第三講古代希臘數(shù)學(xué)下

第三講古代希臘數(shù)學(xué)下第1頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月亞歷山大（匈牙利,1980）亞歷山大時期：希臘數(shù)學(xué)黃金時代第2頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月從公元前330年左右到公元前30年左右，希臘數(shù)學(xué)的中心從雅典轉(zhuǎn)移到了埃及的亞歷山大城。亞歷山大帝國一分為三后，托勒密帝國統(tǒng)治希臘埃及，其首都亞歷山大城成為希臘文化的中心。

托勒密一世曾經(jīng)是亞里士多德的學(xué)生，他在執(zhí)政后修建了（亞歷山大）繆斯藝術(shù)宮，這實際上是一個大博物館，收藏的圖書和手稿據(jù)說有50—70萬卷。當時的許多著名學(xué)者都被請到亞歷山大里亞，用國家經(jīng)費供養(yǎng)著。

第3頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月學(xué)者云集，人才輩出！先后出現(xiàn)了歐幾里得、阿基米德和阿波羅尼奧斯三大數(shù)學(xué)家，他們的成就標志了古典希臘數(shù)學(xué)的巔峰。第4頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月一、歐幾里得與《幾何原本》

歐幾里得

(公元前325-前265年)第5頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月歐幾里得（約公元前330—260），應(yīng)托勒密一世之邀到亞歷山大，成為亞歷山大學(xué)派的奠基人。歐幾里得系統(tǒng)地整理了以往的幾何學(xué)成就，寫出了13卷《原本》，歐幾里得的工作不僅為幾何學(xué)的研究和教學(xué)提供了藍本，而且對整個自然科學(xué)的發(fā)展有深遠的影響。愛因斯坦說：“西方科學(xué)的發(fā)展是以兩個偉大的成就為基礎(chǔ)的，那就是：希臘哲學(xué)家發(fā)明形式邏輯體系（在歐幾里得幾何學(xué)中），以及通過系統(tǒng)的實驗發(fā)現(xiàn)有可能找到因果關(guān)系（在文藝復(fù)興時期）?！?/p>

第6頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月〈一〉《幾何原本》的產(chǎn)生公元前約300年歐幾里德（Euclid）

集前人工作之大成，把歐多克斯、泰特托斯、希波克拉底等人的著作收入《幾何原本》，加以整理和系統(tǒng)化第7頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月意義：歐幾里德《幾何原本》的出現(xiàn)，是數(shù)學(xué)史上一個偉大的里程碑，它不僅是幾何學(xué)建立的標志，同時也是公理體系在具體學(xué)科中應(yīng)用成功的標志。第8頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月〈二〉《幾何原本》的內(nèi)容簡介13卷475個命題5個公理（一切科學(xué)公有的真理）5個公設(shè)（某一門科學(xué)所接受的第一性原理）點、線、面——原始概念（不加定義或者說給出描述性定義：實質(zhì)不能算作定義）第9頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月第一卷：直邊形，全等、平行公理、畢達哥拉斯定理、初等作圖法等第二卷：幾何方法解代數(shù)問題，求面積、體積第三、四卷：圓、弦、切線、圓的內(nèi)接、外切第五、六卷：比例論與相似形第七、八、九、十卷：數(shù)論第十一、十二、十三卷：立體幾何，包括窮竭法，是微積分思想的來源第10頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月五條公理：

1.等于同量的量彼此相等.2.等量加等量,和相等.3.等量減等量,差相等.4.彼此重合的圖形是全等的.5.整體大于部分.第11頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月五條公設(shè)：Ⅰ從任意一點到任意一點可作直線（線段）（也就是：兩點決定一條直線）；Ⅱ有限直線可以繼續(xù)延長；Ⅲ以任意一點為中心及任意的距離（為半徑）可以畫圓；Ⅳ所有直角都相等；Ⅴ同一平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側(cè)的兩個內(nèi)角和小于兩直角，則這兩直線經(jīng)無限延長后在這一側(cè)相交。第12頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月《幾何原本》的不足：1）定義并不嚴格2）公理并不總是自明的：關(guān)于第五公設(shè)第13頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月第五公設(shè)的等價公設(shè)：過已知直線外一點能且只能作一條直線與已知直線平行

