新高考數(shù)學高頻考點題型歸納23解三角形應用（教師版）

專題23解三角形應用一、關鍵能力1．正余弦定理在應用題中的應用．2．能準確地建立數(shù)學模型，并能運用正余弦定理等知識和方法解決一些與測量學、力學、運動學及幾何計算有關的實際問題．二、教學建議從近三年高考情況來看，本講是高考中的一個考查內容．預計2022年會強化對應用問題的考查．以與三角形有關的應用問題為主要命題方向，結合正、余弦定理求解平面幾何中的基本量，實際背景中求距離、高度、角度等均可作為命題角度．試題可以為客觀題也可以是解答題，難度以中檔為主.三、自主梳理 1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型測量距離問題、高度問題、角度問題、計算面積問題、航海問題、物理問題等．2．實際問題中的常用角(1)仰角和俯角與目標線在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方的角叫仰角，目標視線在水平視線下方的角叫俯角(如圖①)．(2)方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30°，北偏西45°等．(3)方位角：指從正北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖②)．(4)坡度＝eq\f(高度,寬度)，即坡角的正切值．四、高頻考點+重點題型考點一、三角形數(shù)學文化題例1.（2021·山東省高三其他）在3世紀中期，我國古代數(shù)學家劉徽在《九章算術注》中提出了割圓術：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”.這可視為中國古代極限觀念的佳作.割圓術可以視為將一個圓內接正邊形等分成個等腰三角形(如圖所示)，當變得很大時，等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積.運用割圓術的思想，可得到sin3°的近似值為（）(取近似值3.14)A．0.012 B．0.052C．0.125 D．0.235【答案】B【解析】當時,每個等腰三角形的頂角為,則其面積為,又因為等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積,所以,故選：B對點訓練1.（2021·遼寧高三其他模擬）英國數(shù)學家約翰?康威在數(shù)學上的成就是全面性的，其中“康威圓定理”是他引以為傲的研究成果之一．定理的內容是：三角形ABC的三條邊長分別為a，b，c，分別延長三邊兩端，使其距離等于對邊的長度，如圖所示，所得六點仍在一個圓上，這個圓被稱為康威圓．現(xiàn)有一邊長為2的正三角形，則該三角形生成的康威圓的面積是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由“康威圓定理”可知的康威圓圓心即為三角形內切圓的圓心，正三角形內切圓的圓心即為中心，據(jù)此可得圓的半徑，進一步可求其面積.【詳解】康威圓的圓心即為三角形內切圓的圓心，正三角形內切圓的圓心即為中心，所以其康威圓半徑為，故面積為．故選:C.對點訓練2.（2021·浙江高考真題）我國古代數(shù)學家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖所示).若直角三角形直角邊的長分別是3，4，記大正方形的面積為，小正方形的面積為，則___________.【答案】25【解析】分別求得大正方形的面積和小正方形的面積，然后計算其比值即可.【詳解】由題意可得，大正方形的邊長為：，則其面積為：，小正方形的面積：，從而.故答案為：25.對點訓練3.（2021·全國高考真題（理））魏晉時劉徽撰寫的《海島算經》是關測量的數(shù)學著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（）A．表高 B．表高C．表距 D．表距【答案】A【解析】利用平面相似的有關知識以及合分比性質即可解出．【詳解】如圖所示：由平面相似可知，，而，所以，而，即＝．故選：A.考點二、平面圖形的實際應用海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被譽為“地球給人類保留宇宙秘密的最后遺產”，我國擁有世界上已知最深的海洋藍洞．若要測量如圖所示的海洋藍洞的口徑(即A，B兩點間的距離)，現(xiàn)取兩點C，D，測得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，則圖中海洋藍洞的口徑大小為．