熱點(diǎn)專測(cè)專練02 正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用【解析版】

熱點(diǎn)專測(cè)專練：熱點(diǎn)專測(cè)專練：正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（2021春·河北唐山·高一開灤第二中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理即可求解.【詳解】由，得.故選：B.2．（2021春·河北唐山·高一開灤第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦定理可得，.根據(jù)余弦定理即可求出結(jié)果.【詳解】由以及正弦定理可得，.又因?yàn)?，所?由余弦定理可得，.故選：A.3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在中，若，，則C的取值范圍是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】先由題意，得到為銳角，由正弦定理求得，即可得出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)?，所以為銳角，由正弦定理可得：，又，所，因此，因?yàn)闉殇J角，所以.故選：A.4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）三角形兩邊之差為2，且這兩邊的夾角的余弦值為，面積為14，此三角形是（

）．A．鈍角三角形； B．銳角三角形； C．直角三角形； D．不能確定．【答案】B【分析】由題意，利用余弦定理求得三邊，再求得三角的余弦值判斷.【詳解】解：設(shè)三角形兩邊a，b之差為2，且這兩邊的夾角的余弦值為，則，，，由，得，解得，由余弦定理得，則，所以，所以三角形是銳角三角形，故選：B5．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知的面積為，，，則AC邊的中線的長(zhǎng)為（

）A． B．3 C． D．4【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理、二倍角正弦公式、正弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合三角形面積公式、平面向量加法的幾何意義、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】根據(jù)正弦定理由，因?yàn)?，所以，或，?dāng)時(shí)，,不符合三角形內(nèi)角和定理，當(dāng)時(shí)，，因此,因此，因?yàn)榈拿娣e為，所以有，負(fù)值舍去，即，由余弦定理可知：，設(shè)邊的中點(diǎn)為，所以有，因此故選：C6．（2022春·江西南昌·高一南昌二中校考階段練習(xí)）中，、、分別是內(nèi)角、、的對(duì)邊，若，且，則的形狀是（

）A．等腰非直角三角形 B．三邊均不相等的直角三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】根據(jù)題意得，求出，再利用，可判斷，再分析求解即可.【詳解】由可得，所以，所以，由可得，所以.故選：A.7．（2022春·重慶·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若中，，其重心滿足條件：，則取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)為重心，且，利用中線定理得到，再分別在和中，利用余弦定理得到，由求解.【詳解】解：如圖所示：因?yàn)?，為重心，且，所以，又，則，在中，有，在中，有，兩式相加得，在中，，且，所以，.故選：D8．（2022春·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）在中，已知邊上的兩條中線相交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題可得三角形為直角三角，建立坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為求與夾角的余弦即可.【詳解】解：因?yàn)樗?，所?又因?yàn)?所以三角形為直角三角，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則有：,因?yàn)榉謩e為中點(diǎn)，所以,所以,,所以==.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．（2021春·黑龍江哈爾濱·高一校考期末）在中，若，則的形狀可能為（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．不存在【答案】ABC【分析】利用余弦定理進(jìn)行角化邊，再整理式子求解即可.【詳解】因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ淼?，，整理得，解得或，?dāng)時(shí)，是等腰三角形，當(dāng)時(shí)，是直角三角形，當(dāng)且時(shí)，是等腰直角三角形.故選：ABC.10．（2022春·湖南株洲·高一校聯(lián)考期中）已知中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，則的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)給定條件，利用余弦定理求解判斷作答.【詳解】在中，，由余弦定理得：，即，解得或，所以的值可能是1或2.故選：AD11．（2022春·廣西柳州·高一?？茧A段練習(xí)）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．若，則的面積是15 D．若，則外接圓半徑是【答案】AD【分析】設(shè)，，，，求出，，，根據(jù)正弦定理可判斷A正確；根據(jù)平面向量數(shù)量積和余弦定理可判斷B不正確；根據(jù)余弦定理和三角形面積公式可判斷C不正確；根據(jù)余弦定理和正弦定理可判斷D正確.【詳解】設(shè)，，，，則，，，對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B不正確；對(duì)于C，若，則，，，所以，所以，所以的面積是，故C不正確；對(duì)于D，若，則，則，則，，，所以，，所以外接圓半徑為.故D正確.故選：AD12．（2022春·黑龍江·高一哈九中校考期中）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，則下列判斷中正確的是（

