球?qū)ΨQ性（均勻帶電球體、均勻帶電球殼等）、柱對稱性（無限長均勻帶電圓柱體、無限長均勻帶電圓柱面等）、面對稱性（無限大均勻帶電平面）。三、場勢關(guān)系法E=-VE=-VU求出場強分布。例3、計算均勻帶電圓環(huán)軸線上任一點P的電勢。已知圓環(huán)帶電量為q,半徑為R解：在帶電圓環(huán)上取電荷元dq,如圖4所示，電荷元在P點激發(fā)電勢：dUdqdU4兀8r整個帶電圓環(huán)在P整個帶電圓環(huán)在P點激發(fā)電勢:U=j出4兀8rL0即：q即：4兀8(Z2+R2)120qz所以P點電場強度:qzE=-VU=-巴k= kdz 4兀8(R2+z2)320

四、補缺法有些帶電體具有一定的規(guī)則缺陷，求解該類帶電體的場強分布，行之有效的方法是補缺法，該方法的基本思想是：先將原帶電體的規(guī)則缺陷補全，使之成為一個完整的規(guī)則帶電體，再在原帶電體的規(guī)則缺陷處疊加一個與原帶電體缺陷形狀相同但帶異號電荷的規(guī)則帶電體也就是說，將原帶電體視為由兩個帶異號電荷的規(guī)則帶電體疊加而成，原帶電體激發(fā)的電場與兩個規(guī)則帶電體分別激發(fā)的電場疊加等同。而對兩個規(guī)則帶電體，其激發(fā)電場的場強分布已知或易于求解，這樣可簡化原場強的求解。例4、在半徑為比，電荷體密度為P的均勻帶電球體內(nèi)，挖去

一個半徑為R2的球體空腔，空腔中心02與帶電球體中心O］間的距

離為b，且R1>b>R2,如圖5所示。求空腔內(nèi)任一點p的電場強度E。解：這是一個電荷非對稱分布的問題，不能直接用高斯定理求解。但半徑為R1的球和半徑為R2的空腔是球?qū)ΨQ的，利用這一特點，把帶電體看成半徑為R1的均勻帶電+P的球體與半徑為R2的均勻帶電-P的球體迭加，這相當于空腔處補上電荷體密度分別為+p和-P的兩個球體，這時空腔內(nèi)任一點p的場強：E=E+E12其中￡嚴2分別是帶電+P的大球和帶電-P的小球在P點的場強，E嚴2都可用高斯定理求得：E=3rr (