歷年高中數(shù)學聯(lián)賽真題分類匯編41平面解析幾何

1/2歷年高中數(shù)學聯(lián)賽真題分類匯編專題41平面解析幾何第一緝1．【2021年福建預賽】已知離心率為62的雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,P【答案】22【解析】解法一：由題意可得c=62在△F1PF2如圖，不妨設點P在雙曲線右支上，△PF1F2的內(nèi)切圓I切x軸于點D,則由雙曲線性質知,D則tan∠IF又∠IF1因此,tan∠IF將c=62a結合r>0,解得r=2?2所以,Rr=解法二:依題意,c=62記PF1=r1,PF在△PF12R=r所以,R=2a2a=r=22=22=22=22因此,cos∠PF又0°所以,∠PF1r2△PF1F2△PF1F2的面積S=12r所以,Rr=2．【2021年重慶預賽】過拋物線E:y2=2x的焦點F作兩條斜率之積為?12的直線l1,l2,其中l(wèi)1交E于A,C兩點,l2【答案】182【解析】設直線的傾斜角分別為α,β,則tanαtan從而|AC|+2|BD|=2sin≥28tan當且僅當|tanβ|=3．【2021年廣西預賽】設點P在橢圓x25+y2=1上，F(xiàn)1,F2是該橢圓的兩個焦點，若△F【答案】π3【解析】設∠F1PF2=θ,PF14．【2021年全國高中數(shù)學聯(lián)賽A卷一試】在平面直角坐標系xOy中,拋物線Γ:y2=2pxp>0的焦點為F,過Γ上一點P(異于O)作Γ的切線,與y軸交于點Q.若FP【答案】3【解析】設P(t22p,t)(t≠0)，則Γ的切線令x=0得y=t2,故Q0,t2結合FP=2,FQ=1可分別得5．【2021年全國高中數(shù)學聯(lián)賽B卷一試】在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線y=ax2?3x+3a≠0【答案】?【解析】對拋物線y=ax有y0=ax設點x0,y0關于直線由y1+y因x1,y1在拋物線這等價于y0=12p由點x0,y0取法的任意性,比較①、因此有3=mp故依次可得p=2,a=16．【2020高中數(shù)學聯(lián)賽B卷（第01試）】在平面直角坐標系xOy中,圓Ω經(jīng)過點(0,0),(2,4),(3,3),則圓Ω上的點到原點的距離的最大值為 【答案】2【解析】記A(2,4),B(3,3),圓Ω經(jīng)過點O,A,B.注意到∠OBA=90°(直線OB與AB的斜率分別為1和?1),故OA為圓Ω的直徑.從而圓Ω上的點到原點O的距離的最大值為|OA|=257．【2020年福建預賽】設F1,F2為雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點,過F2的直線l【答案】173【解析】如圖4,設AF依題意有BF|AB|=3ι,AF1BF由AF1?AF則AF?(2a+t)?t=28．【2020年甘肅預賽】已知橢圓y24+x2=1,P為橢圓上的任意一點,過點P分別作與l1:y=2x和l2:y=?2x平行的直線分別與直線l2,【答案】2【解析】如圖5.設Px于是,平行于l1,l2l4:y=?2由2x?2x?x由?2x+2x?xN故MN2=1又14yP2+從而,MN?2,當P(1,0)或(?1,0)時,MN=2.9．【2020年廣西預賽】已知O為坐標原點,曲線C1:x2?y2=1與曲線C2:y2=2px交于點M、N.若【答案】y2【解析】如圖2,設點M(x0T為MN與x軸的交點.則T(x因為O、M、P、N四點共圓,所以,由相交弦定理得OT?TP=MT?TN?x0解得x0=y0代人曲線C1的方程得(?32p2解得p=158(舍去)或故曲線C2的方程為y10．【2020年吉林預賽】設橢圓x24+y23=1的左焦點為F,過(1,1)的直線l與橙圓交于點A、B.當△FAB的周長最大時,【答案】3【解析】設F1FA+FB+AB=2a?F=4a?(F1上式取等號時,l過點F1.于是,l與x軸垂直,此時,S11．【2020年浙江預賽】某竹竿長為24米,一端直在墻上,另一端落在地面上.若竹竿上某一節(jié)點到墻的垂直距離和到地面的垂直距離均為7米,則此時竹竿靠在墻上的端點到地面的垂直距離為 或 .【答案】16±42【解析】如圖2,設lAB:y=k(x?7)+7則A(0,7?7k),B(7?7k故(7?7k)2?k?(k+?k+1?k+1?k=?9?7(1?k)=7(16712．【2020年重慶預賽】已知⊙O:x2+y2=5與拋物線C:y2=2px(p>0)交于點A(x0,2),AB為⊙O的直徑,過點B【答案】2【解析】易知，點A(1,2),B(?1,?2).設D(x1由B、D、E三點共線?y?y?k=1613．【2020年新疆預賽】直線x?2y?1=0與拋物線y2=4x交于A,B兩點,C為拋物線上的一點,∠ACB=90°,則點C的坐標為【答案】(1,?2)或(9,?6)【解析】設A(x1,y1),B(x2,y2),C(t2,2t),由x1+x1?因為∠ACB=90°,所以CA?CB=0即:t4?