層次分析法課程設(shè)計

物流系統(tǒng)規(guī)劃與設(shè)計》層次分析法課程設(shè)計2012-2013學(xué)年第1學(xué)期姓名學(xué)號班級成績指導(dǎo)教師2012年10月18日層次分析法(AnalyticHierarchyProcess,簡稱AHP)是對一些較為復(fù)雜、較為模糊的問題作出決策的簡易方法，它特別適用于那些難于完全定量分析的問題。它是美國運籌學(xué)家T.L.Saaty教授于70年代初期提出的一種簡便、靈活而又實用的多準(zhǔn)則決策方法。一、層次分析法的基本原理與步驟人們在進(jìn)行社會的、經(jīng)濟(jì)的以及科學(xué)管理領(lǐng)域問題的系統(tǒng)分析中，面臨的常常是一個由相互關(guān)聯(lián)、相互制約的眾多因素構(gòu)成的復(fù)雜而往往缺少定量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)。層次分析法為這類問題的決策和排序提供了一種新的、簡潔而實用的建模方法。運用層次分析法建模，大體上可按下面四個步驟進(jìn)行：G)建立遞階層次結(jié)構(gòu)模型；構(gòu)造出各層次中的所有判斷矩陣；層次單排序及一致性檢驗；層次總排序及一致性檢驗。下面分別說明這四個步驟的實現(xiàn)過程。1.1遞階層次結(jié)構(gòu)的建立與特點應(yīng)用AHP分析決策問題時，首先要把問題條理化、層次化，構(gòu)造出一個有層次的結(jié)構(gòu)模型。在這個模型下，復(fù)雜問題被分解為元素的組成部分。這些元素又按其屬性及關(guān)系形成若干層次。上一層次的元素作為準(zhǔn)則對下一層次有關(guān)元素起支配作用。這些層次可以分為三類：最高層：這一層次中只有一個元素，一般它是分析問題的預(yù)定目標(biāo)或理想結(jié)果，因此也稱為目標(biāo)層。中間層：這一層次中包含了為實現(xiàn)目標(biāo)所涉及的中間環(huán)節(jié)，它可以由若干個層次組成，包括所需考慮的準(zhǔn)則、子準(zhǔn)則，因此也稱為準(zhǔn)則層。(iii)最底層：這一層次包括了為實現(xiàn)目標(biāo)可供選擇的各種措施、決策方案等，因此也稱為措施層或方案層。遞階層次結(jié)構(gòu)中的層次數(shù)與問題的復(fù)雜程度及需要分析的詳盡程度有關(guān)，一般地層次數(shù)不受限制。每一層次中各元素所支配的元素一般不要超過9個。這是因為支配的元素過多會給兩兩比較判斷帶來困難。下面結(jié)合一個實例來說明遞階層次結(jié)構(gòu)的建立。例1假期旅游有P1、P2、P33個旅游勝地供你選擇，試確定一個最佳地點。在此問題中，你會根據(jù)諸如景色、費用、居住、飲食和旅途條件等一些準(zhǔn)則去反復(fù)比較3個侯選地點?？梢越⑷缦碌膶哟谓Y(jié)構(gòu)模型。目標(biāo)層O準(zhǔn)則層目標(biāo)層O準(zhǔn)則層C措施層P1231.2構(gòu)造判斷矩陣層次結(jié)構(gòu)反映了因素之間的關(guān)系，但準(zhǔn)則層中的各準(zhǔn)則在目標(biāo)衡量中所占的比重并不一定相同，在決策者的心目中，它們各占有一定的比例。在確定影響某因素的諸因子在該因素中所占的比重時，遇到的主要困難是這些比重常常不易定量化。此外，當(dāng)影響某因素的因子較多時，直接考慮各因子對該因素有多大程度的影響時，常常會因考慮不周全、顧此失彼而使決策者提出與他實際認(rèn)為的重要性程度不相一致的數(shù)據(jù)，甚至有可能提出一組隱含矛盾的數(shù)據(jù)。