知識03 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（含真題）-高考數(shù)學(xué)考前必備知識速記

文檔來源網(wǎng)絡(luò)侵權(quán)聯(lián)系刪除文檔來源網(wǎng)絡(luò)侵權(quán)聯(lián)系刪除PAGE2僅供參考PAGE1僅供參考專題三導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用知識必備一、導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算1．導(dǎo)數(shù)的概念一般地，函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′即f′x0＝.稱函數(shù)f′(x)＝為f(x)的導(dǎo)函數(shù)．2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率．相應(yīng)地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝exf′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝logax(a>0，a≠1)f′(x)＝4.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)(g(x)≠0)．5.常用結(jié)論1.f′(x0)代表函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值；(f(x0))′是函數(shù)值f(x0)的導(dǎo)數(shù)，且(f(x0))′＝0.2.′＝－.3.曲線的切線與曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不一定只有一個(gè)，而直線與二次曲線相切只有一個(gè)公共點(diǎn).4.函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時(shí)變化趨勢，其正負(fù)號反映了變化的方向，其大小|f′(x)|反映了變化的快慢，|f′(x)|越大，曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡”.二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，(1)若f′(x)>0，則f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；(2)若f′(x)<0，則f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)；(3)若恒有f′(x)＝0，則f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)是常數(shù)函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的實(shí)質(zhì)是解不等式，求解時(shí)，要堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”原則.2.常用結(jié)論匯總——規(guī)律多一點(diǎn)(1)在某區(qū)間內(nèi)f′(x)>0(f′(x)<0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件．(2)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是對?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零．三、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值最值1．函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極小值：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則點(diǎn)a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．(2)函數(shù)的極大值：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則點(diǎn)b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.①函數(shù)fx在x0處有極值的必要不充分條件是f′x0＝0，極值點(diǎn)是f′x＝0的根，但f′x＝0的根不都是極值點(diǎn)例如fx＝x3，f′0＝0，但x＝0不是極值點(diǎn).②極值反映了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況，刻畫的是函數(shù)的局部性質(zhì).極值點(diǎn)是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn)，不會(huì)是端點(diǎn).2．函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．3常用結(jié)論1.對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，“f′(x0)＝0”是“函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值”的必要不充分條件.2.求最值時(shí)，應(yīng)注意極值點(diǎn)和所給區(qū)間的關(guān)系，關(guān)系不確定時(shí)，需要分類討論，不可想當(dāng)然認(rèn)為極值就是最值.3.函數(shù)最值是“整體”概念，而函數(shù)極值是“局部”概念，極大值與極小值之間沒有必然的大小關(guān)系.四、利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題1．生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題．2．利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的實(shí)質(zhì)是求函數(shù)最值．3．解決優(yōu)化問題的基本思路是什么？答案上述解決優(yōu)化問題的過程是一個(gè)典型的數(shù)學(xué)建模過程．4.對于優(yōu)化問題，建立模型之后需要對模型進(jìn)行最大值最小值的求解，從而轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)求極值最值問題.