2021年中考數(shù)學壓軸題全揭秘 09 反比例函數(shù)問題（教師版含解析）

決勝2021中考數(shù)學壓軸題全揭秘精品

專題09反比例函數(shù)問題

【考點1】反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【考點2】反比例函數(shù)k的幾何意義

專題07反比例函數(shù)問題

【考點3】反比例函數(shù)的實際應用

【考點4】反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合、

【考點5】反比例函數(shù)與幾何綜合

典例剖析

【考點1］反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

3

【例1】（2019?湖北中考真題）反比例函數(shù)），=-3,下列說法不正確的是（）

x

A.圖象經(jīng)過點（1,-3）B.圖象位于第二、四象限

C.圖象關于直線y=x對稱D.y隨x的增大而增大

【答案】D

【解析】

【分析】

通過反比例圖象上的點的坐標特征，可對A選項做出判斷；通過反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)、增減性、對稱性

可對其它選項做出判斷，得出答案.

【詳解】

解：由點。,一3）的坐標滿足反比例函數(shù)y=—、，故A是正確的;

山丘=—3<0,雙曲線位于二、四象限，故B也是正確的；

3

由反比例函數(shù)的對稱性，可知反比例函數(shù)丁=-一關于y=x對?稱是正確的，故c也是正確的，

X

由反比例函數(shù)的性質(zhì)，女<0,在每個象限內(nèi)，>隨x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性質(zhì)，故D

是不正確的，

故選：D.

【點睛】

考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，當A<o時，在每個象限內(nèi)y隨x的增大而增大的性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象是軸對

稱圖象，卜=%和丁=-％是它的對稱軸，同時也是中心對稱圖形；熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標特

征和反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)是解答此題的關鍵.

【變尤1-1］（2020?山東濰坊?中考真題）如圖，函數(shù)了=代+優(yōu)左？0）與丫=%（，〃*。）的圖象相交于點

X

m

A（-2,3）,5（1,-6）兩點，則不等式區(qū)+〃>—的解集為（）

A.x>—2B.-2<%<()或x>lC.x>lD.x<-2或0<x<l

【答案】D

【分析】

結(jié)合圖像，求出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方所對應的自變量的范圍即可.

【詳解】

解：?.?函數(shù)y="+。（左。0）與y=T（〃，H°）的圖象相交于點4-2,3）,8（1,—6）兩點，

m

...不等式依+。>一的解集為：x<—2或0<x<l,

x

故選：D.

【點睛】

本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，關鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用.

【支為1-2］（2020?湖北武漢?中考真題）若點A（aB（a+1,%）在反比例函數(shù)y=［（左<0）的圖

象上，且X>%，則。的取值范圍是（）

A.a<-\B.■—1<。V1C.a>\D.”-1或。>1

【答案】B

【分析】

k

由反比例函數(shù)y=—(左<0),可知圖象經(jīng)過第二、四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，由此分三

x

種情況①若點A、點B在同在第二或第四象限；②若點A在第二象限且點B在第四象限；③若點A在第四

象限且點B在第二象限討論即可.

【詳解】

解：???反比例函數(shù)y=A(〃<0),

x

.?.圖象經(jīng)過第二、四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，

①若點A、點B同在第二或第四象限，

M>為，

a-1>a+l,

此不等式無解；

②若點A在第二象限且點B在第四象限，

X>%，

a-l<0

二〈，

[a+\>0

解得：—1<a<1：

③由yi>y?,可知點A在第四象限且點B在第二象限這種情況不可能.

綜上，。的取值范圍是一1<。<1.

故選：B.

【點睛】

本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關鍵，注意要分情況討論,

不要遺漏.

【考點2]反比例函數(shù)k的幾何意義

【例2】(2020?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題)如圖，點5在反比例函數(shù)y=￡(x>())的圖象上，點C在反比例函

X

2

數(shù)y=——(%>())的圖象上，且5c7/)，軸，AC.LBC,垂足為點G交y軸于點A,則6c的面積為

x

【答案】B

【分析】

作BDJ_BC交y軸于D,可證四邊形ACBD是矩形，根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義求出矩形ACBD的面積,

進而由矩形的性質(zhì)可求AAHC的面積.