為看清這一點，可作如下假設(shè)：將一塊重為1千克的石塊砸成n小塊，你可以精確稱出它們的重量，設(shè)為w，…,w，現(xiàn)在，請人估計1n這n小塊的重量占總重量的比例（不能讓他知道各小石塊的重量），此人不僅很難給出精確的比值，而且完全可能因顧此失彼而提供彼此矛盾的數(shù)據(jù)。設(shè)現(xiàn)在要比較n個因子X二｛x,…,x｝對某因素Z的影響大小，怎樣比較才能提供可1n信的數(shù)據(jù)呢？Saaty等人建議可以采取對因子進(jìn)行兩兩比較建立成對比較矩陣的辦法。即每次取兩個因子x和x，以a表示x和x對Z的影響大小之比，全部比較結(jié)果用矩陣ijijij1aijA=（a）表示，稱A為Z-X之間的成對比較判斷矩陣（簡稱判斷矩陣）。容易看出,jn1aij若x與x對Z的影響之比為a，則x與x對Z的影響之比應(yīng)為aijijjiji定義1若矩陣A=（a）滿足ijnxn(i)a(i)a>0，(ii)aijji1aij(i,j二1,2，…,n)則稱之為正互反矩陣（易見a=1，i=1,…,n）。ii關(guān)于如何確定a的值，Saaty等建議引用數(shù)字1~9及其倒數(shù)作為標(biāo)度。下表列出了1~9ij標(biāo)度的含義：標(biāo)度含義135792，4，6，8倒數(shù)表示兩個因素相比，具有相冋重要性表示兩個因素相比，前者比后者稍重要表示兩個因素相比，前者比后者明顯重要表示兩個因素相比，前者比后者強(qiáng)烈重要表示兩個因素相比，前者比后者極端重要表示上述相鄰判斷的中間值若因素i與因素j的重要性之比為a，那么因素j與因素i重要性（/1之比為a——。jia

從心理學(xué)觀點來看，分級太多會超越人們的判斷能力，既增加了作判斷的難度，又容易因此而提供虛假數(shù)據(jù)。Saaty等人還用實驗方法比較了在各種不同標(biāo)度下人們判斷結(jié)果的正確性，實驗結(jié)果也表明，采用1~9標(biāo)度最為合適。n(n—1)最后，應(yīng)該指出，一般地作亠次兩兩判斷是必要的。有人認(rèn)為把所有元素都和某個元素比較，即只作n—1個比較就可以了。這種作法的弊病在于，任何一個判斷的失誤均可導(dǎo)致不合理的排序，而個別判斷的失誤對于難以定量的系統(tǒng)往往是難以避免的。進(jìn)行n(n~1)次比較可以提供更多的信息，通過各種不同角度的反復(fù)比較，從而導(dǎo)出一個合理的排序。1.3排序。1.3層次單排序及一致性檢驗判斷矩陣A對應(yīng)于最大特征值九的特征向量W，經(jīng)歸一化后即為同一層次相應(yīng)因素max對于上一層次某因素相對重要性的排序權(quán)值，這一過程稱為層次單排序。上述構(gòu)造成對比較判斷矩陣的辦法雖能減少其它因素的干擾，較客觀地反映出一對因子影響力的差別。但綜合全部比較結(jié)果時，其中難免包含一定程度的非一致性。如果比較結(jié)果是前后完全一致的，則矩陣A的元素還應(yīng)當(dāng)滿足：aa=a，Vi,j,k=1,2,…,n(1)ijjkik定義2滿足關(guān)系式(1)的正互反矩陣稱為一致矩陣。需要檢驗構(gòu)造出來的(正互反)判斷矩陣A是否嚴(yán)重地非一致，以便確定是否接受A。定理1正互反矩陣A的最大特征根九必為正實數(shù)，其對應(yīng)特征向量的所有分量均max為正實數(shù)。A的其余特征值的模均嚴(yán)格小于九max定理2若A為一致矩陣，則(i)A必為正互反矩陣。(ii)A的轉(zhuǎn)置矩陣AT也是一致矩陣。A的任意兩行成比例，比例因子大于零，從而rank(A)=1(同樣，A的任意兩列也成比例)。A的最大特征值九=n，其中n為矩陣A的階。A的其余特征根均為零。max若A的最大特征值九對應(yīng)的特征向量為W=(w，,w)T，則a=竺，max1nijwjVi,j=1,2,…,n，即

