2021中考數(shù)學(xué)：知識點31 與圓有關(guān)的位置關(guān)系

一、挑選題

5.（2021?蘇州）如圖所示，A8為。O的切線.切點為4,連接A。，BO,80與。。交于點C,延長8。

與。O交于點。，連接AD若NA8O=36°,則NAOC的度數(shù)為（）

A.54°B.36°C.32°D.27°

（第5題）

【答案解析】D

【試題解答】本題考查了切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的外

角性質(zhì)為。。的切線，ZOAB=90°,；NA8O=36。，/.ZAOB=900-ZABO=54°,,：

OA=。，ZADC=Z0AD,VZAOB^ZADC+ZOAD,：.ZADC=ZAOB-210,故選D.

1.（2021無錫）如圖所示，布是。。的切線，切點為A,PO的延長線交。。于點8,若NP=40°,則

NB的度數(shù)為（）

A.20°B.25°C.40°D.50°

【答案解析】B

【試題解答】；心是。。的切線，切點為A,J.OALAP,：.ZOAP=900,VZAPB=40°,

ZAOP=50°,VOA=OB,：.ZB=ZOAB=ZAOP=25°.故選B.

p

2.(2021?自貢)如圖所示，已知A、B兩點的坐標分別為(8,0)、(0,8),點C、F分別為直

線x=-5和x軸上的動點，CF=10,點D是線段CF的中點，連接AD交y軸于點E,當AABE的面積

取得最小值時，tanNBAD的值是()

第12糠圖

A.-B.-C.-D.-

171799

【答案解析】B.

【試題解答】VA(8,0),B(0,8),ZAOB=90°,

...△AOB是等腰直角三角形，

；.A8=8近，ZOBA=45°,

取0(-5,0),當C、尸分別在直線產(chǎn)-5和x軸上運動時,

?線段?！笔切边吷现芯€，

：.DH=^CF=W,

故。在以H為圓心，半徑為5的圓上運動，

當AZ)與圓H相切時，△ABE的面積最小.

在Rt/\ADHAH=OH+OA=13,

：.AD^AH2-AD2=12.

VZAOE=ZADH=9^,NEASNHAD,

/./\AOE^/\ADH,

.?.羽=空，即些=工

4。AD812

???0喈

14

：.BE=0B-0E=^,

3

??&A片派?OA^AB?EG,

14

?“-_BEOA_X8_/2

?*lh\J~Tl--7A?

AB8V23

在RAGE中,NEBG=45°,

：.BG=EG=^Y，

：.AG=AB-BG=—.

3

在中，

tanNBAD隼=-.

AG17

故選B.

3.（2021哈州）如圖，等邊三角形ABC的邊長為8,以BC上一點O為圓心的圓分別與邊AB,AC相切，則

?O的半徑為（）

C.4D.4-6

【答案解析】A

【試題解答】；。0與八8,人（2相切，，0口_1_人8,0￡_1八（2,又：0口=0￡,，NDAO=NEAO,XVAB=AC,/.

BO=CO,，ZDAO=30°,BO=4,OD=OAtanZDAO=GOA,又：在Rt△AOB中，

AO=-JAB2-OB2=4V3,;.OD=26故選A.

4.（2021?重慶B卷）如圖所示，48是。。的直徑，AC是。。的切線，A為切點,

若NC=40。則NB的度數(shù)為（）

A.60°B.50°C.40°D.30°

【答案解析】B

【試題解答】圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑，因為4C是。。的切線，A為切點，所以N8AC=90。,

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，若NC=40。則N8的度數(shù)為50。.故選B.

5.（2021?重慶A卷）如圖所示，AB是。。的直徑，4c是。。的切線，A為切點，BC與。。交于

點。，連結(jié)0。.若NC=50°,則/AOD的度數(shù)為

（）

A.40°B.50°C.80°D.100°

【答案解析】c

【試題解答】；AC是（DO的切線，：.ACVAB.VZC=50°,AZB=90°-ZC=40°.'：OB=OD,：.

/B=/OZ）8=40°..?.NAOO=/B+NO￡>8=80".故選C.

7.

8.

9-

10.

二、填空題

1.（2021?岳陽）如圖所示，42為。。的直徑，點尸為A3延長線上的一點，過點P作。0的切線PE,

切點為M,過A、8兩點分別作PE的垂線AC、BD,垂足分別為C、D,連接AM,則下列結(jié)論正確的是

.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

①AM平分NC48；?AlVP=AC-AB-.