【解析】由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，由正弦定理得AC＝eq\f(80sin150°,sin15°)＝eq\f(40,\f(\r(6)－\r(2),4))＝40(eq\r(6)＋eq\r(2))．在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°，由正弦定理eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，得BC＝eq\f(CDsin∠BDC,sin∠CBD)＝eq\f(80×sin15°,\f(1,2))＝40(eq\r(6)－eq\r(2))．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1600×(8＋4eq\r(3))＋1600×(8－4eq\r(3))＋2×1600×(eq\r(6)＋eq\r(2))×(eq\r(6)－eq\r(2))×eq\f(1,2)＝1600×16＋1600×4＝1600×20＝32000，解得AB＝80eq\r(5).故圖中海洋藍洞的口徑為80eq\r(5).【答案】80eq\r(5)對點訓練1.（2021·永豐縣永豐中學）為了測量河對岸兩點C，D間的距離，現(xiàn)在沿岸相距的兩點A，B處分別測得，，則間的距離為________.【答案】2【解析】在和中應用正弦定理求得，然后在中應用余弦定理可求得結果【詳解】解：在中，由正弦定理得，即，得，在中，由，所以為等邊三角形，,在中，，由余弦定理得，所以，故答案為：2對點訓練2.（2021·合肥一六八中學高三其他模擬（文））“湖畔波瀾飛，耕耘戰(zhàn)鼓催”，合肥一六八中學的一草一木都見證了同學們的成長．某同學為了測量瀾飛湖兩側C，D兩點間的距離，除了觀測點C，D外，他又選了兩個觀測點，且，已經測得兩個角，由于條件不足，需要再觀測新的角，則利用已知觀測數(shù)據(jù)和下面三組新觀測的角的其中一組，就可以求出C，D間距離的有（）組

①和；②和；③和A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】由已知條件結合正余弦定理，可判斷所選的條件是否可以求出.【詳解】由，，∴可求出、，①和：△中，即可求；②和：可求、，則在△中求；③和：可求，則在△中，即可求；∴①②③都可以求.故選：D考點三、立體圖形的實際應用例3.（2021·全國高考真題（理））2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，．由C點測得B點的仰角為，與的差為100；由B點測得A點的仰角為，則A，C兩點到水平面的高度差約為（）（）A．346 B．373 C．446 D．473【答案】B【解析】通過做輔助線，將已知所求量轉化到一個三角形中，借助正弦定理，求得，進而得到答案．【詳解】過作，過作，故，由題，易知為等腰直角三角形，所以．所以．因為，所以在中，由正弦定理得：，而，所以，所以．故選：B．對點訓練1..（2021·黑龍江哈爾濱市·哈爾濱三中高三其他模擬（理））某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型”氣象觀測儀器的垂直彈射高度：在處（點在水平地面的下方，為與水平地面的交點）進行該儀器的垂直彈射，水平地面上兩個觀察點，兩地相距100米，，其中到的距離比到的距離遠40米．地測得該儀器在處的俯角為，地測得最高點的仰角為，則該儀器的垂直彈射高度為（）A．210米 B．米 C．米 D．420米【答案】C【解析】在中利用余弦定理求出，進而在中可求出，再在中求出，即可得解．【詳解】設，所以，在中，，，所以，，即，．在中，，所以，又在中，，所以，因此．故答案為：C．對點訓練2.（2021·山東省青島第一中學高一期中）如圖所示，為測量山高選擇A和另一座山的山頂為測量觀測點，從A點測得點的仰角點的仰角以及從點測得，若山高米，則山高等于（）A．米 B．米C．米 D．米【答案】A【解析】在中，可求得AC，根據(jù)正弦定理，在中，可求得AM，在中，即可求得答案.【詳解】因為在中，，，所以，在中，，由正弦定理得：，即，所以，在中，，所以（米）故選：A對點訓練3.（2021·北京高三其他模擬）魏晉南北朝(公元)時期，中國數(shù)學在測量學取得了長足進展.劉徽提出重差術，應用中國傳統(tǒng)的出入相補原理，通過多次觀測，測量山高水深等數(shù)值，進而使中國的測量學達到登峰造極的地步，超越西方約一千年，關于重差術的注文在唐代成書，因其第一題為測量海島的高度和距離(圖1)，故題為《海島算經》受此題啟發(fā)，小清同學依照此法測量奧林匹克公園奧林匹克塔的高度和距離(示意圖如圖2所示)，錄得以下是數(shù)據(jù)(單位：米)：前表卻行，表高，后表卻行，表間.則塔高__________米，前表去塔遠近__________米.