高斯、羅巴切夫斯基、波約

——創(chuàng)立非歐幾何（球面幾何、雙曲幾何、橢圓幾何）這場幾何學(xué)的革命沖破了歐氏幾何傳統(tǒng)的束縛，從此幾何學(xué)呈現(xiàn)出更加精彩紛呈的局面

第14頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月〈三〉《幾何原本》思想方法的特點1封閉的演繹體系2抽象化的內(nèi)容3公理化的方法第15頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月〈四〉《幾何原本》思想方法的深遠意義近代西方數(shù)學(xué)的主要源泉之一對數(shù)學(xué)認識的一個質(zhì)的飛躍古希臘數(shù)學(xué)的最高成就之一對世界數(shù)學(xué)的發(fā)展和數(shù)學(xué)人才的培養(yǎng)（教育與傳播）產(chǎn)生了巨大影響第16頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月《幾何原本》的影響《幾何原本》對后來數(shù)學(xué)思想有重要影響。其一：公理化思想——從一些基本的概念和公理出發(fā)，利用純邏輯推理的方法，把一門學(xué)科建立成演繹系統(tǒng)的方法。后來的許多著作都仿照這種格式寫成，如牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》等；其二：幾何直觀與嚴格邏輯推理的結(jié)合使歐幾里得幾何長期被認為是最正宗的數(shù)學(xué)知識，笛卡兒在發(fā)明了解析幾何后仍堅持對每一個幾何作圖給出綜合證明，牛頓在第一次公開他的微積分發(fā)明時也要對這一算法作出幾何解釋；其三：導(dǎo)致非歐幾何的誕生。

第17頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月《原本》具體內(nèi)容例說——第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ及Ⅵ（6）卷包含了平面幾何的一些基本內(nèi)容，如全等三角形、平行線、多邊形、圓、畢達哥拉斯定理、初等作圖及相似形等。畢達哥拉斯定理（卷Ⅰ命題47）的證明是用面積來做的。第18頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月勾股定理之歐幾里得證法：首先證明⊿ABD≌⊿FBC，推得矩形BL的面積與正方形ABFG的面積相等（為什么？）；同理推得矩形CL的面積與正方形ACKH的面積相等。"新娘的轎椅"或"修士的頭巾"

第19頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月第Ⅱ、Ⅵ卷中涉及所謂“幾何代數(shù)”的內(nèi)容，即以幾何形式處理的代數(shù)問題。例如Ⅱ卷命題4：若把一線在任意一點割開，則在整個線上的正方形等于兩段上的正方形加上以兩段為邊的矩形（如圖）。相當于代數(shù)關(guān)系式：第20頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月第Ⅴ卷講比例論，是以歐多克斯的工作為基礎(chǔ)的。有人認為這一卷代表了《原本》的最大成就，因為它在當時的認識水平上消除了由不可公度量引起的數(shù)學(xué)危機。第Ⅴ卷是將比例理論由可公度量推廣到不可公度量，使它能適用于更廣泛的幾何命題證明，從而巧妙地回避了無理量引起的麻煩。同《原本》的其它部分相比，第5卷的內(nèi)容頗引人爭議。問題的根本解決，要到19世紀，當人們借助極限過程對無理數(shù)作出嚴格定義之后。第21頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月比例論舉例:定理如果兩個三角形的高相等,則它們的面積之比等于兩底長之比第22頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月比例定義：A，B；C，D對任何正整數(shù)m和n，關(guān)系