7T

③若AB=4,ZAPE=30°,則5M的長為一；

3

④若AC=3,BD=1,則有CM=DW=JL

E

【答案解析】①②④

【試題解答】連接OMBM

?“E是。。的切線,

:.0M1.PE.

?：ACLPE,

：.AC//OM.

：.ZCAM=ZAMO.

?.,OA=OM

???ZAMO=ZMAO.

：.ZCAM=ZMAO.

???AM平分NCA8.選項①正確;

〈AB為直徑，

???ZAMB=90°=ZACM.

'：ZCAM=ZMAO.

：.AAMC^^ABM.

.AC_AM

.\AM2=AC,AB.選項②正確;

VZP=30°,

/.ZMOP=60°.

???A8=4,

???半徑-2.

.60萬x22

'=-------=—71選項③錯誤;

BM1803

VBD//OM//AC,OA=OB,

：.CM=MD.

u：ZCAM+ZAMC=9()°,ZAMC+ZBMD=9Q°,

:?/CAM=/BMD.

VZACM=ZBDM=90°,

.ACCM

:.CM?DM=3X1=3.

CM二DM二百.選項④正確；

綜上所述，結(jié)論正確的有①②④.

2.（2021?無錫）如圖所示，在△A8C中，AC：BC：AB=5：12：13,O。在△ABC內(nèi)自由移動,若。O

的半徑為1,且圓心。在AABC內(nèi)所能到達的區(qū)域的面積為—,則△ABC的周長為

3

CB

【答案解析】25

【試題解答】如圖所示，圓心。在△A8C內(nèi)所能到達的區(qū)域是△。。2。羽三邊向外擴大1得到

△ACB.二它的三邊之比也是5：12：13,的面積=3，.?.QO，=W,0,0產(chǎn)4,。。產(chǎn)

33

1a

—,連接AOiHCO2,并延長相交于/,過/作/CAC于。，交。。2于E,過/作/GLBC于G交QQ

3

PF,貝IJ/是RtZUBC與RtZ\OGO3的公共內(nèi)心，四邊形/￡（%尸四邊形〃>CG都是正方形，:/E=IF=

-°。爐0203——=2，￡D=1：.ID=IE+ED=-.設(shè)△AC8的三邊分別為5〃?、12m,13/n,則有

002+。2。3+。1。333

ID=——ACXBC——=2m=—,解得，”=9，ZXABC的周長=30加=25.

AC+BC+AB36

A

B

3.（2021?濟寧）如圖所示，。為心AABC直角邊AC上一點，以。C為半徑的。。與斜邊A8相切于點

D,交。4于點E,已知8c=百，4C=3.則圖中陰影部分的面積是.

■依舊匚、6-3>/J

【答案解析】-----71

4

?BC6.

【試題解答】在中,?tanA.=----=—,??NA=300?

AC3

???。0與斜邊AB相切于點D,：.ODLAB.

設(shè)。。的半徑為r,在心AA。。中，tanA=—=-,解得/=獨匚,

OA3—r2

mM口60/38-3、26-3^3

?.1陰ra影的面積是s=^x+(^^l=一?J

4.（2021?眉山）如圖所示，在RtaAOB中，OA=OB=4貶,。0的半徑為2,點P是AB邊

上的動點，過點尸作。。的一條切線P。（點。為切點），則線段PQ長的最小值為.

【答案解析】2百

【試題解答】連接0Q,如圖所示，

：PQ是。O的切線，.,.OQ1PQ,根據(jù)勾股定理知：PQ2=OP2-OQ2,.?.當POLAB時，線段PQ最短，

T在RtZkAOB中，OA=OB=4&,AAB=V2OA=8,.,.SAAOB=-OA?OB=-AB*OP,BPOP=OA*OB=4,

22AB

，PQ=yjoP--OQ2=A/42-22=2^3.故答案為:2石.

5.（2021嚀1波）如圖,Rt^ABC中，/C=90°,AC=12,點D在邊BC上3口=5,8口=13一＞^^是線段AD

上一動點，當半徑為6的OP與aABC的一邊相切時,AP的長為.