www——1-1www12nwww22.■.2-厶www12n……wwwnn???nwww12n定理3n階正互反矩陣A為一致矩陣當(dāng)且僅當(dāng)其最大特征根九=n，且當(dāng)正互反矩max陣A非一致時，必有九>n。max根據(jù)定理3,我們可以由九是否等于n來檢驗判斷矩陣A是否為一致矩陣。由于特征max根連續(xù)地依賴于a..,故九比n大得越多，A的非一致性程度也就越嚴(yán)重，九對應(yīng)的標(biāo)ijmaxmax準(zhǔn)化特征向量也就越不能真實地反映出X={x,…,x}在對因素Z的影響中所占的比重。1n因此，對決策者提供的判斷矩陣有必要作一次一致性檢驗，以決定是否能接受它。對判斷矩陣的一致性檢驗的步驟如下：G）計算一致性指標(biāo)CIC/-九-nn一1（ii）查找相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI。對n二1,…,9，Saaty給出了RI的值，如表所示：n123456789RI000.580.9021.411.45RI的值是這樣得到的，用隨機(jī)方法構(gòu)造500個樣本矩陣：隨機(jī)地從1~9及其倒數(shù)中抽取數(shù)字構(gòu)造正互反矩陣，求得最大特征根的平均值九'，并定義maxRImaxRImax-n一1（iii）計算一致性比例CRCR二CI當(dāng)CR<0.10時，認(rèn)為判斷矩陣的一致性是可以接受的，否則應(yīng)對判斷矩陣作適當(dāng)修正。1.4層次總排序及一致性檢驗上面我們得到的是一組元素對其上一層中某元素的權(quán)重向量。我們最終要得到各元素特別是最低層中各方案對于目標(biāo)的排序權(quán)重，從而進(jìn)行方案選擇?？偱判驒?quán)重要自上而下地將單準(zhǔn)則下的權(quán)重進(jìn)行合成。設(shè)上一層次（A層）包含A共m個因素，它們的層次總排序權(quán)重分別為1ma’,…,a。又設(shè)其后的下一層次（B層）包含n個因素坷,…,B，它們關(guān)于A?的層次單1m1nj排序權(quán)重分別為b，,b(當(dāng)B與A無關(guān)聯(lián)時，b=0)?，F(xiàn)求B層中各因素關(guān)于總目標(biāo)1jnjijij的權(quán)重，即求B層各因素的層次總排序權(quán)重b，,b，計算按下表所示方式進(jìn)行，即1nb=￡ba，i=1,…,n。iijjj=1層Ba2%::B層總排序權(quán)值民bn^12...JTMJ=1m民如1慮s如勺J—1*???/B”buz-SbniajJ—1對層次總排序也需作一致性檢驗，檢驗仍象層次總排序那樣由高層到低層逐層進(jìn)行。這是因為雖然各層次均已經(jīng)過層次單排序的一致性檢驗，各成對比較判斷矩陣都已具有較為滿意的一致性。但當(dāng)綜合考察時，各層次的非一致性仍有可能積累起來，引起最終分析結(jié)果較嚴(yán)重的非一致性。設(shè)B層中與A?相關(guān)的因素的成對比較判斷矩陣在單排序中經(jīng)一致性檢驗，求得單排序j一致性指標(biāo)為CI(j),(j=1,…,m)，相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)為RI(j)(CI(j)、RI(j)已在層次單排序時求得)，則B層總排序隨機(jī)一致性比例為藝CI(j)a.CR=亠遲RI(j)ajj=1當(dāng)CR<0.10時，認(rèn)為層次總排序結(jié)果具有較滿意的一致性并接受該分析結(jié)果。二、層次分析法的實際應(yīng)用根據(jù)上文例1，從“人間天堂是杭州---浙江杭州、桂林漓江獨秀美---廣西桂林、心馳神往張家界---湖南張家界、心靈圣地在西藏---西藏、錦繡麗江如仙境---云南麗江”5個旅游勝地中，根據(jù)景色、費用、居