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教師資格證-(初中)數(shù)學(xué)-第1章-學(xué)科知識[單選題]1.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1+2a2=3,且對任意的n∈N+,點P(江南博哥)n(n,an)都有,則{an}的前n項和Sn為()。A.B.C.D.參考答案:A參考解析:因為Pn(n,an),Pn+1(n+1,an+1)且所以an+1-an=2,即有a2-a1=2;又因為a1+2a2=3,易求得,即{an}是以為首項,公差為2的等差數(shù)列,由求和公式求得[單選題]2.在下列表格中,每格填上一個數(shù)字后,使每一橫行成等差數(shù)列,每一縱列成等比數(shù)列,則x+y+z的值為()。A.1B.2C.3D.4參考答案:B參考解析:由題意推知,x=1,,,所以x+y+z=2。[單選題]3.過雙曲線C:的右焦點F的直線l與雙曲線右支相交于A、B兩點,以線段AB為直徑的圓被右準(zhǔn)線截得的劣弧的弧度數(shù)為,那么雙曲線的離心e=()。A.B.C.D.參考答案:D參考解析:如圖所示:設(shè)|AB|=2R,C為AB中點,CE⊥DG,AD⊥DG,BG⊥DG,DG為雙曲線的右準(zhǔn)線?!咭跃€段AB為直徑的圓被右準(zhǔn)線截得的劣弧的弧度數(shù)為∴∴∵,∴∴∴[單選題]4.編號為A、B、C、D、E的五個品種的蔬菜在如右圖所示的五種試驗田里種植,要求一塊田種一種蔬菜,且A品種不能種在1,2號試驗田里,B品種必須與A品種種在相鄰(有公共邊稱相鄰)的試驗田里,則可不同的種法有()。A.36B.30C.42D.32參考答案:B參考解析:當(dāng)A品種種在3號試驗田里時,B可種在2、4或5里,C、D、E在剩下的試驗田里隨機分配,則不同種法有種;當(dāng)A品種種在4或5號試驗田里時,B只能種在3號試驗田,C、D、E在剩下的試驗田里隨機分配,分別有種不同種法,由此可知不同的種法共有(種)。[單選題]5.圖(1)是一個水平擺放的小正方體木塊,圖(2)、(3)是由這樣的小正方體木塊疊放而成,按這樣的規(guī)律繼續(xù)疊放下去,至第七個疊放的圖形中,小正方體木塊的總數(shù)應(yīng)是()。A.25B.66C.91D.120參考答案:C參考解析:總數(shù)N=(2n-1)n。由圖形所知,第n個圖形中第n排的個數(shù)為:4n-3,則第n個圖形中小正方體木塊的總數(shù)即為n排之和:當(dāng)n=7時,2×72-7=91。[單選題]6.如圖,在下列三角形中,若AB=AC,則能被一條直線分成兩個小等腰三角形的是()。A.(1)(2)B.(1)(4)C.(2)(3)D.(1)(3)參考答案:D參考解析:在(1)中,∠B=∠C=72°,∠B或∠C的角平分線所在的直線即可將△ABC分成兩個小等腰三角形。在(3)中,∠B=∠C=45°,∠A的角平分線所在的直線即可將△ABC分成兩個小等腰直角三角形。在(2)(4)中,均不可以分成兩個小等腰三角形。[單選題]7.根據(jù)下列表格的對應(yīng)值:判斷方程ax2+bx+c(a≠0,a,b,c為常數(shù)),一個解x的范圍是()。A.3<x<3.23B.3.23<x<3.24C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3.26參考答案:C參考解析:令f(x)=ax2+bx+c,由表格可得:f(3.24)<0,f(3.25)<0,函數(shù)值異號,則必有一解x∈(3.24,3.25)。[單選題]8.如圖,在一個由6個圓圈組成的三角形里,把1到6這6個數(shù)分別填入圖的圓圈中,要求三角形的每條邊上的三個數(shù)的和S都相等,那么S的最大值是()。A.9B.10C.12D.13參考答案:C參考解析:三角形頂點的圓圈為三角形兩邊所共有,要求三邊上的三個數(shù)的和S相等,且最大,則三個大數(shù)應(yīng)分別排列在三個頂點的圓圈內(nèi),如下圖所示:[單選題]9.已知a-b+c=0,9a+3b+c=0,則二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像的頂點可能在()。A.第一或第四象限B.第三或第四象限C.第一或第二象限D(zhuǎn).第二或第三象限參考答案:A參考解析:∵a-b+c=0,9a+3b+c=0,∴點(-1,0)和(3,0)一定在拋物線y=ax2+bx+c上,當(dāng)a>0時,即拋物線開口向上,頂點在第四象限;當(dāng)a<0時,即拋物線開口向下,頂點在第一象限。即二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖像的頂點可能在第一或第四象限。[單選題]10.設(shè)集合M={直線},P={圓},則集合M∩P中的元素個數(shù)為()。A.0B.1C.2D.0或1或2參考答案:A參考解析:因為不存在既是直線又是圓的圖形,所以M∩P是空集。[單選題]11.已知(3x+2)n(n∈N+)的展開式中各項的二項式系數(shù)和為Sn,各項系數(shù)和為Tn,則的值為()。A.1B.0C.D.-1參考答案:D參考解析:二項式系數(shù)和為各項系數(shù)和Tn則等于當(dāng)x=1時各項式值的和,即Tn=(3×1+2)n=5n。那么,[單選題]12.設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點,,則()。A.B.C.D.參考答案:B參考解析:因為,所以點P為線段AC的中點,那么有[單選題]13.已知a,b,c,d為實數(shù),且c>d,則“a>b”是“a-c>b-d”的()。A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件參考答案:B參考解析:顯然,充分性不成立,如當(dāng)c>a>b>d時,則有a-c<0<b-d。又若a-c>b-d和c>d同時成立,則同向不等式相加得a>b,即由“a-c>b-d”?“a>b”。故是必要而不充分條件。[單選題]14.西安的“大唐芙蓉園”,占地面積約為800000平方米,若按比例尺1:2000縮小后,其面積大約相當(dāng)于()。A.一個籃球場的面積B.一張乒乓球臺臺面的面積C.《湖南日報》一個版面的面積D.一本數(shù)學(xué)課本封面的面積參考答案:A參考解析:由比例尺計算方法,800000÷2000=400(平方米),大約為一個籃球場的面積。[單選題]15.集合,若a∈P,b∈P,則a⊙b∈P則運算⊙不可能是()。A.加法B.減法C.除法D.乘法參考答案:C參考解析:如8∈P,8÷8=1,而1?P。[單選題]16.在的展開式中,常數(shù)項為()。A.15B.-15C.20D.-20參考答案:A參考解析:二項式的通項公式為:因為是常數(shù)項,所以有,r=4,則常數(shù)項為[單選題]17.已知點P是△ABC所在平面內(nèi)一點,若,其中λ∈R,則點P一定在()。A.△ABC的內(nèi)部B.AC所在直線上C.AB所在直線上D.BC所在直線上參考答案:B參考解析:由得,則有C、P、A三點共線,故P在AC所在直線上。[單選題]18.等比數(shù)列前n項和為Sn,且S4=1,S8=82,則公比q等于()。A.-3B.3C.3或-3D.3或-1參考答案:C參考解析:由題意可知,,得q=3或-3。[單選題]19.如圖是一個物體的三視圖,則該物體的形狀是()。A.圓錐B.圓柱C.三棱錐D.三棱柱參考答案:A參考解析:B項,圓柱正視圖及左視圖均為矩形,俯視圖為圓;C項,三棱錐的正視圖、左視圖及俯視圖均是三角形;D項,三棱柱的正視圖為長方形,中間有一條虛線,俯視圖為三角形,左視圖為長方形。由圖可看出,該物體是圓錐。[單選題]20.一束光線從點A(3,3)出發(fā),經(jīng)過y軸上點C反射后經(jīng)過點B(1,0)則光線從A點到B點經(jīng)過的路線長是()。A.4B.5C.6D.7參考答案:B參考解析:根據(jù)對稱性可知,A點關(guān)于y軸的對稱點為A′(3,3),光線從A點到B點經(jīng)過的路線長即為|A′B|=5。[單選題]21.下列說法正確的個數(shù)有()。①等邊三角形有三條對稱軸;②在△ABC中,若a2+b2≠c2,則△ABC不是直角三角形;③等腰三角形的一邊長為4,另一邊長9,則它的周長為17或22;④一個三角形中至少有兩個銳角。A.1個B.2個C.3個D.4個參考答案:B參考解析:①④正確。②中若a2+b2≠c2,則△ABC也可能是直角三角形,如當(dāng)∠A或∠B是直角;③若兩邊長為4,則4+4<9,不能構(gòu)成三角形,故周長不能為17。[單選題]22.將四個完全相同的矩形(長是寬的3倍),用不同的方式拼成一個大矩形,設(shè)拼得的大矩形面積是四個小矩形的面積和,則大矩形周長的值只可能是()。A.1種B.2種C.3種D.4種參考答案:C參考解析:長:12、6、4,寬:1、2、3。[單選題]23.sin585°的值為()。A.B.C.D.