A

【答案解析】日或3萬

【試題解答】半徑為6的0P與aABC的一邊相切，可能與ACBCAB相切，故分類討論:

①當0P與AC相切時，點P到AC的距離為6,但點P在線段AD上運動，距離最大在點D處取到，為5,故

這種情況不存在；

②當0P與AC相切時，點P到BC的距離為6,如圖PE=6,PE，AC,；.PE為4ACD的中位線，點P為AD

113

中點，?,?AP=-AD=，.

22'

③當0P與AB相切時，點P到AB的距離為6,即PF=6,PFLAB,過點D作DGJ_AB于點G,二△APFs4

PP4ri--------------------.—.―

ADG^AABC)—其中，PF=6,AC=12,AB=V^耳法7=6^

/\r/\L)

綜上所述,AP的長為葭或3萬.

9.

三、解答題

23.(2021?衡陽)如圖所示，點A、B、C在半徑為8的。。上，過點B作BO〃4C,交OA延長線于

點。，連接BC,且NBCA=NOAC=30。.

(1)求證是。。的切線；

(2)求圖中陰影部分的面積.

解：(1)證明：連接08交AC于E,由NBC4=30。，.?.乙408=60。.

在AAOE中，VZOAC=30°,：.ZOEA=90°,所以O(shè)B_L4c.

TBD//AC,：.OB±BD.

又3在圓上，...80為G)O的切線；

(2)由半徑為8,所以0A=0B=8.

在A/AOC中，ZOAC=ZOCA=30°,NCOA=120。，：.AC=Sy/3.

由NBC4=NOAC=30。，：.OA//BC,而6O〃AC,四邊形ABC。是平行四邊形..,.80=8道.

...△08。的面積為-X8X8V5=32G,扇形043的面積為一乂兀乂82=

263

陰影部分的面積為32^--.

3

24.(2021?淮安)如圖所示，AB是OO的直徑，AC與。O交于點E弦AD平分/BAC,DE1AC,垂

足為E.

(1)試判斷直線DE與。O的位置關(guān)系，并說明理由；

⑵若。O的半徑為2,ZBAC=60°,求線段EF的長.

【解題過程】（1）直線DE與。0相切.理由如下:

第24題答圖I

如圖所示，連接OD,則OA=OD,

ZODA-ZBAD.

二?弦AD平分NBAC,

NFAD=/BAD.

；.NFAD=ZODA,

；.OD〃AF.

又：DEXAC,

ADE±OD,

直線DE與。O相切.

（2）連接BD,

；AB是。。的直徑,

，NADB=90°.

；AD平分NBAC,ZBAC=60°,

...NFAD=/BAD=30°,/B=60°,

.*.ZDFE=ZB=60o.

；。0的半徑為2,

；.AB=4,

：.AD=/lBcos30o=4x—=2^/3.

2

OE=4B.sin30°=2gxL6,

2

DEV3

EF=__=1

tan60°V3

22.(2021?常德，22題，7分)如圖6,。。與△ABC的AC邊相切于點C,與A8、8c邊分別交于點。、

E,DE//OA,CE是。。的直徑.

(1)求證:A8是。。的切線:

(2)若BD=4,CE=6,求AC的長.

圖6

【解題過程】證明：(1)連接OD,,CDE//OA,：.ZAOC=ZOED,NAOD=NODE,,：OD=OE,AZ

OED=NODE,：.ZAOC=ZAOD,又?.?。4=。4OD=OC,A(SAS),ZADO=Z

ACO."：CE是。。的直徑，4c為。。的切線，AOCIAC,AZ0c4=90°,：.ZADO==90°,

：.OD±AB,

為。。的半徑，是。。的切線.

(2)VC￡=6,：.OD=OC=3,,：ZBDO=90°,：.BO2BD2+OD\VBD=4,：.OB=>l42+32=5,

；.8C=8,:NBDO=NOCA=90°,ZB=ZB..'./\BDO^/^BCA,,：.AC=

BCAC8AC

6.

21.（2021鉞漢）已知AB是0。的直徑，AM和BN是O。的兩條切線，DC與。。相切于點E,分別交AM、

BN于。、C兩點

(1)如圖1,求證:AB2=4AZ>BC

（2）如圖2,連接。E并延長交AM于點F,連接CF.若NADE=2NOFC,AD=1,求圖中陰影部分的面積

圖1圖2

【解題過程】

證明：（1）如圖1,連接0。OC,OE.

