新高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納13函數(shù)與數(shù)學(xué)模型（教師版）

專題13函數(shù)與數(shù)學(xué)模型一、關(guān)鍵能力1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的增長(zhǎng)特征，掌握求解函數(shù)應(yīng)用題的步驟．2.了解函數(shù)模型及擬合函數(shù)模型；在同一坐標(biāo)系中能對(duì)不同函數(shù)的圖象進(jìn)行比較．3.建立函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的)，要正確地確定實(shí)際背景下的定義域，將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題．二、教學(xué)建議1.理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具.在實(shí)際情境中，會(huì)選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律；2.結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境中的具體問題，利用計(jì)算工具，比較對(duì)數(shù)函數(shù)、一元一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異，理解“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線上升”“指數(shù)爆炸”等術(shù)語(yǔ)的現(xiàn)實(shí)含義；3.收集、閱讀一些現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)實(shí)際或者經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)模型，體會(huì)人們是如何借助函數(shù)刻畫實(shí)際問題的，感悟數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義.三、自主梳理幾類函數(shù)模型及其增長(zhǎng)差異(1)幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析：式一次函數(shù)型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)指數(shù)函數(shù)型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a＞0且a≠1)對(duì)數(shù)函數(shù)型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a＞0且a≠1)冪函數(shù)型f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)(2)指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)x0，當(dāng)x＞x0時(shí)，有l(wèi)ogax＜xn＜ax四、高頻考點(diǎn)+重點(diǎn)題型考點(diǎn)一、函數(shù)的圖像法與列表法例1-1．（閱讀函數(shù)圖像）（2020北京15）為滿足人民對(duì)美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改．設(shè)企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系為，用的大小評(píng)價(jià)在這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱．已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如下圖所示．給出下列四個(gè)結(jié)論：①在這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；②在時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；③在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都已達(dá)標(biāo)；④甲企業(yè)在，，這三段時(shí)間中，在的污水治理能力最強(qiáng)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①②③【解析】∵用來(lái)評(píng)價(jià)治污能力，而是圖像上兩點(diǎn)連線的斜率，在上，甲的治污能力比乙強(qiáng)，故①對(duì)，時(shí)刻甲比乙強(qiáng)，時(shí)刻都低于達(dá)標(biāo)排放量，∴都達(dá)標(biāo)，甲企業(yè)在時(shí)刻治污能力不是最強(qiáng)．例1-2．（判斷圖像）（2015全國(guó)卷2，理11）如圖，長(zhǎng)方形的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著邊BC，CD與DA運(yùn)動(dòng)，記，將動(dòng)點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)，則的圖像大致為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))時(shí)，f(x)＝tanx＋eq\r(4＋tan2x)，圖象不會(huì)是直線段，從而排除A、C．當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))時(shí)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)))＝1＋eq\r(5)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝2eq\r(2)．