2023年工程碩士考試(GCT)數(shù)學(xué)2010-2022歷年真題選編帶答案難題含解析

2023年工程碩士考試(GCT)數(shù)學(xué)2010-2022歷年真題選編帶答案難題含解析（圖片大小可自由調(diào)整）第1卷一.歷年考點(diǎn)試題黑鉆版(共75題)1.一個(gè)長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是，這個(gè)長(zhǎng)方體對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)是______。

A．

B．

C．6

D．2.函數(shù)y=f(x)是定義在(-∞，+∞)上的周期為3的周期函數(shù)，圖表示的是該函數(shù)在區(qū)間[-2，1]上的圖像，則的值等于______。

A.-2B.0C.2D.43.某中學(xué)班主任王老師領(lǐng)一班同學(xué)去種樹(shù)，學(xué)生恰好平均分成三組，如果老師與學(xué)生每人種樹(shù)一樣多，則共種了572棵且每人種樹(shù)不超過(guò)20棵，且班級(jí)學(xué)生大于30人，那么這個(gè)班有學(xué)生______人。A.32B.40C.45D.514.5.6.7.下列道路交通標(biāo)志圖案中，軸對(duì)稱(chēng)的圖形是______。

A．

B．

C．

D．8.下列函數(shù)中，存在反函數(shù)的是

。

A．

B．

C．

D．9.10.如圖4所示正三角形ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是DE，BC的中點(diǎn)．已知BD=8厘米，CE=6厘米，則FG=

厘米．

11.點(diǎn)x=0是函數(shù)的______。A.連續(xù)點(diǎn)B.可去間斷點(diǎn)C.有限跳躍型間斷點(diǎn)D.無(wú)窮型間斷點(diǎn)12.

13.14.設(shè)A=，若A的三重特征值λ對(duì)應(yīng)兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，則a=

．A.1B.2C.-1D.-215.已知矩陣，其中a＞b＞c＞0。

①ATX=0只有零解

②ATAX=0有無(wú)窮多解

③，AX=b有無(wú)窮多解

④，ATX=b有唯一解

則以上命題中，正確的命題共有______。

A．0個(gè)

B．1個(gè)

C．2個(gè)D．3個(gè)16.每只蜘蛛有8條腿，蜻蜒有6條腿和2對(duì)翅膀，蟬有6條腿和1對(duì)翅膀，現(xiàn)有這3種小蟲(chóng)共18只，共有118條腿和20對(duì)翅膀，其中蟬的數(shù)量為_(kāi)_____只。A.5B.6C.7D.817.=

A.41B.1681C.49D.240118.19.已知函數(shù)f(x)在x=a處可導(dǎo)，則A.f’(a)B.2f’(a)C.0D.f’(2a)20.已知α，β為銳角，且則α+β=

．

21.設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，且滿(mǎn)足，則f(x)=

。A.f(x)=2x-1B.f(x)=-2x-1C.f(x)=x2-2x-1D.f(x)=-x2-2x-122.設(shè)向量組α1=(1，2，3，4)，α2=(2，3，4，5)，α3=(3，4，5，6)，α4=(4，5，6，7)，則r(α1，α2，α3，α4)=______。A.2B.3C.4D.523.設(shè)，則當(dāng)x=0時(shí)，一定是無(wú)窮小量的是

．

24.設(shè)S=3-32+33-34+35-36+37，則S被4除的余數(shù)是______．A.3B.2C.1D.025.三元線(xiàn)性方程組Ax=6的系數(shù)矩陣A的秩r(A)=2，且x1=(4,1,-2)T，x2=(2,2,-1)T，x3=(0,3,a)T均為Ax=b的解向量，則A=

．A.-1B.0C.1D.226.27.長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1(如圖所示)中，高A1A為1，∠BAB1=∠B1A1C1=30°。則這個(gè)長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)是______。

A．2

B．

C．

D．28.29.若a、b、c為任意向量，m∈R，則下列等式不一定成立的是______。A.(a+b)+c=a+(b+c)B.(a+b)c=ac+bcC.m(a+b)=ma+mbD.(ab)c=a(bc)30.31.32.33.如圖所示，梯形的兩條對(duì)角線(xiàn)把梯形分成四部分，有五種不同的顏色給這四部分涂色，每一部分涂一種顏色，任何相鄰(具有公共邊)的兩部分涂不同的顏色，則不同的涂色方法有______。

A.180種B.240種C.260種D.320種34.35.36.37.38.3個(gè)不相同的非0實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，又a，c，b恰成等比數(shù)列，則等于______．A.4B.2C.-4D.-239.40.一塊正方形地板，用相同的小正方形瓷磚鋪滿(mǎn)，已知地板兩對(duì)角線(xiàn)上共鋪101塊黑色瓷磚，而其余地面全是白色瓷磚，則白色瓷磚共用