'：AD,BC,8是。。的切線,

：.OAA.AD,OBJLBC,OE±CD,AD=ED,BC=EC,ZODE=-ZADC,ZOCE=-ZBCD

22

：.AD//BC,：.ZODE+ZOCE=-QZADC+ZBCD)=90°,

2

'：ZODE+ZDOE=90°,：.ZDOE=ZOCE.

又VZOED=ZCEO=90°,

:.△ODE—ACOE.

O￡EC

：=OEI=ED.EC

EDOE

：.4OE2=^4ADBC,：.AB2^4ADt3C

(2)解：如圖2,由(1)知

VZADE=2ZOFC,NBOE=42coF,

NCOF=NOFC,:.△COF等腰三角形.

'：OE±CD,：.CD垂直平分OF.

ZAOD=ZDOE=ZOFD=30°,NBOE=120°.

An廠

/.=OA=--------=V3,BC=OB-tan60°=3.

rtan30°

??S陰影=2sGOBC-s3出OBE=35/3—7t.

26.(2021?隴南)如圖所示，在△ABC中，AB=AC,NBAC=120°,點。在8C邊上，QD經(jīng)過點4

和點8且與BC邊相交于點E.

(I)求證:4C是的切線;

(2)若CE=2?,求。。的半徑.

A

(1)證明：連接獨

'：AB=AC,ZBAC=12Qa,

...N4NC=30°,

'：AD=BD,

:.NBAD=NB=30：

：.ZADC=60°,

：.ZDAC=180°-60°-30°=90°,

.?"C是。。的切線；

(2)解：連接幽

,:AD=D&/座=60。,

:AADE是等邊三角形，

：.AE=DE,N幽=60：

：.AEAC=AAED-ZC=3Q°,

：.ZEAC=ZC,

:.AE=CE=2M，

二。。的半徑加=2點.

24.(2021?泰州，24題，10分)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,AC為。。的直徑，D為弧AC的中點，過

點D作DE〃AC,交BC的延長線于點E.

(1)判斷DE與。。的位置關(guān)系，并說明理由;

⑵若。。的半徑為5,AB=8,求CE的長.

第24題圖

【解題過程】⑴DE為。。的切線，理由如下:連接OD,為。。的直徑,D為弧AC的中點，.?.弧AD

=MCD,所以AD=DC,因為AO=OC,所以O(shè)D_LAC,.,.NAO￡>=NCO￡>=90。，XVDE//AC,：.ZEDO

=/AOQ=90。，所以O(shè)DLDE,.?.口￡為O。的切線；

第24題答圖

(2)?；DE〃AC,NEDC=/ACD,VZACD=ZABD,所以/EDC=NABD,又：/DCE=/BAD,；.△

DCE^ABAD,g=生半徑為5,AAC=10,VD為弧AC的中點，；.AD=CD=5&,，CE="

ADAB4

1.(2021?金華)如圖所示，在YOA3C中，以。為圓心，04為半徑的圓與8c相切于點8,與OC

相交于點D.

(1)求加)的度數(shù);

(2)如圖所示，點E在。O上，連結(jié)CE與。。交于點F.若求NOCE的度數(shù).

E

解：1)連結(jié)OB.

???3。是。。的切線，

JOB1BC,

??,四邊形。48。是平行四邊形

：.OA//BQJ.OBLOA.

是等腰直角三角形.

JNA5O=45。.

?：OC//AB,

：.ZBOC=ZABO=45°.

：.8。的的度數(shù)為45°；

(2)連結(jié)?！赀^點。作Oa_LEC于點兒設(shè)EH=t,

■:0H上EC,

：?EF=2HE=2t,

??,四邊形OA8C是平行四邊形

:.AB=CO=EF=2t,

???△A08是等腰直角三角形.

???。0的半徑。4=&九

.?.在Rt/^EHO中，OH=y/0E2-EH2=在"=/

在RfZ\OC"中，'：OC=2OH,：.ZOCE=30°.

2.(2021?湖州)已知在平面直角坐標系xOy中，直線分別交x軸和y軸于點A(—3,0)、8(0,3).

(1)如圖1,已知。P經(jīng)過點O,且與直線人相切于點B,求。尸的直徑長；

(2)如圖2,已知直線/2：y=3x-3分別交x軸和y軸于點C和點2點。是直線b上的一個動點，以

Q為圓心，2起為半徑畫圓.