∵2eq\r(2)<1＋eq\r(5)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)))，從而排除D，故選B．例1-3．（閱讀函數(shù)的列表）某地區(qū)居民生活用電分高峰和低谷兩個(gè)時(shí)間段進(jìn)行計(jì)價(jià)，該地區(qū)電網(wǎng)銷售電價(jià)表如下：高峰時(shí)間段用電價(jià)格表低谷時(shí)間段用電價(jià)格表高峰月用電量(單位：千瓦時(shí))高峰電價(jià)(單位：元/千瓦時(shí))低谷月用電量(單位：千瓦時(shí))低谷電價(jià)(單位：元/千瓦時(shí))50及以下的部分0.56850及以下的部分0.288超過(guò)50至200的部分0.598超過(guò)50至200的部分0.318超過(guò)200的部分0.668超過(guò)200的部分0.388若某家庭5月份的高峰時(shí)間段用電量為200千瓦時(shí)，低谷時(shí)間段用電量為100千瓦時(shí)，則按這種計(jì)費(fèi)方式該家庭本月應(yīng)付的電費(fèi)為________元．(用數(shù)字作答)【答案】148.4【解析】據(jù)題意有0.568×50＋0.598×150＋0.288×50＋0.318×50＝148.4(元)．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．（2015北京）汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況．下列敘述中正確的是A．消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B．以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C．甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí)，消耗10升汽油D．某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80千米/小時(shí)．相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油【答案】D【解析】“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，A中乙車消耗1升汽油，最多行駛的路程為乙車圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)值，A錯(cuò)誤；B中以相同速度行駛相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B錯(cuò)誤，C中甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí)，甲車每消耗1升汽油行駛的里程10km，行駛80km，消耗8升汽油，C錯(cuò)誤，D中某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80千米/小時(shí)．由于丙比乙的燃油效率高，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油，選D．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2.已知甲、乙兩種商品在過(guò)去一段時(shí)間內(nèi)的價(jià)格走勢(shì)如圖所示．假設(shè)某商人持有資金120萬(wàn)元，他可以在t1至t4的任意時(shí)刻買賣這兩種商品，且買賣能夠立即成交(其他費(fèi)用忽略不計(jì))．如果他在t4時(shí)刻賣出所有商品，那么他將獲得的最大利潤(rùn)是()A．40萬(wàn)元 B．60萬(wàn)元C．120萬(wàn)元 D．140萬(wàn)元【答案】C【解析】甲6元時(shí)該商人全部買入甲商品，可以買120÷6＝20(萬(wàn)份)，在t2時(shí)刻全部賣出，此時(shí)獲利20×2＝40萬(wàn)元，乙4元時(shí)該商人買入乙商品，可以買(120＋40)÷4＝40(萬(wàn)份)，在t4時(shí)刻全部賣出，此時(shí)獲利40×2＝80萬(wàn)元，共獲利40＋80＝120萬(wàn)元，故選C.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3．某地區(qū)的綠化面積每年平均比上一年增長(zhǎng)18%，經(jīng)過(guò)x年后，綠化面積與原綠化面積之比為y，則y＝f(x)的圖象大致為()【答案】D【解析】設(shè)某地區(qū)起始年的綠化面積為a，因?yàn)樵摰貐^(qū)的綠化面積每年平均比上一年增長(zhǎng)18%，所以經(jīng)過(guò)x年后，綠化面積g(x)＝a(1＋18%)x，因?yàn)榫G化面積與原綠化面積的比值為y，則y＝f(x)＝eq\f(gx,a)＝(1＋18%)x＝1.18x，因?yàn)閥＝1.18x為底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)，故可排除A，C，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1，可排除B，故選D.