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文檔簡介
2022-2023學(xué)年廣安市二中高一數(shù)學(xué)上學(xué)期第三次月考試卷
一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.給出的四個選項中,有且只有一個是符合題目要求
的)
1.設(shè)集合”=B=W2"2},則AcB的子集個數(shù)為()
A.2B.4C.6D.8
3
2.已知。為第二象限角,且cosa=—g,則tana的值為
433
A.--B.-C.---
344
41
3.已知正實(shí)數(shù)滿足a+b=l,則一+一的最小值為()
ab
A.4B.6C.8D.9
2
4.已知a=log27,b=log38,c=0.3°.則a,上c的大小關(guān)系為
A.c<h<aB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b
5.已知aeR,貝『'0Wa<1”是"VxeR,以2+?依+1>。,,的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件C充要條件D.既不充分也不必耍條件,
6.設(shè)函數(shù)/(x)=asin(m+a)+0cos(7a:+£)+4(其中a,h,a,夕為非零實(shí)數(shù)),若/(2001)=5,則
/(2020)的值是()
A.5B.3C.1D.不能確定
7.已知函數(shù)〃力=公|,且〃。)+/伍)<0,則()
A.a+b<0B.a+b>QC.a—h+l>0D.a+b+2<0
“、4r+3,x<0,
8.已知函數(shù)f(x)=…2,則函數(shù)y=/(/(%))的零點(diǎn)所在區(qū)間為()
A
2+log9x-9,x>0
A,(-1,0)B.(埠°(A)D.(4,5)
二、多選題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,全部選對的得5分,漏選的得2分,錯選的得0分)
9.下列結(jié)論正確的是()
1
A.-笠是第三象限角
6
B.若圓心角為會的扇形的弧長為左,則該扇形的面積為當(dāng)
C.若角a的終邊上有一點(diǎn)P(-3,4),貝I」cosa=—1
D.若角a為銳角,則角2a為鈍角
10.若0vav1,b>c>\,則()
A.£<1B.c"-1<ba-'
c一ac
D.----<—
log,alog/7ab-ab
11.(多選題)函數(shù)/(X)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x<0時,/(x)=-f-3x-2,以下命題錯誤的是
().
A.當(dāng)x>0時,/(X)=X2+3X+2B.函數(shù)〃x)與x軸有4個交點(diǎn)
「33
C.“X—1)>0的解集為(―1,0)D(1,2)D(3,+8)D.“X)的單調(diào)減區(qū)間是一Q,5
|log2(x-l)|,l<x<3
12.已知函數(shù)/(x)=(i,29,若方程/(')=加有四個不同的實(shí)根
2,匕,*4滿足
—x~-6xH---,x>3
122
X,<x2<x3<x4,則下列說法正確的是()
11,
A.x,x2=1B.—+—=1
玉々
C.x3+x4=12D,x3x4e(27,29)
三、填空題(每小題5分,共20分)
13.函數(shù)y=log2—4x+3)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
14.已知aeR,函數(shù)/(幻=.j?若/[/(痛)]=3,則&=
2
,1
dX-x—XW]
15.已知函數(shù)/(x)=?4'-'函數(shù)是R上的單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)。的取值范圍是
log(,x-l,x>l
16.若關(guān)于x的不等式/一2必_7片<0的解集為(%,而+16),則實(shí)數(shù)。=
四、解答題(共6小題,共70分)
17.求值:
141
1623log23
⑴(V2-l)°++(^)5⑵1g——-InVe+2-log427-log98.
luU
18.(1)已知tana=3,求sin(兀-a)cos(2兀一a)的值;
(2)已知sina-cosa=—,n<a<——,求sina-cosa的值.
44
19.己知函數(shù)/(》)="上2是奇函數(shù),且"2)
3x+n3
(1)求實(shí)數(shù)相和〃的值;
(2)利用“函數(shù)單調(diào)性的定義”判斷“X)在區(qū)間上的單調(diào)性,并求/(同在該區(qū)間上的最值.