(即:t4?14即:(t2顯然t2?4t?1≠0,否則t2?2?2t?1=0,則點C在直線x?2y?1=0上，從而點C與點A或點B重合.所以t故所求點C的坐標為(1,?2)或(9,?6).14．【2019年全國】設A，B為橢圓Γ的長軸頂點，E，F(xiàn)為Γ的兩個焦點，|ABl=4，|AF|=2+3，P為Γ上一點，滿足|PE|?|PF|=2，則△PEF的面積為 【答案】1【解析】由題意知該橢圓可設為x2由余弦定理，PF所以cos∠15．【2019年江蘇預賽】已知與三條直線x+y=1,x+ay=2,x+2y=3都相切的圓有且只有兩個，則所有可能的實數(shù)a的值的和為 .【答案】3【解析】由題意知，這三條直線中恰有兩條平行時符合題意，故a=1或2，從而實數(shù)a的值的和為3.16．【2019年江西預賽】若△OAB的垂心恰是拋物線y2=4x的焦點,其中O是原點,A,B在拋物線上,則△OAB的面積S= .【答案】105【解析】拋物線的焦點為F(1,0),因F為△OAB的垂心,則OF⊥AB,故可設A,B的坐標為A(a2,2a),B(a2,-2a),(a>0);于是OA的方程為ay=2x,KOABF的斜率KBF=?2aa2?1,據(jù)所以SΔOAB17．【2019年內(nèi)蒙古預賽】已知(a,b),(c,d),(x,y)是圓心在原點的單位圓上三個點的坐標,則(ax+by?c)2+(bx?ay+d)2【答案】4【解析】原式=18．【2019年浙江預賽】設三條不同的直線:l1:ax+2by+3(a+b+1)=0，l3:(a+b+1)x+2ay+3b=0，則它們相交于一點的充分必要條件為 【答案】a+b=?【解析】設c=a+b+1，設三條直線相交于點x,y，則有ax+2by+3c=0bx+2cy+3a=0消去x,y得a3+b把c=a+b+1代入得2a+2b+1(a?b)當a?b2+b+1所以2a+2b+1=0，解得a+b=?1反之，當a+b=?119．【2019年重慶預賽】已知△ABC為橢圓x29+y24=1【答案】16【解析】經(jīng)伸縮變換x=3Xy=2Y得△A'B'C'S△ABC=6S△A'B'C'，設O'距A'B'的距離為t，則0≤t≤1320．【2019年福建預賽】已知橢圓C1:x2a2+y2b2=1?(a>b>0)與雙曲線C2:x2m2?y2【答案】2【解析】設雙曲線的焦距為2c.則依題意，有PF由PF1=2a?2c>PF又e∴?設1-2e1=t，則t∈0,由f(t)=12t+1t?1在區(qū)間0,1∴e2?e21．【2019年廣西預賽】已知點P(?2,5)在圓C:x2+y2?2x?2y+F=0上,直線l:3x+4y+8=0與圓C相交于A、B【答案】?32【解析】依題意有F=?23?圓C:(x-1)2+(y-1)2=25記AB中點為D,AC中點為E,則AB又CD=|3+4+8|5則有cos∠ACB=2故B所以AB22．【2019年吉林預賽】若直線2x+y-2=0與直線x+myー1=0互相垂直,則點P(m,m)到直線x+y+3=0的距離為 .【答案】2【解析】直線2x+y?2=0的斜率為k1=?2.直線x+my-1=0的斜率為k2=?123．【2019高中數(shù)學聯(lián)賽A卷（第01試）】設A、B為橢圓Γ的長軸頂點，E、F為Γ的兩個焦點，|AB|=4，|AF|=2+3，P為上一點，滿足|PE|?|PF|=2，則△PEF的面積為 【答案】1【解析】不妨設平面直角坐標系中的標準方程為x2根據(jù)條件得2a=|AB|=4，a±a2?b2且由橢圓定義知|PE|+|PF|=2a=4，結合|PE|?|PF|=2得|PE|所以∠EPF為直角，進而S△PEF24．【2019高中數(shù)學聯(lián)賽B卷（第01試）】在平面直角坐標系中，若以(r+1，0)為圓心、r為半徑的圓上存在一點(a，b)滿足b2≥4a，則r的最小值為 .【答案】4【解析】由條件知(a?r?1)2+b即a2上述關于a的一元二次不等式有解，故判別式[2(r?1)]2?4(2r+1)=4r(r?4)?0，解得經(jīng)檢驗，當r=4時，(a,b)=(3,23)滿足條件.因此25．【2018年山西預賽】若雙曲線L1的兩個焦點分別是橢圓L2:x252【答案】x【解析】橢圓的長軸頂點為A?5,0,B5,0，則其焦點在X軸上，用c1，c2分別表示L1,L2的半焦距，則c1=5，而26．【2018年江蘇預賽】圓心在拋物線x2=2y上，并且和該拋物線的準線及【答案】(x+1)【解析】拋物線x2=2y的準線方程為設所求圓的圓心為(x0,y0)，則故所求圓的方程為(x±1)2故答案為：(x+1)27．【2018年貴州預賽】己知O為△ABC所在平面上一定點，動點P滿足OP=OA+λABAB【答案】∠BAC的角平分線【解析】OP=而ABAB+AC所以λABAB+AC因此，P點的軌跡為∠BAC的角平分線．故答案為：∠BAC的角平分線28．【2018年湖南預賽】在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=3，AD=2,，CC1=1，一條繩子從點A沿表面拉到點C1，則繩子的最短的長度_______.【答案】3【解析】①沿平面A