①當點Q與點C重合時，求證：直線/i與。。相切；

②設(shè)。Q與直線/i相交于點M,N,連結(jié)QMQM問：是否存在這樣的點Q,使得AQMN

是等腰直角三角形，若存在，求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

解：(I)如答圖I,連接PO、PB.

???OP與直線/i相切于點8,

：.ABLBP.

V4(-3,0)、8(0,3),

：.OA=OB=3.

又：408=90°,

：.ZOBA=^OAB=45°.

AZPBO=45°.

?:PB=PO,

：.ZOPB=90°.

PQ3\j2

在Rt△尸。8中，山sinNP80=——,得P0=sinZPH0=3Xsin45°=-------.

OB2

二。戶的宜徑為3后.

(2)①如答圖2,過點C作CELA3于點￡易知C(l,0),從而AC=3+1=4.

CEr-

在Rt^ACE中，由sin/CAE=——.得CE=AC?sinNCAE=4Xsin45°=2.

AC

???。。的半徑為2行，且點。與點C重合，

與直線/i相切.

②假定存在符合條件的等腰直角三角形，令直線/|、/2相交于點尸.

易求直線A8的解析式為y=x+3.

分兩種情況討論如下：

若點Q在線段CF上，如答圖3,由/MNQ=/M1G=45°,得NAGN=90°,

從而點Q、N兩點的橫坐標相等，不妨令。(小，3,71—3),則M，〃，，〃+3),于是

由NQ=2后，得(加+3)-(3m—3)=20,解得〃?=3-亞，故Q(3—0,6

—30).

若點。在線段CF的延長線上，如答圖4,由可知(3胴-3)—(胴+3)=2后，解得m=

3+V2,故。(3+\/5,6+3A/2).

綜上，存在符合條件的點。有兩個:QK3—JL6-372),02(3+72,6+372).

3.(2021?天津)已知PA,PB分別與。。相切于點A,B,ZAPB=80°,C為。。上一點，

(1)如圖①，求/ACB的大??；

(2)如圖②，AE為。。的直徑，AE與BC相交于點D,若AB=AD,求/EAC的大小.

解：（1）如圖所示，連接OA,OB

VPA,PB分別為切線

AOAXPA,0B1PB,

HPZPAO=ZPBO=90°

,ZNAPB=80°

.?.在四邊形OAPB中，ZAOB=360o-90°-90o-80°=100°

.*.ZACB=-ZAOB=50°.

2

（2）如圖所示，連接CE,

；AE為直徑，

NACE=90°,

由（1）知，ZACB=50°,

NBCE=NACE-NACB=40。，

；.NBAE=NBCE=40。，

?..在AABD中，AB=AD,

/.ZADB=ZABD=70°

?.?△ACD中，NADB是外角,

ZEAC=ZADB-ZACB=70°-50°=20°

24.(2021?婁底)如圖(12),點D在以AB為直徑的。。上，AD平分NBAC,DC±AC,過點B作

OO的切線交AD的延長線于點E.

(1)求證：直線CD是。O的切線.

(2)求證：CD?BE=AD*DE.

【解題過程】

證明：（1）如圖所示，連結(jié)OD,

?.?在。O中，有OA=OD,

/.ZOAD=ZODA,

又：AD平分NBAC,

NOAD=NCAD,

.,.ZODA=ZCAD,

XVDC1AC

ZADC+ZADO=90°

AZODC=90°,即OD_LCD；

直線CD是。0的切線.

(2)如圖所示，連結(jié)BD,

；AB為。。的直徑，

.?.ZADB=ZBDE=90".

XVDCXAC

ZACD=ZBDE.

「BE為。。的切線，DCLAC,AD平分NBAC,

.\ZE=ZADC

/.△ACD^ABDE

.CDDE

"~AD~~BE

CD*BE=AD?DE.

4.（2021?攀枝花）

如圖1,有一個殘缺的圓，請做出殘缺圓的圓心。(保留作圖痕跡，不寫做法)

如圖2,設(shè)48是該殘缺圓。。的直徑，C是圓上一點，NC4B的角平分線AD交。。于點D,過點

。作。。的切線交AC的延長線于點￡

(1)求證⑵若￡>E=3,AC=2,求殘缺圓的半圓面積.

解：圖1問題解答如下:如圖所示,

點即為所求.

圖2問題解答如下:

(1)證明：連接0D交8C于H.

〈AB是該殘缺圓。。的直徑,

/.ZACB=90°.