【答案】246122【解析】根據(jù)相似三角形的性質計算可得；【詳解】解：依題意可得，，所以，又，，所以，解得，所以故答案為：；；考點四、與速度有關的實際應用題例4.（高考真題）如圖，在某海濱城市O附近的海面上正形成臺風.據(jù)氣象部門檢測，目前臺風中心位于城市O的南偏東15°方向200km的海面P處，并以10km/h的速度向北偏西75°方向移動.如果臺風侵襲的范圍為圓心區(qū)域，目前圓形區(qū)域的半徑為100km，并以20km/h【答案】4.1小時．【解析】根據(jù)題意可設t小時后臺風中心到達A點，該城市開始受到臺風侵襲，如圖ΔPAO中，PO=200，PA=10t，AO=100+20t由余弦定理得，100+20t2=100t化簡得t2+20解得t=102答：大約4.1小時后該城市開始受到臺風的侵襲.對點訓練1.（2021·四川成都市·成都七中高一期中）如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西勻速行駛，在公路北側遠處一座高900米的山頂D的測得點A的在東偏南方向上過一分鐘后測得點B處在山頂?shù)氐臇|偏南方向上，俯角為，則該車的行駛速度為（）A．15米/秒 B．15米/秒C．20米/秒 D．20米/秒【答案】A【解析】根據(jù)題意可得，再除以時間即可得解.【詳解】根據(jù)題意，由B處在山頂俯角為，所以，由A東偏南，B東偏南，所以，所以為等腰三角形，所以，由，所以速度為米/秒，故選：A對點訓練2.游客從某旅游景區(qū)的景點A處至景點C處有兩條線路．線路1是從A沿直線步行到C，線路2是先從A沿直線步行到景點B處，然后從B沿直線步行到C．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處同時出發(fā)勻速步行，甲的速度是乙的速度的eq\f(11,9)倍，甲走線路2，乙走線路1，最后他們同時到達C處．經測量，AB＝1040m，BC＝500m，則sin∠BAC等于．【解析】依題意，設乙的速度為xm/s，則甲的速度為eq\f(11,9)xm/s，因為AB＝1040m，BC＝500m，所以eq\f(AC,x)＝eq\f(1040＋500,\f(11,9)x)，解得AC＝1260m.在△ABC中，由余弦定理得，cos∠BAC＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(10402＋12602－5002,2×1040×1260)＝eq\f(12,13)，所以sin∠BAC＝eq\r(1－cos2∠BAC)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2)＝eq\f(5,13).【答案】eq\f(5,13)Q鞏固訓練一、填空題1．為了在一條河上建一座橋，施工前在河兩岸打上兩個橋位樁A，B(如圖)，要測量A，B兩點的距離，測量人員在岸邊定出基線BC，測得BC＝50m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°．就可以計算出A，B兩點的距離為____________．A．20eq\r(2)m B．30eq\r(2)m C．40eq\r(2)m D．50eq\r(2)m答案：D解析：由正弦定理得，則AB＝50eq\r(2)(m)．2．2021·合肥一六八中學高三其他模擬（文））南宋數(shù)學家秦九韶著有《數(shù)書九章》，創(chuàng)造了“大衍求一術”，被稱為“中國剩余定理”．他所論的“正負開方術”，被稱為“秦九韶程序”．世界各國從小學、中學到大學的數(shù)學課程，幾乎都接觸到他的定理、定律和解題原則．科學史家稱秦九韶：“他那個民族、他那個時代，并且確實也是所有時代最偉大的數(shù)學家之一”．在《數(shù)書九章》中提出“三斜求積術”，即以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上：以小斜冪乘大斜幫，減上，余四約之，為實：一為從隅，開平方得積可用公式（其中a，b，c，S為三角形的三邊和面積）表示．在中，a，b，c分別為角A、B、C所對的邊，若，且則面積的最大值為______．【答案】【解析】利用余弦定理化簡已知條件得到的關系式，將的關系式代入所給的面積公式中，將面積轉化為關于的函數(shù)形式，根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸求解出面積的最大值即可.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，所以當時，有最大值為，故答案為：.3．如圖，一艘船上午9：30在A處測得燈塔S在它的北偏東30°處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75°處，且與它相距8eq\r(2)nmile．