A

1B

1B、平面

A

1B

1C

1D

1鋪展成平面，此時

AC

1=32②沿平面

AA

1D

1D、平面

A

1D

1C

1B

1鋪展成平面，此時

AC

=25③沿平面

AA

1B

1B、平面

BB

1C

1C鋪展成平面，此時

AC

1=2故繩子的最短的長為32故答案為3229．【2018年陜西預賽】如圖，已知拋物線y=2pxp>0的焦點為F，準線為l，過點F的直線與拋物線交于A,B兩點，且AB=3p.設點A,B在l上的射影為A',B'，今向四邊形【答案】1【解析】所求概率=S30．【2018年陜西預賽】如圖，已知拋物線y=2pxp>0的焦點為F，準線為l，過點F的直線與拋物線交于A,B兩點，且AB=3p.設點A,B在l上的射影為A',B'，今向四邊形【答案】1【解析】所求概率=S31．【2018年陜西預賽】如圖，已知拋物線y=2pxp>0的焦點為F，準線為l，過點F的直線與拋物線交于A,B兩點，且AB=3p.設點A,B在l上的射影為A',B'，今向四邊形【答案】1【解析】所求概率=S32．【2018年廣東預賽】已知關于x的實系數(shù)方程x2?2x+2=0和【答案】m【解析】易知方程x2?2x+2=0的兩根為當Δ=4m2?4<0，即?1<m<1時，方程x2+2mx+1=0有兩個共軛的虛根x3、x4，且x即x2將x3+x4=?2m故m的取值范圍是m?1<m<1或m=?33．【2018年廣東預賽】已知圓x2+y2=8圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（含邊界）的整點（坐標均為整數(shù)的點）數(shù)是橢圓x【答案】22≤a<23【解析】圓x2+yx2a2對任意k∈N，1≤k≤a令m是滿足上式k的最大整數(shù)，則125=5+2×=5+2a注意到2×173＜20，可得m≥17，因此125=5+2若a≥23，則由2×193<23，可知滿足條件2m因此125=5+2a+4m≥5+2×23+4×19=127，矛盾.所以若a=20，則125=5+2×20+4m?m=20，但2×203＞21，與若a=21，則125=5+2×21+4m?4m=78，不可能因此a=22，125=5+2×22+4m?m=19，不難驗證2×193故22≤a<23.故答案為：22≤a<2334．【2018年貴州預賽】函數(shù)z=