參考答案:A參考解析:,故選A項。[單選題]24.已知△ABC中,,則cosA=()。A.B.C.D.參考答案:D參考解析:由可知,A為鈍角,所以cosA<0,可以排除A項和B項。再由和求得[單選題]25.“數(shù)列{xn}有界”是“存在”的()。A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件參考答案:A參考解析:當(dāng)存在時,數(shù)列{xn}收斂,收斂數(shù)列必有界(即存在M>0,使得|xn|<M);反之,不成立,如數(shù)列{(-1)n}有界,但不收斂,即數(shù)列極限不存在。所以,“數(shù)列{xn}有界”是“存在”的必要不充分條件。[單選題]26.如右圖,α⊥β,α∩β=1,A∈α,B∈β,A,B到l的距離分別是a和b,A,B與α,β所成的角分別是θ和φ,A,B在α,β內(nèi)的射影分別是m和n,若a>b,則()。A.θ>φ,m>nB.θ>φ,m<nC.θ<φ,m<nD.θ<φ,m>n參考答案:D參考解析:由勾股定理得,a2+n2=b2+m2=AB2,又a>b,所以m>n;因為,,而a>b,所以sinθ<sinφ,得θ<φ。[單選題]27.直線的傾斜角α的值為()。A.B.C.D.參考答案:D參考解析:由直線方程可知,,故[單選題]28.若函數(shù)f(x)=g(x)-cosx在區(qū)間上單調(diào)遞增,則函數(shù)g(x)可以是()。A.1B.-sinxC.sinxD.tanx參考答案:C參考解析:將各選項代入函數(shù)可得,當(dāng)g(x)=sinx時,在上為增函數(shù),即當(dāng)時,f(x)為增函數(shù)。[單選題]29.設(shè){an}是公差為-2的等差數(shù)列,如果,那么的值為()。A.80B.60C.50D.70參考答案:C參考解析:由等差數(shù)列的定義可知,[單選題]30.若動直線x=a與函數(shù)f(x)=sinx和g(x)=cosx的圖像分別交于M,N兩點,則|MN|的最大值為()。A.1B.C.D.2參考答案:B參考解析:在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)=sinx及g(x)=cosx的圖像,由圖像知,當(dāng)時,即時,得,,[單選題]31.下列函數(shù)在(-∞,+∞)內(nèi)無界的是()。A.B.y=arctanxC.y=sinx+cosxD.y=xsinx參考答案:D參考解析:A項,有界;B項,,有界;C項,有界;D項,y=xsinx在(-∞,+∞)內(nèi)無界。[單選題]32.已知等比數(shù)列{an}中,a2=1,則其前3項的和S3的取值范圍是()。A.(-∞,-1]B.(-∞,0)∪(1,+∞)C.[3,+∞)D.(-∞,-1]∪[3,+∞)參考答案:D參考解析:等比數(shù)列{an}中,a2=1,設(shè)公比為q,則有當(dāng)公比q>0時,當(dāng)公比q<0時,故S3∈(-∞,-1]∪[3,+∞)。[單選題]33.設(shè)M,N是球O半徑OP上的兩點,且NP=MN=OM,分別過N,M,O作垂直于OP的平面,截球面得三個圓,則這三個圓的面積之比為()。A.3:5:6B.3:6:8C.5:7:9D.5:8:9參考答案:D參考解析:設(shè)分別過N,M,O作垂直于OP的平面,截球面所得三個圓的半徑為r1,r2,r3設(shè)球O的半徑為R,則由勾股定理知,所以[單選題]34.設(shè)曲線y=ax2在點(1,a)處的切線與直線2x-y-6=0平行,則a等于()。A.1B.C.D.-1參考答案:A參考解析:因為y′=2ax,所以曲線在點(1,a)處的切線的斜率為k=2a。因為切線與直線2x-y-6=0平行,所以2a=2,解得a=1。[單選題]35.投擲兩枚均勻的骰子,已知點數(shù)之和是偶數(shù),則點數(shù)之和為6的概率為()。A.B.C.D.以上都不對參考答案:C參考解析:已知點數(shù)之和是偶數(shù),所以點數(shù)之和為2、4、6、8、10、12,共有18種方法,點數(shù)之和為6的方法共有5種,故點數(shù)之和為6的概率是。[單選題]36.設(shè)則f′(0)等于()。A.(n!)2B.(-1)n(n!)2C.n!D.(-1)nn!參考答案:B參考解析:令則∴∴[單選題]37.為了解某市參加中考的16000名學(xué)生的體重情況,抽查了1200名學(xué)生的體重進行統(tǒng)計分析,下面四個判斷正確的是()。A.16000名學(xué)生是總體B.1200名學(xué)生的體重是總體的一個樣本C.每名學(xué)生是總體的一個個體D.以上調(diào)查是普查參考答案:B參考解析:總體是參加中考的16000名學(xué)生的體重,1200名學(xué)生的體重是總體的一個樣本,每名學(xué)生的體重是總體的一個個體,這種調(diào)查稱為抽樣調(diào)查。[單選題]38.從3名男生和3名女生中選出3人分別擔(dān)任語文、數(shù)學(xué)、英語的課代表,要求至少有1名女生,則不同的選派方案有()。A.19種B.54種C.114種D.120種參考答案:C參考解析:由題意可知,選出的女生人數(shù)可以是1人、2人或3人。因此,不同的選派方案有[單選題]39.若命題甲:A∪B?A為假命題,命題乙:A∪B?A也為假命題,U為全集,則下列四個用韋恩圖形反映集合A與B的關(guān)系中可能正確的是()。A.B.C.D.參考答案:D參考解析:由命題甲可知A∪B=A,由命題乙可知A∩B=A,所以A=B。[單選題]40.設(shè)函數(shù),則()。A.x=0,x=1都是f(x)的第一類間斷點B.x=0,x=1都是f(x)的第二類間斷點C.x=0是f(x)的第一類間斷點,x=1是f(x)的第二類間斷點D.x=0是f(x)的第二類間斷點,x=1是f(x)的第一類間斷點參考答案:D參考解析:由題意知,由于函數(shù)f(x)在x=0,x=1,點處無定義,因此x=0,x=1均是間斷點,又,所以x=0為第二類間斷點;,,所以x=1為第一類間斷點,故選D項。[單選題]41.已知φ是f的反函數(shù),則f(2x)的反函數(shù)是()。A.B.y=2φ(x)C.D.y=2φ(2x)參考答案:A參考解析:令y=f(2x),因φ是f的反函數(shù),反解出x得:,互換x,y位置得反函數(shù)[單選題]42.若,則下列極限正確的是()。A.B.C.D.參考答案:B參考解析:令,又連續(xù),故[單選題]43.設(shè)A,B,C表示三個事件,則表示()。A.A,B,C中有一個發(fā)生B.A,B,C中恰有兩個發(fā)生C.A,B,C中不多于一個發(fā)生D.A,B,C都不發(fā)生參考答案:D參考解析:由對立事件的定義可知,表示事件A不發(fā)生,表示事件B不發(fā)生,表示事件C不發(fā)生,又是,,三個事件的交事件,故其表示A,B,C都不發(fā)生。[單選題]44.如圖所示,單位圓中弧的長為x,f(x)表示弧與弦AB所圍成的弓形面積的2倍,則函數(shù)y=f(x)的圖像是()。A.B.C.D.參考答案:D參考解析:如圖所示,單位圓中弧AB的長為x,f(x)表示弧與弦AB所圍成的弓形面積的2倍,當(dāng)弧的長小于半圓長時,函數(shù)y=f(x)的值增加的越來越快,當(dāng)弧的長大于半圓長時,函數(shù)y=f(x)的值增加的越來越慢,所以函數(shù)y=f(x)的圖像是D項。[單選題]45.設(shè)x→0時ax2+bx+c=cosx是x2的高階無窮小,其中a,b,c為常數(shù),則()。A.B.C.D.參考答案:C參考解析:由題意得所以c=1,又因為所以。故選C項。[單選題]46.若兩事件A和B同時出現(xiàn)的概率P(AB)=0,則()。A.A和B不相容(互斥)B.AB是不可能事件C.AB未必是不可能事件D.P(A)=0或P(B)=0參考答案:C參考解析:本題考查不可能事件與概率為0的隨機事件之間的區(qū)別和聯(lián)系。這兩者之間的關(guān)系為:不可能事件的概率P(?)=0。但概率為零的隨機事件A未必是不可能事件,也就是說,由P(A)=0不能推出A=?。故選C項。[單選題]47.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的S值為()。A.2B.4C.8D.16參考答案:C參考解析:這是一個循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖:循環(huán)結(jié)束,輸出的S為8,故選C項。[單選題]48.設(shè)A為任意n階矩陣,下列為反對稱矩陣的是()。A.A+ATB.A-ATC.AATD.ATA參考答案:B參考解析:對任意n階矩陣M,若M=-MT,則稱M為反對稱矩陣。經(jīng)計算只有選項B滿足條件,即故選B項。[單選題]49.如果函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時極限存在,則函數(shù)f(x)在點x0處()。A.