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4.2019年1月1日起我國(guó)實(shí)施了個(gè)人所得稅的新政策，其政策的主要內(nèi)容包括：（1）個(gè)稅起征點(diǎn)為5000元；（2）每月應(yīng)納稅所得額（含稅）=收入-個(gè)稅起征點(diǎn)-專項(xiàng)附加扣除；（3）專項(xiàng)附加扣除包括：①贍養(yǎng)老人費(fèi)用，②子女教育費(fèi)用，③繼續(xù)教育費(fèi)用，④大病醫(yī)療費(fèi)用等，其中前兩項(xiàng)的扣除標(biāo)準(zhǔn)為：①贍養(yǎng)老人費(fèi)用：每月扣除2000元，②子女教育費(fèi)用：每個(gè)子女每月扣除1000元，新的個(gè)稅政策的稅率表部分內(nèi)容如下：級(jí)數(shù)一級(jí)二級(jí)三級(jí)每月應(yīng)納稅所得額元（含稅）稅率31020現(xiàn)有李某月收入為18000元，膝下有一名子女在讀高三，需贍養(yǎng)老人，除此之外無(wú)其它專項(xiàng)附加扣除，則他該月應(yīng)交納的個(gè)稅金額為（）A．1800 B．1000 C．790 D．560【答案】C【解析】李某月應(yīng)納稅所得額（含稅）為：元，不超過(guò)3000的部分稅額為元，超過(guò)3000元至12000元的部分稅額為元，所以李某月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為元．考點(diǎn)二、對(duì)數(shù)型函數(shù)例2.（2021全國(guó)甲理）青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測(cè)量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿足．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（）（）A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6【答案】C【解析】分析】根據(jù)關(guān)系，當(dāng)時(shí)，求出，再用指數(shù)表示，即可求解.【詳解】由，當(dāng)時(shí)，，則.故選：C.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．（2021·山東聊城市·高三三模）聲強(qiáng)級(jí)（單位：dB）由公式給出，其中為聲強(qiáng)（單位：W/m2）一般正常人聽覺能忍受的最高聲強(qiáng)級(jí)為120dB，平時(shí)常人交談時(shí)聲強(qiáng)級(jí)約為60dB，那么一般正常人能忍受的最高聲強(qiáng)是平時(shí)常人交談時(shí)聲強(qiáng)的（）A．104倍 B．105倍 C．106倍 D．107倍【答案】C【解析】根據(jù)已知函數(shù)關(guān)系式，設(shè)出未知數(shù)，解方程即可求出對(duì)應(yīng)聲強(qiáng)，然后可直接得結(jié)果.【詳解】設(shè)一般正常人聽覺能忍受的最高聲強(qiáng)為，平時(shí)常人交談時(shí)聲強(qiáng)為，由題意得解得∴故選：C考點(diǎn)三、指數(shù)型函數(shù)例3.（2020山東6）基本再生數(shù)與世代間隔是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)．基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔是指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間．在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計(jì)感染病例數(shù)隨時(shí)間（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率與，近似滿足．有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出，．據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加倍需要的時(shí)間約為（） （）A．天B．天C．天 D．天【答案】B【思路導(dǎo)引】根據(jù)題意可得，設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間為天，根據(jù)，解得即可得結(jié)果．【解析】因?yàn)?，，，所以，所以，設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間為天，則，所以，所以，所以天，故選：B．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.（2015四川）某食品的保鮮時(shí)間（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)存溫度（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)）．若該食品在0的保鮮時(shí)間設(shè)計(jì)192小時(shí)，在22的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在33的保鮮時(shí)間是小時(shí)．【答案】24【解析】由題意得，即，所以該食品在℃的保鮮時(shí)間是．考點(diǎn)四、二次函數(shù)型例4．（2014北京）加工爆米花時(shí)，爆開且不糊的粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率與加工時(shí)間（單位：分鐘）滿足函數(shù)關(guān)系（、、是常數(shù)），下圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時(shí)間為（）A．分鐘B．分鐘C．分鐘D．分鐘【答案】B【解析】由題意可知過(guò)點(diǎn)（3，0．7），（4，0．8）（5，0．5），代入中可解得，∴，∴當(dāng)分鐘時(shí)，可食用率最大．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.（2020·北京高三期末）某商貿(mào)公司售賣某種水果.