2023年全國中學生數(shù)學奧林匹克競賽（預賽）暨2023年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽 一試仿真模擬卷5詳細解析

2023年全國中學生數(shù)學奧林匹克競賽（預賽）暨2023年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽一試仿真模擬卷5詳細解析1．．解：由題意得：，．故2．．解：由題意得，．故數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．從而，．故．3．6．解：令，則．令，，，則．所以為奇函數(shù)．故也為奇函數(shù)．因此，．4．．解：比較以下三種情形下的線段EF的長度：分別將以下三個二面角展成平面，利用余弦定理計算即可．5．．解：因為，所以．從而，．故原式．6．2016．解：一方面，．另一方面，當時，．所以當時，．又，，從而．故．7．．解：設，（不妨），橢圓的長軸長為2m，雙曲線的實軸長為2n，．則，，．故，所以．于是，．所以．當，且，即，時，．8．．解：注意到，一個正整數(shù)被11整除當且僅當其奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差被11整除．記七位數(shù)為．則滿足題意的七位數(shù)共有個．又．而．故只能是，即：．于是，分組只能是：和，和，和，和．和共四種情形．每種情形可以組成個被11整除的七位數(shù)．故所求的概率為．9．解法一：易得：，，，猜想：．下面用數(shù)學歸納法證明．（1）當，2時，易知均成立；（2）假設成立，則，且滿足 ①當時，由①得因為時，，所以．又，所以．又，所以．故，即時，成立．由（1），（2）知，對任意，．解法二：易得：，，，猜想：..下面用數(shù)學歸納法證明（1）當，2時，易知均成立；（2）假設成立，則，且滿足 ①當時，由①得 ． ①即 ． ②由②左式，得，即，因為兩端為整數(shù)，則 于是． ③又由②右式，．則．因為兩端為正整數(shù)，則，所以．又因時，為正整數(shù)，則 ． ④據(jù)③④得，，即時，成立．由（1），（2）知，對任意，．10．解法一：（1）在△PAB中，，即，，即（常數(shù)），點P的軌跡C是以A、B為焦點，實軸長的雙曲線，方程為：．（2）設，①當MN垂直于x軸時，MN的方程為，和在雙曲線上．即，因為，所以．②當MN不垂直于x軸時，設MN的方程為．由，得：，由于該方程有兩個不同的解，故，所以，．于是，．因為，且M、N在雙曲線右支上，所以．由①②知，．解法二：（1）同解法一（2）設，，MN的中點為①當時，，因為．所以；②當時，．又所以；由得，第二定義得所以．于是由得．因為，所以，又，解得：由①②知．11．（1）當時，．則 令，結(jié)合，解得．故在單調(diào)遞增，同理在單調(diào)遞減．所以時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）對任意給定的，因 ，若令，則． ①則 ． ②先證：因為，，．又由，從而．所以 再證：：由①、②的關于x、a、b的對稱性，不妨設，則，1°當，則，從而，，．所以．2°若，由