中考復(fù)習(xí)幾何定值和極值+不分版本

PAGE6幾何定值和極值一.本周教學(xué)內(nèi)容：幾何定值和極值1.幾何定值問題定值問題大致分為兩類：一類是定量問題（如定長度、定角、定弧、定比……）；一類是定形問題（如定點、定線、定圓或弧、定方向…）解決這類問題要通過題目中元素動靜結(jié)合，特殊與一般結(jié)合，數(shù)形結(jié)合的特點去分析，把定值找出來，再有的放矢地進(jìn)行論證。(1)定量問題：解決定量問題的關(guān)鍵在探求定值，一旦定值被找出，就轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何證明題了。探求定值的方法一般有運動法、特殊值法及計算法。(2)定形問題：定形問題是指定直線、定角、定向等問題。在直角坐標(biāo)平面上，定點可對應(yīng)于有序數(shù)對，定向直線可以看作斜率一定的直線，實質(zhì)上這些問題是軌跡問題。2.幾何極值問題：最常見的幾何極值問題大體包括：有關(guān)線段的最大最小問題；三角形面積的最大最小問題；角的最大最小問題等。二.重點、難點：（一）重點：重點是幾何的定值問題和極值問題，證幾何定值問題時要運用一定的猜想、聯(lián)想、推理、計算等手段探求定值。幾何中的極值問題大量的是利用幾何圖形的性質(zhì)，作各種幾何變換及利用幾何中的不等量關(guān)系來求解。（二）難點：難點是通過題目中元素動靜結(jié)合，特殊與一般結(jié)合，數(shù)形結(jié)合的特點進(jìn)行分析，從而提高分析問題和解決問題的能力?！纠}分析】例1.已知的兩邊的中點分別為M、N，P為MN上的任一點，BP、CP的延長線分別交AC、AB于D、E，求證：為定值。分析：用運動法探求定值，先考慮特殊情況，令P在MN上向M運動，此時D點向A運動，P點運動到M時，D點將與A點重合，而AM＝MB，于是，于是轉(zhuǎn)入一般證明。證明：連結(jié)AP例2.兩圓相交于P、Q兩點，過點P任作兩直線與交一圓于A、B，交另一圓于、，AB與交于點C，求證：為定值。分析：設(shè)兩圓為⊙O、⊙，現(xiàn)從運動極端分析，因為直線與都是以P為固定點運動的。當(dāng)與重合時，便成了左圖的情況，而AC和分別成了兩圓的切線。且，QA、分別為直徑。容易求得這就是所求的定值。證明：如右圖，連結(jié)PQ、BQ、則有例3.在定角XOY的角平分線上，任取一點P，以P為圓心，任作一圓與OX相交，靠近O點的交點為A，與OY相交，遠(yuǎn)離O點的交點為B，則為定角。點評：本題主要運用了轉(zhuǎn)化的思想，把求轉(zhuǎn)化到了中來解決。考查了相似三角形、弦切角、圓周角、勾股定理等知識?！灸M試題】一.幾何定值問題1.求證：正三角形內(nèi)一點到三邊距離之和為定值。2.在正方形ABCD的外接圓的AD上任取一點P，則(PC＋PA)：PB為定值。3.在正方形ABCD內(nèi)，以A點為頂點作且，設(shè)這個角的兩邊分別交正方形的邊BC、CD于Ｅ、F，自E、F分別作正方形對角線AC的垂線，垂足為P、Q。求證：過B、P、Q所作圓的圓心在BC上。4.已知CD是半徑為R的⊙O的直徑，AB是動弦，AB與CD相交于E，且成角，求證：為定值。二.幾何極值問題5.在中，D是AB的中點，E、F分別是AC、BC上的點，試證明的面積不超過的面積之和。6.如圖，中，D、E分別是BC、AB上的點，且，如果的周長依次是m、，證明：。7.已知P為平行四邊形ABCD的AB邊上的一個動點，DP的延長線與CB的延長線相交于Q，問P點在什么位置時，使得的值最?。?.設(shè)AB是⊙O的動切線，與通過圓心O而互相垂直的兩直線相交于A、B，⊙O的半徑為r，求OA＋OB的最小值?！疽呻y解答】A.教師自己設(shè)計問題：1.本周的模擬試題為什么沒有選擇題和填空題？2.解答題的8個題各屬于幾何定值和極值的哪種類型？它們的解題思路是什么？B.對問題的解答：1.本周的幾何定值和極值問題綜合性較強(qiáng)，而且一般都在解答題中出現(xiàn)，選擇題和填空題出現(xiàn)極少，因此本周的模擬試題都是解答題。2.答：解答題的第1題、第2題和第4題是幾何定值中的定量問題；第3題是幾何定值中的定形問題；第5到第8題是幾何極值問題。下面就這8個題的解題思路分別作以下的說明。第1題：已知P為正內(nèi)任意一點，它到BC、CA、AB的距離分別為PE、PF、PD，求證：PD＋PE＋PF為定值。分析：點P可以在三角形內(nèi)任意運動，當(dāng)P點運動到正三角形的一個頂點時，顯然就是正三角形的高，因此，PD＋PE＋PF必取定值，這個定值，就是的高h(yuǎn)。證明：連結(jié)PA、PB、PC顯然有：第2題：分析：用運動法令P與D重合，則(PC＋PA)：PB變?yōu)?DA＋DC)：DB，顯然其定值為。由于圖中直角比較多，所以可做垂線構(gòu)造相似形證明。證明：由A引第3題：本題屬于定形問題，要證B、P、Q三點所確定的圓的圓心在BC上，若命題正確，則B點就是半徑的端點，且，AB就是圓的切線，APQ是割線，那么必有，證明即可。證明：如圖，得AB是過B、P、Q三點所作圓的切線，BC過切點B垂直于AB，它必通過圓心，也就是過B、P、Q所作圓的圓心在BC邊上。第4題：這是定值問題，既然AB是⊙O的動弦，而且與⊙O的定直徑CD保持夾角為，則可把這些動弦視為一組平行移動的弦，顯然，做一條過圓心且平行于AB的弦，則E點與O點重合，這時，于是探求到定值為，這里的是特殊位置，一般情況就比較好證了。第5題：分析：因為DA＝DB，所以就可以拼合成一個四邊形，然后再去與比較面積的大小。證明：(1)如圖(1)，以D為對稱中心，把旋轉(zhuǎn)，易知四邊形是凸四邊形，連結(jié)，而且(2)當(dāng)E運動到與A重合時，如圖(2)(3)當(dāng)F運動到與B重合時，如圖(3)綜合(1)、(2)、(3)總能成立。第6題：分析：初看本題不好下手，但仔細(xì)想來有兩條路可走，一是把分別用同一個三角形的邊長的代數(shù)式表示，將轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求極值；另一是將的和，分別求其代數(shù)式再求極值。證明：設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c，則m＝a＋b＋c第7題：分析：P是AB邊上的一個動點，Q點隨P的運動而動，題中涉及兩個未知量的和。BQ隨AP的變化而變化，所以可用AP的代數(shù)式來表示。這樣，我們設(shè)所求兩線段之和為線段AP的函數(shù)，即可用代數(shù)法求解。解：設(shè)AP＝x，AB＝m，AD＝n，AP＋BQ＝y(tǒng)，易證把(1)式變形為即y的