第40講 軌跡方程求解方法（解析版）

⑵直線l的斜率的取值范圍為∴曲線C的方程為.而原點(diǎn)O到直線l的距離d＝，∴S△DEF=若△OEF面積不小于2,即，則有③綜合②、③知，直線l的斜率的取值范圍為綜合②、④知，直線l的斜率的取值范圍為?！痉答伨毩?xí)】1．【河南省新鄉(xiāng)市2021屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理科）】如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)在棱上，且，是側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】作交于點(diǎn)，可得出點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓弧，即可求出.【詳解】如圖，作交于點(diǎn)，則可得平面，平面，，則，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓弧，所以的最小值為．故選：A.2．（2021·全國高三專題練習(xí)（理））已知，函數(shù).若成等比數(shù)列，則平面上點(diǎn)的軌跡是（）A．直線和圓 B．直線和橢圓 C．直線和雙曲線 D．直線和拋物線【答案】C【分析】首先利用等比數(shù)列得到等式，然后對(duì)所得的等式進(jìn)行恒等變形即可確定其軌跡方程.【詳解】由題意得，即，對(duì)其進(jìn)行整理變形：，，，，所以或，其中為雙曲線，為直線.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查軌跡方程，關(guān)鍵之處在于由題意對(duì)所得的等式進(jìn)行恒等變形，提現(xiàn)了核心素養(yǎng)中的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，屬于中等題.3．（多選）（2021·江蘇南通·高三模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，直線AP與BP相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積為非零常數(shù)m，那么下列說法中正確的有（）A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡加上A，B兩點(diǎn)所形成的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡加上A，B兩點(diǎn)所形成的曲線是圓心在原點(diǎn)的圓C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡加上A，B兩點(diǎn)所形成的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡加上A，B兩點(diǎn)所形成的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線【答案】BD【分析】設(shè)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，根據(jù)已知條件，求得軌跡方程，然后根據(jù)平方項(xiàng)的系數(shù)的正負(fù)，同號(hào)異號(hào)，同號(hào)時(shí)相等與否分類討論.【詳解】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，所以.當(dāng)時(shí)，，即，表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故A錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，表示圓心在原點(diǎn)的圓，故B正確.當(dāng)時(shí)，，表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，故C錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，故D正確.故選：BD4．（2021·浙江省普陀中學(xué)高三開學(xué)考試）如圖，設(shè)圓，現(xiàn)將半圓所在平面沿軸折起（坐標(biāo)軸不動(dòng)），使之與半平面成的二面角，若點(diǎn)為半圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)在半圓所在平面上的射影的軌跡方程為____．【答案】【分析】根據(jù)題意設(shè)，則點(diǎn)在半圓所在平面上的射影為，則，且，進(jìn)而可以求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，點(diǎn)在半圓所在平面上的射影的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮小為原來的，設(shè)，則點(diǎn)在半圓所在平面上的射影為，則，所以，因?yàn)?，所以，即，所以點(diǎn)在半圓所在平面上的射影的軌跡方程為，5．（2021·沙坪壩·重慶一中高三月考）棱長(zhǎng)為2的正方體，E，F(xiàn)分別為棱AB與上的點(diǎn)，且，則EF的中點(diǎn)P的軌跡為L(zhǎng)，則L的長(zhǎng)度為____________.【答案】【分析】如圖，設(shè)，則，可以以為長(zhǎng)、寬、高構(gòu)成長(zhǎng)方體，為體對(duì)角線，則可得（），可得點(diǎn)的軌跡是一個(gè)的圓弧，且，所以的中點(diǎn)的軌跡為半徑為的一個(gè)的圓弧，從而可得答案【詳解】如圖，設(shè)，則，可以以為長(zhǎng)、寬、高構(gòu)成長(zhǎng)方體，為體對(duì)角線，所以，所以（），所以，因?yàn)?，所以圖中點(diǎn)的軌跡是一個(gè)的圓弧，且，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以的高度始終為，所以的軌跡在一個(gè)水平面內(nèi)，所以可平移到底面，即為的中點(diǎn)，可設(shè)，則，的中點(diǎn)為，所以的中點(diǎn)的軌跡為半徑為的一個(gè)的圓弧，所以長(zhǎng)度為，故答案為：6．