BmC=m(BC)，△ABmC=m(△ABC)；DEn=n(DE)，△ADEn=n(△ADE)。由已證明的結(jié)果，可知

也就是說，

據(jù)比例定義，有△ABC：△ADE＝BC：DE

第23頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月第Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ卷是關(guān)于數(shù)論的內(nèi)容，其中陳述了求兩數(shù)最大公因子的輾轉(zhuǎn)相除法，即著名的歐幾里得算法。這幾卷給出了關(guān)于整數(shù)的一些定理及其證明，特別是素數(shù)分解的唯一性、素數(shù)個數(shù)無窮，等等。這些內(nèi)容說明，將《原本》看成是一部純幾何的著作是多少有些誤解的。試證：素數(shù)有無窮多個.第24頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月第Ⅹ卷討論不可公度量，并試圖進行分類。該卷篇幅最大，實際上歐幾里得在這里僅涉及了可表為的無理數(shù)。最后的三卷（Ⅺ、Ⅻ、ⅩⅢ）主要是立體幾何的內(nèi)容，包括棱柱、棱錐、圓柱、圓錐和球等立體的體積定理以及對正多面體的討論（在卷ⅩⅢ中證明了正多面體只有五種）。卷Ⅻ中詳細陳述了窮竭法。窮竭法是古希臘數(shù)學(xué)家證明面積、體積定理時經(jīng)常使用的一種得力方法。它由安提豐首創(chuàng)，但完善、成熟的窮竭法主要歸功于歐多克斯，也就是《原本》卷Ⅻ中所記載的方法。第25頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月窮竭法古希臘的安提芬(Antiphon480-403BC)最早表述了窮竭法，他在研究“化圓為方”問題時，提出了使用圓內(nèi)接正多邊形面積“窮竭”圓面積的思想。后來，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克斯(EudoxusofCnidus,408-355BC)改進了安提芬的窮竭法。將其定義為：“在一個量中減去比其一半還大的量，不斷重復(fù)這個過程，可以使剩下的量變得任意小”。（聯(lián)想古代莊子的說法！）第26頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月即《原本》卷Ⅻ命題2第27頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月圓內(nèi)接正方形的面積等于外切正方形面積的一半；圓內(nèi)接正方形的面積大于圓面積的一半；圓內(nèi)接正八邊形的面積與圓內(nèi)接正方形面積之差大于圓與內(nèi)接正方形面積之差的一半；……圓內(nèi)接正2n邊形與正n邊形面積之差必大于圓與正n邊形面積之差的一半。……第28頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月1482第一個拉丁文印刷本(威尼斯)1607中譯本《幾何原本》(徐光啟,利瑪竇)第29頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月二、阿基米德的數(shù)學(xué)成就

阿基米德

(公元前287-前212年)第30頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月阿基米德（Archimedes，公元前287-212）出生于西西里島的敘拉古，曾在亞歷山大跟歐幾里得的學(xué)生學(xué)習(xí)過，離開亞歷山大后仍與那里的師友保持聯(lián)系，他的許多成果都是通過與亞歷山大學(xué)者的通信而保存下來的。因此，阿基米德通常被看成是亞歷山大學(xué)派的成員。阿基米德的著作很多，內(nèi)容涉及數(shù)學(xué)、力學(xué)及天文學(xué)等。

