2023年浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽夏令營(yíng)試題及答案解析

4.己知4.己知a.pgR,且coscr+cos>0=—,tan(cr+=—>則sina+sin0=2023年浙江高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽夏令營(yíng)試題測(cè)試時(shí)間7月19日8：30-10：301.集合A=N，的所有元素之和為o2.(2x+f=)的展開式中工的系數(shù)為o3.設(shè)圓x2+y2=9的弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),直線交x軸于點(diǎn)P,則網(wǎng)冏=。5.己知圓0的直徑AB把圓分成上下兩個(gè)半圓，C,D分別在上、下半圓上(都不與A、B重合)。若AC=2,A￡>=1,則ABDC=。6.己知正四棱柱ABCD-ABCQi的底面變成為2,側(cè)棱長(zhǎng)為4,E為棱CO的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱AA的中點(diǎn)，則點(diǎn)D道平面的距離為。7.若z為復(fù)數(shù)，且|z|=l,則|告』的最大值為。8.己知｛%｝和｛如｝均為等差數(shù)列，且句=32,如=43。令cn=(-\)n(an-bn),數(shù)列｛%｝的前10項(xiàng)和為5,前13項(xiàng)和為-5,則數(shù)列｛如｝的前100項(xiàng)和為。9.己知ABCQ為四面體，現(xiàn)以等概率對(duì)每條棱染紅色或藍(lán)色。試問(wèn)點(diǎn)A可?以通過(guò)四面體上的紅色棱邊到達(dá)點(diǎn)B的概率為。10.己知函數(shù)f(x\g(x)是定義在R上的周期函數(shù)，且它們?cè)趨^(qū)間[-1,1]±單調(diào)遞增，下列陳述：A./(x)+g(x)為周期函數(shù)B.f(x)+g⑴-|/(x)-g(x)|在區(qū)間［-1,1］上單調(diào)遞增C.若“=3,則存在正整數(shù)如使得￡-!—<-心22D.已知數(shù)列。仲=3%-“；+4(〃=1,2,),句=1,若ErQ,01,則數(shù)列｛%｝有界正確的是O12.已知x為實(shí)數(shù)，且滿足52t+,+3125=55t-t2,則x最小值和最大值之和為o13.己知銳角MBC中，ZA>ZB>ZC,ZA+ZC=2ZB,AB=4,BC=5，則MBC的面積最大內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)為o714.己知橢圓C：—+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為與，乙，設(shè)P是第一象限內(nèi)橢圓C上的一點(diǎn)，PR、的延長(zhǎng)線分別交橢圓于0、。2點(diǎn)。則八PFQ、的面積之差的最大值為。15.設(shè)實(shí)數(shù)尸滿足r3-r-l=O,且r+JJ為多項(xiàng)式P(x)=O的根。若p(x)的首項(xiàng)系數(shù)為1,p(x)為滿足條件的整系數(shù)多項(xiàng)式中次數(shù)最低的，則p(x)=_。16.己知四面體ABCD中，面ABC和ABD的面積分別是4和7,兩者之間的二面角為60,則通過(guò)棱AB和四面體內(nèi)切球的球心的截面面積為o17.已知，z個(gè)正整數(shù)組成的集合中，任意兩個(gè)元素的差要么恰好被5整除，要么恰好被25整除，則〃的最大值為。18.設(shè)也,〃(也>〃)為正整數(shù)，且7。2[2023〃一2023",則m+n的最小值為一。19.一個(gè)螞蟻在單位立方體以每秒1單位的速度沿棱運(yùn)動(dòng)，它從任一頂點(diǎn)起開始運(yùn)動(dòng)。