此船的航速是__________nmile/h．A．16 B．32 C．64 D．128答案：B解析：設航速為vnmile/h，在△ABS中，AB＝eq\f(1,2)v，BS＝8eq\r(2)nmile，∠BSA＝45°，由正弦定理，得eq\f(8\r(2),sin30°)＝eq\f(\f(1,2)v,sin45°)，∴v＝32nmile/h．4．某漁輪在航行中不幸遇險，發(fā)出呼叫信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁輪在方位角為45°距離為10海里的C處，并測得漁輪正沿方位角為105°的方向，以9海里/小時的速度向小島靠攏，我海軍艦艇立即以21海里/小時的速度前去營救，則艦艇靠近漁輪所需的時間為____________小時．A．eq\f(1,2) B．eq\f(2,3) C．eq\f(3,4) D．1答案：B解析：如圖，設艦艇在B′處靠近漁輪，所需的時間為t小時，則AB′＝21t，CB′＝9t．在△AB′C中，根據(jù)余弦定理，則有AB′2＝AC2＋B′C2－2AC·B′Ccos120°，可得212t2＝102＋81t2＋2·10·9t·eq\f(1,2)．整理得360t2－90t－100＝0，解得t＝eq\f(2,3)或t＝－eq\f(5,12)(舍去)．故艦艇需eq\f(2,3)小時靠近漁輪．5．在△ABC中，若eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，則△ABC的形狀是________________．A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形答案：D解析：由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，又eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，所以eq\f(sinA,sinA)＝eq\f(sinB,sinB)＝eq\f(sinC,sinC)，即tanA＝tanB＝tanC，所以∠A＝∠B＝∠C，故△ABC為等邊三角形．6．如圖所示，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B、C的俯角分別為67°，30°，此時氣球的高度是46m，則河流的寬度BC約為________m．(用四舍五入法將結果精確到個位．參考數(shù)據(jù)：sin67°≈0．92，sin67°≈0．39，sin37°≈0．60，sin37°≈0．80，eq\r(3)≈1．73)A．46 B．50 C．54 D．60答案：D解析：過A點向地面作垂線，記垂足為D，則在Rt△ADB中，∠ABD＝67°，AD＝46m，∴AB＝eq\f(AD,sin67°)＝eq\f(46,0.92)＝50(m)．在△ABC中，∠ACB＝30°，∠BAC＝67°－30°＝37°，AB＝50m，由正弦定理，得BC＝eq\f(ABsin37°,sin30°)＝60(m)，故河流的寬度BC約為60m．7．某小區(qū)有一個四邊形草坪ABCD，∠B＝∠C＝120°，AB＝40m，BC＝CD＝20m，則該四邊形ABCD的面積等于__________m2．答案：500eq\r(3)解析：連結BD，在△BCD中，BC＝CD＝20，∠BCD＝120°，∴∠CBD＝30°，BD＝20eq\r(3)，S△BCD＝eq\f(1,2)×20×20×sin120°＝100eq\r(3)．在△ABD中，∠ABD＝120°－30°＝90°，AB＝40，BD＝20eq\r(3)，∴S△ABD＝eq\f(1,2)AB·BD＝eq\f(1,2)×40×20eq\r(3)＝400eq\r(3)，∴四邊形ABCD的面積是500eq\r(3)m2．8．某同學騎電動車以24km/h的速度沿正北方向的公路行駛，在點A處測得電視塔S在電動車的北偏東30°方向上，15min后到點B處，測得電視塔S在電動車的北偏東75°方向上，則點B與電視塔的距離是________km．答案：3eq\r(2)解析：如題圖，由題意知AB＝24×eq\f(15,60)＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，∴∠ASB＝45°，由正弦定理知eq\f(BS,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，∴BS＝eq\f(AB·sin30°,sin45°)＝3eq\r(2)．9．如圖，一棟建筑物的高為(30－10eq\r(3))m，在該建筑物的正東方向有一個通信塔CD．在它們之間的地面點M(B，M，D三點共線)處