江蘇省興化市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

2022－2023學(xué)年度第二學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試卷（考試用時(shí)：120分鐘總分：150分）注意：所有試題的答案均需填寫在答題卡上，答案寫在試卷上的無效．一、單項(xiàng)選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．）1．計(jì)算式可表示為（）A． B． C． D．2．從7本不同的書中任意選取2本，不同的選法種數(shù)為（）A．84 B．42 C．30 D．213．已知，分別是平面，的法向量，則平面，交線的方向向量可以是（）A． B． C． D．4．中國(guó)空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙．假設(shè)空間站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天員開展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排1人，問天實(shí)驗(yàn)艙與夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙各安排2人，且甲、乙兩人被安排在同一個(gè)艙內(nèi)，則共有（）種方案．A．3 B．6 C．30 D．605．若，，構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是（）A．，， B．，， C．，， D．，，6．某單位安排甲、乙、丙、丁四人去A、B、C三個(gè)勞動(dòng)教育基地進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每個(gè)人去一個(gè)基地，每個(gè)基地至少安排一個(gè)人，則乙被安排到A基地的排法總數(shù)為（）A．6 B．12 C．18 D．367．布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案，如圖1，把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚拼成圖2的組合，這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的空間幾何體．若圖3中每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則直線CQ與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．8．已知，的展開式中含x的項(xiàng)的系數(shù)為12，則的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)的最小值是（）A．18 B．25 C．27 D．30二、多項(xiàng)選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9．在正方體中，設(shè)，，，則（）A． B． C． D．10．從1，2，3，4，6中任取若干數(shù)字組成新的數(shù)字，下列說法正確的有（）A．若數(shù)字可以重復(fù)，則可組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為125B．若數(shù)字可以重復(fù)，則可組成的四位數(shù)且為偶數(shù)的個(gè)數(shù)為375C．若數(shù)字不能重復(fù)，則可組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為70D．若數(shù)字不能重復(fù)，則可組成的四位數(shù)且為偶數(shù)的個(gè)數(shù)為7211．已知，下列結(jié)論正確的有（）A． B．C． D．12．?dāng)?shù)列，中，，，，記的前n項(xiàng)和為，則下列說法正確的是（）A． B．當(dāng)時(shí)，被4除所得余數(shù)為3C．當(dāng)時(shí)，被5除所得余數(shù)為3 D．三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13．若，則正整數(shù)______．14．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，，若A，B，C，D四點(diǎn)共面，則______．15．的展開式中的系數(shù)為______．（用數(shù)字作答）．16．近年來，“劇本殺”門店遍地開花．放假伊始，7名同學(xué)相約前往某“劇本殺”門店體驗(yàn)沉浸式角色扮演型劇本游戲，目前店中僅有可供4人組局的劇本，其中A，B角色各1人，C角色2人．已知這7名同學(xué)中有4名男生，3名女生，現(xiàn)決定讓店主從他們7人中選出4人參加游戲，其余3人觀看，要求選出的4人中至少有1名女生，并且A，B角色不可同時(shí)為女生，則店主共有______種選擇方式（用數(shù)字作答）．四、解答題：（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17．計(jì)算（寫出計(jì)算過程，結(jié)果用數(shù)字作答）：（1）； （2）．18．從6名男生和5名女生中選出4人去參加某項(xiàng)大賽．（1）如果要求4人中男生和女生都要有，那么有多少種選法（用數(shù)字作答）？（2）如果男生甲和女生乙最多只能選1人，那么有多少種選法（用數(shù)字作答）？19．已知在正三棱錐P－ABC中，點(diǎn)M，N分別是線段AB，PC的中點(diǎn)，記，，．（1）分別用，，來表示向量，；（2）若，，兩兩垂直，求直線PM與BN所成角的余弦值．20．已知在的展開式中，第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，求：（1）正整數(shù)n的值；（2）展開式中的系數(shù)；（3）含x的整數(shù)次冪的項(xiàng)的個(gè)數(shù)．21．《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”．在如圖所示的“陽馬”中，側(cè)棱底面ABCD，，，點(diǎn)E是PA的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段PB上一點(diǎn)且．（1）若，求PD的長(zhǎng)；（2）若平面DEF與平面ABCD所成的二面角為，求直線PC與平面DEF所成角的正弦值．22．已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，設(shè)，．（1）若為常數(shù)列，求的值；（2）若為公比為2的等比數(shù)列，求的解析式；（3）數(shù)列能否成等差數(shù)列，使得對(duì)一切都成立？若能，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，若不能，試說明理由．2022－2023學(xué)年度第二學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)參考答案1．C2．D3．A4．B5．A6．B7．B8．C9．ABD10．ABD11．AD12．ACD13．1114．115．7016．34817．【解】（1）原式（2）原式18．【解】（1）若只選男生，則有種選法；若只選女生，則有種選法．故如果要求4人中男生和女生都要有，那么有種選法．（2）若選了男生甲沒選女生乙，則有種選法，若選了女生乙沒選男生甲，則有種選法，若男生甲和女生乙都沒選，則有種選法，故男生甲和女生乙最多只能選1人共有種選法19．【解】（1），（2）因?yàn)?，，兩兩垂直，所以，又因?yàn)?，同理所以記直線PM與BN所成角為，則有20．【解】（1）由已知得二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為因?yàn)榈?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以當(dāng)時(shí)，，即，解得（2）由（1）知，令，得，所以的系數(shù)為．（3）要使為整數(shù)，只需k為偶數(shù)，由于，，因此含x的整數(shù)次冪的項(xiàng)共有6項(xiàng)，分別為展開式的第1，3，5，7，9，11項(xiàng)．21．【解】（1）因?yàn)閭?cè)棱底面ABCD，ABCD是長(zhǎng)方形，所以以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則因?yàn)辄c(diǎn)E是PA的中點(diǎn)，所以，因?yàn)镕為PB上一點(diǎn)且，所以．，，于是，解得，所以．（2）由平面ABCD，所以是平面ABCD的一個(gè)法向量．設(shè)是平面DEF的法向量．，，令，得，，所以是平面DEF的一個(gè)法向量，若平面DEF與平面ABCD所成的二面角為，則，解得．所以，，所以直線PC與