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研可知:在未來(lái)天內(nèi),這種水果每箱的銷售利潤(rùn)(單位:元)與時(shí)間,單位:天)之間的函數(shù)關(guān)系式為,且日銷售量(單位:箱)與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式為①第天的銷售利潤(rùn)為__________元;②在未來(lái)的這天中,公司決定每銷售箱該水果就捐贈(zèng)元給“精準(zhǔn)扶貧”對(duì)象.為保證銷售積極性,要求捐贈(zèng)之后每天的利潤(rùn)隨時(shí)間的增大而增大,則的最小值是__________．【答案】12325【解析】①因?yàn)?，，所以該天的銷售利潤(rùn)為；②設(shè)捐贈(zèng)后的利潤(rùn)為元，則，化簡(jiǎn)可得，．令，因?yàn)槎魏瘮?shù)的開口向下，對(duì)稱軸為，為滿足題意所以，，解得．故答案為：①1232；②5．考點(diǎn)五、分式型函數(shù)例5.要制作一個(gè)容器為4，高為的無(wú)蓋長(zhǎng)方形容器，已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是_______（單位：元）【答案】160【解析】設(shè)該容器的總造價(jià)為元，長(zhǎng)方體的底面矩形的長(zhǎng)，因?yàn)闊o(wú)蓋長(zhǎng)方體的容積為，高為，所以長(zhǎng)方體的底面矩形的寬為，依題意，得對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.(2018上海)某群體的人均通勤時(shí)間,是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時(shí),某地上班族中的成員僅以自駕或公交方式通勤,分析顯示:當(dāng)中的成員自駕時(shí)，自駕群體的人均通勤時(shí)間為（單位：分鐘），而公交群體的人均通勤時(shí)間不受影響，恒為40分鐘，試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問題：(1)當(dāng)在什么范圍內(nèi)時(shí)，公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間？(2)求該地上班族的人均通勤時(shí)間的表達(dá)式；討論的單調(diào)性，并說(shuō)明其實(shí)際意義．【解析】(1)當(dāng)時(shí)，恒成立，公交群體的人均通勤時(shí)間不可能少于自駕群體的人均通勤時(shí)間；當(dāng)時(shí)，若，即，解得（舍）或；∴當(dāng)時(shí)，公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間；(2)設(shè)該地上班族總?cè)藬?shù)為，則自駕人數(shù)為，乘公交人數(shù)為．因此人均通勤時(shí)間，整理得：，則當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．實(shí)際意義：當(dāng)有的上班族采用自駕方式時(shí)，上班族整體的人均通勤時(shí)間最短．適當(dāng)?shù)脑黾幼择{比例，可以充分的利用道路交通，實(shí)現(xiàn)整體效率提升；但自駕人數(shù)過(guò)多，則容易導(dǎo)致交通擁堵，使得整體效率下降．考點(diǎn)六、函數(shù)模型選擇例6.某公司為了實(shí)現(xiàn)2020年銷售利潤(rùn)1000萬(wàn)元的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：從銷售利潤(rùn)達(dá)到10萬(wàn)元開始，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金數(shù)額y(單位：萬(wàn)元)隨銷售利潤(rùn)x(單位：萬(wàn)元)的增加而增加，但獎(jiǎng)金數(shù)額不超過(guò)5萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金數(shù)額不超過(guò)銷售利潤(rùn)的25%.現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y＝0.025x，y＝1.003x，y＝eq\f(1,2)lnx＋1，問其中是否有模型能完全符合公司的要求？請(qǐng)說(shuō)明理由．(參考數(shù)據(jù)：1.003538≈5，e＝2.71828……，e8≈2981)【解析】由題意，符合公司要求的模型需同時(shí)滿足：當(dāng)x∈[10,1000]時(shí)，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過(guò)5；③y≤x·25%.(1)對(duì)于y＝0.025x，易知滿足①，但當(dāng)x>200時(shí)，y>5，不滿足公司的要求．(2)對(duì)于y＝1.003x，易知滿足①，但當(dāng)x>538時(shí)，y>5，不滿足公司的要求．(3)對(duì)于y＝eq\f(1,2)lnx＋1，易知滿足①.當(dāng)x∈[10,1000]時(shí)，y≤eq\f(1,2)ln1000＋1.下面證明eq\f(1,2)ln1000＋1<5.因?yàn)閑q\f(1,2)ln1000＋1－5＝eq\f(1,2)ln1000－4＝eq\f(1,2)(ln1000－8)≈eq\f(1,2)(ln1000－ln2981)<0，滿足②.再證明eq\f(1,2)lnx＋1≤x·25%，即2lnx＋4－x≤0.設(shè)F(x)＝2lnx＋4－x，則F′(x)＝eq\f(2,x)－1＝eq\f(2－x,x)<0，x∈[10,1000]，所以F(x)在[10,1000]上為減函數(shù)，F(xiàn)(x)max＝F(10)＝2ln10＋4－10＝2ln10－6＝2(ln10－3)<0，滿足③.綜上，獎(jiǎng)勵(lì)模型y＝eq\f(1,2)lnx＋1能完全符合公司的要求．