第三章多維隨機(jī)變量及其分布

第三章多維隨機(jī)變量及其分布阜師院數(shù)科院第1頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月第2頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月§1二維離散型隨機(jī)變量§1.1二維離散型隨機(jī)變量及聯(lián)合分布律第3頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月二維離散型隨機(jī)向量(X,Y)的分布律表第4頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月解(X,Y)的可能取值為(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),則(X,Y)的聯(lián)合分布律為第5頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.2二維離散型隨機(jī)變量聯(lián)合分布律的性質(zhì)性質(zhì)1證

因?yàn)?所以

性質(zhì)2證

第6頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月證

第7頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月解P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j|X=i}=(1/4)(1/i)(i≥j),于是(X,Y)的分布律為第8頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月§2二維連續(xù)性隨機(jī)變量§2.1二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)第9頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)二維離散型隨機(jī)變量X和Y具有分布律P{X=xi,Y=yj}=pij,(i,j=1,2,...)，則二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為其中和式是對(duì)一切滿足xi≤x,yj≤y的來求和的.第10頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月(x1,y1)(x1,y2)(x2,y2)(x2,y1)oⅠⅢⅡⅣxy第11頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.2二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1

F(x,y)分別關(guān)于x和y單調(diào)不減.

證對(duì)任意的因?yàn)?/p>

所以即

同理可證,對(duì)任意的

有第12頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)3F(x,y)分別關(guān)于x和y右連續(xù).

第13頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.3二維連續(xù)型隨機(jī)變量第14頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月第15頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月解(1)由得所以k=6(2)第16頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月解

由

則

當(dāng)x>1,y>1時(shí),所以(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)第17頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月例:設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)具有概率密度(1)求分布函數(shù)F(x,y);(2)求概率P{Y≤X}.解:(1)(2)將(X,Y)看著平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo).G是xoy平面上直線y=x下方的部分.第18頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月關(guān)于二維隨機(jī)向量的討論,可以推廣到n(n>2)維隨機(jī)向量的情況.設(shè)(X1,X2,…,Xn)為n維隨機(jī)向量,對(duì)于任意n個(gè)實(shí)數(shù)x1,x2,…,xn,n元函數(shù)F(x1,x2,…,xn)=P{X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn}稱為n維隨機(jī)向量(X1,X2,…,Xn)的分布函數(shù)或隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn的聯(lián)合分布函數(shù).它具有類似于二維隨機(jī)向量的分布函數(shù)的性質(zhì).第19頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.4常用的二維連續(xù)型隨機(jī)變量第20頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月第21頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月§3邊緣分布第22頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月§3.1邊緣分布函數(shù)第23頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月邊緣分布函數(shù)完全由聯(lián)合分布函數(shù)確定.第24頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月解(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)第25頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月解(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)第26頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月§3.2邊緣分布律第27頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布律(2)(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布律第28頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月第29頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月解