塊．A.1500B.2500C.2000D.300041.42.A.0B.nC.-nD.2n43.44.如圖所示，邊長(zhǎng)分別為1和2的兩個(gè)正方形，放在同一水平線(xiàn)上，小正方形沿該水平線(xiàn)自左向右勻速穿過(guò)大正方形，設(shè)從小正方形開(kāi)始穿入大正方形到恰好離開(kāi)大正方形所用的時(shí)間為t0，大正方形內(nèi)除去小正方形占有部分之后剩下的面積為S(空白部分)，則表示S與時(shí)間t函數(shù)關(guān)系的大致圖像為_(kāi)_____。

A．

B．

C．

D．45.長(zhǎng)度是800m的隊(duì)伍的行軍速度為100m/min，在隊(duì)尾的某人以3倍于行軍的速度趕到排頭，并立即返回隊(duì)尾所用的時(shí)間是______min．

A．2

B．

C．4

D．646.______。A.0B.1C.3D.547.______．

A．

B．

C．

D．48.49.50.51.雙曲線(xiàn)(a＞0、b＞0)，過(guò)焦點(diǎn)F1的弦AB的長(zhǎng)為m，另一焦點(diǎn)為F2，△ABF2的周長(zhǎng)為(

)。A.4aB.4a-mC.4a+2mD.4a-252.當(dāng)x取

時(shí)，等式恒成立．

53.54.55.56.57.α=(1，1-1)T是矩陣A的特征向量，則A=______。

A．

B．

C．

D．58.59.60.61.如果cosα·cotα＜0，那么α是

．A.第二或第三象限的角B.第三或第四象限的角C.第一或第二象限的角D.第二或第四象限的角62.設(shè)函數(shù)f(x)在[0，+∞)上可導(dǎo)，f(0)=0，且其反函數(shù)為g(x)，若x2ex，則f(x)的極小值點(diǎn)為

．A.1B.-1C.2D.-263.64.將5個(gè)相同的球放入位于一排的8個(gè)格子中，每格至多放一個(gè)球，則3個(gè)空格相連的概率是______。

A．

B．

C．

D．65.曲線(xiàn)x=2，y=2所圍圖形的面積為

．

(B)ln2

(C)2ln2

(D)2ln2-166.67.函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)cos(ωx+φ)(ω＞0)以2為最小正周期，且在x=2處取得最大值，則φ的一個(gè)值是

。

A．

B．

C．

D．68.已知3階行列式A.-6aB.6aC.-15aD.15a69.設(shè)A，B是n階矩陣，則C=的伴隨矩陣是

．

70.設(shè)函數(shù)x=f(y)的反函數(shù)y=f-1(x)及f'[f-1(x)]，f"[f-1(x)]均存在，且f'[f-1(x)]≠0，則

。

71.設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，且f(0)=1，f'(-lnx)=x，則f(1)=______．A.2-e-1B.1-e-1C.1+e-1D.e-172.73.設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，=

．A.0B.1C.-1D.274.設(shè)方程x2+x-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2則的值為(

)。

75.已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為8，將長(zhǎng)方形的一條對(duì)角線(xiàn)折起壓平如圖2—28所示，則陰影三角形的面積等于

．

A.8B.10C.12D.14第1卷參考答案一.歷年考點(diǎn)試題黑鉆版1.參考答案：D[解析]由題中條件可得到，長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三邊長(zhǎng)分別為a=1，，則對(duì)角線(xiàn)l的長(zhǎng)為，故正確答案為D。2.參考答案：C[解析]考查周期函數(shù)題。由于函數(shù)f(x)的周期是3，所以，f(2009)=f(-1)=-1，f(-3)=f(0)=1，f(4)=f(1)=2，故原式=。所以正確答案是C選項(xiàng)。3.參考答案：D[解析]依題意知，種樹(shù)總數(shù)=每人種樹(shù)棵數(shù)×師生總?cè)藬?shù)。

即572=每人種樹(shù)棵數(shù)×(1+學(xué)生數(shù))，而學(xué)生數(shù)恰好平均分成三組，即學(xué)生數(shù)是3的倍數(shù)，再加上王老師一人，則師生總數(shù)被3除余1。