）A．若，則 B．若，則該三角形有兩解C．周長(zhǎng)有最大值12 D．面積有最小值【答案】ABC【分析】對(duì)于ABC，根據(jù)正，余弦定理，基本不等式，即可解決；對(duì)于D，由正弦定理得，根據(jù)三角恒等變換解決即可.【詳解】對(duì)于A，，，由正弦定理得所以，故A正確；對(duì)于B，由正弦定理得得，所以，因?yàn)橛袃蓚€(gè)解，所以該三角形有兩解，故B正確；對(duì)于C，由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)三角形周長(zhǎng)最大為等邊三角形，周長(zhǎng)為12，故C對(duì)；對(duì)于D，由得,故由于，無最小值，所以面積無最小值，有最大值為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）任意三角形射影定理又稱“第一余弦定理”：的三邊是，它們所對(duì)的角分別是，則有，，．請(qǐng)利用上述知識(shí)解答下面的題：在中，若，則______．【答案】【分析】由題可得，計(jì)算即可.【詳解】由題得，，由第一余弦定理知，所以，所以，又C為三角形的內(nèi)角解得，故答案為：14．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）的外接圓半徑為3，則______．【答案】【分析】根據(jù)正弦定理即可求解.【詳解】因?yàn)榈耐饨訄A半徑為3，由正弦定理可得：，則有，，所以，故答案為：.15．（2022春·河南安陽·高一安陽縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若的內(nèi)角，，滿足，則的最大值為______.【答案】【分析】先由正弦定理得到三邊的關(guān)系，然后由余弦定理求角的余弦的最小值，再求得結(jié)果.【詳解】已知，由正弦定理可知，則，因?yàn)?，即，所以，則，且當(dāng)時(shí)，角最大，而在上單調(diào)遞增，此時(shí)，所以.故答案為：.16．（2020春·河北唐山·高一唐山市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，且，若邊上的中線，則的外接圓面積為___________.【答案】【分析】首先通過余弦定理可求出，根據(jù)結(jié)合向量模長(zhǎng)與數(shù)量積的關(guān)系可求的值，最后由正弦定理求出外接圓半徑進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】..由是的中點(diǎn)，可得：，，化為：，解得.，解得.，解得的外接圓面積.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知的外接圓半徑為2，若A＝30°，設(shè)AB的邊長(zhǎng)為，求的面積．【答案】或【分析】由正弦定理求得，由余弦定理得求得或，利用三角形面積公式可得結(jié)果.【詳解】的外接圓半徑，AB的邊長(zhǎng)為，由正弦定理得，則，由余弦定理得，即，∴，解得或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.18．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在中，已知，，．(1)求的值；(2)若點(diǎn)在邊上，且，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)5【分析】（1）利用余弦定理求解即可.（2）首先根據(jù)余弦定理得到，再利用余弦定理求解的長(zhǎng)即可.【詳解】（1）（2）如圖所示：因?yàn)?，，所?所以19．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在中，已知．(1)求；(2)若，判斷的形狀．【答案】(1)(2)是等腰的鈍角三角形【分析】(1)由正弦定理邊化角，再結(jié)合余弦定理，可求出角A的余弦值.(2)利用三角形內(nèi)角和關(guān)系計(jì)算出B、C角,根據(jù)角度判斷三角形形狀.【詳解】（1）由正弦定理得；∵余弦定理∴，∴,而為三角形內(nèi)角，∴（2）中，，∵,∴，因?yàn)椋?，∴，∴是等腰的鈍角三角形.20．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）甲船在A處測(cè)得乙船在北偏東70°方向，兩船相距10海里，且乙船正沿著南偏東40°方向以每小時(shí)12海里的速度航行，經(jīng)過半小時(shí)，甲船追上乙船，問甲船的航行方向是南偏東多少度？航行的速度是多少？（精確到0.1海里）（，，）【答案】甲船的航行方向是南偏東，航行的速度是26.6海里/小時(shí).【分析】由余弦定理，解得：海里/時(shí)；再利用正弦定理可得角的角度，進(jìn)而求解.【詳解】設(shè)甲船航行的速度為，則，由題意可知：，在中，由余弦定理可得：，也即，解得：海里/時(shí)，在中，由正弦定理可得：，即，解得：，所以甲航行方向?yàn)椋约状暮叫蟹较蚴悄掀珫|，航行的速度是26.6海里/小時(shí).21．（2022春·河南安陽·高一安陽縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求證：；(2)若，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理，正弦倍角公式，兩角和的正弦公式即可求解；（2）根據(jù)余弦定理，同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的余弦公式即可進(jìn)一步求解.【詳解】（1）∵，，∴，由正弦定理，得，∵中，，∴，∴，∴.（2）由，∴，由余弦定理，得，而中，，∴，∴，由（1）知，∵，，∴.22．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）請(qǐng)從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答．①；②；③的面積為．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，