【詳解】

作BDLBC交y軸于D,

?.?5C//y軸，ACA.BC,

...四邊形ACBD是矩形，

S超舷ACBD=6+2=8,

/.AABC的面積為4.

本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，一般的，從反比例函數(shù)y=A（k為常數(shù),原0）圖象上任一點P,

X

向X軸和y軸作垂線你，以點P及點尸的兩個垂足和坐標原點為頂點的矩形的面積等于常數(shù)W,以點。及

點戶的一個垂足和坐標原點為頂點的三角形的面積等于;網(wǎng).也考查了矩形的性質(zhì).

【變?nèi)?-1】（2020?遼寧營口?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，△OA5的邊04在x軸正半軸上，其

中/。45=90°,AO=AB,點C為斜邊05的中點，反比例函數(shù)y=工（A>0,x>0）的圖象過點C且交線

x

3

段A5于點O,連接CO,OD,若SA℃D=一,則4的值為（）

2

5

A.3B.-C.2D.1

2

【答案】C

【分析】

mmI

根據(jù)題意設,則A("?，0),C(一，—),D(m,-tn),然后根據(jù)SACO/)=SAC(%+S悌形AQCE-

224

=SWADCE9得到37(—十—)?(7/2--■in)=—,即可求得女=%-=2.

242224

【詳解】

解：根據(jù)題意設8（如㈤，則A（〃z,0）,

?.?點C為斜邊05的中點，

mm、

C（一,—）,

22

k

,反比例函數(shù)y=-G>0,x>0）的圖象過點C,

x

...仁生,生=近，

224

VZOAB=9Q°,

二。的橫坐標為m,

?.?反比例函數(shù)y=L依>0,x>0）的圖象過點D,

X

.?勺縱坐標嗎,

,?*SACOD—S,COE+S^ADCE-S^AOD—S椀用ADCE，S-,OCD=—,

2

1/、3口r1/加"2、,1\3

—（AD+CE）9AE=—,即一（---1------）?（〃？----ni）=—,

2224222

2

A—=l,

8

4

故選：C.

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征和反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，根據(jù)SACOD=SM;OE+S梯形

ADCE-SAAOD=S梯彬ADCE,得到關于m的方程是解題的關鍵.

【支式2-2】（2020?浙江溫州?中考真題）點P,Q,R在反比例函數(shù)V=K（常數(shù)k>0,x>0）圖象上的位置

X

如圖所示，分別過這三個點作X軸、y軸的平行線.圖中所構(gòu)成的陰影部分面積從左到右依次為S1,S2,S3.若

OE=ED=DC,SI+S3=27,則S2的值為.

【答案】y

【分析】

利用反比例函數(shù)系數(shù)上的幾何意義，及OE=ED=DC求解5”邑,邑，然后利用$+邑=27列方程求解即

可得到答案.

【詳解】

解：由題意知：矩形OEPC的面積=上,

OE=DE=DC,

S,=—k,

13

同理：矩形。GQO,矩形。4尺￡的面積都為h

,;OE=DE=DC,

S[+S3=27,

:.-k+-k=21,

23

,162

k-—-—,

0162127

S9=-----x-二—

565

27

故答案為：

【點睛】

本題考查的是矩形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的系數(shù)的幾何意義，掌握以上性質(zhì)是解題的關鍵.

【變42-3]（2020?遼寧撫順?中考真題）如圖，在AABC中，AB=AC,點A在反比例函數(shù)>=七”〉0,

X

x>0）的圖象上，點B,C在X軸上，OC=±OB,延長AC交y軸于點。，連接3D,若ABCD的面

積等于1,則A的值為.

【分析】

作AE_LBC于E,連接0A,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出OC=1CE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得SMEA=1,

2

3

進而根據(jù)題意求得SAOE=二，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可求得k的值.