20.倡導(dǎo)環(huán)保意識、生態(tài)意識,構(gòu)建全社會共同參與的環(huán)境治理體系,讓生態(tài)環(huán)保思想成為社會生活中的
主流文化.某化工企業(yè)探索改良工藝,使排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量逐漸減少.已知改良工藝前所排
放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為2mg/n?,首次改良后排放的廢氣中含有污染物數(shù)量為1.94mg/n?,設(shè)
改良工藝前所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為4,首次改良工藝后所排放的廢氣中含的污染物數(shù)量為彳,
3
則第〃次改良后所排放的廢氣中的污染物數(shù)量可由函數(shù)模型C一(為一4>5°,5"+?(〃eR,〃eN*)給
出,其中〃是指改良工藝的次數(shù).
(1)試求。和改良后/的函數(shù)模型;
(2)依據(jù)國家環(huán)保要求,企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量不能超過0.08mg/n?.試問:至少進(jìn)行
多少次改良工藝后才能使企業(yè)所排放的廢氣中含有污染物數(shù)量達(dá)標(biāo)?(參考數(shù)據(jù):取lg2Ho.3)
21.已知函數(shù)/(x)=|I--|,實(shí)數(shù)”、。滿足“V。
X
(1)在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)/(X)的圖象;
(2)若函數(shù)在區(qū)間[〃、引上的值域?yàn)椋郏?3],求4+8的值;
(3)若函數(shù)/(工)的定義域是[a,b]f值域是[mmm團(tuán)(機(jī)>0),求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.
22.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)椤?,若存在%GO,使得/(%)=%成立,則稱與為“X)的一個“不動點(diǎn)”,
也稱/(x)在定義域。上存在不動點(diǎn).已知函數(shù)"X)=log?(4”-夕2向+2)
(1)若a=l,求“X)的不動點(diǎn);
(2)若函數(shù)/(X)在區(qū)間[0,1]上存在不動點(diǎn),求實(shí)數(shù)。的取值范圍;
4
(3)設(shè)函數(shù)g(x)=2r,若都有|/(xj-g(x2)歸2成立,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.
【答案】
1.B
【分析】化簡集合5,求出Ac3,寫出其所有子集,可得答案.
【詳解】由2、m2得XW1,所以5={x|x〈l},
所以A3={0,1},其子集有0,{0},⑴,{0,1},共4個.
故選:B
2.A
【分析】
先求sin再求tana的值.
【詳解】Q。是第二象限角,
.r.;-4sina4_
/.sin(2=5/1-cosa,tana=----=——.故選:A
5cosa3
【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系式,重點(diǎn)考查基本公式和基本計算,屬于簡單題型.
3.D
41
【分析】依題意構(gòu)造(。+加(一+:),再利用基本不等式計算可得;
ab
【詳解】由。+〃=1,又〃>0,b>0f
41,JW4lx..a4b、、0『4。n
所以—I—=(Q+b)(—I—)=(5H---1---)25+2J-,—二9,
ababba\ba
ri4〃214]
當(dāng)且僅當(dāng)£=絲,a=2b,即。=一、b=—時等號成立,所以一+一的最小值為9.
ba33ab
5
故選:D.
4.A
【分析】利用利用0,1,2等中間值區(qū)分各個數(shù)值的大小.
【詳解】C=0.3°2<0.3°=1;
log,7>log,4=2;
l<log38<log39=2.
故c<b<a.
故選A.
【點(diǎn)睛】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時要根據(jù)底數(shù)與1的大小區(qū)別對待.
5.C
【分析】解不等式分?+2依+1>0求出。的范圍,再根據(jù)充分條件和必要條件的定義求解即可.
【詳解】由VxeR,加+2以+1>0”可知,
當(dāng)a=0時,1>0顯然成立,
當(dāng)時,由一元二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)可知。>0且△=(2。)2-4。<0,解得
綜上當(dāng)0Wa<l時,VXGR,m:2+2ax+l>0.