第31頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月窮竭法是安蒂豐首先使用，并被古希臘數(shù)學(xué)家普遍用來證明面積和體積的方法。窮竭法可以用來嚴格證明已經(jīng)猜想出來的命題，但不能用來發(fā)現(xiàn)新的結(jié)果。第32頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月阿基米德的數(shù)學(xué)著作集中探討與面積和體積計算相關(guān)的問題。在《圓的度量》中，阿基米德將窮竭法應(yīng)用于圓的周長和面積公式。他從圓內(nèi)接正三角形出發(fā)，邊數(shù)逐次加倍，計算到正96邊形而得到圓周率π的近似值22/7（約率）；355/113作為密率，是由中國數(shù)學(xué)家祖沖之計算得出的，又稱祖率。又，祖沖之利用劉徽的割圓術(shù)，從圓內(nèi)接正六邊形出發(fā)一直連續(xù)計算到正24576邊形，得到3.1415926<π<3.1415927。第33頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月阿基米德發(fā)明了求面積和體積的“平衡法”，求出面積或體積后再用“窮竭法”加以證明。阿基米德“平衡法”與“窮竭法”的結(jié)合是嚴格證明與創(chuàng)造技巧相結(jié)合的典范。阿基米德用“平衡法”推導(dǎo)了球體積公式?？淘诎⒒椎履贡系膸缀螆D形代表了他所證明的一條數(shù)學(xué)定理：以球的直徑為底和高的圓柱，其體積是球體積的3/2，其表面積是球面積的3/2。第34頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月在1906年，一位叫海伯格的丹麥學(xué)者在君士坦丁堡發(fā)現(xiàn)了一份新的阿基米德手稿。那是一本羊皮書，表面看是一本禱告書，但在雜亂的禱告文字下，竟然掩藏著公元十世紀拜占庭時期制作的阿基米德著作抄本，其中包括一篇過去從不為人所知的作品--阿基米德致另一位希臘數(shù)學(xué)家埃拉托塞尼的一封信,阿基米德在信中陳述了15個命題,借以闡釋發(fā)現(xiàn)求積公式的方法,即通常被稱為“平衡法”的方法,此文因此又以《方法論》著稱?！捌胶夥ā睂嵸|(zhì)上是一種原始的積分法，我們下面要介紹的阿基米德球體積公式的推導(dǎo)，基本上是《方法論》中命題2的復(fù)述。第35頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月海伯格的發(fā)現(xiàn)轟動一時，那份被稱作《阿基米德羊皮書》的手稿被譽為“20世紀最重大的考古發(fā)現(xiàn)”。正當更多的人期望一探真容時，《阿基米德羊皮書》又神秘地離開了它長期藏身的君士坦丁堡東正教修道院圖書館。此后《羊皮書》曾轉(zhuǎn)輾于法國巴黎古董商和私人收藏家之手，直到1998年出現(xiàn)在紐約克里斯蒂拍賣行。一位不愿透露姓名的買家以200萬美元的巨款購得這本看上去破舊不堪的羊皮書，不久將它托交美國巴爾的摩華特藝術(shù)博物館并允其公開展示。目前，《阿基米德羊皮書》在華特藝術(shù)博物館得到了現(xiàn)代技術(shù)的維護和修復(fù)，并有一個很強的專家組對其進行全面深入的研究第36頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月阿基米德圓柱容球圖:球;圓柱;圓錐第37頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月球：（設(shè)球片半徑r，則有圓錐：圓柱：(球+圓錐)2R:求和:2R(球體積＋圓錐體積)＝4R圓柱體積*2R(球體積＋

＝球體積＝

）

*阿基米德認為:每一小片至定點的力矩和相當于整體置于中心至同一點的力矩.第38頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月與歐幾里得相比，阿基米德可以說是一位應(yīng)用數(shù)學(xué)家。在《論浮體》中論述了浮力原理、在《論平面圖形的平衡或其重心》中論述了杠桿原理。曾設(shè)計了一組復(fù)雜的滑車裝置，使敘拉古國王親手移動了一只巨大的三桅貨船，他說：“給我一個支點，我可以移動地球”。在保衛(wèi)敘拉古的戰(zhàn)斗中發(fā)明了許多軍械如石炮、火鏡等。后被羅馬士兵殺害，死時75歲。傳說曾下令不要殺死阿基米德的羅馬主將馬塞呂斯事后特意為阿基米德建墓。

應(yīng)用數(shù)學(xué)家阿基米德第39頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月阿基米德之墓碑阿基米德之死第40頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月三、阿波羅尼奧斯與《圓錐曲線論》

阿波羅尼奧斯

(約公元前262-前190年)第41頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月阿波羅尼奧斯（Apollonius，公元前262-190）出生于小亞細亞（今土爾其一帶），年輕時曾在亞歷山大城跟隨歐幾里得的學(xué)生學(xué)習(xí)，后到小亞細亞西岸的帕加蒙王國居住與工作，晚年又回到亞歷山大。阿波羅尼奧斯的主要數(shù)學(xué)成就是在前人工作的基礎(chǔ)上創(chuàng)立了相當完美的圓錐曲線理論，編著《圓錐曲線論》。

第42頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月全書共8卷，含487個命題。在阿波羅尼奧斯之前，希臘人用三種不同圓錐面導(dǎo)出圓錐曲線，阿波羅尼奧斯則第一次從一個對頂圓錐得到所有的圓錐曲線，并給它們以正式的名稱：虧曲線、齊曲線、盈曲線（李善蘭翻譯時取意譯名橢圓、拋物線、雙曲線）。《圓錐曲線論》可以說是希臘演繹幾何的最高成就。幾何學(xué)的新發(fā)展要到17世紀笛卡兒等人的解析方法出現(xiàn)后才得以來臨。