2

【詳解】

解：作AELBC于E,連接OA,

VAB=AC,

:.CE=BE,

1

VOC=-OB,

5

.-.OC=-CE,

2

VAEZ/OD,

???ACOD^ACEA,

Sj3ODI。。/

???S/8=1，OC=|oB,

.、3_1

?,%COD-彳_4，

S.CEA=4Xw=1，

1

VOC=-CE,

2

.&3_1

,,乙AOC_2-2

?5_-Li-2

,?LAOE-2+2,

**S^AOE=萬A（&>。），

k=3<

故答案為：3.

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，三角形的面積，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì),

正確的作出輔助線是解題的關鍵.

【支為2-4】(2020?吉林中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，。為坐標原點，點A,3在函數(shù)

y=；(%>())的圖象上(點8的橫坐標大于點A的橫坐標)，點A的坐示為(2,4),過點4作4。，1軸于

點O,過點B作軸于點C,連接。4,AB.

(D求攵的值.

(2)若。為OC中點，求四邊形。48c的面積.

【答案】(1)8；⑵10.

【分析】

(1)將點A的坐標為(2,4)代入y=K(x>0),可得結(jié)果：

X

(2)利用反比例函數(shù)的解析式可得點8的坐標，利用三角形的面積公式和梯形的面積公式可得結(jié)果.

【詳解】

解：⑴將點A的坐標為(2,4)代入y=A(x>0),

可得女=孫=2x4=8,

???戈的值為8；

⑵???%的值為8,

k8

函數(shù)y=—的解析式為y=一,

XX

Q。為0C中點，0。=2,

/.OC=4,

Q

二點B的橫坐標為4,將x=4代入＞=一，

x

可得y=2,

點B的坐標為（4,2）,

x

???S四邊形Q48C—SMOD+S四邊形然8=-2x4+—（2+4）x2=10.

【點睛】

本題主要考查了反比例函數(shù)的系數(shù)A的幾何意義，運用數(shù)形結(jié)合思想是解答此題的關鍵.

【考點3】反比例函數(shù)的實際應用

【例3】（2020?云南昆明?中考真題）為了做好校園疫情防控工作，校醫(yī)每天早上對全校辦公室和教室進行藥

物噴灑消毒，她完成3間辦公室和2間教室的藥物噴灑要19/n/n；完成2間辦公室和1間教室的藥物噴灑要

11，"加.

（1）校醫(yī)完成一間辦公室和一間教室的藥物噴灑各要多少時間？

（2）消毒藥物在一間教室內(nèi)空氣中的濃度y（單位：機g/機3）與時間*（單位："”加的函數(shù)關系如圖所示：校醫(yī)

進行藥物噴灑時y與X的函數(shù)關系式為y=2x,藥物噴灑完成后y與X成反比例函數(shù)關系，兩個函數(shù)圖象的

交點為A（m,”）.當教室空氣中的藥物濃度不高于h”g/%3時，對人體健康無危害，校醫(yī)依次對一班至十

一班教室（共11間）進行藥物噴灑消毒，當她把最后一間教室藥物噴灑完成后，一班學生能否進入教室？請

通過計算說明.

【答案】(I)校醫(yī)完成一間辦公室和一間教室的藥物噴灑各要3min和5min；(2)一班學生能安全進入教室,

計算說明過程見解析.

【分析】

(1)設校醫(yī)完成一間辦公室和一間教室的藥物噴灑各要xmin和ymin,再根據(jù)題干信息建立二元一次方程

組，然后解方程組即可得;

(2)先求出完成11間教室的藥物噴灑所需時間，再根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出點A的坐標，然后利用待定

系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式，最后根據(jù)反比例函數(shù)的解析式求出x=55時，y的值，與1進行比較即可

得.

【詳解】

(1)設校醫(yī)完成?間辦公室和-間教室的藥物噴灑各要xmin和ymin

3x+2y=19

則《

2x+y=11

x=3

解得《

y=5

答：校醫(yī)完成間辦公室和一間教室的藥物噴灑各要3min和5min；

(2)一間教室的藥物噴灑時間為5min,則11個房間需要55min

當x=5時，y=2x5=10

則點A的坐標為A(5,10)

設反比例函數(shù)表達式為＞=幺

X

將點A(5,10)代入得：1=10,解得人=5()

則反比例函數(shù)表達式為)，=史

X

當x=55時，y=—<1

故一班學生能安全進入教室.