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．在某種新型材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是()x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A.y＝2x－2 B．y＝eq\f(1,2)(x2－1)C．y＝log2x D．y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x【答案】B【解析】由題中表可知函數(shù)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且y的變化隨x的增大而增大得越來(lái)越快，分析選項(xiàng)可知B符合，故選B.鞏固訓(xùn)練一、單項(xiàng)選擇題1．下表是函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù)，它最可能的函數(shù)模型是（）A．一次函數(shù)模型B．冪函數(shù)模型C．指數(shù)函數(shù)模型D．對(duì)數(shù)函數(shù)模型．x45678910y15171921232527答案：A解析：根據(jù)已知數(shù)據(jù)可知，自變量每增加1函數(shù)值增加2，因此函數(shù)值的增量是均勻的，故為一次函數(shù)模型．2．某工廠6年來(lái)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：前3年年產(chǎn)量的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，后3年年產(chǎn)量保持不變，則該廠6年來(lái)這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時(shí)間t(年)的函數(shù)關(guān)系圖象正確的是（）ABCD答案：A解析：前3年年產(chǎn)量的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，說(shuō)明呈高速增長(zhǎng)，只有①，③圖象符合要求，而后3年年產(chǎn)量保持不變，總產(chǎn)量增加，故①正確，③錯(cuò)誤．3．在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長(zhǎng)x為（）m．A．400B．12C．20D．30答案：C解析：設(shè)內(nèi)接矩形另一邊長(zhǎng)為y，則由相似三角形性質(zhì)可得eq\f(x,40)＝eq\f(40－y,40)，0<<40，解得y＝40－x，所以面積S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜40)，當(dāng)x＝20時(shí)，Smax＝400．4．（2021·全國(guó)高三其他模擬（理））已知聲音強(qiáng)弱的等級(jí)(單位：dB)由聲音強(qiáng)度(單位：)決定．科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，與成線性關(guān)系，如噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)，聲音強(qiáng)度為聲音強(qiáng)弱的等級(jí)為；某動(dòng)物發(fā)出的鳴叫，聲音強(qiáng)度為，聲音強(qiáng)弱的等級(jí)為．若某聲音強(qiáng)弱等級(jí)為90dB，則聲音強(qiáng)度為（）A．0.001 B．0.01 C．0.1 D．1【答案】A【解析】設(shè)，代入兩點(diǎn)坐標(biāo)即可得到函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而解方程可得結(jié)果.【詳解】解析依題意，設(shè)將代入，,解得，故.令，解得x=0.001.故選：A5．某企業(yè)投入100萬(wàn)元購(gòu)入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0．5萬(wàn)元，此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬(wàn)元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加2萬(wàn)元．為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為（）A．8B．10C．12D．13答案：B解析：設(shè)該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為x，，設(shè)備年平均費(fèi)用為y萬(wàn)元，則x年后的設(shè)備維護(hù)費(fèi)用為2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年的平均費(fèi)用為y＝eq\f(100＋0.5x＋x（x＋1）,x)＝x＋eq\f(100,x)＋1．5，由基本不等式得y＝x＋eq\f(100,x)＋1．5≥2eq\r(x·\f(100,x))＋1．5＝21．5，，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(100,x)，即x＝10時(shí)取等號(hào)．6．（2021·江蘇南京市·高三三模）聲音的強(qiáng)弱可以用聲波的能流密度來(lái)計(jì)算，叫做聲強(qiáng).通常人耳能聽到聲音的最小聲強(qiáng)為（瓦/平方米）.對(duì)于一個(gè)聲音的聲強(qiáng)，用聲強(qiáng)與比值的常用對(duì)數(shù)的10倍表示聲強(qiáng)的聲強(qiáng)級(jí)，單位是“分貝”，即聲強(qiáng)的聲強(qiáng)級(jí)是（分貝）.聲音傳播時(shí)，在某處聽到的聲強(qiáng)與該處到聲源的距離的平方成反比，即（為常數(shù)）.