假設(shè)每次螞蟻到達(dá)頂點(diǎn)處后轉(zhuǎn)向各方向繼續(xù)運(yùn)動(dòng)的概率相同(允許后轉(zhuǎn)折返走動(dòng))，則其第一次Df｛x)+g(x)+/(-x)+g(-x)為偶函數(shù)正確的是。11.己知數(shù)列為.|=3%-忒一1(〃=1,2,),6=。。則下列陳述：A.若“壬1,則％嚴(yán)格單調(diào)遞減B.若。=：,則對(duì)任意neN',有an>1重返起點(diǎn)所需用的時(shí)間的數(shù)學(xué)期望為20.可導(dǎo)函數(shù)重返起點(diǎn)所需用的時(shí)間的數(shù)學(xué)期望為20.可導(dǎo)函數(shù)/:(0,勺tR滿足/(x)tanx>(2sinx-l)f(x).若f(親jT，則*\32023年浙江高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽夏令營(yíng)試題解析1.集合4={n|Ign<i,nGN}的所有元素之和為6n<而,故n=1,2,3,元素之和為6的展開式中％的系數(shù)為C$(2rr)3二4=280的展開式中％的系數(shù)為C$(2rr)3二4=280a8￡44，-93.設(shè)圓/+夕2=9的弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),直線4B交。軸于點(diǎn)F,則1客|?\PB\=5由和差化積公式可知sin"+sing=sa+匕0coscosa+cosp.a4-p34'記tana=t,則tan(a+/?)=24=-2t,故結(jié)果為243設(shè)中點(diǎn)為M,則OM=MF=為(\/7-\/2)(\/7+v^2)=54.已知a,6ER,且cosa+cos0=由垂徑定理知MA=MB=V兮.故結(jié)果—,tan(a+￡)=司，則sina+sin/?=OI5.已知圓O的直徑AB把圓分成上下兩個(gè)半圓，C,D5.已知圓O的直徑AB把圓分成上下兩個(gè)半圓，C,D分別在上、下半圓上（都不與4、B點(diǎn)重合）。若AC=2,AD=19AB-DC=答案3解析考慮。。在4Bh的投影向量EF4n2設(shè)43=d>2,由射影定理易知AF=—r-,AE=—j-aa6.已知正四棱柱ABCD-&亂?！烤恋牡酌孢呴L(zhǎng)為2,側(cè)梭長(zhǎng)為4,E為梭CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱AA.的中點(diǎn)，則點(diǎn)D到平面EFB］的距離為答案2\/17解析向量法易得，算就不算了故仙DC=AB?EF=d—-—=3a解析設(shè)兩個(gè)數(shù)列的公差分別是d,t,注意到。2人1解析設(shè)兩個(gè)數(shù)列的公差分別是d,t,注意到。2人14-C2*=(/-t,故｛Cn｝的前10項(xiàng)和為5可知d-t=l前13項(xiàng)和為-5可知bna：3=—11=>anbn=11=>anbu=9=>bn=23,——=2,故｛如｝前100項(xiàng)和易知為102007.若2為復(fù)數(shù)，且|z|=l,則的最大值為答案由+妨解析故--------=----------------------=\I---------------?4-2扇考慮------------=t,可知32v2cos0由輔助角公式可知8P+122(3t一4尸。社一24Z+4《0=>(t-12)2《140=>12-2\/35<t<12+2^35故最大值為VZ12+2/房=”+去8.巳知｛au｝和｛bn｝均為等差數(shù)列，且an=32,b2i=43。令5=(-l)n-(an-如)，數(shù)列｛c“｝的前10項(xiàng)和為5,前13項(xiàng)和為-5,則數(shù)列｛如｝的前100項(xiàng)和為答案9.已知ABCD為四面體，現(xiàn)以等概率對(duì)每條棱染紅色或藍(lán)色。