【點睛】

本題考查了二元一次方程組的應用、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合等知識點，較難的是題（2）,依據(jù)題意,

正確求出反比例函數(shù)的解析式是解題關鍵.

【支戈3-1】（2020?湖北孝感?中考真題）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流/（單位：A）與

電阻R（單位：。）是反比例函數(shù)關系，它的圖象如圖所示.則這個反比例函數(shù)的解析式為（）

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意，電流與電阻是反比例函數(shù)關系，根據(jù)圖中給出的坐標即可求出該反比例函數(shù)解析式.

【詳解】

根據(jù)題意，電流與電阻是反比例函數(shù)關系，在該函數(shù)圖象上有一點（6,8）,

故設反比例函數(shù)解析式為1=K，

R

將（6⑻代入函數(shù)解析式中，

解得k=48,

故屋

R

故選C.

【點

本題主要考查反比例函數(shù)解析式的求解方法，掌握求解反比例函數(shù)解析式的方法是解答本題的關鍵.

【支太3-2】（2020?廣西玉林?中考真題）南寧至玉林高速鐵路已于去年開工建設，玉林輛隧道是全線控制

性隧道，首期打通共有土石方總量600千立方米，總需要時間y天，且完成首期工程限定時間不超過600

天.設每天打通土石方x千立方米.

（1）求y與X之間的函數(shù)關系式及自變量X的取值范圍；

(2)由于工程進度的需要，實際平均每天挖掘土石方比原計劃多0.2千立方米，工期比原計劃提前了100天

完成，求實際挖掘了多少天才能完成首期工程？

【答案】(1))=則(0<xW600)；(2)實際挖掘了500天才能完成首期工程

X

【分析】

(1)根據(jù)“工作時間=總工作量+每天工作量”，即可得出y關于X的函數(shù)關系式；

(2)根據(jù)工期比原計劃提前了100天列方程求解即可.

【詳解】

解：(1)：共有土石方總量600千立方米，

600,、

y=——(0<xW600)；

(2)由題意得

600600…

-------------------=100,

xx+0.2

解得X|=l,X2=-[(負值舍去)，

經(jīng)檢驗X=1是原分式方程的解

1+0.2=12千立方米，

600+1.2=500天.

答：實際挖掘了500天才能完成首期工程.

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)的應用，以及分式方程的應用，解題的關鍵是：(D根據(jù)數(shù)量關系列出函數(shù)關系式；

(2)根據(jù)工期比原計劃提前了100天列出方程.

【考點4】反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合

【例4】(2020?四川綿陽?中考真題)如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)y=&(k

x

V0)的圖象在第二象限交于A(-3,m),B(n,2)兩點.

⑴當m=l時，求一次函數(shù)的解析式；

⑵若點E在x軸上，滿足NAEB=90。，且AE=2-m,求反比例函數(shù)的解析式.

【分析】

(1)將點A坐標代入反比例函數(shù)解析式中求出A,進而得出點B坐標，最后用待定系數(shù)法求出直線A3的解

析式；

(2)先判斷出班'=A￡，進而得出DAEG@RtDBFG(AAS),得出AG=8G,EG=FG，即

22

BE=BG+EG=AG+FG=A尸，再求出機=-一〃，進而得出BF=2+-n,MN=〃+3,即BE=AF=〃+3,

33

MFAF214

再判斷出D4WESD硒8,得出山=生=[,得出ME=qBN=g,最后用勾股定理求出機，即可得出

BNBE333

結(jié)論.