有定義B.無定義C.不一定有定義D.連續(xù)參考答案:C參考解析:f(x)當(dāng)x→x0時極限是否存在與函數(shù)在該點有無定義無關(guān),所以A、B兩項錯誤。又該點的極限存在,但不一定連續(xù),且函數(shù)f(x)在x0點處連續(xù)要求在該點必須有定義,所以D項錯誤,C項正確。故選C項。[單選題]50.設(shè)正數(shù)a,b滿足,則=()。A.0B.C.D.1參考答案:B參考解析:由得4+2a-b=4,即2a=b,所以,那么故選B項。[單選題]51.已知定義域為R的函數(shù)f(x)在(8,+∞)上為減函數(shù),且函數(shù)y=f(x+8)為偶函數(shù),則()。A.f(6)>f(7)B.f(6)>f(9)C.f(7)>f(9)D.f(7)=f(9)參考答案:D參考解析:若f(x)為偶函數(shù),則f(-x)=f(x)。因為y=f(x+8)為偶函數(shù),則f(x+8)=f(-x+8),即y=f(x)關(guān)于直線對稱。又f(x)在(8,+∞)上為減函數(shù),故在(-∞,8)上為增函數(shù)。故選D項。[單選題]52.若a,b,c>0且則2a+b+c的最小值為()。A.B.C.D.參考答案:D參考解析:由均值不等式可知:即所以2a+b+c的最小值為。故選D項。[單選題]53.設(shè)不等式組表示平面區(qū)域為D,在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點,則此點到坐標(biāo)原點的距離大于2的概率是()。A.B.C.D.參考答案:D參考解析:首先畫出表示的區(qū)域,如圖所示:由圓的定義可知,此點到坐標(biāo)原點的距離大于2,即表示正方形中除去四分之一圓的部分,因此我們用正方形面積減去四分之一圓的面積可求出此點到坐標(biāo)原點的距離大于2的面積,那么所求的概率故選D項。[單選題]54.設(shè)設(shè)有P2P1A=B,則P2等于()。A.B.C.D.參考答案:B參考解析:即表示矩陣A的第一、二行互換。矩陣B表示矩陣A第一、二行先互換,再將互換的矩陣的第一行乘-1加到第三行上去,而P2P1A=B,所以故選B項。[單選題]55.設(shè)三次多項式函數(shù)滿足則f(x)的極大值點為()。A.0B.1C.-1D.2參考答案:C參考解析:由題目可知:那么,所以可以整理出運用左右對應(yīng)關(guān)系列出方程組:得a=4,b=3,c=-6,那么,可知:由f′(x)=0得到可知函數(shù)f(x)的極大值點應(yīng)為x=-1。故選C項。[單選題]56.曲線和直線y=x及y=2所圍成的圖形的面積為()。A.1B.C.1-ln2D.參考答案:D參考解析:首先將三條線圍城的平面圖形大致畫出來,如圖下圖所示:求出線與線間的交點的坐標(biāo)分別為:,B(2,2),C(1,1)。方法一:我們?nèi)∽兞縳為積分變量,則由圖可得三線所圍的圖形的面積為方法二:我們?nèi)∽兞縴為積分變量,則由圖可得三線所圍的圖形的面積為故選D項。[單選題]57.半圓形閘門半徑為R米,將其垂直放入水中,且直徑與水面齊,設(shè)水密度ρ=1。若坐標(biāo)原點取在圓心,x軸正向朝下,則閘門所受壓力P為()。A.B.C.D.參考答案:C參考解析:如圖所示:任取一個極小片段,那么圖中陰影部分所受壓力為:于是整個閘門所受壓力故選C項。[單選題]58.在極坐標(biāo)系中,點到圓ρ=2cosθ的圓心的距離為()。A.2B.C.D.參考答案:D參考解析:極坐標(biāo),化為直角坐標(biāo)的形式為,即。圓的極坐標(biāo)方程ρ=2cosθ,可化為P2=2ρcosθ,那么直角坐標(biāo)方程為x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,所以圓心坐標(biāo)為(1,0),則由兩點間距離公式可求故選D項。[單選題]59.()A.iB.-iC.22005D.-22005參考答案:A參考解析:首先計算括號內(nèi),再計算故選A項。[單選題]60.對于不重合的兩個平面α與β,給定下列條件:①存在平面γ,使得α、β都垂直于γ;②存在平面γ,使得α、β都平行于γ;③α內(nèi)有不共線的三點到β的距離相等;④存在異面直線l、m,使得l//α,l//β,m//α,m//β。其中,可以判定α與β平行的條件有()。A.1個B.2個C.3個D.4個參考答案:B參考解析:①當(dāng)α、β相交且同時垂直于γ時,α與β不平行。③α與β不平行時,可以有無數(shù)不共線的點到β的距離相等。命題②④為真命題,當(dāng)選B。[單選題]61.已知分段函數(shù)下列結(jié)論正確的是()。A.B.C.D.參考答案:C參考解析:由題目可知f(x)在點x=1處的左右極限存在,且左邊:x→1-時,f(x)→2,右邊:x→1+時,f(x)→0。故選C項。[單選題]62.設(shè)n階矩陣A,B是可交換的,即AB=BA,則不正確的結(jié)論是()。A.當(dāng)A,B是對稱矩陣時,AB是對稱矩陣B.當(dāng)A,B是反對稱矩陣時,AB是反對稱矩陣C.D.參考答案:B參考解析:故A項正確;所以AB是對稱矩陣,故B項錯誤,當(dāng)選。[單選題]63.設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則隨σ的增大,概率P{|X-μ|}<σ()。A.單調(diào)增大B.單調(diào)減少C.保持不變D.增減不定參考答案:C參考解析:所得式子中無σ,則σ的變化對結(jié)果沒有影響,結(jié)果保持不變。[單選題]64.一元三次方程x3-3x-4=0的解的情況是()。A.方程有三個不相等的實根B.方程有一個實根,一對共軛復(fù)根C.方程有三個實根,其中一個兩重根D.無解參考答案:B參考解析:此題應(yīng)運用一元三次方程的求根的方法——卡爾丹判別法,此方程的故方程x3-3x-4=0有三個根,一個實根,一對共軛復(fù)根。故選B項。[單選題]65.設(shè)a,b∈R“a=0”是“復(fù)數(shù)a+bi是純虛數(shù)”的()。A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件參考答案:B參考解析:必要性:如果a+bi為純虛數(shù),那么復(fù)數(shù)的實部為零,虛部不為零可以得到a=0,因此是必要條件。充分性:當(dāng)a=b=0時,此時a+bi=0是實數(shù),不是純虛數(shù),因是必要不充分條件。[單選題]66.已知數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,Sn是其前n項和,且有S9<S8=S7,則下列說法中不正確的是()。A.S9<S10B.d<0C.S7與S8均為Sn的最大值D.a8=0參考答案:A參考解析:由S9<S8,可知a9<0,由S8=S7,可知a8=0,所以d<0,所以B、D兩項正確;由d<0可知S9以后所有和都小于S8=S7,所以C項正確,A項錯誤。[單選題]67.已知F1,F(xiàn)2是橢圓的兩焦點,過點F2的直線交橢圓于A,B兩點。在△AF1B中,若有兩邊之和是10,則第三邊的長度為()。A.6B.5C.4D.3參考答案:A參考解析:根據(jù)橢圓的第一定義,可知a=4,b=3,那么△AF1B的周長為4a=16,故所求的第三邊的長度為16-10=6。[單選題]68.設(shè)A,B均為n階可逆矩陣,下列法則中正確的是()。A.B.C.D.參考答案:D參考解析:矩陣的乘法沒有交換律,A,B雖然是可逆的,但是不能保證AB=BA,例如,,有而,可知AC兩項錯誤。A、B可逆時,A+B不一定可逆,即使A+B可逆,其逆不等于A-1+B-1。例如,,有而可知B項錯誤。因為A可逆時,故即D項正確。[單選題]69.下列各式中正確的是()。A.B.C.D.參考答案:A參考解析:由,可知B、D兩項錯誤。故C項錯誤。故選A項。[單選題]70.設(shè)函數(shù)在x=1處連續(xù)且可導(dǎo),則()。A.a=1,b=2B.a=3,b=2C.a=-2,b=1D.a=2,b=-1參考答案:D參考解析:因為函數(shù)y在x=1處連續(xù),所以,那么a+b=1。又因為函數(shù)y在x=1處可導(dǎo),則在x=1處的左右導(dǎo)數(shù)相等。所以當(dāng)時,,所以a=2。又由a+b=1,可知b=-1,故選D項。[單選題]71.已知命題P:則¬P是()。A.B.C.D.參考答案:C參考解析:已知命題P:為全稱命題,¬P就是特稱命題,將“?”改為“?”。又因為所以否定就為故選C項。[單選題]72.為提高信息在傳輸中的抗干擾能力,通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息。設(shè)定原信息為傳輸信息為h0a0a1a2h1,其中⊕運算規(guī)則為:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0,例如原信息為111,則傳輸信息為01111。