試問(wèn)點(diǎn)A可以通過(guò)四面體上的紅色棱邊到達(dá)點(diǎn)39.已知ABCD為四面體，現(xiàn)以等概率對(duì)每條棱染紅色或藍(lán)色。試問(wèn)點(diǎn)A可以通過(guò)四面體上的紅色棱邊到達(dá)點(diǎn)3的概率為.34(1)若43為紅，概率為?，直接到達(dá)。(2)若AB為藍(lán)，概率為二在此條件下，考慮AC,AD9t紅的情形：￡情形一：均染紅，概率為牛，此時(shí)只需要中有一個(gè)染色即可，4解析*,113情形二：均染藍(lán)，概率為?，不可能過(guò)去4情形三：AC.AD-&-紅，概率為？,由對(duì)稱性不妨設(shè)AC紅，則下考慮CB及C-D-B兩條路徑中至少有一條全紅的概率，反面思考可知1一5亨=M±-*cP=+14-++21-、)=10.已知函數(shù)f(x),g(x)是定義在A上的周期函數(shù)，且它們?cè)趨^(qū)間上單調(diào)遞增，以下陳述：A/(i)+g(w)為周期函數(shù)C上單調(diào)遞增Df(x)+g(x)+f(-x)+g(-x)為偶函數(shù)正確的是BD解析略11.已知數(shù)列如+i=3au11.已知數(shù)列如+i=3au—a?—l(n=1,2,??),ai=a,則下列陳述：A若a/1,an嚴(yán)格單調(diào)遞減B若。=f,則對(duì)任意neN\有a?>1C若a=3,則存在正施數(shù)使得y—^―<角g一22D已知數(shù)列g(shù)+,=3Q“-a*+A(n=l,2,),ai=l。若k￡--J)3正確的是答案解析略，用蛛網(wǎng)圖思考4注意到六4一時(shí)=，(時(shí)，所以答案為412.巳知工為實(shí)數(shù)，且滿足52xU+3125=55,?,則￡最小值和最大值之和為MBC中,ZA>ZB>ZC,ZA4-ZC=2ZB,AB=4,BC=5,則4ABC的面積最大內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)為答案300-160\/3解析hxxah對(duì)于某邊Q,及對(duì)應(yīng)高加有=解出I=h.注意到分子恒等2S=sin60-4x5,故分母要小，a,九要盡量接近，選a=4,代入即可17.已知n個(gè)正整數(shù)組成的集合中，任意兩個(gè)元素的差要么恰好被517.已知n個(gè)正整數(shù)組成的集合中，任意兩個(gè)元素的差要么恰好被5整除，要么恰好被25整除，則n的最大值為用5進(jìn)制思考易知最后兩位只能不同，否則會(huì)有125倍數(shù)，那么至多25個(gè)圓。上的一點(diǎn)，PFX、PF2的延長(zhǎng)線分別交橢圓于Qi、Q2點(diǎn)。則△PF1Q2、ΔPF2Q1的面積之差的最大值為2據(jù)解析爆算15.設(shè)實(shí)數(shù)尸滿足『3_r_1=0,且r+防為多項(xiàng)式P(x)=0的根。若p(x)的首項(xiàng)系數(shù)為l,p(司為滿足條件的整系數(shù)多項(xiàng)式中次數(shù)最低的，則p(x)=x6-8x4-2x3+13x2-10z-1先構(gòu)造一個(gè)根為r+/的多項(xiàng)式易知為(r-據(jù)尸-(r->/2)-1,為消去\/如將多項(xiàng)式分成整系數(shù)部分和寸5部分，乘上其共貌結(jié)構(gòu)即可得到答案16.已知四面體ABCD中，面ABC和ABD的面積分別是4和7,兩者之間的二面角為60”，則通過(guò)棱和四面體內(nèi)切球的球心的截面面積為答案28\/3解析化歸為算以4,7為夾邊，60度為夾角的角平分線長(zhǎng)度計(jì)算+g2=1的左、右焦點(diǎn)分別為f】,F2,設(shè)P是第一象限內(nèi)橢注意到祭■=On/(￡))'，本題需要對(duì)票■積分注意到祭■=On/(￡))'，本題需要對(duì)票■積分先考慮/(，)20則理?2竺攔二1,為了/(￡)最小f(x)tanx