【詳解】

解：(1)當加=1時，點4-3,1),

???點A在反比例函數(shù)y=的圖象上，

x

「"=-3x1=—3,

3

???反比例函數(shù)的解析式為y=-一；

x

3

???點8(〃,2)在反比例函數(shù)y二——圖象上，

x

\2/2=-3,

2

I-3a+b=1

設直線A3的解析式為產(chǎn)?+匕，則：31.

i----a+b-2

t2

,1-1

??13,

\b=3

2

直線AB的解析式為y=-x+3；

(2)如圖，過點A作AMJ.x軸于加，過點3作BN1.X軸于N,過點A作AF_L于F,交BE于G,

則四邊形AAWE是矩形，

\FN=AM,AF=MN，

QA(-3,/n),B(n,2),

\BF=2-m,

QAE=2-tn,

:.BF=AE，

I?AGE?BGF(對頂角相等)

在△4￡6和的R7中，k'AEG?BFG90?,

j>4E=BF

\DAEG@RtDBFG(AAS),

AG=BG,EG=FG,

\BE=BG+￡G=AG+FG=AF,

???點A(—3,m),B(〃,2)在反比例函數(shù)>=幺的圖象匕

X

\k=-3/n=2n,

3

2

\BF=BN-FN=BN-AM=2-m=2+一〃,MN=n-(-3)=〃+3,

3

\BE=AF=〃+3,

Q?A￡MIMAE90?,1AEM?BEN90?,

\MAE2NEB,

Q?AME?ENB90?,

\DAMEsDENB,

2+—n

??.ME_AE_2-m_3_2,

而一~BE~n+3-n+33

\ME=-BN=-，

33

222

在RtDAME中，AM=m,AE=2-mt根據(jù)勾股定理得，AM+ME=AE?

\nr+(—)2=(2-tri)1,

\、m=—5,

9

\k=-3m=--,

3

???反比例函數(shù)的解析式為y=-^-.

3x

【點睛】

本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和

性質(zhì)，構(gòu)造出DAEG@D8FG(A4S)是解本題的關鍵.

4

【變?yōu)槿?】(2020?江蘇徐州?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，函數(shù)y=1(x>0)與y=x-l的圖

像交于點P(a,b),則代數(shù)式!-?的值為()

ab

【答案】C

【分析】

把P(“，8)代入兩解析式得出力一。和a。的值，整體代入工一工="區(qū)即可求解C

abab

【詳解】

:函數(shù)y(x>0)與y=x-l的圖像交于點p(a,h),

X

:.b=_,b=a-l,即"=4,b-a=-l,

a

11b—a1

-----=-----=—.

ahah4

故選：C.

【點睛】

本題考查了代數(shù)式的求值以及反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標同時

滿足兩個函數(shù)的解析式.

【變?nèi)松?】(2020?柳州市柳林中學中考真題)如圖，平行于y軸的直尺(部分)與反比例函數(shù)y=—(x>0)

x

的圖象交于A、C兩點，與x軸交于8、D兩點,連接AC,點4、8對應直尺上的刻度分別為5、2,直尺

的寬度80=2,08=2.設直線AC的解析式為7=履+瓦

(D請結(jié)合圖象，直接寫出：

①點A的坐標是;

②不等式kx+b>-的解集是；

X

(2)求直線AC的解析式.

39

【答案】(1)①(2,3)；②2〈犬<4；(2)、=一二工+彳.

■42

【分析】

(1)①根據(jù)點A、8對應直尺上的刻度分別為5、2,08=2.即可求得A的坐標；②根據(jù)題意C的橫坐標為

m

4,根據(jù)圖象即可求得不等式丘+。>一的解集；

x

(2)根據(jù)待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的解析式，進而求得C的坐標，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線AC

的解析式.

【詳解】

解：⑴①???直尺平行于y軸，48對應直尺的刻度為5、2,且。8=2,

；.A(2,3)；

②,??直尺的寬度8。=2,08=2,

???C的橫坐標為4,

.?.不等式依+Z,>%的解集是2VxV4,

X

故答案為(2,3)；2<x<4:

(2)???A在反比例函數(shù)y=一圖象上，

x

.,."?=2X3=6,

，反比例解析式為y=9,

X

A

???c點在反比例函數(shù)y=—圖象上，

x

??Vc=一,

2

AC(4,-),

2

f3

3=2k+bk=--

4

將A、C代入y—kx+b有3，解得

—=4k+b,9n

2h=—

[2

39

二直線AC解析式：y——xH—.

