2022新高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納28等差數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和（學(xué)生版）

專題28等差數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和公式一、關(guān)鍵能力1.理解等差數(shù)列的概念；2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式；3.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題；4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系．二、教學(xué)建議從近三年高考情況來(lái)看，本講一直是高考的熱點(diǎn)．預(yù)測(cè)2022年高考將會(huì)以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為考查重點(diǎn)，也可能將等差數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)和及性質(zhì)綜合考查，題型以客觀題或解答題的形式呈現(xiàn)，試題難度一般不大，屬中檔題型.三、自主梳理 1．等差數(shù)列的定義(1)文字語(yǔ)言：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)減去前一項(xiàng)所得的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列．(2)符號(hào)語(yǔ)言：an＋1－an＝d(n∈N)．2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（☆☆☆）若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則其通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d．推廣：an＝am＋(n－m)d．3．等差中項(xiàng)（☆☆☆）如果三個(gè)數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，則A叫a和b的等差中項(xiàng)，且有A＝eq\f(a＋b,2)．4．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(1)Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d．(2)Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)．5.等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）在等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；（2）在等差數(shù)列中，相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，如：，，，，……；，，，，……；（3）在等差數(shù)列中，對(duì)任意，，，；（4）在等差數(shù)列中，若，，，且，則,特殊地，SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的等差中項(xiàng).（5）等差數(shù)列被均勻分段求和后，得到的數(shù)列仍是等差數(shù)列，即SKIPIF1<0成等差數(shù)列.（6）兩個(gè)等差數(shù)列與的和差的數(shù)列仍為等差數(shù)列．（7）若數(shù)列是等差數(shù)列,則仍為等差數(shù)列．四、高頻考點(diǎn)+重點(diǎn)題型考點(diǎn)一、等差數(shù)列的基本量例1.（2021·全國(guó)高考真題）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的n的最小值．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.（2019·江蘇高考真題）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和.若，則的值是_____.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2.（2021·上海民辦南模中學(xué)高三三模）已知等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且，則的最小值是___________.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3.中國(guó)古詩(shī)詞中，有一道“八子分綿”的數(shù)學(xué)名題：“九百九十六斤綿，贈(zèng)分八子做盤纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來(lái)言”．題意是：把996斤綿分給8個(gè)兒子作盤纏，按照年齡從大到小的順序依次分綿，年齡小的比年齡大的多17斤綿，那么第8個(gè)兒子分到的綿是()A．174斤 B．184斤C．191斤 D．201斤考點(diǎn)二、等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用例2.（2021·北京高考真題）和是兩個(gè)等差數(shù)列，其中為常值，，，，則（）A． B． C． D．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.（2019·浙江高三期末）記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則______；當(dāng)取得最大值時(shí)，______．考點(diǎn)三、前n項(xiàng)和的綜合應(yīng)用例3.【多選題】（2021·全國(guó)高三其他模擬）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則（）A．B．的前項(xiàng)和中最小C．的最小值為-49D．的最大值為0對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.（2021·湖北省直轄縣級(jí)行政單位·高三其他模擬）已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和最大.則當(dāng)時(shí)，___________.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2.（2020·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)（理））設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足S15>0，S16<0，則，，…，中最大的項(xiàng)為（）A．B．C．D．考點(diǎn)四、證明等差數(shù)列例4-1.（2021·全國(guó)高考真題（理））記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項(xiàng)公式．例4-2.（2021·全國(guó)高三其他模擬（理））已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，且，．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.（2021·全國(guó)高考真題（文））記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，且數(shù)列是等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2.【2019·全國(guó)II卷】已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，，.（I）證明：{an–bn}是等差數(shù)列；{an+bn}是等比數(shù)列，（II）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.考點(diǎn)五、數(shù)學(xué)文化小型應(yīng)用題例5.（2021·全國(guó)高三其他模擬（文））我國(guó)明代數(shù)學(xué)家程大位的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：今有鈔二百三十八貫，令五等人從上作互和減半分之，只云戊不及甲三十三貫六百文，問(wèn)：各該鈔若干？其意思是：現(xiàn)有錢238貫，采用等差數(shù)列的方法依次分給甲?乙?丙?丁?戊五個(gè)人，現(xiàn)在只知道戊所得錢比甲少33貫600文(1貫=1000文)，問(wèn)各人各得錢多少？在這個(gè)問(wèn)題中，戊所得錢數(shù)為（）A．30.8貫 B．39.2貫 C．47.6貫 D．64.4貫對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.（2021·哈爾濱市第一中學(xué)校高三三模（理））習(xí)近平總書記提出：鄉(xiāng)村振興，人才是關(guān)鍵．要積極培養(yǎng)本土人才，鼓勵(lì)外出能人返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)．為鼓勵(lì)返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，黑龍江對(duì)青山鎮(zhèn)鎮(zhèn)政府決定投入創(chuàng)業(yè)資金和開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”幫扶返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)人員．預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府每年投入的創(chuàng)業(yè)資金構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列（單位萬(wàn)元，），每年開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”投入的資金為第一年創(chuàng)業(yè)資金的倍，已知．則預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計(jì)總投入資金的最大值為（）A．72萬(wàn)元 B．96萬(wàn)元 C．120萬(wàn)元 D．144萬(wàn)元鞏固訓(xùn)練一、單項(xiàng)選擇題1．在等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a5＝3a3，則a3等于()A．－2B．0C．3D．62．在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11＝（）A．58 B．88 C．143 D．1763．是等差數(shù)列，，，則該數(shù)列前10項(xiàng)和等于（）A．64 B．100 C．110 D．1204．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則的公差為A．1 B．2C．4 D．85．程大位《算法統(tǒng)宗》里有詩(shī)云“九百九十六斤棉，贈(zèng)分八子做盤纏．次第每人多十七，要將第八數(shù)來(lái)言．務(wù)要分明依次弟，孝和休惹外人傳．”意為：996斤棉花，分別贈(zèng)送給8個(gè)子女做旅費(fèi)，從第一個(gè)開始，以后每人依次多17斤，直到第八個(gè)孩子為止．分配時(shí)一定要等級(jí)分明，使孝順子女的美德外傳，則第八個(gè)孩子分得斤數(shù)為()A．65B．176C．183D．1846．已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝－2018，eq\f(S2019,2019)－eq\f(S2013,2013)＝6，則S2020＝________.二、多項(xiàng)選擇題7．設(shè){an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，且S5<S6，S6＝S7>S8，則下列結(jié)論正確的是()A．d<0 B．a(chǎn)7＝0C．S9>S5 D．S6與S7均為Sn的最大值8．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，公差d≠0，．記b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式成立的是（）A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D．三、填空題9．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2a4a6a8=120，且+++=，則S9的值為．10．已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=a，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足=3n2an+，an≠0，n≥2，n∈N*，那么a=．11．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，當(dāng)整數(shù)n≥2時(shí)，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立，則S15＝________．12．設(shè)等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn，若對(duì)任意自然數(shù)n都有eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n－3,4n－3)，則eq\f(a9,b5＋b7)＋eq\f(a3,b8＋b4)的值為________．二、解答題13．已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a3·