P{X=i,Y=j}=P{Y=j|X=i}P{X=i}=(1/i)(1/4),(i≥j)于是(X,Y)的分布律及關(guān)于X和Y的邊緣分布律為第30頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月例:把3個(gè)白球和3個(gè)紅球等可能地放入編號(hào)為1,2,3的三個(gè)盒子中.記落入第1號(hào)盒子的白球個(gè)數(shù)為X,落入第2號(hào)盒子的紅球個(gè)數(shù)為Y.求(X,Y)的分布律和關(guān)于X和Y的邊緣分布律.解顯然有又因?yàn)槭录X=i}與事件{Y=j}相互獨(dú)立,所以有第31頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月用表格可如下表示第32頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月例:設(shè)隨機(jī)變量X和Y具有聯(lián)合概率密度求邊緣概率密度pX(x)和pY(y).解第33頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月§3.3邊緣密度函數(shù)邊緣密度函數(shù)完全由聯(lián)合密度函數(shù)所決定.第34頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)連續(xù)型二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度函數(shù)為f(x,y)則從而得到X和Y的概率密度函數(shù)分別為第35頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月第36頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月解（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)則（X，Y）關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)（X，Y）關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)第37頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）（X,Y）關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)（2）（X，Y）關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)第38頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月§4條件分布條件分布是條件概率的推廣.本節(jié)主要討論關(guān)于二維離散型隨機(jī)變量的條件分布律和關(guān)于二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度函數(shù).第39頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月§4.1條件分布律第40頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月第41頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月第42頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月則在X=3的條件下Y的條件分布律其中如同理在Y=1的條件下X的條件分布律第43頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月§4.2條件密度函數(shù)第44頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月第45頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月第46頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月§5隨機(jī)變量的獨(dú)立性隨機(jī)變量相互獨(dú)立是概率論中非常重要的概念,它是隨機(jī)事件相互獨(dú)立的推廣.本節(jié)主要討論兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的一般性定義,然后對(duì)兩個(gè)離散性隨機(jī)變量和兩個(gè)連續(xù)性隨機(jī)變量相互獨(dú)立進(jìn)行不同的處理.第47頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月第48頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月第49頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月第50頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月證X與Y的聯(lián)合分布律與邊緣分布律如表所示:第51頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月例:把3個(gè)白球和3個(gè)紅球等可能地放入編號(hào)為1,2,3的三個(gè)盒子中.記落入第1號(hào)盒子的白球個(gè)數(shù)為X,落入第2號(hào)盒子的紅球個(gè)數(shù)為Y.求(X,Y)的分布律,并判斷隨機(jī)變量X和Y是否相互獨(dú)立.解顯然有又因?yàn)槭录X=i}與事件{Y=j}相互獨(dú)立,所以X和Y是相互獨(dú)立,且有第52頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月用表格可如下表示第53頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月解(1)第54頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月例:設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)的概率密度函數(shù)為試證X和Y相互獨(dú)立.解于是有p(x,y)=pX(x)pY(y)所以X和Y相互獨(dú)立.第55頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月解(1)X與Y的密度函數(shù)分別為因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立,所以(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)第56頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月解(2)因?yàn)樗缘?7頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月證關(guān)于X與Y的邊緣密度函數(shù)分別為則X與Y相互獨(dú)立的充分必要條件是

即

第58頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月第59頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月§6兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布解決兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布的方法與一個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布的方法是一樣的,只是前者要比后者復(fù)雜得多.有鑒于此,我們僅僅對(duì)幾種特殊的情形加以討論.第60頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月§6.1Z=X+Y的分布解Z為離散型隨機(jī)變量,其可能取值是0,1,2,3，則Z0123P{Z=k}0.100.400.350.15第61頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月解(1)求Z的分布函數(shù)(2)求Z的密度函數(shù)由X與Y的對(duì)稱性,得如果X與Y相互獨(dú)立則有第62頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月解法一:(1)求Z的分布函數(shù)(2)求Z的密度函數(shù)第63頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月解法二:因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立顯然Z~N(0,2).第64頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月定理表明：相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的線性組合也服從正態(tài)分布.第65頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月§6.2Z1=max{X,Y}和Z2=min{X,Y}的分布解

即Z1=max{X,Y}的分布函數(shù)為第66頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月解

即Z2=min{X,Y}的分布函數(shù)為第67頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月第68頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月解系統(tǒng)壽命Z=min{X,Y}(1)求Z的分布函數(shù)當(dāng)z>0時(shí),第69頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)求Z的密度函數(shù)因?yàn)閄與Y都服從U(0,1000),則所以第70頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月例:設(shè)系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)L1，L2聯(lián)接而成，聯(lián)接方式分別為（1）串聯(lián)；（2）并聯(lián)；（3）備用（當(dāng)系統(tǒng)L1損壞時(shí)，系統(tǒng)L2開始工作）.設(shè)L1，L2的壽命X和Y的概率密度分別為其中α>0,β>0,且α≠β.試分別就以上三種聯(lián)接方式寫出L的壽命Z的概率密度.第71頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月解X和Y的分布函數(shù)分別為由于當(dāng)L1，L2中有一個(gè)損壞時(shí),系統(tǒng)L就停止工作,所以這時(shí)L的壽命為Z=min{X,Y},其分布函數(shù)為于是Z=min{X,Y}的概率密度為（1）串聯(lián)的情況:第72頁，課件共74頁，創(chuàng)