下面先將572分解質(zhì)因數(shù)：572=2×2×11×13，然后按照題意進(jìn)行組合使之為兩數(shù)之積。

若572=44×(1+12)，1+12=13為師生總?cè)藬?shù)，則每人種44棵，這不符合實(shí)際；

若572=11×(1+51)，1+51=52為師生總?cè)藬?shù)，則每人種樹(shù)11棵；

若572=2×(1+285)，1+285=286為師生總?cè)藬?shù)，則每人種樹(shù)2棵，這不符合實(shí)際。

因此，這個(gè)班共有學(xué)生51人，每人種樹(shù)11棵。選D。4.參考答案：B5.參考答案：C6.參考答案：D7.參考答案：D[解析]四個(gè)選項(xiàng)中的圖形都可看作是1個(gè)或多個(gè)圖形的組合，只有這些分解后的圖形分別軸對(duì)稱(chēng)且有公共對(duì)稱(chēng)軸時(shí)原圖形才是軸對(duì)稱(chēng)的。據(jù)此分析，選項(xiàng)A中的Z不是軸對(duì)稱(chēng)的，故整個(gè)圖形不是軸對(duì)稱(chēng)的；選項(xiàng)B和C均可分解成三個(gè)軸對(duì)稱(chēng)的圖形，但沒(méi)有公共對(duì)稱(chēng)軸，所以總的圖形也不是軸對(duì)稱(chēng)的；選項(xiàng)D的圖形分解成的圓形和線(xiàn)段，均是軸對(duì)稱(chēng)的，且有兩條公共對(duì)稱(chēng)軸，分別垂直和重疊于線(xiàn)段。所以正確答案為D。8.參考答案：C[解析]f1(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)。函數(shù)f1不是到其值域的一一對(duì)應(yīng)，即在中，會(huì)有兩個(gè)自變量的值對(duì)應(yīng)同一個(gè)函數(shù)值，所以f1(x)不存在反函數(shù)。

同理，f2(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，不存在反函數(shù)。

f3(x)的圖像是拋物線(xiàn)的一段，該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=2，在上，f3(x)是單調(diào)遞減的，存在反函數(shù)。

同理，f4(x)對(duì)應(yīng)的拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=-1，所以f4(x)在上是減函數(shù)，而在上為增函數(shù)，不存在反函數(shù)。

故正確答案為C。9.參考答案：A10.參考答案：B[解析]方法一

取三角形的邊長(zhǎng)為8，這時(shí)D與A重合，點(diǎn)F在邊AC上．由CF=7，OG=4，∠C=60°，得GF2=42+72-2×4×7cos60°=37．即．

方法二

取三角形邊長(zhǎng)為12，以G為原點(diǎn)，BC為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則D(-2，)，E(3，)，所以，，選(B)．11.參考答案：D[解析]由于故x→0時(shí)，f(x)的極限不存在，且在x=0處f(x)無(wú)定義，所以排除A，又由于右極限不存在，所以x=0點(diǎn)屬第二類(lèi)無(wú)窮型間斷點(diǎn)，故僅D是正確的。12.參考答案：A13.參考答案：C14.參考答案：D

λ=-1

得a=-215.參考答案：D[解析]因?yàn)槭欠兜旅尚辛惺?，又a＞b＞c＞0，

故矩陣A的秩為3

AT是4×3矩陣，r(AT)=r(A)=3，故ATX=0只有零解；

ATA是4×4矩陣，r(ATA)≤r(A)=3＜4，故ATAX=0有無(wú)窮多解；

A是3×4矩陣，是3×5矩陣，又r(A)=3，而中不存在4階矩陣，故必有r()=3，那么r(A)=r()=3＜4，故AX=b必有無(wú)窮多解；

AT是4×3矩陣，是4×4矩陣，r(AT)=3時(shí)，可以有，因此，ATX=b可能無(wú)解。

故正確答案為D。16.參考答案：B[解析]設(shè)18只小蟲(chóng)中蟬的數(shù)量為x，蜻蜒的數(shù)量為y，則根據(jù)題意可得

解得x=6，y=7，故正確答案為B。17.參考答案：B[解析]考查的知識(shí)點(diǎn)是平方差公式和等差數(shù)列求和公式。由題可知，分子為2010×2008+1=(2009+1)(2009-1)+1=20092-1+1=20092，分母等于，故原式等于。所以正確的答案是B選項(xiàng)。18.參考答案：D19.參考答案：B選(B)．20.參考答案：B[解析]由題意容易求得，所以

，所以故選B．21.參考答案：B[解析]兩邊作定積分得

故

故B為正確答案。22.參考答案：A[解析]經(jīng)過(guò)初等變換

故向量組(α1，α2，α3，α4)的秩為2，故正確答案為A。23.參考答案：B[解析]A、D選項(xiàng)明顯不對(duì)．B選項(xiàng)，；C選項(xiàng)，若，則，不一定是無(wú)窮小量，選(B)．24.參考答案：C[解析]本題主要考查了簡(jiǎn)單整數(shù)的除法及余數(shù)的概念．