所以“0W"l”是“VxeR,加+2辦+1>0”的充要條件,故選:C
6.A
【分析】代入自變量的值,利用誘導(dǎo)公式求解.
【詳解】由題意/(2001)=asin(2001;r+a)+6cos(200br+#)+5=5,即—asina—bcos尸+4=5,
asina+/?cos耳=一1,
/(2020)=asin(2020^+a)+Z?COS(2020TT+,)+4=asina+/?cos,+4=l+4=5.
故選:A.
7.A
【分析】判斷函數(shù)/(另=蕓/勺單調(diào)性與奇偶性,將不等式變形為“。)</(—>),利用函數(shù)/(X)的
6
單調(diào)性可得出合適的選項.
rJ
2r-1/、2-y-i2(2--l)i2v
【詳解】函數(shù)'的定義域?yàn)??,/(-X)一“X),
2-,+1-2,(2-*+1)1+2,
所以,函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且_2
\)2*+121+1
2、2(2為一2處)
任取玉、々€/?且不<々,則/(%)一/(工2)=|1一1-扃
2國+1,一(2西+1)(2*+1)'
內(nèi)<々,則2*>2',>0,所以,/(x1)-/(x2)<0,即/(%)</(%2),
所以,函數(shù)/(X)為R上的增函數(shù),
由/(。)+/(0)<??傻?(。)<一/(,)=/(一)),所以,a<-b,即a+/?<0.
故選:A.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:函數(shù)的三個性質(zhì):單調(diào)性、奇偶性和周期性,在高考中一般不會單獨(dú)命題,而是常將
它們綜合在一起考查,其中單調(diào)性與奇偶性結(jié)合、周期性與抽象函數(shù)相結(jié)合,并結(jié)合奇偶性求函數(shù)值,多
以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn),且主要有以下幾種命題角度;
(1)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性相結(jié)合,注意函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的定義,以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性.
(2)周期性與奇偶性相結(jié)合,此類問題多考查求值問題,常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換,將所求函數(shù)值
的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解:
(3)周期性、奇偶性與單調(diào)性相結(jié)合,解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間,然后利用
奇偶性和單調(diào)性求解.
8.B
當(dāng)用,0時,/(/(X))=4〃*)+3=44F+3=0無解,此時,y=/(/*))無零點(diǎn);
當(dāng)x>0時,根據(jù)/(X)為增函數(shù),且/(3)=0可得函數(shù)丁=/(/(x))的零點(diǎn)為g(x)=2*+log3x-12的零
點(diǎn),根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得結(jié)果.
【詳解】當(dāng)為,()時,/(x)=4'+3>0,/(/(%))=4"*)+3=44*+3=0無解,此時,y=fg))無
零點(diǎn);
當(dāng)x>0時,/(x)=2*+log9x2—9=2"+log§x—9為增函數(shù),且〃3)=0.
7
令/(/*))=0=/(3),得/(幻=2*+唾3%-9=3,即2'+log3X-12=0,
令g(x)=2、+log3x—12,則函數(shù)y=/(/(%))的零點(diǎn)就是g(x)=2'+log3x-12的零點(diǎn),
因?yàn)間(3)=2,+log33-12=—3<0,gig)=2,+log3g—12=85/2+log3——12>0,
所以函數(shù)y=/(/(%))的零點(diǎn)所在區(qū)間為(3,g).故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的零點(diǎn)問題,考查了根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間,考查了根據(jù)
解析式判斷函數(shù)的單調(diào)性,屬于中檔題.
二多選題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,全部選對的得5分,漏選的得2分,錯選的得0分)
9.BC
【分析】A中,由象限角的定義即可判斷;
B中,由弧長公式先求出半徑,再由扇形面積公式即可;
C中,根據(jù)三角函數(shù)的定義即可判斷;
D中,取1=30°即可判斷.
