歷年高中數(shù)學聯(lián)賽真題分類匯編08基本初等函數(shù)

1/3歷年高中數(shù)學聯(lián)賽真題分類匯編專題08基本初等函數(shù)第四緝1．【2017年福建預賽】函數(shù)fx=2x?7【答案】11【解析】由柯西不等式可知：(2x?7當且僅當32x?73=所以fx2．【2017年江西預賽】函數(shù)y=?4x+34【答案】5【解析】提示：首先y>?4x+3根據(jù)判別式Δ=64y因y>0,則y≥3．【2017年河南預賽】方程x2+x3+x7=x【答案】?【解析】提示:設x=42p+將x代入原方程得p對于每個不同的q確定了唯一的有序數(shù)對p,q,從而又p當且僅當q=41時,p=?故最小的解為?854．【2017年湖北預賽】設函數(shù)fx=x3+ax2+bx【答案】18【解析】提示：設gx=f故gx=a所以b=?a2a+又a≠0,則故a+5．【2017年湖北預賽】設函數(shù)fx=12x【答案】453【解析】提示:易知函數(shù)fx在[0,+∞)上單調遞減,且f當x>3時,有所以,函數(shù)y=f6．【2017年四川預賽】已知函數(shù)fx=25x25x【答案】1008【解析】提示:因為0<x1,x7．【2017年陜西預賽】設函數(shù)fx=ax2x+3,若ff【答案】?【解析】提示：依題意,a?ax2x+32?8．【2017年陜西預賽】設方程xy=6x+y的全部正整數(shù)解為x1,y【答案】290【解析】提示：原方程可化為x?為22?32的正約數(shù)有k=9．【2017年甘肅預賽】已知函數(shù)fx+1為奇函數(shù),函數(shù)fx?1為偶函數(shù),且f【答案】?【解析】提示:因為fx+1為奇函數(shù),所以fx+又因為fx?令x=1得所以f10．【2017年貴州預賽】若函數(shù)fx=x3?6x2+【答案】(【解析】提示：因為函數(shù)fx=x又fx所以3?11．【2017年貴州預賽】已知函數(shù)fx滿足:f2?x=2?fxx∈R【答案】2n【解析】提示：因為f2?x=2又函數(shù)y=xx?1的圖象也關于點1,1對稱,故函數(shù)y所以i12．【2017年廣東預賽】設fx是定義在R上的奇函數(shù),f1=2,當x>0時,fx是增函數(shù),且對任意的x,y∈R【答案】?【解析】提示：因為fx是奇函數(shù),且在0所以fx在?∞,0上也是增函數(shù),則又f(2)=f(1)+f(1)=4,所以f(?2)=?f(2)=?4，故函數(shù)f(x)在[-3,-2]上的最大值為?4.13．【2017年浙江預賽】已知log75a?3=log【答案】2【解析】提示：將原式化簡為log75a?3=loga2+1514．【2017年浙江預賽】設S是0,58中所有有理數(shù)的集合,對簡分數(shù)qp∈S,p,q=【答案】5【解析】 提示:由于fx=23,令q15．【2017年浙江預賽】已知fx=?2x,x<0,x2?【答案】17【解析】提示:設gx=21方程可變形為max由?2x≥2從而有maxf于是?2x=ax+2?x=?2a+2?1?x??所以x3由于x3?x即4a+2=16．【2017年湖南預賽】已知函數(shù)fx滿足fm+n=f【答案】24【解析】提示：符合fm+n=f17．【2017年江蘇預賽】若函數(shù)fx=x2?1x2+ax+【答案】?【解析】提示:f1=f?1所以f令t=x所以fx的最小值是?18．【2017年新疆預賽】設函數(shù)fx=a0+a1x+a【答案】254【解析】提示：因為ai(i=0,1,2,?,n)均為非負整數(shù),由f(5)=152得又由f(1)=4知a0因此a0=2,且對1?i?n同時,由54>152=f(5)知故只需考慮如下方程組：{2+5二式聯(lián)立得a2因為ai為非負整數(shù),故a2=因此,f(6)=2+619．【2017年新疆預賽】已知函數(shù)fx是R上的減函數(shù),且是奇函數(shù).