傳輸信息在傳輸過程中受到干擾可能導(dǎo)致接收信息出錯。則下列接收信息一定有誤的是()。A.11010B.01100C.10111D.00011參考答案:C參考解析:在C項中傳輸信息011,而所以應(yīng)該接收信息10110,錯誤,其他A、B、D三項均符合規(guī)律。[單選題]73.考查正方體6個面的中心,甲從這6個點中任意選兩個點連成直線,乙也從這6個點中任意選兩個點連成直線,則所得的兩條直線相互平行但不重合的概率等于()。A.B.C.D.參考答案:D參考解析:“從6個點中任意選兩個點連成直線”共有種不同的選法,即有15條直線,甲、乙共有種選法。題中要求15條直線中有6對相互平行的直線,那么,只要甲從這12條直線中任選一條,乙就總能找到唯一的一條直線與之平行但不重合,則所求概率[單選題]74.設(shè)f(x)在(-∞,+∞)可導(dǎo),x0≠0,(x0,f(x0))是y=f(x)的拐點,則()。A.x0必是f′(x)的駐點B.(-x0,-f(x0))必是y=-f(-x)的拐點C.(-x0,-f(x0))必是y=-f(x)的拐點D.對?x>x0與x<x0,y=f(x)的凸凹性相反參考答案:B參考解析:已知y=f(x)與y=-f(-x)的圖像是關(guān)于原點對稱的。那么由(x0,f(x0))是y=f(x)的拐點,就能推出(-x0,-f(x0))是y=-f(-x)的拐點。故選B項。[單選題]75.已知A是n階可逆矩陣,那么與A有相同特征值的矩陣是()。A.ATB.A2C.A-1D.A-E參考答案:A參考解析:由于其中E為單位向量,且A與AT有相同的特征多項式,所以A與AT有相同的特征值。由于Aα=λα,α≠0可得到:Aα=λ2α,A-1α=λ-1α,(A-E)α=(λ-1)α,說明,A2,A-1,A-E與A的特征值是不一樣的。故選A項。[單選題]76.若f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)可導(dǎo)且f(a)=f(b),則()。A.至少存在一點ζ∈(a,b),使得f′(ζ)=0B.一定不存在一點ζ∈(a,b),使得f′(ζ)=0C.恰存在一點ζ∈(a,b),使得f′(ζ)=0D.對任意的ζ∈(a,b),不一定能使f′(ζ)=0參考答案:A參考解析:根據(jù)羅爾定理:如果函數(shù)f(x)滿足以下條件:(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo);(3)f(a)=f(b),則至少存在一個ζ∈(a,b),使得f′(ζ)=0。所以此題選A項。[單選題]77.設(shè)A、B為任意兩個事件,且A?B,P(B)>0,則下列選項必然成立的是()。A.B.C.D.參考答案:B參考解析:由A?B,得A=AB。又由P(B)>0,得故選B項。[單選題]78.設(shè)f(x)在(1-δ,1+δ)內(nèi)存在導(dǎo)數(shù),f′(x)嚴格單調(diào)遞減,且f(1)=f′(1)=1,則()。A.在(1-δ,1)和(1,1+δ)內(nèi)均有f(x)<xB.在(1-δ,1)和(1,1+δ)內(nèi)均有f(x)>xC.在(1-δ,1)有f(x)<x,在(1,1+δ)內(nèi)有f(x)>xD.在(1-δ,1)有f(x)>x,在(1,1+δ)內(nèi)有f(x)<x參考答案:A參考解析:因為f′(x)在(1-δ,1+δ)上嚴格單調(diào)遞減,所以f(x)在(1-δ,1+δ)是凸函數(shù)。又f(1)=f′(1)=1,所以在(1-δ,1+δ)上,y=f(x)在點(1,1)處的切線方程為:y-1=f′(1)(x-1),整理得,y=x。而x在f(x)之上,因此,f(x)<x,。故選A項。[單選題]79.已知拋物線C:y2=8x焦點為F,準(zhǔn)線與x軸交點為K,點A在C上且,則△AFK的面積為()。A.4B.8C.16D.32參考答案:B參考解析:設(shè)A點的坐標(biāo)為A(x0,y0)。因為拋物線C為y2=8x,所以焦點F為F(2,0),準(zhǔn)線為x=-2,K(-2,0)。過A點向準(zhǔn)線作垂線AB,垂足為B,則B(-2,y0),且又因為,BK2=AK2-AB2,兩式聯(lián)立得即解得A(2,±4),△AFK的面積為因此答案選B。[單選題]80.若向量a與b的夾角為75°,|a|=2sin150°,|b|=4cos15°,則a·b的值為()。A.-1B.1C.D.參考答案:B參考解析:將|a|代入下式:則,[單選題]81.已知則下列說法正確的是()。A.函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[-1,1]上連續(xù)B.函數(shù)f(x)在點x=-1處極限存在C.函數(shù)f(x)在R的連續(xù)區(qū)間為D.函數(shù)f(x)在點x=1處連續(xù)參考答案:D參考解析:已知f(x)為分段函數(shù),在x=-1處,則f(x)在x=-1處極不存在,且由函數(shù)的連續(xù)定義可知,f(x)在點x=-1處不連續(xù),故A、B兩項錯誤;同理,f(x)在x=1處連續(xù),D項正確;因為在點x=1處,f(x)有定義,且f(1)=1,同時,,所以函數(shù)f(x)在點x=1處極限存在,等于f(1),那么f(x)在點x=1處連續(xù),C項錯誤。[單選題]82.設(shè)A,B都是n階矩陣。若有可逆矩陣P使得P1AP=B,則稱矩陣A與矩陣B()。A.等價B.相似C.合同D.正交參考答案:B參考解析:相似矩陣的定義:設(shè)A、B都是n階矩陣,若存在可逆矩陣P,使得P-1AP=B,則稱B是A的相似矩陣,知B項正確。[單選題]83.的值域區(qū)間為()。A.[1,2]B.C.D.[2,3]參考答案:B參考解析:由將不等式積分得那么,故選B項。[單選題]84.設(shè)則F(x)()。A.為正常數(shù)B.為負常數(shù)C.恒為零D.不為常數(shù)參考答案:A參考解析:令x=0得:所以推斷F(x)必為正常數(shù),故選A項。[單選題]85.設(shè)當(dāng)事件A與B同時發(fā)生時,事件C必發(fā)生,則()。A.P(C)≤P(A)+P(B)-1B.P(C)≥P(A)+P(B)-1C.P(C)=P(AB)D.P(C)=P(A∪B)參考答案:B參考解析:由當(dāng)事件A與B同時發(fā)生時,且P(A∪B),事件C必發(fā)生必有P(C)≥P(AB)=P(A)+P(B)-P(A∪B)≥P(A)+P(B)-1,故B項正確。[單選題]86.圓x2+y2=1與直線y=kx+2沒有公共點的充要條件是()。A.B.C.D.參考答案:C參考解析:若圓x2+y2=1與直線y=kx+2沒有公共點,那么圓與直線必相離,即圓心到直線的距離大于半徑:所以[單選題]87.若,則tanα=()。A.B.2C.D.-2參考答案:B參考解析:中,若cosα=0,則sinα<-1,那么cosα≠0,將兩邊同時除以cosα,得再將兩邊平方得整理得解得tanα=2。[單選題]88.如果函數(shù)f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)恒有|f(x)|≤M(M是正數(shù)),則函數(shù)f(x)在該鄰域內(nèi)()。A.極限存在B.連續(xù)C.有界D.不能確定參考答案:C參考解析:由函數(shù)有界的定義可知:設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,數(shù)集X∈D。如果存在數(shù)K1使得f(x)≤K1對任意x∈X都成立則稱函數(shù)f(x)在X上有上界。故選C項。[單選題]89.設(shè)A,B都是n階非零矩陣,且AB=0,則A和B的秩()。A.必有一個等于零B.都等于nC.一個小于n,一個等于nD.都小于n參考答案:D參考解析:因為A,B都是n階非零矩陣,所以A、B的秩≤n。若A的秩=n,則A可逆。由AB=0可知B=0,與已知B是n階非零矩陣矛盾,所以A的秩<n。同理可推出B的秩<n,故選D項。[單選題]90.通過點(2,-3,-5)且與平面6x-3y-5z+2=0垂直的直線為()。A.B.C.D.參考答案:A參考解析:做平面6x-3y-5z+2=0的法向量,則法向量與所求直線平行,再根據(jù)直線的點法式可知,直線的方程為[單選題]91.設(shè)集合則()。A.(1,4)B.(3,4)C.(1,3)D.(1,2)參考答案:B參考解析:因為所以B=[-1,3],又由得[單選題]92.橢圓上有n個不同的點P1,P2,P3,…,Pn,橢圓的右焦點為F,數(shù)列是公差大于的等差數(shù)列,則n的最大值為()。A.198B.199C.200D.201參考答案:C參考解析:由焦點到橢圓上的最長和最短距離公式可知,又因為數(shù)列是公差大于的等差數(shù)列,所以即為。當(dāng)公差d=時,n=201,由題意得d>,故n<201。故選C項。[單選題]93.設(shè)a∈R,則“a=1”是“直線與直線平行”的()。