若在距離聲源15米的地方，聽到聲音的聲強(qiáng)級(jí)是20分貝，則能聽到該聲音（即聲強(qiáng)不小于）的位置到聲源的最大距離為（）A．100米 B．150米 C．200米 D．米【答案】B【解析】根據(jù)題設(shè)中的條件，列出方程，求得實(shí)數(shù)的值，再由題設(shè)中的條件，即可求解.【詳解】由題意知，解得，又由，可得，根據(jù)人耳能聽到的足校聲強(qiáng)為，所以米.故選：B.二、多選題7.某工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場(chǎng)要求雜質(zhì)含量不得超過(guò)0.1％，而這種溶液最初的雜質(zhì)含量為2％，現(xiàn)進(jìn)行過(guò)濾，已知每過(guò)濾一次雜質(zhì)含量減少，則使產(chǎn)品達(dá)到市場(chǎng)要求的過(guò)濾次數(shù)可以為（參考數(shù)據(jù)：，）（）A．6 B．9 C．8 D．7【答案】BC【解析】設(shè)經(jīng)過(guò)次過(guò)濾，產(chǎn)品達(dá)到市場(chǎng)要求，則，即，由，即，得，8.如圖，某池塘里的浮萍面積（單位：與時(shí)間（單位：月）的關(guān)系式為，且；a，且．則下列說(shuō)法正確的是（）A．浮萍每月增加的面積都相等B．第6個(gè)月時(shí)，浮萍的面積會(huì)超過(guò)C．浮萍面積從蔓延到只需經(jīng)過(guò)5個(gè)月D．若浮萍面積蔓延到，，所經(jīng)過(guò)的時(shí)間分別為，，，則【答案】BC【解析】由題意可知，函數(shù)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，代入函數(shù)關(guān)系式：，且；，且，得：，解得：，函數(shù)關(guān)系式：，函數(shù)是曲線型函數(shù)，所以浮萍每月增加的面積不相等，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，浮萍的面積超過(guò)了，故選項(xiàng)正確，令得：；令得：，所以浮萍面積從增加到需要5個(gè)月，故選項(xiàng)正確，令得：；令得：；令得：，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，三、填空題9．某食品的保鮮時(shí)間y(單位：小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系y＝ekx＋b(e＝2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù)).若該食品在0℃的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在22℃的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在33℃的保鮮時(shí)間是________小時(shí).答案24解析由已知條件，得192＝eb，又48＝e22k＋b＝eb·(e11k)2，∴e11k＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(48,192)))eq\s\up12(\f(1,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(\f(1,2))＝eq\f(1,2).設(shè)該食品在33℃的保鮮時(shí)間是t小時(shí)，則t＝e33k＋b＝192e33k＝192(e11k)3＝192×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝24.10．某醫(yī)院為了提高服務(wù)質(zhì)量，對(duì)掛號(hào)處的排隊(duì)人數(shù)進(jìn)行了調(diào)查，發(fā)現(xiàn)：當(dāng)還未開始掛號(hào)時(shí)，有N個(gè)人已經(jīng)在排隊(duì)等候掛號(hào)；開始掛號(hào)后排隊(duì)的人數(shù)平均每分鐘增加M人．假定掛號(hào)的速度是每個(gè)窗口每分鐘K個(gè)人，當(dāng)開放一個(gè)窗口時(shí)，40分鐘后恰好不會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象；若同時(shí)開放兩個(gè)窗口時(shí)，則15分鐘后恰好不會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象．根據(jù)以上信息，若要求8分鐘后不出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象，則需要同時(shí)開放的窗口至少應(yīng)有________個(gè)．答案：4解析：設(shè)要同時(shí)開放x個(gè)窗口才能滿足要求，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(N＋40M＝40K，①,N＋15M＝15K×2，②,N＋8M≤8Kx.③))由①②，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(K＝2.5M，,N＝60M，))代入③，得60M＋8M≤8×2．5Mx，解得x≥3．4．故至少同時(shí)開放4個(gè)窗口才能滿足要求．三、解答題11．已知甲、乙兩個(gè)工廠在今年的1月份的利潤(rùn)都是6萬(wàn)元，且甲廠在2月份的利潤(rùn)是14萬(wàn)元，乙廠在2月份的利潤(rùn)是8萬(wàn)元.若甲、乙兩個(gè)工廠的利潤(rùn)(萬(wàn)元)與月份x之間的函數(shù)關(guān)系式分別符合下列函數(shù)模型：f(x)＝a1x2＋b1x＋6，g(x)＝a23x＋b2(a1，a2，b1，b2∈R).(1)求甲、乙兩個(gè)工廠今年5月份的利潤(rùn)；(2)在同一直角坐標(biāo)系下畫出函數(shù)f(x)與g(x)的草圖，并根據(jù)草圖比較今年