（2021·重慶）在三棱錐中，，二面角的大小為，在側(cè)面內(nèi)(含邊界)有一動(dòng)點(diǎn)，滿足到的距離與到平面的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為__________．【答案】【分析】如圖，先作出二面角的平面角，進(jìn)而得到，再建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，可得直線的方程為，從而求出的軌跡的長(zhǎng)度．【詳解】解：如圖，過作于，平面于，過作于，連接，則為二面角的平面角，由，得．又，所以，在中，以所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則直線的方程為，直線的方程為，所以直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以的軌跡為線段，長(zhǎng)度為．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵為利用二面角得出結(jié)論后建立平面直角坐標(biāo)系求解，方法比較少見，利用直角坐標(biāo)系求得直線的方程后順利求得直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)，將問題轉(zhuǎn)化為求線段得長(zhǎng)度，問題解決.7．（2021·浙江高三模擬預(yù)測(cè)）已知為平面內(nèi)一定點(diǎn)且，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)滿足：存在實(shí)數(shù)，使，若點(diǎn)的軌跡為平面圖形，則的面積為___________.【答案】【分析】以為圓心，以為半徑作圓，過作圓的切線，分別與圓切于點(diǎn)，，連結(jié)，，延長(zhǎng)與圓交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，滿足，由，則點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，若要存在使得，所以的延長(zhǎng)線與圓有交點(diǎn)，從而得出點(diǎn)點(diǎn)的軌跡圖形，從而可求解.【詳解】以為圓心，以為半徑作圓，過作圓的切線，分別與圓切于點(diǎn)，，連結(jié)，，延長(zhǎng)與圓交于點(diǎn)，存在點(diǎn)以及實(shí)數(shù)，設(shè)點(diǎn)，滿足，，即由，可知點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，若要存在使得，相當(dāng)于的延長(zhǎng)線與圓有交點(diǎn)，故只能在圖中陰影部分，所以點(diǎn)的軌跡面積，因?yàn)榕c圓相切于點(diǎn)，所以，由勾股定理可知，，所以，同理，因?yàn)?，所以，所以，綜上所述，的面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查軌跡問題，圓的幾何性質(zhì)和平面向量的共線的結(jié)論的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)點(diǎn)，滿足，由，可知點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，由條件得出相當(dāng)于的延長(zhǎng)線與圓有交點(diǎn)，從而得出點(diǎn)點(diǎn)的軌跡圖形，屬于中檔題.8．（2021·山西高三三模（文））已知圓和圓，過點(diǎn)P（x，y）分別作的切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn)，且，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為___________．【答案】【分析】利用切線長(zhǎng)的平方等于點(diǎn)到圓心的距離的平方減去半徑的平方，列出關(guān)系式，整理即得.【詳解】解:設(shè)P(x,y),則由|PA|=|PB|，得|PA|2=|PB|2,所以,化簡(jiǎn)得：,此即為P的軌跡方程，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程問題，涉及圓的切線長(zhǎng)度的計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.9．（2021·江蘇高三開學(xué)考試）若點(diǎn)A(－1，0)，B(1，0)，P滿足，則點(diǎn)P的軌跡C的方程為＝_______，設(shè)M，N是軌跡C與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，則△PMN面積的最大值為_______．【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)，由題意直接列方程即可得出軌跡方程；令求出，再利用求根公式得出，利用換元法求出的最大值即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)，由，則，兩邊平方可得，即，當(dāng)時(shí)，則，解得，所以，將方程整理可得，由求根公式可得，令，因?yàn)?，所以，，則，當(dāng)時(shí)，，所以.所以的最大值為.故答案為：；10．【2020屆廣東省東莞市高三下學(xué)期4月模擬自測(cè)】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓，圓心，點(diǎn)E在直線上，點(diǎn)P滿足，，點(diǎn)P的軌跡為曲線M．（1）求曲線M的方程．（2）過點(diǎn)N的直線l分別交M于點(diǎn)A、B，交圓N于點(diǎn)C、D（自上而下），若、、成等差數(shù)列，求直線l的方程．