A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件參考答案:A參考解析:充分性:當(dāng)a=1時,直線即為,直線即為,顯然兩直線平行;必要性:當(dāng)直線l1與l2平行時,則有:,解得:a=1或a=-2。所以為充分不必要條件。[單選題]94.設(shè)a,b是兩個非零向量,則下面說法正確的是()。A.若|a+b|=|a|-|b|,則a⊥bB.若a⊥b,則|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|,則存在實數(shù)λ,使得a=λbD.若存在實數(shù)λ,使得a=λb,則|a+b|=|a|-|b|參考答案:C參考解析:因為|a+b|=|a|-|b|,所以a,b共線,且存在負實數(shù)λ,使得a=λb,那么C項正確,當(dāng)選;A項中a與b不平行;B項中若a⊥b,由矩形可知|a+b|=|a|-|b|不成立;D項中,λ可以為正實數(shù)。[單選題]95.已知分段函數(shù)則f(x)的連續(xù)區(qū)間為()。A.[0,1)∪(1,2]B.(0,1)∪(1,2)C.(0,2)D.[0,2]參考答案:D參考解析:由題意可知在區(qū)間[0,1)∪(1,2]上是連續(xù)的,所以B、C兩項是錯誤的。在x=1處,左極限右極限又因為f(1)=1,所以f(x)在x=1處連續(xù),所以f(x)在[0,2]上連續(xù)。[單選題]96.有矩陣,下列運算正確的是()。A.ACB.ABCC.AB-BCD.AC+BC參考答案:B參考解析:A項中的列數(shù)與的行數(shù)不相等,所以與不能相乘,故錯誤;B項中前一項的行與后一項的列分別相等,那么B項正確,當(dāng)選;C項AB與BC沒有相同的行列數(shù),所以錯誤;同理D項錯誤。[單選題]97.設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo),則=()。A.-f′(x0)B.f′(-x0)C.f′(x0)D.2f′(x0)參考答案:A參考解析:由函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)的定義,得[單選題]98.若,則()。A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a參考答案:C參考解析:因為,所以-1<lnx<0,任取,則b<a<c。[單選題]99.已知A(0,-4),B(0,4),|PA|-|PB|=2a,當(dāng)a=3和4時,點P軌跡分別為()。A.雙曲線和一條直線B.雙曲線和兩條射線C.雙曲線一支和一條直線D.雙曲線一支和一條射線參考答案:D參考解析:因為A(0,-4),B(0,4)則|AB|=8,又因為|PA|-|PB|=2a。所以當(dāng)a=3時,|PA|-|PB|=6<8,則由雙曲線定義可得點P的軌跡為雙曲線,且為雙曲線的上支;當(dāng)a=4時,|PA|-|PB|=8,則點P的軌跡為y軸上的以點B為端點的射線,且方向向上。故選D項。[單選題]100.已知正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長與底面邊長都相等,E是SB的中點,則AE,SD所成的角的余弦值為()。A.B.C.D.參考答案:C參考解析:連接AC、BD交于點O,再連接OE,因為OE//SD,所以∠AEO即為所求。設(shè)側(cè)棱長與底面邊長為2x,則在△AEO中,OE=x,又因為△AEO為直角三角形,所以[單選題]101.設(shè)a>0且a≠1,則“函數(shù)f(x)=ax在R上是減函數(shù)”是“函數(shù)在R上是增函數(shù)”的()。A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件參考答案:A參考解析:因為“函數(shù)f(x)=ax在R上是減函數(shù)”,所以P:0<a<1;因為“函數(shù)在R上是增函數(shù)”,所以q:2-a>0,即q:0<a<2且a≠1。所以P能推出q,而q不能推出P,即P是q成立的充分不必要條件。[單選題]102.若A,B是正交矩陣,則下列說法錯誤的是()。A.AB為正交矩陣B.A+B為正交矩陣C.ATB為正交矩陣D.AB-1為正交矩陣參考答案:B參考解析:因為A,B正交矩陣,所以有ATA=E,BTB=E,(E為單位陣)。那么則A項正確,同理可證明CD兩項也是正交矩陣。而顯然B項不正確。[單選題]103.過點A(1,2,3)且平行于平面x+2y-6=0的平面方程為()。A.x+2y-z=0B.x+2y-z=2C.x-2y-z=0D.x+2y-z=-6參考答案:B參考解析:設(shè)平面x+2y-6=0的法向量為n,取n={1,2,-1},此平面的標(biāo)準(zhǔn)方程為其中(x0,y0,z0)是平面外一點,(A,B,C)是平面的法向量,所以所求平面的方程為:整理得x+2y-z=2。[單選題]104.數(shù)列極限()。A.B.C.D.參考答案:B參考解析:將上下同時除以n2,得到是函數(shù)在[0,1]上一個積分和的形式,式中將[0,1]n等分,且每個小區(qū)間為ζi是區(qū)間的右端點。因此[單選題]105.設(shè)向量a,b滿足:|a|=3,|b|=4,a·b=0。以a,a,a-b的模為邊長構(gòu)成三角形,則它的邊與半徑為1的圓的公共點個數(shù)最多為()。A.3B.4C.5D.6參考答案:B參考解析:由題意可知|a|=3,|b|=4,所以由勾股定理可知三邊構(gòu)成一個直角三角形。其內(nèi)切圓直徑為2,半徑為1。當(dāng)給出的圓與三角形內(nèi)切時有三個交點,把圓的位置向右移一定距離后,會出現(xiàn)4個交點的情況,但5個或5個以上的交點不能出現(xiàn)。所以B項正確。[單選題]106.若定義在(-1,0)內(nèi)的函數(shù)則a的取值范圍是()。A.B.C.D.(0,+∞)參考答案:A參考解析:因為x∈(-1,0),所以x+1∈(0,1),又函數(shù)所以此函數(shù)必為單調(diào)遞增的函數(shù),那么0<2a<1,解得[單選題]107.AB是平面α的斜線段,A為斜足,若點P在平面α內(nèi)運動,使得△ABP的面積為定值,則動點P的軌跡是()。A.圓B.橢圓C.一條直線D.兩條平行直線參考答案:B參考解析:已知三角形面積為定值,且底邊AB一定,P到底AB的距離為定值等于此三角形的高,則P運動的軌跡類似為一個以AB為軸心的圓柱表面,由于點P在平面α內(nèi)運動,所以其軌跡為橢圓。[單選題]108.已知直線與圓交于B、C兩點,A是圓上一點(與點B、C不重合),且滿足,其中O是坐標(biāo)原點,則實數(shù)a的值是()。A.2B.3C.4D.5參考答案:A參考解析:如圖所示:,設(shè)弦BC的中點為M,則根據(jù)向量的計算法則可以得到:又已知則即,那么所以在△ABC中,∠A=90°,BC為直徑,即過(0,0)點,故a=2。[單選題]109.已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù),且,則下列結(jié)論一定正確的是()。A.B.C.D.參考答案:B參考解析:因為,所以。又因為f(x)是偶函數(shù),所以必須滿足偶函數(shù)的性質(zhì),那么故選B項。[單選題]110.設(shè)A,B都是n階可逆矩陣,則()。A.A+B是n階可逆矩陣B.A+B是n階不可逆矩陣C.AB是n階可逆矩陣D.參考答案:C參考解析:A項中,當(dāng),時,,而A+B卻不可逆;B項中,當(dāng),時,,而卻可逆;D項中,當(dāng),時,|A|=2,|B|=-3,,而;C項中,當(dāng)矩陣A,B可逆時,,所以AB是n階可逆矩陣。故選C項。[單選題]111.若與表示兩平行平面,則l,m的值為()。A.l=-4,m=3B.l=3,m=-3C.l=4,m=-3D.l=-3,m=4參考答案:A參考解析:如果平面和平行,那么此時法向量共線但兩平面卻不重合。題中與平行,那么解得l=-4,m=3,故選A項。[單選題]112.設(shè)函數(shù)f(x)=(x+1)2(x-2),則()。A.6B.-6C.2D.0參考答案:B參考解析:f′(x)=2(x+1)(x-2)+(x+1)2,所以[單選題]113.函數(shù)的圖像不經(jīng)過()。A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限參考答案:A參考解析:將的圖像向左平移兩個單位得到原函數(shù)的圖像,可知原函數(shù)圖像不經(jīng)過第一象限。[單選題]114.已知橢圓與雙曲線有相同的準(zhǔn)線,則動點P(n,m)的軌跡為()。A.橢圓的一部分B.雙曲線的一部分C.拋物線的一部分D.直線的一部分參考答案:D參考解析:題中橢圓與雙曲線的準(zhǔn)線的方程分別是:與由題意可知:或得直線方程。[單選題]115.設(shè)a>1,則雙曲線的離心率e的取值范圍是()。A.B.C.(2,5)D.參考答案:B參考解析:由離心率的定義可知,因為是減函數(shù),所以當(dāng)a>1時,,即,即[單選題]116.