真題再現(xiàn)1．【2020年高考全國Ⅰ卷文數(shù)】曲線的一條切線的斜率為2，則該切線的方程為.【答案】【解析】設(shè)切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，所求的切線方程為，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.2．【2020年高考全國Ⅲ卷文數(shù)】設(shè)函數(shù)．若，則a=_________．【答案】1【解析】由函數(shù)的解析式可得：，則：，據(jù)此可得：，整理可得：，解得：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，方程的數(shù)學(xué)思想等知識，屬于中等題.3．【2020年高考北京】為滿足人民對美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改、設(shè)企業(yè)的污水摔放量W與時(shí)間t的關(guān)系為，用的大小評價(jià)在這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如下圖所示.給出下列四個(gè)結(jié)論：①在這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；②在時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；③在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；④甲企業(yè)在這三段時(shí)間中，在的污水治理能力最強(qiáng)．其中所有正確結(jié)論的序號是____________________．【答案】①②③【解析】表示區(qū)間端點(diǎn)連線斜率的負(fù)數(shù)，在這段時(shí)間內(nèi)，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反數(shù)比乙的大，因此甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；①正確；甲企業(yè)在這三段時(shí)間中，甲企業(yè)在這段時(shí)間內(nèi)，甲的斜率最小，其相反數(shù)最大，即在的污水治理能力最強(qiáng)．④錯(cuò)誤；在時(shí)刻，甲切線的斜率比乙的小，所以甲切線的斜率的相反數(shù)比乙的大，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；②正確；在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都在污水打標(biāo)排放量以下，所以都已達(dá)標(biāo)；③正確；故答案為：①②③【點(diǎn)睛】本題考查斜率應(yīng)用、切線斜率應(yīng)用、函數(shù)圖象應(yīng)用，考查基本分析識別能力，屬中檔題.4．【2020年高考全國Ⅰ卷文數(shù)】已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=ex–x–2，則=ex–1．當(dāng)x<0時(shí)，<0；當(dāng)x>0時(shí)，>0．所以f（x）在（–∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增．（2）=ex–a．當(dāng)a≤0時(shí)，>0，所以f（x）在（–∞，+∞）單調(diào)遞增，故f（x）至多存在1個(gè)零點(diǎn)，不合題意．當(dāng)a>0時(shí)，由=0可得x=lna．當(dāng)x∈（–∞，lna）時(shí)，<0；當(dāng)x∈（lna，+∞）時(shí)，>0．所以f（x）在（–∞，lna）單調(diào)遞減，在（lna，+∞）單調(diào)遞增，故當(dāng)x=lna時(shí)，f（x）取得最小值，最小值為f（lna）=–a（1+lna）．（i）若0≤a≤，則f（lna）≥0，f（x）在（–∞，+∞）至多存在1個(gè)零點(diǎn)，不合題意．（ii）若a>，則f（lna）<0．由于f（–2）=e–2>0，所以f（x）在（–∞，lna）存在唯一零點(diǎn)．由（1）知，當(dāng)x>2時(shí)，ex–x–2>0，所以當(dāng)x>4且x>2ln（2a）時(shí)，．故f（x）在（lna，+∞）存在唯一零點(diǎn)，從而f（x）在（–∞，+∞）有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上，a的取值范圍是（，+∞）．【點(diǎn)睛】本題考查的是有關(guān)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問題，涉及到的知識點(diǎn)有應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，在解題的過程中，也可以利用數(shù)形結(jié)合，將問題轉(zhuǎn)化為曲線和直線有兩個(gè)交點(diǎn)，利用過點(diǎn)的曲線的切線斜率，結(jié)合圖形求得結(jié)果.5．【2020年高考全國Ⅱ卷文數(shù)】已知函數(shù)f（x）=2lnx+1．（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范圍；（2）設(shè)a>0時(shí)，討論函數(shù)g（x）=的單調(diào)性．【解析】設(shè)h(x)=f(x)?2x?c，則h(x)=2lnx?2x+1?c，其定義域?yàn)?0，+∞)，.（1）當(dāng)0<x<1時(shí)，h'(x)>0；當(dāng)x>1時(shí)，h'(x)<0.所以h(x)在區(qū)間(0，1)單調(diào)遞增，在區(qū)間(1，+∞)單調(diào)遞減.從而當(dāng)x=1時(shí)，h(x)取得最大值，最大值為h(1)=?1?c.故當(dāng)且僅當(dāng)?1?c≤0，即c≥?1時(shí)，f(x)≤2x+c.所以c的取值范圍為[?1，+∞).（2），x∈(0，a)∪(a，+∞).取c=?1得h(x)=2lnx?2x+2，h(1)=0，則由（1）知，當(dāng)x≠1時(shí)，h(x)<0，即1?x+lnx<0.故當(dāng)x∈(0，a)∪(a，+∞)時(shí)，，從而.所以在區(qū)間(0，a)，(a，+∞)單調(diào)遞減.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，以及利用導(dǎo)數(shù)判斷含參函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是中檔題.6．