77r5乃
【詳解】選項A中,——二一2萬+——,是第二象限角,故A錯誤;
66
■rr1jr3乃
選項B中,設(shè)該扇形的半徑為,則一?r=%,;.r=3,扇形=-x—x32=—,故B正確;
3場加232
選項C中,r=^(-3)2+42=5>cosa=—=故C正確;
選項D中,取。=30°,則。是銳角,但2a=60。不是鈍角,故D錯誤.
故選:BC.
10.AD
【分析】
對于A選項:由已知得0<£<1,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷;
b
對于B選項:由已知得a—1<0,=1,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷;
對于c選項:由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和對數(shù)運(yùn)算可判斷;
對于D選項:運(yùn)用作差比較法,可判斷.
8
【詳解】對于A選項:因?yàn)?>c>l,所以0<£<1,又所以]£3°
<=1,故A正確;
bb)
a-\o
對于B選項:因?yàn)?<a<l,所以。一1<0,又b>c>l,所以0<二<1,所以—I>1=1,
b'
又b"7>0,所以2",故B不正確;
,1,1
對于C選項:因?yàn)?<“<1,b>c>\,log?b<logc<log1=0,Xlogc=-----Jog,Z>=------
flalnog,al(og,a
11
所以^——<-——故C不正確;
log,,alogra
(c-a\b—c(b—a\a(c-b\
對于D選項:-----------------------7----er,因?yàn)镺vavl,b>c>\,所以
b-ab[b-a)b[b-a)b
b—Q>0,c_<0?
c(h—c)c—ac
所以7?一壯<°,所以^一<7,故D正確,故選:AD.
[b-a)bb-ab
11.ABD
對選項A,利用奇函數(shù)的性質(zhì)即可判斷A錯誤,對選項B,分類討論/(X)=O和/(0)=0即可判斷B錯
誤,對選項C,首先分類討論解不等式/(X)>O,再利用函數(shù)平移即可判斷C正確,對選項D,求出函數(shù)
的單調(diào)減區(qū)間即可判斷D錯誤.
【詳解】對選項A,當(dāng)x>0時,-x<0,/(—X)=—(—%)'—3(—X)—2=—x2+3x—2=—/(%),
所以=3x+2.故A錯誤.
對選項B,當(dāng)x<0時,令〃x)=0,得—3x—2=0,解得x=-l或—2.
又因?yàn)楹瘮?shù)“X)是定義在R上的奇函數(shù),所以當(dāng)x>0時,“X)也有兩個零點(diǎn).
又因?yàn)?(0)=0,所以函數(shù)/(x)共有5個零點(diǎn),故B錯誤.
對選項C,當(dāng)x<0時,/(x)>0,即—公一3x—2>0,解得一2a<-1.
當(dāng)x>0時,/(%)>0,即%2-3》+2>0,解得x>2或0<x<L
又因?yàn)?(x)向右平移一個單位得到/(x-1),
9
所以/(%-1)>0的解集為(T,0)D(L2)D(3,+OO),故C正確.
對選項D,當(dāng)x<0時,-3x-2,對稱軸為x=-],
九e/(x)為減函數(shù).
當(dāng)x>0時,/(X)=X2-3X+2,對稱軸為X=T,xe(0,T,/(x)為減函數(shù).
故“X)的減區(qū)間為-訓(xùn),(0,g,故D錯誤.
故選:ABD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題主要考查函數(shù)的奇偶性和零點(diǎn),同時考查了函數(shù)的單調(diào)性,考查學(xué)生分類討論
的思想,屬于中檔題.
12.BCD
作出函數(shù)/⑺的圖象,可知”。82(%-1)1=11082區(qū)—1)1,即可得到天,巧的關(guān)系,由與,4是方程
1"
2+
2-X-6X2加(0</〃<1)的兩根,利用根與系數(shù)關(guān)系可得七,%的關(guān)系,由此即可判斷出正確選項.
