新高考數學人教版一輪課件第七章第七節(jié)立體幾何中的向量方法

第七節(jié)立體幾何中的向量方法知識點空間角的求法1．設直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為u，ν，則(1)線線平行：

；線面平行：

；面面平行：

.l∥m?a∥b?a＝kb，k∈R

l∥α?a⊥u?a·u＝0α∥β?u∥ν?u＝kν，k∈R

(2)線線垂直：

；線面垂直：

；面面垂直：

.l⊥m?a⊥b?a·b＝0l⊥α?a∥u?a＝ku，k∈R

α⊥β?u⊥ν?u·ν＝02．空間角的求法(1)異面直線所成的角設a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則②如圖b，c，n1，n2分別是二面角α-l-β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足|cosθ|＝

，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補角)．

|cos〈n1，n2〉|?

溫馨提醒

?利用空間向量法求二面角時易忽視判斷二面角大小，從而致誤．解題時注意結合圖形判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角，從而在下結論時作出正確判斷．1．已知兩平面的法向量分別為m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，則兩平面所成的二面角的大小為________．答案：45°或135°2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是C1D1的中點，則異面直線DE與AC夾角的余弦值為________．

題型一異面直線所成的角合作探究[例]

(2020·新高考全國卷Ⅰ)如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD.設平面PAD與平面PBC的交線為l.(1)證明：l⊥平面PDC；(2)已知PD＝AD＝1，Q為l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．

[解析]

(1)證明：因為PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD.又底面ABCD為正方形，所以AD⊥DC，所以AD⊥平面PDC.因為AD∥BC，AD?平面PBC，所以AD∥平面PBC.因為AD?平面PAD，平面PAD∩平面PBC＝l，所以l∥AD，因此l⊥平面PDC.向量法求異面直線所成角的兩種方法及一個注意點(1)兩種方法：①基向量法：利用線性運算．②坐標法：利用坐標運算．(2)一個注意點：注意向量法求異面直線所成角與向量夾角的區(qū)別，尤其是取值范圍．[對點訓練](2020·高考北京卷)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BB1的中點．(1)求證：BC1∥平面AD1E；(2)求直線AA1與平面AD1E所成角的正弦值．

[解析]

(1)證明：連接BC1交B1C于點E，連接DE，因為四邊形BB1C1C是矩形，所以點E是BC1的中點，又點D為AB的中點，所以DE是△ABC1的中位線，所以DE∥AC1.因為DE?平面B1CD，AC1?平面B1CD，所以AC1∥平面B1CD.(2)由AB＝2，AC＝1，∠ABC＝30°，可得AC⊥BC，分別以CA，CB，CC1所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz，

利用平面的法向量求線面角的兩個注意點(1)求出直線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角(鈍角時取其補角)，取其余角即為所求．(2)若求線面角的余弦值，要注意利用平方關系sin2θ＋cos2θ＝1求出其值．不要誤認為直線的方向向量與平面的法向量所夾角的余弦值即為所求．A題型三二面角合作探究利用法向量求二面角時的兩個注意點(1)對于某些平面的法向量要注意題中條件隱含著，不用單獨求．(2)注意判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角，可結合圖形進行判斷，以防結論失誤．(2)由題知，DA，DC，DE兩兩垂直，如圖，以D為原點，DA，DC，DE所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系D-xyz.數學運算—