從1,2,3,4,5這五個數(shù)字中等可能地、有放回地接連抽取兩個數(shù)字,則這兩個數(shù)字不相同的概率為()。A.B.C.D.以上都不對參考答案:D參考解析:有放回地抽取數(shù)字,每個數(shù)字被抽到的概率為,則兩次抽到相同數(shù)字的概率為[單選題]117.已知曲面方程為,則過點(5,-2,1)的切平面方程為()。A.B.C.D.參考答案:B參考解析:由題可知,曲面為球面,化成標(biāo)準(zhǔn)方程為:則球心為(1,-4,-3),半徑為6。選項中,只有B、C兩項過點(5,-2,1)。排除A、D兩項。同時球心到切平面的距離應(yīng)該等于球的半徑,B項球心到平面的距離為等于球半徑,滿足題意。[單選題]118.下面函數(shù)中,與y=x為同一函數(shù)的是()。A.B.C.D.參考答案:D參考解析:,其定義域為(-∞,+∞)。[單選題]119.已知U=R,,,則等于()。A.B.C.D.參考答案:D參考解析:由于則[單選題]120.已知a,b都是實數(shù),那么“a2>b2”是“a>b”的()。A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件參考答案:D參考解析:由題意可知,由“a2>b2”不能推出“a>b”;反之,由“a>b”也不能推出“a2>b2”,故“a2>b2”是“a>b”的既不充分也不必要條件。[單選題]121.設(shè)x為正整數(shù),若x+1是完全平方數(shù),則它前面的一個完全平方數(shù)是()。A.xB.C.D.參考答案:D參考解析:設(shè)x+1=9,則前面的一個完全平方數(shù)為4,當(dāng)x=8時,代入A、B、C、D可知。[單選題]122.設(shè)f(x)在(-∞,+∞)上有定義,則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()。A.B.C.D.參考答案:C參考解析:因為的定義域為(-∞,+∞),且由奇函數(shù)定義可知,為奇函數(shù)。[單選題]123.在直角坐標(biāo)平面上,向量,(O為原點)在直線l上的射影長度相等,且直線l的傾斜角為銳角,則l的斜率等于()。A.1B.C.D.參考答案:C參考解析:過原點O作與直線l平行的直線l′,則、在l′上的射影長度也相等,又,故A,B到直線l′的距離相等,設(shè)l′:y=kx,則解得k=-2或。因l的傾斜角為銳角,故[問答題]1.已知等差數(shù)列{an}滿足:a3=7,a5+a7=26。{an}的前n項和為Sn。(1)求an及Sn;(2)令求數(shù)列{bn}的前n項和Tn。參考答案:(1)等差數(shù)列的通項公式為:an=a1+(n-1)d;則可以設(shè)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,由a3=7,a5+a7=26得a1+2d=7,2a1+10d=26。解出:a1=3,d=2,故an=2n+1,Sn=n(n+2)。(2)由故所以數(shù)列{bn}的前n項和[問答題]2.已知|a|=1,|b|=2。(1)若a//b,求a·b;(2)若a、b的夾角為60°,求|a+b|;(3)若a-b與a垂直,求當(dāng)k為何值時,參考答案:(1),a、b方向相同取正,方向相反取負。(2),,故(3)若a-b與a垂直,則想要只要即為:即解得k=3。[問答題]3.A是n階矩陣,且A≠0,證明:存在一個n階非零矩陣B,使AB=0的充分必要條件是|A|=0。參考答案:必要性:(反證法)假設(shè)AB≠0,則A-1存在。所以當(dāng)AB=0時,兩邊左乘A-1得B=0,和存在一個n階非零矩陣B使AB=0矛盾,所以A=0。充分性:設(shè)A=0,則方程組Ax=0有非零解,構(gòu)造矩陣則B≠0,且AB=0。[問答題]4.已知數(shù)列{an}的前n項和是Sn,且(1)求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列;(2)記求{bn}的前n項和Tn的最大值及相應(yīng)的n值。參考答案:(1)已知2Sn+an=1,那么,當(dāng)n=1時,2a1+a1=1,得。而當(dāng)n≥,n∈N*時,2Sn-1+an-1=1,用2Sn+an=1減2Sn-1+an-1=1得到3an=an-1,且an≠0,則所以由等比數(shù)列的定義可以知道,數(shù)列{an}是等比數(shù)列。(2)由(1)可知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且那么當(dāng)Tn最大值時必須符合,即,于是可以得出n的取值范圍是19≤n≤20,因n∈N*,則n=19或n=20,故[問答題]5.⊙O的直徑AB與弦CD相交于E,AB⊥CD,⊙O的切線BF與弦AD的延長線相較于點F。(1)求證:CD//BF;(2)連接BC,若⊙O的半徑為4,,求線段AD、CD的長。參考答案:(1)證明:AB為圓的直徑,且BF是圓的切線,所以有BF⊥AB,又由已知AB⊥CD,所以易證CD//BF。(2)由題知所以經(jīng)計算得AD=6,那[問答題]6.設(shè)齊次方程組有非零解,求a及方程組通解。參考答案:因為齊次方程組方程有非零解,所以它的系數(shù)矩陣行列式必為零。即,所以,a2=1,a=±1。對這兩種情況進行討論:(1)當(dāng)a=1時,對此方程組的系數(shù)矩陣進行行變換:原方程組等價于即取x2=1,得為方程組的基礎(chǔ)解系。則可以知道方程組的通解為(2)當(dāng)a=-1時,原方程組等價于。取x2=1,得為方程組的基礎(chǔ)解系。則可以知道方程組的通解為[問答題]7.(1)從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽。求所選3人中至少有1名女生的概率。(2)對某種產(chǎn)品的6件不同的正品和4件不同的次品一一進行測試,至區(qū)分出所有次品為止,若所有次品恰好在第5次測試時全部發(fā)現(xiàn),則這樣的測試方法有多少種?參考答案:(1)所選3人中恰有1名女生的選法有,恰有2名女生的選法有,“從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽”基本事件總數(shù)為,所選3人中至少有1名女生的概率為(2)由題意指第五次測試的產(chǎn)品一定是次品,并且是最后一個次品,對四件次品編序為1、2、3、4,第五次抽到其中任一件次品有種情況。前四次有三次是次品,一次是正品共有種可能。前4次測試中的順序有種可能。由分步計數(shù)原理即得共有種可能。故答案為:576。[問答題]8.△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a、b、c,且,,且m//n。(1)求;(2)若△ABC的內(nèi)角,求∠B的大小。參考答案:(1)由m//n,得運用正弦定理得(2)由(1)得:b2=3a2,運用余弦定理得:所以c=a,從而有:所以[問答題]9.已知向量及β=(1,3,-6)(1)a,b為何值時,β不能表示成向量α1,α2,α3的線性組合;(2)a,b為何值時,β有α1,α2,α3的唯一線性表示。參考答案:設(shè),求解此方程組,即求x1,x2,x3為系數(shù)矩陣(1)當(dāng)a=0時,若即b≠-3時,此方程組無解,即β不能表示成α1,α2,α3的線性組合。(2)當(dāng)a≠0,a+5b+12≠0時,方程組有唯一解,即β能表示成向量α1,α2,α3的線性組合,且表示法唯一。[問答題]10.已知求θ的值。參考答案:由題目可知,整理后得到,即或。由,知,從而或[問答題]11.某居民小區(qū)有兩個相互獨立的安全防范系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng))A和B,系統(tǒng)A和B在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為和P。(1)若在任意時刻至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為,求P的值;(2)設(shè)系統(tǒng)A在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機變量ζ,求ζ的概率分布列及數(shù)學(xué)期望Eζ。參考答案:(1)設(shè)“至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C,那么解得(2)由題意可知,ζ要分四種情況:ζ=0;ζ=1;ζ=2;ζ=3。所以,隨機變量ζ的概率分布列列表如下:所以隨機變量ζ的數(shù)學(xué)期望為:[問答題]12.用拉格朗日中值定理證明:x>0時,參考答案:證明:令,。令x>0,顯然f(x)在[0,x]上連續(xù)且在(0,x)內(nèi)可導(dǎo)。由拉格朗日中值定理可得:所以,又,所以當(dāng)x>0時,有[問答題]13.