【詳解】解:作出函數(shù)/(X)的圖象,方程/。)=加有四個不同的實(shí)根,
即函數(shù)y=/(x)與y=m有四個不同的交點(diǎn),如圖所示:
依題意Hog2(X|-l)Hlog2(X2T)l,且I<2<々<3,
所以log2(%-1)=-log2(%T),即log2(x1-1)+log2(x2-l)=0,
所以log,[(X1-1)(々-1)]=0,即(%-l)(x,-1)=1,
10
11,
所以玉+々=%々,所以一+一=1,故選項A錯誤,選項B正確;
X]x2
129
又甚,與是方程/V—6x+萬=7/2(0</〃<1)的兩根,
即七,%是方程/-12X+29—2m=0的兩根,
所以芻+%=12,x3x4=29-2m,
因?yàn)榉匠?0)=,〃有四個不同的實(shí)根,所以由圖可知me(0,1),
所以芻5=29—2,”€(27,29),故選項C,選項。均正確.
故選:BCD.
【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的圖象與性質(zhì),同時考查含有絕對值的對數(shù)型函數(shù)的圖象變換及函數(shù)與方
程思想,對于方程根的個數(shù)問題常用數(shù)形結(jié)合的思想解決.
13.(3,+00)
【分析】求出函數(shù)的定義域,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律可求出結(jié)果.
【詳解】由4x+3>0得x<l或x>3,即函數(shù)的定義域?yàn)?7,1).(3,48),
因?yàn)?>1,且/=%2—4%+3在(3,+8)上為增函數(shù),
所以函數(shù)y=log?(f-4x+3)的單調(diào)遞增區(qū)間為(3,+8).故答案為:(3,+8)
【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)點(diǎn)睛:容易忽視函數(shù)的定義域?qū)е洛e誤.
14.2
【分析】由題意結(jié)合函數(shù)的解析式得到關(guān)于。的方程,解方程可得。的值.
【詳解】/[/(#)]=/(6-4)="2)=|2-3|+a=3,故a=2,故答案為:2.
上工]
2a
15.由解得結(jié)果即可得解.
421
a-\——>—1
I4
[21-
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)J4'-'是R上的單調(diào)函數(shù),
logflx-l,x>l
11
所以<0<0<1解得一4a4—.故答案為:-4a4—.
4242
,1,
a-i—>-1
4
【點(diǎn)睛】解決分段函數(shù)的單調(diào)性時,需考慮函數(shù)在每一段區(qū)間上的單調(diào)性,還需考慮函數(shù)在各區(qū)間的端點(diǎn)
處的函數(shù)值的大小關(guān)系.
16.±2血
【解析】
【分析】先由不等式的解得到對應(yīng)方程的根,再利用韋達(dá)定理,結(jié)合(5一/『=(%+/)2—4玉々解得參
數(shù)a即可.
【詳解】關(guān)于x的不等式/一2分一7/<。的解集為(%,%+16),
%+M=廝+%+16=2。
則方程召一2奴-7/=0的兩根為斗二%,工2=%+16,則〈-z心__2
1%1X)=-XQ(AQ+lol——la
則由(玉_/)2=(玉+%2)2_4工/2,得]62=(2a『_4x(_7a2),即標(biāo)=8,
故4=±2血.故答案為:±272.
四、解答題(共6小題,共70分)
17.求值:
(2)O8j3
⑴(a-1)。+您丫+(通)T;lg-^--lnV^+2'-log427-log98.
I9J1(乂)
7
【答案】(D2;(2)一一.
4
【分析】(1)根據(jù)指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)可求出結(jié)果;
(2)根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求出結(jié)果.
913a331
【詳解】(1)原式=1+(3)2+(22)3=1+-+2-2=1+-+-=2;
16444
7
(2)原式=lg]0-2-In/+3-'盤一炒盤..1_331-2
lg2-lg322+32X2=244
18.(1)已知tana=3,求sin(兀-a)cos(2?i-a)的值;
12
(2)已知sino-cose=—,7t<a<—,求sina-cosa的值.