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）設(shè)，由，得，代入化簡(jiǎn)得：，所以點(diǎn)P的軌跡曲線M的方程為：；（2）由、、成等差數(shù)列，得弦長(zhǎng)，對(duì)直線l的斜率分情況討論，當(dāng)斜率不存在時(shí)，，不符合題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，，直線l的方程為：，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可求得k的值，從而得到直線l的方程．【詳解】（1）設(shè)，由，得，則，，，，由，得，即，化簡(jiǎn)得：，所以點(diǎn)P的軌跡曲線M的方程為：；（2）由、、成等差數(shù)列，得，所以弦長(zhǎng)，①當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線l的方程為：，交點(diǎn)，，此時(shí)，不符合題意；②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為：，，，聯(lián)立方程，消去y得：，∴，，顯然恒成立，由拋物線的定義可知，，∴，解得：，∴直線l的方程為．11．【安徽省淮南市2020屆高三下學(xué)期第二次模擬考試】在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離與到定點(diǎn)的距離之比為.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)的直線交軌跡于，兩點(diǎn)，線段的中垂線與交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，請(qǐng)用含的式子表示，并探究是否存在實(shí)數(shù)，使？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）；存在；【分析】（1）設(shè)，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離與到定點(diǎn)的距離之比為，列出方程求解即可；（2）設(shè)，聯(lián)立，消去，得，利用韋達(dá)定理，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，求出，，然后求解即可.【詳解】（1）設(shè)，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離與到定點(diǎn)的距離之比為，化簡(jiǎn)整理得.動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）設(shè)，聯(lián)立，消去x，得，根據(jù)韋達(dá)定理可得：，，，又，于是，.令，解得存在，使.12．【2020屆廣東省汕頭市高三第二次模擬數(shù)學(xué)（理）】在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，已知是以為底邊，且邊平行于軸的等腰三角形.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）已知直線交軸于點(diǎn)，且與曲線相切于點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，且直線軸，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，試判斷點(diǎn)、、三點(diǎn)是否共線，并說明理由.【答案】（1）；（2）、、三點(diǎn)共線，理由見解析.【分析】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由軸可得，由題意可得出，由此可得出關(guān)于、的等式，化簡(jiǎn)可得出軌跡的方程，由點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，、、三點(diǎn)共線可得出，由此可得出軌跡的方程；（2）可知直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，由得出，求出、的坐標(biāo)，利用直線、的斜率相等可得出、、三點(diǎn)共線.【詳解】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)檩S，所以與直線垂直，則，是以為底邊的等腰直角三角形，故，即，即，化簡(jiǎn)得.因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，、、三點(diǎn)共線，無法構(gòu)成三角形，因此，動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為；（2）、、三點(diǎn)共線，理由如下：因?yàn)橹本€與曲線相切，所以直線的斜率必存在且不為零，設(shè)直線的方程為，由，消得，，得.所以，直線的方程為，令，得，則點(diǎn)，，故，又由，得，則點(diǎn)，，，，因此，、、三點(diǎn)共線.13.【2020年浙江省名校高考預(yù)測(cè)沖刺卷】如圖，已知拋物線，直線交拋物線于，兩點(diǎn)，是拋物線外一點(diǎn)，連接，分別交拋物線于點(diǎn)，，且．（Ⅰ）若，求點(diǎn)的軌跡方程；（Ⅱ）若，求面積的最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）聯(lián)立直線與拋物線，利用韋達(dá)定理、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值，再根據(jù)點(diǎn)在拋物線外可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)的范圍，從而可得結(jié)果；（Ⅱ）由（Ⅰ）和弦長(zhǎng)公式求解．【詳解】（Ⅰ）設(shè)，，，由，得，則，（*）因?yàn)椋钥稍O(shè)，，所以由定比分點(diǎn)公式得，，將的坐標(biāo)代入拋物線方程，得，，化簡(jiǎn)得，所以為方程的兩根，聯(lián)立（*）式得，解得．設(shè)過拋物線上點(diǎn)的切線與平行，因?yàn)?