42

【點睛】

本題考查待定系數(shù)法求解析式、利用函數(shù)解不等式，掌握待定系數(shù)法求解析式是解題的關鍵.

【考點5]反比例函數(shù)與幾何綜合

[例5](2020?貴州黔南?中考真題)如圖，正方形ABC。的邊長為10,點A的坐標為(-8,0),點B在y

軸上，若反比例函數(shù)曠=^(左=0)的圖象過點C,則該反比例函數(shù)的解析式為

12

【答案】y=一

X

【分析】

過點C作軸于點E,由"AAS”可證名A5CE,進而得CE=OB=6,BE=AO=8,可求

點C坐標，即可求解.

【詳解】

解：如圖，過點C作軸于E,

?.?四邊形A3CD是正方形，

AB=BC=10,ZABC=90°,

-■?OB=y]AB2-AO2=V100-64=6，

?；ZABC=NAOB=90。，

/.ZABO+ZCBE=90°,ZABO+ZBAO=90°,

ZBAO=ZCBE,

又：ZAOB=ZBEC=90°,

：.^ABO^BCE(AAS),

CE=OB=6,BE=AO=8,

：.OE=2,

.?.點C(6,2),

k

v反比例函數(shù)y=—(2w0)的圖象過點c,

x

/.k=6x2=12,

反比例函數(shù)的解析式為y=—,

X

故答案為：y=—.

X

【點睛】

本題主要是考查正方形的性質(zhì)及反比例函數(shù)，關鍵是通過正方形的性質(zhì)構(gòu)造三角形全等，進而得到點C的

坐標，然后根據(jù)求解反比例函數(shù)解析式的知識進行求解即可.

【支45-1】(2019?遼寧中考真題)如圖，在平面直角坐標系X。)，中，點A(3,2)在反比例函數(shù)y=K(x>0)

X

的圖象上，點B在。4的延長線上，8C_Lx軸，垂足為C,BC與反比例函數(shù)的圖象相交于點O,連接AC,

AD.

⑴求該反比例函數(shù)的解析式；

3

⑵若59=不，設點C的坐標為5,0),求線段BO的長?

【答案】(l)y=9：(2)3

x

【解析】

【分析】

V

(1)把點人(3,2)代入反比例函數(shù)丫=—,即可求出函數(shù)解析式；

x

(2)直線OA的關系式可求，由于點C(a,0),可以表示點B、D的坐標，根據(jù)

3

SAACD=-,建立方程可以解出a的值，進而求出BD的長.

2

【詳解】

解:

X

「?攵=3x2=6,

反比例函數(shù)y=一；

x

答：反比例函數(shù)的關系式為：y=9；

X

⑵過點A作垂足為E,連接AC,

2

設直線Q4的關系式為y="，將43,2）代入得，k=~,

2

工直線Q4的關系式為y=§尤，

?點把x=〃代入y=2九，得：y=-a,把工=。代入y=9,得:y=—,

33xa

22

*?*8（。,一。）），即BC=—ci,

33

D（a,~）,即CD=：

aa

,?^AACD=，

.\-CD?EC=-,即,、9乂（4-3）=3,解得：a=6,

222a2

/.BD=BC-CD=-a--=3；

3a

答：線段8。的長為3.

【點睛】

考查正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，將點的坐標轉(zhuǎn)化為線段的長，利用方程求出所

設的參數(shù)，進而求出結(jié)果是解決此類問題常用的方法.

【變?nèi)?-2］（2020?山東濟南?中考真題）如圖，矩形0ABe的頂點A,C分別落在x軸，y軸的正半軸上,

tI

頂點5（2,2百），反比例函數(shù)y=-（x〉0）的圖象與5C,AB分別交于O,E,50=：

X2

(1)求反比例函數(shù)關系式和點E的坐標；

(2)寫出OE與AC的位置關系并說明理由；

(3)點F在直線AC上，點G是坐標系內(nèi)點，當四邊形BCTG為菱形時，求出點G的坐標并判斷點G是否

在反比例函數(shù)圖象上.