44
【答案】(1)—;(2)變.
102
【分析】(1)利用誘導(dǎo)公式,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡所求原式為關(guān)于tanO的式子,再把已知代入
即得:
(2)先求sina-cosa的平方,利用已知再求sina-cosa的值.
【詳解】(1)因?yàn)閠ana=3,所以cosawO,所以
sina
sin(兀-a)COS(2K-a)=sinacosa--'1noe°S?—=—竽乙___A
sin-a+cos-asinataira+19+110
2卜]
cosa
(2)因?yàn)閟incrcosa=1,所以2sina?cosa=',
42
5K―
因?yàn)樨?lt;a<一,所以cosavsina<0,sina-cosa>0,
4
sina-cosa=^(sina-cosa)2=Vl-2sinacosa=
【點(diǎn)睛】本題主要考查同角的商數(shù)關(guān)系,考查三角化簡求值,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和
分析推理能力.
19.已知函數(shù)/(X)='叱+2北奇函數(shù),且y(2)=g
(1)求實(shí)數(shù),"和〃的值;
(2)利用“函數(shù)單調(diào)性的定義”判斷了(尤)在區(qū)間[—2,-1]上的單調(diào)性,并求/(x)在該區(qū)間上的最值.
【答案】(1)m=2;〃=0;(2)單調(diào)遞增;/(x)2=-*
【分析】
(1)根據(jù)函數(shù)的奇偶性的關(guān)系建立方程即可求實(shí)數(shù)加和〃的值;
(2)利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性,即取值,作差,變形,定號,下結(jié)論,再利用單調(diào)性即可求最值.
【詳解】⑴???/(%)是奇函數(shù),,"—同=二/'(力,.?.如+2=_皿2+2=如2+2
—3x+〃3x+n-3x-n
13
所以—3x+〃=—3x—〃,解得:〃=0,
5+25
又“2)=9,⑵=—^―=彳,解得加=2..?.實(shí)數(shù)m和〃的值分別是2和0.
363
(2)由(1)知/(幻=七=二+二.任取七,七.[—2,—1],且當(dāng)<々,
3x33x
則/㈤一/5人京西一赴)1-=|(X1~~,
\*-2<Xj<x2<-1,/.x]-x2<0,xxx2>1,x]x2-1>0,
???/(%)一”々)<0,即/(w)</(/),.?.函數(shù)/(X)在區(qū)間上單調(diào)遞增,
/(力,皿=/(一1)=一3,〃x)min=/(-2)=-|?
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法
(1)取值:設(shè)西,々是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個值,且王<%2;
(2)作差變形:即作差,即作差/(再)一/(々),并通過因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判斷
符號的方向變形;
(3)定號:確定差/(再)一/(%2)的符號;
(4)下結(jié)論:判斷,根據(jù)定義作出結(jié)論.
即取值一作差――變形-一定號――下結(jié)論.
20.倡導(dǎo)環(huán)保意識、生態(tài)意識,構(gòu)建全社會共同參與的環(huán)境治理體系,讓生態(tài)環(huán)保思想成為社會生活中的
主流文化.某化工企業(yè)探索改良工藝,使排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量逐漸減少.已知改良工藝前所排
放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為2mg/nP,首次改良后排放的廢氣中含有污染物數(shù)量為1.94mg/n?,設(shè)
改良工藝前所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為r0,首次改良工藝后所排放的廢氣中含的污染物數(shù)量為4,
則第〃次改良后所排放的廢氣中的污染物數(shù)量/可由函數(shù)模型/="一(6-4).5°'E(PeR,〃eN*)給
出,其中〃是指改良工藝的次數(shù).