【2020年高考全國Ⅲ卷文數(shù)】已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】（1）．當(dāng)k=0時(shí)，，故在單調(diào)遞增；當(dāng)k<0時(shí)，，故在單調(diào)遞增．當(dāng)k>0時(shí)，令，得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，不可能有三個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)k>0時(shí)，為的極大值點(diǎn)，為的極小值點(diǎn)．此時(shí)，且，，．根據(jù)的單調(diào)性，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，解得．因此k的取值范圍為．【點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍問題，考查學(xué)生邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.7．【2020年高考天津】已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，（i）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（ii）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：對任意的，且，有．【解析】（Ⅰ）（i）當(dāng)時(shí)，，故．可得，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．（ii）依題意，．從而可得，整理可得．令，解得．當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：1-0+↘極小值↗所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；的極小值為，無極大值．（Ⅱ）證明：由，得．對任意的，且，令，則．①令．當(dāng)時(shí)，，由此可得在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即．因?yàn)椋?，所以，．②由（Ⅰ）（ii）可知，當(dāng)時(shí)，，即，故．③由①②③可得．所以，當(dāng)時(shí)，對任意的，且，有．8．【2020年高考北京】已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；（Ⅱ）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．【解析】（Ⅰ）因?yàn)?，所以，設(shè)切點(diǎn)為，則，即，所以切點(diǎn)為，由點(diǎn)斜式可得切線方程：，即.（Ⅱ）顯然，因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線方程為：，令，得，令，得，所以，不妨設(shè)時(shí)，結(jié)果一樣，則，所以，由，得，由，得，所以在上遞減，在上遞增，所以時(shí)，取得極小值，也是最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬于中檔題.9．【2020年高考浙江】已知，函數(shù)，其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）證明：函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)；（Ⅱ）記x0為函數(shù)在上的零點(diǎn)，證明：（ⅰ）；（ⅱ）．【解析】（Ⅰ）因?yàn)椋?，所以在上存在零點(diǎn)．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)以在上有唯一零點(diǎn)．（Ⅱ）（ⅰ）令，，由（Ⅰ）知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，故．由得，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，故．令，，令，，所以故當(dāng)時(shí)，，即，所以在單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，．由得，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，故．綜上，．（ⅱ）令，，所以當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，因此．由可得，由得．10．【2020年高考江蘇】某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底O在水平線MN上，橋AB與MN平行，為鉛垂線(在AB上)．經(jīng)測量，左側(cè)曲線AO上任一點(diǎn)D到MN的距離(米)與D到的距離a(米)之間滿足關(guān)系式；右側(cè)曲線BO上任一點(diǎn)F到MN的距離(米)與F到的距離b(米)之間滿足關(guān)系式.已知點(diǎn)B到的距離為40米．（1）求橋AB的長度；（2）計(jì)劃在谷底兩側(cè)建造平行于的橋墩CD和EF，且CE為80米，其中C，E在AB上(不包括端點(diǎn))．.橋墩EF每米造價(jià)k(萬元)、橋墩CD每米造價(jià)(萬元)(k>0)，問為多少米時(shí)，橋墩CD與EF的總造價(jià)最低？【解析】（1）設(shè)都與垂直，是相應(yīng)垂足.由條件知，當(dāng)時(shí)，則.由得所以（米）.（2）以為原點(diǎn)，為軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖所示）.設(shè)則.因?yàn)樗?設(shè)則所以記橋墩和的總造價(jià)為，則，令得所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.答：（1）橋的長度為120米；（2）當(dāng)為20米時(shí)，橋墩和的總造價(jià)最低.【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)際成本問題、利用導(dǎo)數(shù)求最值，考查基本分析求解能力，屬中檔題.11．【2020年高考江蘇】已知關(guān)于x的函數(shù)與在區(qū)間D上恒有．（1）若，求h(x)的表達(dá)式；（2