備用圖

【答案】(l)y=￥，E2,苧［；(2)OE〃AC,理由見解析；(3)點G的坐標為(3,6)或(1,3g),這

兩個點都在反比例函數(shù)圖象上

【分析】

(1)求出。(一，2^/3).再用待定系數(shù)法即可求解；

2

(2)證明歿=毀，即可求解；

ABBC

(3)①當點F在點C的下方時，求出FH=1,CH=y/j,求出點尸(1,J5)，則點G(3,⑶,即可求解:

②當點F在點C的上方時，同理可解.

【詳解】

解:(1)VB(2,2上),則8c=2,

而BD=—,

2

13..3/—

CD=2--=一，故點D(—,25/3)?

222

K

將點。的坐標代入反比例函數(shù)表達式得：2^=3,解得仁3百，

T

故反比例函數(shù)表達式為￥=邁，

X

當x=2時，y=-,故點E(2,空);

22

⑵由（1）知，0（-,273）.點E（2,邁），點8（2,2百）,

22

1立-

則_

。6-

.‘

22

?1￡

1-

BD-4EB18D

故--2--===-

8一C-?-A-B4-B-C

2

：.DE//AC；

（3）①當點F在點C的下方時，如下圖,

過點尸作尸軸于點”，

四邊形BCFG為菱形，則BC=CF=FG=BG=2,

在RT^OAC中，OA=8C=2,OB=AB=2y/3.

AO2G

則tanZOCA=---=-T==——，故NOCA=30。，

CO2V33

則FH=—FC=1,CH=CF，cosN0CA=2x蛇=也,

22

故點F（l,G），則點G（3,⑺），

當x=3時，尸地=也,故點G在反比例函數(shù)圖象上;

X

②當點尸在點C的上方時，

同理可得，點G（l,3石），

同理可得，點G在反比例函數(shù)圖象上；

綜上，點G的坐標為（3,、回）或（1，36），這兩個點都在反比例函數(shù)圖象上.

【點睛】

本題主要考查反比例函數(shù)，解題關鍵是過點F作軸于點H.

壓軸精練

1.（2020?遼寧營口?中考真題）反比例函數(shù)y=L（xVO）的圖象位于（）

x

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【分析】

根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和x的取值范圍，可以解答本題.

【詳解】

解：?.?反比例函數(shù)y=L（xV0）中，21>0,

x

該函數(shù)圖象在第三象限，

故選：C.

【點睛】

本題考查反比例函數(shù)的圖象,關鍵在于熟記反比例函數(shù)圖象的性質(zhì).

2.（2020?山東淄博?中考真題）如圖，在直角坐標系中，以坐標原點0（0,0）,A（0,4）,B（3,0）為頂點的

RtAAOB,其兩個銳角對應的外角角平分線相交于點P,且點P恰好在反比例函數(shù)y=七的圖象上，則k

【答案】A

【詳解】

過P分別作AB、x軸、y軸的垂線，垂足分別為C、D、E,如圖，利用勾股定理計算出AB=5,根據(jù)角平

分線的性質(zhì)得PE=PC=PD,設P（t,t）,利用面積的和差得至^^-'1*（.4）+上乂5'1+!*1*（1-3）+工*3乂4

2222

=txt,求出t得到P點坐標，然后把P點坐標代入y=K中求出k的值.

X

【解答】解：過P分別作AB、x軸、y軸的垂線，垂足分別為C、D、E,如圖,

VA(O,4),B(3,0),

/.OA=4,OB=3,

AB=+42=5,

VAOAB的兩個銳角對應的外角角平分線相交于點P,

???PE=PC,PD=PC,

???PE=PC=PD,

設P(t,t),則PC=t,

,**SAPAE+SAPAB+SA..PBD+SAOAB=S矩形PEOD,

.?.Axtx(t-4)+—x5xt+-=-xtx(t-3)+—x3x4=txt,

2222

解得t=6,??.p(6,6),

把P(6,6)代入y=K得k=6x6=36.

x

故選：A.