第43頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月阿波羅尼奧斯用統(tǒng)一的方式引出三種圓錐曲線后，便展開了對它們性質(zhì)的廣泛討論，內(nèi)容涉及圓錐曲線的直徑、公軛直徑、切線、中心、雙曲線的漸進線、橢圓與雙曲線的焦點以及處在不同位置上的圓錐曲線的交點數(shù)等?！秷A錐曲線論》中包含了許多即使按今天的眼光看也是很深奧的問題。第5卷中關(guān)于定點到圓錐曲線的最長和最短線段的探討，實質(zhì)上提出了圓錐曲線的法線包絡(luò)即漸屈線的概念，它們是近代微分幾何的課題。第3、4卷中關(guān)于圓錐曲線的極點與極線的調(diào)和性質(zhì)的論述，則包含了射影幾何學(xué)的萌芽思想。

第44頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月亞歷山大后期(羅馬時期)和希臘數(shù)學(xué)的衰落公元前6世紀，在意大利半島的臺伯河畔，有一座羅馬城逐漸建立起來。公元前509年，羅馬建立了共和國。古羅馬經(jīng)過多個世紀的戰(zhàn)爭，時分時合多次。公元前27年，羅馬建立了元首政治，共和國宣告滅亡，從此進入羅馬帝國時代。在公元前1世紀完全征服了希臘各國而奪得了地中海地區(qū)的霸權(quán)，建立了強大的羅馬帝國。1世紀時，羅馬帝國繼續(xù)擴張，到2世紀，帝國版圖確定下來，它地跨歐、亞、非三洲，地中海成了它的內(nèi)湖。傳統(tǒng)的史學(xué)家把公元前27年到公元284年稱為早期羅馬帝國。第45頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月羅馬帝國的建立，唯理的希臘文明從而被務(wù)實的羅馬文明所取代。同氣勢恢弘的羅馬建筑相比，羅馬人在數(shù)學(xué)領(lǐng)域遠談不上有什么顯赫的功績。由于希臘文化的慣性影響以及羅馬統(tǒng)治者對自由研究的寬松態(tài)度，在相當長一段時間內(nèi)亞歷山大城仍然維持學(xué)術(shù)中心的地位，產(chǎn)生了一批杰出的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)著作。從公元前30年－公元600年常稱為希臘數(shù)學(xué)的“亞歷山大后期”。第46頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月海倫（Heron，前1世紀—公元1世紀）推導(dǎo)出求三角形面積的海倫公式。托勒密（Ptolemy約100—170）的地球中心學(xué)說。托勒密利用大量的觀察資料，進行浩繁的計算，寫出八卷本的《大綜合論》（又譯《天文學(xué)大成》，簡稱《大成》），詳細論述了太陽系和宇宙以地球為中心的學(xué)說。在托勒密的地心說中，行星是繞著一種數(shù)學(xué)上的點（本輪中心）運動的，而這些點又位于均輪上圍繞地球運轉(zhuǎn)。托勒密的地心說雖然不反映宇宙的實際結(jié)構(gòu)，但是依據(jù)上述的數(shù)學(xué)圖解卻比較完滿地解釋了當時所觀測到的行星運動情況。第47頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月托勒密將圓周分成360度，角的度量采用60進制，還應(yīng)用托勒密定理（圓內(nèi)接四邊形中，兩條對角線長的乘積等于兩對對邊長乘積之和）造出了一張正弦表。梅涅勞斯（Menelaus，約公元1世紀）的《球面學(xué)》是球面三角學(xué)的開山之作。

第48頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月羅馬時期希臘數(shù)學(xué)的一個重要特征是突破了以幾何學(xué)為中心的傳統(tǒng)，使算術(shù)和代數(shù)成為獨立的學(xué)科。丟番圖（Diophantus）的《算術(shù)》用純分析的途徑處理數(shù)論與代數(shù)問題（包括不定方程），可以看作是希臘算術(shù)與代數(shù)的最高成就。

現(xiàn)在我們通常把“求整系數(shù)不定方程的整數(shù)解問題”叫做“丟番圖問題”。費馬大定理……第49頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月亞歷山大后期（羅馬時期）

的數(shù)學(xué)成就之丟番圖的《算術(shù)》丟番圖的《算術(shù)》(公元200-284年)第50頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2