(1)試求,和改良后乙的函數(shù)模型;
(2)依據(jù)國家環(huán)保要求,企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量不能超過0.08mg/n?.試問:至少進(jìn)行
多少次改良工藝后才能使企業(yè)所排放的廢氣中含有污染物數(shù)量達(dá)標(biāo)?(參考數(shù)據(jù):取1g2a0.3)
14
【答案】⑴p=-0.5,A;,=2-O.O6x5o-5,,-o-5(neN*)(2)6次
【解析】
【分析】(1)將“=2,/;=1.94代入函數(shù)模型即可求得P,進(jìn)而整理得到/;;
1Q2
(2)由乙40.08得5"5"{52」三=32,左右同時取對數(shù)后,結(jié)合換底公式、對數(shù)運(yùn)算法則解不等式即
().06
可求得〃的最小值,由此可得結(jié)論.
【小問1詳解】
由題意得:為=2,q=L94,.?.當(dāng)鹿=]時,=
5,,5
即1.94=2—(2—1.94)-505+,‘,解得:p=-0.5,:.rn=2-0.06x5°-°(?eN*),
則改良后所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量的函數(shù)模型為/=2-0.06x5°"-a5(〃eN*).
【小問2詳解】由題意可得:=2-O.O6x5°'5n-o-5<O.O8,
整理得:5婚"-°5?型=32,;.0.5〃—0.521%32=立=^^,
0.061g5l-lg2
101g2,3,「,
即〃NrT^+l"777+l"53'又〃eN*,'"min=6,
l-lg20.7
即至少進(jìn)行6次改良工藝后才能使得該企.業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量達(dá)標(biāo).
21.已知函數(shù)/'(X)=|1--|,實(shí)數(shù)。、b滿足4VA
X
(1)在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)/(X)的圖象;
(2)若函數(shù)在區(qū)間[隊句上的值域?yàn)椋踘,3],求a+b的值;
(3)若函數(shù)f(x)的定義域是[a,b],值域是[加。,機(jī)b](〃?>0),求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.
15
【答案】(1)圖象見解析(2)1(3)(0,;)
【解析】
【分析】(1)先作出函數(shù)y=l-‘的圖象,再利用圖象的翻折變換,即可作出函數(shù)“X)的圖象;
X
(2)結(jié)合(1)中函數(shù)的圖象,確定函數(shù)值為g和3的自變量X的值,即可得到區(qū)間[a,b].
f(a)=ma
(3)利用定義域和值域的,從而確定函數(shù)的單調(diào)性,從而得到《,,,,由此構(gòu)造利,一X+1=0在
j(b)-mb
區(qū)間口,+”)上有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,利用根的分布列出不等式組,求解即可.
【小問1詳解】
解:因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=|l-L,先作出函數(shù)y=l-'的圖象,然后再利用圖象變換作出函數(shù)/'(x)=|l-U的圖
1133111I
解:由|1-1=9解得工二=或由解得戶一:或由上圖可知,/(1)=一只在第
x324x243
1313
一象限內(nèi),所以3,勿二[;,生,所以。+力=一+—=1;
4444
【小問3詳解】
解:因?yàn)槎x域?yàn)椋?。,且?lt;匕,值域?yàn)椋鄹?,inborn>0),所以[。,切在/(x)的增區(qū)間內(nèi),
(r.,1---—ma
1f(a)x=ma
所以在[1,+e)上單調(diào)遞增,故,,即:a,
xUSE.
、h
所以。,是方程1----=/nx的兩個根,即%-1=如;2,
x
16
所以帆*2一*+1=0在區(qū)間[1,+8)上有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,
A>0
g⑴=〃2-1+1..0
設(shè)g(X)=g2-X+1,則有,1,,解得0〈根<—,故實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為(0,!).
—>144
2m
m>0
22.設(shè)函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?。,若存在使?H不成立,則稱%為了(X)的一個“不動點(diǎn)”,
也稱在定義域上存在不動點(diǎn).已知函數(shù)+1
/(X)D=log2(4'-a-2'+2)
⑴若
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