由于

S=3-32+33-34+35-36+37=3+(-32+33)+(-34+35)+(-36+37)=3+2×32+2×34+2×36，且32，34，36除以4的余數(shù)均為1，所以S除以4的余數(shù)也為1．

故正確選項(xiàng)為C．25.參考答案：B由已知條件x1,x2,x3均為非齊次線(xiàn)性方程組Ax=b的解，故x1-x2,x2-x3為Ax=b對(duì)應(yīng)的齊次方程組Ax=0的解．又已知r(A)=2，故三元方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系只包括n-r(A)=3-2=1個(gè)解向量．故x1-x2與x1-x3是線(xiàn)性相關(guān)的．它們的對(duì)應(yīng)分量應(yīng)成比例．從而能確定系數(shù)a：

由x1-x2=(2,-1,-1)T,

x2-x3=(2,-1,-1-a)T，

得，從而a=0．

故正確的選擇應(yīng)為B．26.參考答案：A27.參考答案：D[解析]在Rt△BAB1中，∠B1BA=90°，∠BAB1=30°，且BB1=AA1=1，所以AB=。

又在Rt△A1B1C1中，

∠A1B1C1=90°，A1B1=AB=，

故B1C1=1，，

體對(duì)角線(xiàn)，故正確答案為D。28.參考答案：A29.參考答案：D[解析]平面向量的數(shù)量積不滿(mǎn)足結(jié)合律，故正確答案為D。30.參考答案：A31.參考答案：B32.參考答案：A33.參考答案：C[解析]涂4種顏色，有種；涂3種顏色，有種；涂?jī)煞N顏色，有=20種方法，共120+120+20=260種，選C。34.參考答案：D35.參考答案：A36.參考答案：C37.參考答案：C38.參考答案：A[解析]本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)及一元二次方程的解法．

解法1

根據(jù)條件可知2b=a+c，c2=ab，從而

由于，所以解得

故正確選項(xiàng)為A．

解法2

排除法．

根據(jù)條件可知ab=c2，所以，故選項(xiàng)C，D可被排除．又由2b=a+c可知，且，故，這樣選項(xiàng)B也被排除．故正確選項(xiàng)為A．39.參考答案：D40.參考答案：B

因?yàn)閮蓪?duì)角線(xiàn)交叉處共用一塊黑色瓷磚，所以正方形地板的一條對(duì)角線(xiàn)上共鋪(101+1)/2=51塊瓷磚，因此該地板的一條邊上應(yīng)鋪51塊瓷磚，則整個(gè)地板鋪滿(mǎn)時(shí)，共需要瓷磚總數(shù)為51×51=2601，故需白色瓷磚為：2601-101=2500塊，選(B)．41.參考答案：A42.參考答案：A[解析]

故正確答案為A。43.參考答案：A44.參考答案：A[解析]一開(kāi)始隨著小正方形進(jìn)入大正方形，面積S逐漸減小；完全進(jìn)入大正方形之中后，面積S大小不變，其值等于大正方形的面積減去小正方形的面積，即為3；最后隨著小正方形的離開(kāi)，面積S逐漸增大，最后面積等于大正方形的面積。符合這一變化規(guī)律的圖形是A選項(xiàng)中的圖形，故選項(xiàng)A為正確答案。45.參考答案：D[解析]如下圖所示，設(shè)某人趕到排頭所用的時(shí)間為t1，則有

300t1=800+100t1，t1=4(min)．

再設(shè)某人從排頭返回隊(duì)尾所用的時(shí)間為t2，則有

100t2+300t2=800，t2=2(min)．

因此總共用了6min．

故選D．

46.參考答案：A[解析]

故正確答案為A。47.參考答案：B[解析]因?yàn)樗?/p>

故選B．48.參考答案：B49.參考答案：B50.參考答案：C51.參考答案：C[解析]△ABF2的周長(zhǎng)為C=|AF2|+|AB|+|BF2|，又|AF2|-|AF2|=2a，|BF2|-|BF1|=2a，故C=m+4a+|AF|+|BF1|=4a+2m。

故C為正確答案。52.參考答案：A

根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，可知選(A)．53.參考答案：B54.參考答案：C55.參考答案：D56.參考答案：D57.參考答案：B[解析]，選B。58.參考答案：B59.參考答案：B60.參考答案：B61.參考答案：B

cosα·cotα＜0cosα與cotα異號(hào)，故α是第三或第四象限的角，選(B)．62.參考答案：D

求導(dǎo)：g[f(x)]f’(x)=2xex+x2ex．

又g[f(x