若m、n滿足不等式組fm+fn【答案】[【解析】提示：由于fx是奇函數(shù)且在x=0依題意,{f(m)+f(n?2)?0由于f(x)是減函數(shù)，從而有{m?2?n,設5m?n=a(m+n)+b(m?n)=(a+b)m+(a?b)n，于是{a+b=5從而5m?n=2(m+n)+3(m?n)?2×2+3×1=7，即5m?n的取值范圍是[7,+∞).20．【2017年新疆預賽】已知x1=1,x2=2【答案】24【解析】提示：由于fx的最高次數(shù)為4,故f注意到fx于是,可設fx為從而可以得到f021．【2017年新疆預賽】已知a>1,則loga16+【答案】4【解析】提示：首先,由對數(shù)的運算得loga由于a>1從而,由均值不等式得4其中當且僅當a=22．【2017年新疆預賽】已知A從甲地到乙地用了整數(shù)個小時,且A每小時走的公里數(shù)與他從甲地到乙地所用的時間相同.B從甲地到乙地每小時走2公里,且每走4公里休息1小時,共用了11小時.則甲、乙兩地距離為 公里.【答案】16【解析】提示:設A從甲地到乙地用了x小時,B在路上共休息了a小時.由A、B所走路程相等列方程：x由于B休息了a小時,說明B走了a個4公里還沒走到,且最多再走4公里后就能走到.于是,{4a<x2即A用了4小時，甲、乙兩地相距16公里.23．【2017年內蒙古預賽】已知函數(shù)fx=x2+1?25ax,其中【答案】5【解析】提示：因為fx=x2+1?所以a的取值范圍為5224．【2016年山東預賽】方程x=x?x?6的解為【答案】2，6【解析】若x≥6，則方程的解為x=6.若x<6，方程變?yōu)閤=2x?6（1）當3≤x<6時，方程無解；（2）當x<3時，方程有解x=2.故原方程的解為x=2，6．25．【2016年山東預賽】方程lgxlglg【答案】10【解析】令a=lga?lg若lglglgx=若lglglgx=從而，方程的整數(shù)解為x=1026．【2016年山東預賽】設α、β分別滿足方程α2?3α【答案】2【解析】整理得α?131?β3+21?β?1=0，即而x3+2x?1=0只有一個解，則27．【2016年安徽預賽】若關于x的方程x2【答案】0,4【解析】設fxf'x當x≤0時，fx單調遞減，f當0≤x≤2時，fx單調遞增，f當x≥2時，fx當x→+∞時，fx因此，fx=a有三個不同實根當且僅當28．【2016年新疆預賽】若函數(shù)fx是周期為3的奇函數(shù),當x∈0,1時,fx【答案】?1【解析】注意到,log13于是,f又由fx為奇函數(shù)且loflo29．【2016年全國】設正實數(shù)u、v、w均不等于1.若loguvw+log【答案】4【解析】令logulogv故a+ab+b=5,1從而，logw30．【2016年上海預賽】若x∈(-1,1)時，fx【答案】0，2【解析】注意到，二次函數(shù)y=x2?ax+當?1＜a2＜1當a≥2時，f（x）在區(qū)間（-1，1）上為減函數(shù)，題設?f1當a≤-2時，f（x）在區(qū)間（-1，1）上為增函數(shù)，題設?f?1綜上,a的取值范圍的0，231．【2016年上海預賽】不等式log【答案】(?5,?3)∪(1,3).【解析】設t=x2+2x?3.則原不等式變?yōu)閘ogf(t)＞f(12)?0＜t＜1232．【2016年浙江預賽】設函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若對任意實數(shù)都有，且當時，，則____________.【答案】.【解析】試題分析：∵函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，∴；又∵對任意實數(shù)都有，∴，∴函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)；∵當時，，∴，∵，∴.故答案為：.考點：函數(shù)的奇偶性和周期性.33．【2016年浙江預賽】設a∈R，方程x?a?a=2恰有三個不同的根。則【答案】2【解析】原方程可變形為x?a=a±2.要使方程恰有三個不同的根，則a=2.此時，方程恰有三個不同的根x1=234．【2016年上海預賽】已知函數(shù)fx=ax2+bx+c（a≠0，a、