已知{an}是等差數(shù)列,其中a1=25,前四項和S4=82。(1)求數(shù)列{an}的通項公式an;(2)令,①求數(shù)列{bn}的前n項之和Tn;②是不是數(shù)列{bn}中的項,如果是,求出它是第幾項;如果不是,請說明理由。參考答案:(1)利用等差數(shù)列的前n項和,知且a1=25,則d=-3,故an=28-3n。(2)①利用錯位相減,則有相減得②解得,將n換成x,則所以f(x)在R上單調(diào)遞增,那么f(5)=5<0,f(6)=6>0,所以f(x)有唯一零點,但不是整數(shù)。因此不是數(shù)列{bn}中的項。[問答題]14.已知向量(1)求的值;(2)設(shè)向量P=a+2b,q=a-2b,求向量P與q夾角的余弦值。參考答案:(1)因為所以(2)設(shè)向量P與q的夾角為θ,由題可知則,,Pq=-18,故[問答題]15.設(shè)A是m×n階矩陣,R是m×n階矩陣,是m×m階矩陣,求證:若B可逆且BA的行向量都是方程組Rx=0的解,則A的每個行向量也都是該方程組的解。參考答案:假設(shè)其中αi=(i=1,2,…,m)為A的行向量,則因為BA的行向量都是方程組Rx=0的解,所以則即因為B是可逆的,所以即A的每個行向量為Rx=0的解。[問答題]16.求函數(shù)的定義域。參考答案:∵解之得,∴原函數(shù)的定義域為[問答題]17.設(shè)f(x)為定義在(-∞,+∞)上的任意函數(shù),證明:f(x)可表示為一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)之和。證明:參考答案:令∵∴g(x)為偶函數(shù),令∵∴φ(x)為奇函數(shù),故定義在(-∞,+∞)上的任意函數(shù)f(x)可表示為一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)之和。[問答題]18.若事件A與B相互獨立,,,求:和參考答案:∵事件A與B相互獨立,事件與B也相互獨立,∴由條件概率可知,[問答題]19.已知:方程組(1)當(dāng)m取何值時,方程組有兩個不同的實數(shù)解?(2)若是方程組的兩個不同的實數(shù)解,且求m的值。參考答案:(1)把y=2-x代人方程中,化簡得,當(dāng)且僅當(dāng)Δ>0時,方程組才會有兩個不同的實數(shù)解。,解不等式得m>2,所以當(dāng)m>2時,方程組有兩個不同的實數(shù)解。(2)把y=2-x代人方程中,化簡得∵,∴∵∴,解之得:m=8或經(jīng)檢驗都符合題意,所以m=8或[問答題]20.已知a>b>c,且(1)a+b+c是正數(shù)嗎?為什么?(2)若拋物線在x軸上截得的線段長為,求拋物線的對稱軸。參考答案:(1)a+b+c是正數(shù)?!遖>b>c∴a-c>0∵2a+3b+4c=0∴∴(2)設(shè)的兩根為x1、x2,則:由題意得∴∴,解之得:或∵a>b>c,且2a+3b+4c=0∴a>0,c<0當(dāng)時,,不滿足a>b>c>0,故當(dāng)時,滿足綜上所述故對稱軸的方程為[問答題]21.如圖,某人站在離公路的垂直距離為60m的點A,發(fā)現(xiàn)公路上有汽車從點B以V0=10m/s的速度沿著公路勻速行駛,點B與人相距100m,那么此人最少以多大的速度奔跑才能與汽車相遇?并求出相遇的時間。(公路為直線)參考答案:在公路上任取一點E,連結(jié)AE,設(shè)人的最小速度為vm/s,并與車恰好在E相遇,用時為t秒。如圖所示,∵AC⊥BC,AB=100m,AC=60m,∴BC=80m,CE=(80-10t)m,在Rt△ACE中,由勾股定理,得整理得由題意解這個不等式得v≥6m/s,把v=6m/s代入①得t=12.5s,即此人最少以6m/s的速度奔跑才能與汽車相遇,此時相遇的時間為12.5s。[問答題]22.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且(1)求角A的大?。唬?)若a=1,求△ABC的周長l的取值范圍。參考答案:(1)由正弦定理得又故由于sinC≠0,得,又,故(2)由正弦定理得:,,又由(1)可知,,,又由,得,那么,則,故△ABC的周長l的取值范圍為(2,3]。[問答題]23.如圖,P是線段AB上一動點(不與A、B重合),以PB為邊作正方形PBCD,點E是直線AD與正方形PBCD的外接圓除點D以外的另一個交點,直線BE與直線PD相交于點F。(1)求證:△AEB為直角三角形;(2)當(dāng)點P在線段AB上運動時,試探求線段AB、PB、PF之間的關(guān)系,并給出證明;(3)當(dāng)點P在線段AB的延長線或反向延長線上時,題(2)中線段AB、PB、PF之間的關(guān)系是否發(fā)生變化?參考答案:(1)∵∠AEB是圓內(nèi)接四邊形BCDE的一個外角∴∠AEB=∠C=90°∴△AEB為直角三角形。(2)∵∠FBP、∠ADP對應(yīng)同弧PE∴∠FBP=∠ADP又∵PBCD是圓內(nèi)接正方形∴∠FPB=∠APD=90°,BP=DP∴∴PF=PA∴PF+PB=PA+PB=AB(3)①當(dāng)P在線段AB的延長線上時(如圖1),則PF-PB=AB。圖1圖2∵∠PBF是圓內(nèi)接四邊形BEDP的一個外角∴∠PBF=∠ADP∵PBCD是圓內(nèi)接正方形∴∠FPB=∠APD=90°,且BP=DP∴∴PF=PA∴PF-PB=PA-PB=AB②當(dāng)P在線段AB的反向延長線上時(如圖2),PB-PF=AB?!摺螰BP、∠ADP對應(yīng)與同弧PE∴∠FBP=∠ADP∵PBCD是圓內(nèi)接正方形∴∠FPB=∠APD=90°,且BP=DP∴∴PF=PA∴PB-PF=PB-PA=AB[問答題]24.在兩個三角形的六對元素(三對角與三對邊)中,即使有五對元素分別相等,這兩個三角形也未必全等。(1)試給出一個這樣的例子,畫出簡圖,分別標(biāo)出兩個三角形的邊長。(2)為了把所有這樣的反例都構(gòu)造出來,試探求并給出構(gòu)造反例的一般規(guī)律(要求過程完整,述理嚴密,結(jié)論明晰)。參考答案:(1)如下圖,△ABC與△A′B′C′是相似的(相似比為,它們之中有五對元素是相等的,但顯然它們并不全等。)(2)容易知道,要構(gòu)造的兩個三角形必不是等腰三角形(因為若是等腰三角形,則必定全等),同時它們應(yīng)是相似的。設(shè)小△ABC的三邊長分別為a、b、c,且不妨設(shè)a<b<c,且大△A′B′C′與小△ABC的相似比為k,則k>1。∵△A′B′C′的三邊長分別為ka、kb、kc,且a<ka<kb<kc,∴在△ABC中,與△A′B′C′中兩邊對應(yīng)相等的兩條邊只可能是b與c,∵b<c<kc∴在△A′B′C′中,與b、c對應(yīng)相等的兩條邊只可能是ka、kb∴∴由于a到b、由b到c具有相同的放大系數(shù),這個系數(shù)恰為△ABC與△A′B′C′的相似比k,下面我們來考慮相似比k所受到的限制?!摺鰽BC的三邊長分別為a、ka、k2a,且a>0,k>1,∴a+ka>k2a解之得,(注:)。因此構(gòu)造反例時,只要任意選取一個正數(shù)a作為△ABC最小邊的長,再設(shè)定一個1~1.168之間的放大系數(shù)k,從而寫出另外兩條邊的長ka,k2a。然后在△ABC的基礎(chǔ)上,以前面的放大系數(shù)k為相似比,再寫出另一個△A′B′C′的三邊長ka、k2a、k3a。通過這種方法,可以構(gòu)造出大量符合題意的反例。[問答題]25.小杰到學(xué)校食堂買飯,看到A、B兩窗口前面排隊的人一樣多(設(shè)為a人,a>8),就站到A窗口隊伍的后面,過了2分鐘,他發(fā)現(xiàn)A窗口每分鐘有4人買了飯離開隊伍,B窗口每分鐘有6人買了飯離開隊伍,且B窗口隊伍后面每分鐘增加5人。(1)此時,若小杰繼續(xù)在A窗口排隊,則他到達窗口所花的時間是多少(用含a的代數(shù)式表示)?(2)此時,若小杰迅速從A窗口隊伍轉(zhuǎn)移到B窗口隊伍后面重新排隊,且到達B窗口所花的時間比繼續(xù)在A窗口排隊到達A窗口所花的時間少,求a的取值范圍(不考慮其他因素)。參考答案:(1)由題意可知,A窗口每分鐘有4個人買完飯離開隊伍,而且a>8,所以小杰到達窗口所花的時間為(2)由題意可知,小杰迅速從A窗口隊伍轉(zhuǎn)移到B窗口隊伍后面重新排隊,到達B窗口所花時間為若要求達B窗口所花的時間比繼續(xù)在A窗口排隊到達A窗口所花的時間少,則,得a>20。[問答題]26.已知:不論k取什么實數(shù),關(guān)于x的方程的根總是x=1,試求a、b的值。參考答案:由題意可知,把x=1代入原方程并整理得(b+4)k=7-2a,要使該等式不論k取什么實數(shù)均成立,當(dāng)且僅當(dāng),,解之得[問答題]27.已知m為整數(shù),且12<m<40,試求m為何值時,關(guān)于未知數(shù)x的方程有兩個整數(shù)根?參考答案:方程由求根公式得:又12<m<40,所以要使方程有兩個整數(shù)根,則必須保證為整數(shù),又m為整數(shù),所以,得m=24。