，所以，則，即，，所以點(diǎn)的軌跡方程為．（Ⅱ）設(shè)的中點(diǎn)為，則，由（Ⅰ）知，因?yàn)?，所以，又，得，又，所以，顯然當(dāng)時(shí)，取得最小值．14．【四川省雅安市2020屆高三第三次診斷】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足直線MP與直線NP的斜率之積為.記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程，并說明C是什么曲線；（2）過點(diǎn)作直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，試問在x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得直線QA與直線QB恰好關(guān)于x軸對(duì)稱?若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1），C為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，不含左右頂點(diǎn)；（2）存在，【分析】（1）寫出斜率，根據(jù)斜率之積為建立方程，化簡(jiǎn)即可；（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓C的方程聯(lián)立整理得，設(shè)，，定點(diǎn)（依題意）.由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，，由直線與直線恰好關(guān)于x軸對(duì)稱，則直線與直線的斜率互為相反數(shù)，代入可得.【詳解】（1）由題設(shè)可得，，，則，化簡(jiǎn)得.，所以C為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸上的橢圓，不含左右頂點(diǎn).（2）存在定點(diǎn)，滿足直線QA與直線QB恰好關(guān)于x軸對(duì)稱，由題設(shè)知，直線l的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，與橢圓C的方程聯(lián)立整理得，設(shè)，，定點(diǎn)（依題意）.由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，直線與直線恰好關(guān)于x軸對(duì)稱，則直線與直線的斜率互為相反數(shù)，所以，即.又，，所以整理得.從而可得即，所以當(dāng)，即時(shí)，直線與直線恰好關(guān)于x軸對(duì)稱所以，在軸上存在點(diǎn)，滿足直線與直線恰好關(guān)于x軸對(duì)稱15．【甘肅省蘭州市第一中學(xué)2020屆高三沖刺模擬考試（三）】已知圓，圓，如圖，C1，C2分別交x軸正半軸于點(diǎn)E，A．射線OD分別交C1，C2于點(diǎn)B，D，動(dòng)點(diǎn)P滿足直線BP與y軸垂直，直線DP與x軸垂直．

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）過點(diǎn)E作直線l交曲線C與點(diǎn)M，N，射線OH⊥l與點(diǎn)H，且交曲線C于點(diǎn)Q．問：的值是否是定值？如果是定值，請(qǐng)求出該定值；如果不是定值，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）為定值，且為．【分析】（1）設(shè)，根據(jù)圓的方程求出的坐標(biāo)，進(jìn)而可得，，然后得出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程.（2）設(shè)出直線l的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】（1）設(shè)，則，，所以，，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡C的方程為.（2）由（1）可知E為C的焦點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為（斜率不為0時(shí)），

且設(shè)點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），由，得，所以，所以，又射線OQ方程為y＝﹣mx，代入橢圓C的方程得x2+2（my）2＝4，即，，，所以，又當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，也符合條件.綜上，為定值，且為.16．（2021·全國高三模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，，，C是滿足的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求垂心H的軌跡方程；（2）記垂心H的軌跡為，若直線l：（）與交于D，E兩點(diǎn)，與橢圓T：交于P，Q兩點(diǎn)，且，求證：．【答案】（1）（）；（2）證明見解析．【分析】（1）由題可求出頂點(diǎn)C的軌跡方程，再利用相關(guān)點(diǎn)法可求垂心H的軌跡方程；（2）利用弦長(zhǎng)公式可求，再利用韋達(dá)定理法求，由得出，然后結(jié)合判別式大于零即可證.【詳解】設(shè)的外心為，半徑為R，則有，所以即，設(shè)，，有，即有（），由，則有，由，則有，所以有，則有（），所以垂心H的軌跡方程為（）；（2）記點(diǎn)到直線l的距離為d，則有，所以，設(shè)，，聯(lián)立，有，所以，，由，可得，所以，即有，所以，即又，可得，所以，解得，故．17．（2021·沙坪壩·重慶一中高三月考）過點(diǎn)的直線與拋物線交于P、Q兩點(diǎn).（1）求線段PQ的中點(diǎn)B的軌跡方程；（2）拋物線C的焦點(diǎn)為F，若，求直線l的斜率的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)，，，代入拋物線方程中，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得以線