【點評】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征：反比例函數(shù)圖象上點的坐標滿足其解析式.也考查了

角平分線的性質(zhì)和三角形面積公式.

3.(2020?天津中考真題)若點A(x“—5),3(々,2),。(4,5)都在反比例函數(shù)y=W的圖象上，貝！|不冬,占的

x

大小關系是()

A.x}<x2<x3B.x2<x3<x,C.x,<x,<x2D.x3<<x2

【答案】c

【分析】

因為A,B,C三點均在反比例函數(shù)上，故可將點代入函數(shù)，求解%,々，毛，然后直接比較大小即可.

【詳解】

將A,B,C三點分別代入y=L,可求得％=-2,%，=5,也=2,比較其大小可得：玉V&Vx”

x

故選：C.

【點睛】

本題考查反比例函數(shù)比較大小，解答本類型題可利用畫圖并結(jié)合圖像單調(diào)性判別，或者直接代入對應數(shù)值

求解即可.

4.（2020?上海中考真題）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（2,-4）,那么這個反比例函數(shù)的解析式是（）

2288

A.y=_B.y=-----C.y=—D.y=-----

XXXX

【答案】D

【分析】

設解析式產(chǎn)代入點（2,一4）求出我即可.

X

【詳解】

解：設反比例函數(shù)解析式為y=-，

X

將（2,-4）代入,-4=-,

2

解得：A=-8,

Q

所以這個反比例函數(shù)解析式為＞=--.

X

故選：D.

【點睛】

本題主要考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，求反比例函數(shù)解析式只需要知道其圖像上一點的坐標即可.

5.（2020?黑龍江大慶?中考真題）已知正比例函數(shù)y=和反比例函數(shù)y=&,在同一直角坐標系下的圖象

A.①②B.①④C.②③D.③④

【答案】B

【分析】

根據(jù)正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象逐一判斷即可.

【詳解】

解：觀察圖像①可得勺>0,網(wǎng)>0,所以人人>0,①符合題意；

觀察圖像②可得仁<0,e>0,所以女他<0,②不符合題意；

觀察圖像③可得勺>0,&<0,所以上色2<0,③不符合題意；

觀察圖像④可得《<0/2<0,所以女總>0,④符合題意；

綜上，其中符合匕山2>0的是①④，

故答案為：B.

【點睛】

本題考查的是正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像，當1<>0時?，正比例函數(shù)和反比例函數(shù)經(jīng)過一、三象限，當

kVO時，正比例函數(shù)和反比例函數(shù)經(jīng)過二、四象限.

6.（2020?遼寧營口?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，的邊。4在x軸正半軸上，其中NO45

=90°,AO=AB,點C為斜邊05的中點，反比例函數(shù)y=&（A>0,x>0）的圖象過點C且交線段48于

x

3

點。，連接。，OD,若SAOCD=二，則a的值為（）

2

2

【答案】C

【分析】

mmI

根據(jù)題意設，〃），則A（〃?，0）,C（一,一）,D（m,-m）,然后根據(jù)SV）=SACO￡+S梯形AQCE-S"o/）

224

=S悌形A/）C￡,得到77（—十—）,（，〃-彳加）=—,即可求得女=絲-=2.

242224

【詳解】

解：根據(jù)題息設5（/小tn）,則A（"z,0）,

?.?點C為斜邊。5的中點，

?mm、

AC（—,—）,

22

?.?反比例函數(shù)y=&U>0,

x>0）的圖象過點C,

x

.mmm2

??k=—x——=——,

224

??./OA8=90°,

的橫坐標為〃z,

???反比例函數(shù)y=&U>0,

x>0）的圖象過點。,

???。的縱坐標為;,

4

作CE_Lx軸于E,

=

?「SACOD=S&COE+S就杉ADCE-S^AODS梯杉AOCE，S&OCD=-，

2

131ntITI13

—（AD+CE）*AE=-,即一（—H----）?