[問答題]28.如圖,正△ABC的中心O恰好為扇形ODE的圓心,且點B在扇形內(nèi),要使扇形ODE點。無論怎樣轉(zhuǎn)動,△ABC與扇形重疊部分的面積總等于△ABC的面積的,扇形的圓心角應(yīng)為多少度?說明你的理由。參考答案:扇形的圓心角應(yīng)為120°。連結(jié)OB,OC,∵△ABC為正三角形,O是正△ABC的中心,∴,重疊部分的面積等于△ABC面積的∵OB=OC,∠ABO=∠BCO=30°∴∠DOB=∠COE∴∠DOE=120°[問答題]29.為了美化校園環(huán)境,爭創(chuàng)綠色學(xué)校,某縣教育局委托園林公司對A、B兩校進行校園綠化。已知A校有如圖1的陰影部分空地需鋪設(shè)草坪,在甲、乙兩地分別有同種草皮3500平方米和2500平方米出售,且售價一樣,若園林公司向甲、乙兩地購買草皮,其路程和運費單價表如下:路程、運費單價表求:(1)分別求出圖1、圖2的陰影部分面積;圖1圖2(2)請你給出一種草皮運送方案,并求出總運費;(3)請設(shè)計總運費最省的草皮運送方案,并說明理由。參考答案:(1)設(shè)圖1、圖2的陰影部分面積分別為S1,S2。(2)答案不唯一。如甲地向A校運送3500平方米的草皮,乙地向A校運送100平方米的草皮,向B校運送2400平方米的草皮。(3)請設(shè)計總運費最省的草皮運送方案,并說明理由。設(shè)甲地運往A校的草皮為x平方米,甲地運往B校的草皮為(3500-x)平方米,總運費為y元。則乙地運往A校的草皮為(3600-x)平方米,乙地運往B校的草皮為(x-1100)平方米。如下列表格所示:∴∴y=2.5x+11650∵∴解之得,3500≥x≥1100∵y=2.5x+11650是遞增函數(shù),∴當(dāng)x=1100時y取得最小值,即y=2.5×1100+11650=14400(元),因此,總運費最省的方案為:[問答題]30.如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,平行于x軸且過點的入射光線l1被直線l:反射,反射光線l2交了軸于B點,圓C過點A且與l1、l2都相切,求:l2所在直線的方程和圓C的方程。參考答案:由題意,得直線l1:y=2,設(shè)l1交l于點D,則由得,∵l的傾斜角為30°,又有光的反射性,∴l(xiāng)2的傾斜角為60°,∴l(xiāng)2的斜率為,又l2過點∴l(xiāng)2所在直線的方程為,即已知圓C與l1相切于點A,設(shè)圓心C(a,b)?!邎AC與l1,l2都相切,∴圓心C在過點D且與l垂直的直線上,即C在直線上,∴①又圓心C在過點A且與l1垂直的直線上,即C在直線上,∴②由①②得,所以圓C的半徑故所求圓C的方程為[問答題]31.設(shè)是曲線的一條切線,求k的值。參考答案:,故得x=2,因此切點為(2,13),,即k=1。[問答題]32.我國是水資源比較貧乏的國家之一,各地采用價格調(diào)控等手段來達到節(jié)約用水的目的,某市用水收費方法是:水費=基本費+超額費+損耗。若每月用水量不超過最低限量am3時,只付基本費8元和每戶每月的定額損耗費c元;若用水量超過am3時,除了付同上的基本費用和損耗費外,超過部分每立方米付b元超額費。已知每戶的定額損耗費c不超過5元,該市一家庭今年一月份、二月份、三月份的用水量和支出費用如表所示:根據(jù)下表提供的數(shù)據(jù),求a、b、c。參考答案:設(shè)每月用水量為xm3,支付水費為y元,則由題意知:∵0<c≤5∴0<8+c≤13從表中可知,第二、三月份的水費均大于13元,故用水量均大于最低限量am3,將x=15、x=22分別代入得解得:b=2,2a=c+19①再來分析一月份的用水量是否超過最低限量,不妨設(shè)9>a,得9=8+2(9-a)+c,即2a=c+17②②與①矛盾,故9≤a,則一月份的用水量沒有超過最低限量,則8+c=9,得c=1,代入①式得,a=10。綜上所得:a=10,b=2,c=1。[問答題]33.如圖所示,正方形ABCD和正方形ABEF交于AB,M,N,分別是BD,AE上的點,且AN=DM,試用向量法證明:MN//平面EBC。參考答案:設(shè),,∵,,∴又∵c,b是平面EBC上兩個不共線的向量,∴必為平面EBC上的一個向量,由向量的平移,存在平面EBC的一個向量與平行,且MN不在平面EBC內(nèi)。∴MN//平面EBC。[問答題]34.某工廠生產(chǎn)的零件廢品率為5%,某人要采購一批零件,他希望以95%的概率保證其中有2000個合格品,問他至少應(yīng)購買多少零件?[注:,]參考答案:設(shè)他至少應(yīng)購買n個零件,則n≥2000,則該批零件中合格零件數(shù)ε服從二項分布B(n,p),其中p=0.95。因n很大,故B(n,p)近似于正態(tài)分布N(np,npq),q=1-p=0.05,由條件知,有因為,故解之得n=2123,即他至少要購買2123個零件。[問答題]35.探索與思考(1)如圖1,在正三角形ABC中,M、N分別是AC、AB上的點,BM與CN相交于點O,若BM=CN,求∠BON的度數(shù)。(2)如圖2,在正方形ABCD中,M、N分別是CD、AD上的點,BM與CN相交于點O,若BM=CN,求∠BON的度數(shù)。圖1圖2(3)作為初中數(shù)學(xué)教師的你,如果拋給學(xué)生(1)(2)兩題,你接著怎么做?參考答案:(1)由知,故又∵∴(2)知故又∵∴(3)可以讓學(xué)生進一步探索正五邊形的情況,討論∠BON的度數(shù),接著問他們有什么規(guī)律?嘗試總結(jié)出來。[問答題]36.設(shè)D是不等式組所表示的平面區(qū)域,求區(qū)域D中的點P(x,y)到直線x+y=10的距離的最大值。參考答案:畫出不等式組所表示的可行域D,如下圖中陰影部分所示(包括邊界),顯然,直線y=1與2x+y=3的交點(1,1)到直線x+y=10的距離最大,由點到直線的距離公式可得最大值為[問答題]37.請你編制一道以二次函數(shù)為主線的綜合性試題。要求:(1)拋物線沿下圖射線AB的方向平移,由此體現(xiàn)分類討論的思想;(2)題中要涉及到求二次函數(shù)解析式、拋物線的對稱性或頂點問題以及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系等內(nèi)容;(3)難度適中。參考答案:如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,已知A(-2,0),B(1,3)坐標(biāo),設(shè)經(jīng)過A(-2,0)、O(0,0)兩點且頂點C在射線AB上的拋物線為l。(1)求射線AB和拋物線l的解析式;(2)將拋物線l沿射線AB方向平移,設(shè)移動后的拋物線與x軸在右的交點為M。①當(dāng)頂點在水平方向移動a個單位時,請用含a的代數(shù)式表示AM的長。②在上述移動過程中,當(dāng)頂點C在水平方向上移動3個單位時,A與M之間的距離是多少?[問答題]38.請將試題“已知a,b,,且a<b,求證:”增加生活背景,使之具有一定的應(yīng)用價值,并簡析其內(nèi)涵。參考答案:一個動物園里有b只猴子,午餐有a根香蕉,其中猴子數(shù)比香蕉個數(shù)多,當(dāng)b只猴子正等著飼養(yǎng)員分a根香蕉來吃時,忽然有m只小猴子從育幼室出來,飼養(yǎng)員又帶來了m根香蕉,共同分瓜吃,試問這b只猴子平均每個只分吃的香蕉比以前多了還是少了?簡析內(nèi)涵:將此不等式問題改變?yōu)椤胺止蠁栴}”,活躍了氣氛,又引入了數(shù)學(xué)模型,將原來枯燥的數(shù)學(xué)式子生活化了,和學(xué)生的距離拉近,增加了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。[問答題]39.已知函數(shù),求,,。參考答案:∵∴∴∵∴[問答題]40.判斷下列函數(shù)在指定點處是否存在極限。(1)(2)參考答案:(1)由可知,∵,,∴函數(shù)在點x=2處的極限不存在。(2)由可知,∵,,∴函數(shù)在點x=0處的極限為[問答題]41.已知直線l1過點A(-1,0),且斜率為k,直線l2過點B(1,0),且斜率為,其中k≠0,又直線l1與l2交于點M。(1)求動點M的軌跡方程;(2)若過點的直線l1交動點M的軌跡于C,D兩點,且N為線段CD的中點,求直線l的方程。參考答案:(1)設(shè)M(x,y),∵點M為l1與l2的交點,∴,解得∴動點M的軌跡方程為(2)由(1)知,動點M的軌跡方程為,設(shè),∵直線l1交動點M的軌跡于C,D兩點∴①②由①-②得,即∵N為線段CD的中點,∴∴直線l的斜率∴直線l的方程為,即得[問答題]42.請將四個全等直角梯形(如圖),拼成一個平行四邊形,并畫出兩種不同的拼法示意圖(拼出的兩個圖形只要不全等就認為是不同的拼法)。參考答案:如圖所示,不同的拼法列
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