?：DE為。。的切線

:.0D1.DE.

平分NCAB

；?NCAD=NDAB.

,:OD=OA,

，ZDAB=ZODA=ACAD.

：.OD//AE.

：.AE1DE.

(2)是。。的直徑,

/.ZACB=90°.

■:OD//AE,

：.OD工BC.

：.BC=2CH.

???四邊形CEDH為矩形.

■:DE=3、

：.CH=ED=3,；?BC=6,

VAC=2,

."8=2后,

."0=5/15.

??STIMI——兀4。2=5兀.

2

5.(2021?涼山)

如圖所示，點D是以AB為直徑的。。上一點，過點8作。。的切線，交AO的延長線于點C,E是

8C的中點，連接DE并延長與A8的延長線交于點F.

(1)求證：DF是。。的切線；

(2)若OB=BF,E尸=4,求AO的長.

解：(1)證明：連接OD的切線，：.BCLOB,：.ZOBC=90°.為。。直徑，AZADB=90°,

■：ZADB+ZCDB=180°,AZCDB=90°.,：E是BC的中點，：.ED=EB=-BC,：.ZEDB=ZEBD.'：

2

OD=OB,：.ZODB=ZOBD,:.NODF=NOBC=90°,：.DFLOD,，。尸是。。的切線：

(2)由(1)知NOQ8=90°,，：OD=OB=BF,.\sinZF=—=-,AZF=30°,ZDOB+ZF=90°,

OF2

：.ZDOB=60°,...△OOB是等邊三角形，：.ZOBD=60°,：.tanZOBD=—=y[3,：.AD=y[3BD.,：BC

BD

BE1/__

LAF,sinZF=-,VEF=4,；.BE=2,BF=VEF2-BE1=2A/3=OB=DB,：.AD=^3BD=6.

BF2

6-(2021?樂山)已知關(guān)于x的一元二次方程(%+4)x+4攵=0.

(1)求證：無論％為任何實數(shù)，此方程總有兩個實數(shù)根；

113

(2)若方程的兩個實數(shù)根為否、x2,滿足一+一=士，求k的值；

X1尤24

(3)若△『△ABC的斜邊為5,另外兩條邊的長恰好是方程的兩個根尤「々，求R/AA3C的內(nèi)切

圓半徑.

解：(1)證明：?.?△=(4+4)2—16%=/一8%+16=(4—4)2?0,二無論％為任何實數(shù)時，此方程總

有兩個實數(shù)根.

113二五強即紅

(2)由題意得：尤]+%2=%+4,%]?%2=44，—H----==3,

x}x24xt-x244k4

解得：左=2；

222

(3)解方程得：凡=4,X]k,根據(jù)題意得：4+^=5,即左=3,設(shè)直角三角形43c的

內(nèi)切圓半徑為r,如圖所示，山切線長定理可得：(3-r)+(4-r)=5,直角三角形A5C的內(nèi)切圓

業(yè)43+4—51

半徑尸二--------=1；

2

第23題答圖

24.(2021?樂山)如圖所示，直線/與。O相離，OA_L/于點A,與。O相交于點尸，OA=5.C是直

線/上一點，連結(jié)CP并延長交。O于另一點5,且A3=AC.

(1)求證：A8是。。的切線;

(2)若。O的半徑為3,求線段6Q的長.

第24題圖

解：

證明：(1)如圖所示，連結(jié)03,則。。=08.NOBP=NOPB=NCPA.

vAB=AC.:.ZACB=ZABC.而OA，/,即NOAC=9()°.

.\ZACB+ZCPA=90°.ZABP+ZOBP=90°.:.ZABO=90°,

OB±AB.故A3是。。的切線；

(2)由⑴知：ZABO=9(f,而。4=5,OB=OP=3、由勾股定理，得：AB=4,

過(9作。于。，貝ijPZ)=￡>3,在和ACAP中，;NOPD=NCPA,

PDOP

ZODP=ZCAP=90P.:.AODP^ACAP,：.——=—,又?.?AC=A3=4,AP=OA-OP=2.

PACP

PC=VA^+AP2=2V5./.PD=OPPA=-45.BP=2PD=-45.

CP55

7.(2021?達州)如圖所示，。。是AABC的外接圓，NBAC的平分線交OO于點D,交BC于點E,

過點D作直線DF〃BC.

(1)判斷直線DF與。O