安徽省亳州市渦陽一中高二下學(xué)期月月考數(shù)學(xué)試卷（理科）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2016—2017學(xué)年安徽省亳州市渦陽一中高二（下)3月月考數(shù)學(xué)試卷（理科）一．選擇題（本大題共12小題,每小題5分,共60分.每小題只有1個(gè)答案正確）1．有一段“三段論"推理是這樣的：對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f（x),如果f′（x0）=0，那么x=x0是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)f（x)=x3在x=0處的導(dǎo)數(shù)值f′（0）=0，所以,x=0是函數(shù)f(x）=x3的極值點(diǎn)．以上推理中（）A．大前提錯(cuò)誤 B．小前提錯(cuò)誤 C．推理形式錯(cuò)誤 D．結(jié)論正確2．用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60度”時(shí)，假設(shè)正確的是()A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度B．假設(shè)三內(nèi)角都大于60度C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60度D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60度3．某個(gè)命題與自然數(shù)n有關(guān),若n=k(k∈N＊）時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)n=k+1時(shí)該命題也成立．現(xiàn)已知當(dāng)n=5時(shí),該命題不成立，那么可推得（）A．當(dāng)n=6時(shí),該命題不成立 B．當(dāng)n=6時(shí)，該命題成立C．當(dāng)n=4時(shí)，該命題不成立 D．當(dāng)n=4時(shí),該命題成立4．若f(x）在R上可導(dǎo)，，則=（）A． B． C． D．5．在平面幾何中有如下結(jié)論：正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1，外接圓面積為S2，則=,推廣到空間可以得到類似結(jié)論，已知正四面體P﹣ABC的內(nèi)切球體積為V1，外接球體積為V2,則=（)A． B． C． D．6．函數(shù)y=sinx﹣的圖象大致是(）A． B． C． D．7．，則m等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．28．如圖所示的是函數(shù)f（x）=x3+bx2+cx+d的大致圖象,則x12+x22等于（)A． B． C． D．9．正整數(shù)按下表的規(guī)律排列（下表給出的是上起前4行和左起前4列)則上起第2015行,左起第2016列的數(shù)應(yīng)為(）A．20152 B．20162 C．2015+2016 D．2015×201610．設(shè)f(x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）+xf′（x)＞0，且f（1）=0,則不等式xf（x）＞0的解集為(）A．(﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣1,0）∪（0，1） C．（﹣∞，﹣1)∪（1,+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）11．若點(diǎn)P是曲線y=x2﹣lnx上任意一點(diǎn),則點(diǎn)P到直線y=x﹣2的最小距離為（）A．1 B． C． D．12．關(guān)于函數(shù)f（x）=+lnx,下列說法錯(cuò)誤的是(）A．x=2是f（x）的極小值點(diǎn)B．函數(shù)y=f（x）﹣x有且只有1個(gè)零點(diǎn)C．存在正實(shí)數(shù)k，使得f（x）＞kx恒成立D．對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)x1，x2，且x2＞x1，若f（x1)=f（x2）,則x1+x2＞4二、填空題(本大題共4題，每題5分,共20分）13．設(shè)f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，則函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間是．14．如圖，函數(shù)F（x）=f（x)+x2的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是y=﹣x+8，則f（5）+f′(5）=．15．已知函數(shù)f（x）=2ax﹣,x∈（0,1]．若函數(shù)f（x)在(0，1］上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．16．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋郓?，5］,部分對(duì)應(yīng)值如下表．x﹣1045f（x）1221f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示：下列關(guān)于f（x）的命題：①函數(shù)f（x)是周期函數(shù);②函數(shù)f（x）在[0，2］是減函數(shù)；③如果當(dāng)x∈[﹣1，t]時(shí)，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為4；④當(dāng)1＜a＜2時(shí)，函數(shù)y=f（x）﹣a有4個(gè)零點(diǎn)；⑤函數(shù)y=f（x）﹣a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為0、1、2、3、4個(gè)．其中正確命題的序號(hào)是．三、解答題（本大題共6題，第17題10分，其余每題12分,共70分．解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17．已知a＞b＞c，且a+b+c=0，求證:＜．18．已知函數(shù)f（x)=x3﹣3x（1）求函數(shù)f（x）的極值;（2）過點(diǎn)P（2,﹣6）作曲線y=f（x)的切線,求此切線的方程．19．設(shè)函數(shù)f(x）=x2+ex﹣xex(1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若當(dāng)x∈[﹣2，2］時(shí)，不等式f（x）＞m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．20．已知數(shù)列{an｝滿足an+1﹣an=1，a1=1，試比較與的大小并證明．21．已知函數(shù)f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）若a＞0,試判斷f(x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性;（Ⅱ）若f（x)在[1，e］上的最小值為，求實(shí)數(shù)a的值；(Ⅲ）若f（x）＜x2在（1,+∞）上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍．22．設(shè)函數(shù)f（x)=lnx﹣ax+﹣1（0＜a＜1）（1）求函數(shù)f（x)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)a=時(shí),設(shè)函數(shù)g（x）=x2﹣2bx﹣，若對(duì)于?x1∈［1，2]，?x2∈[0,1]，使f（x1)≥g(x2）成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

2016-2017學(xué)年安徽省亳州市渦陽一中高二（下）3月月考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一．選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。每小題只有1個(gè)答案正確)1．有一段“三段論”推理是這樣的：對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f（x)，如果f′（x0)=0,那么x=x0是函數(shù)f(x）的極值點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x3在x=0處的導(dǎo)數(shù)值f′（0）=0,所以,x=0是函數(shù)f（x）=x3的極值點(diǎn)．以上推理中(）A．大前提錯(cuò)誤 B．小前提錯(cuò)誤 C．推理形式錯(cuò)誤 D．結(jié)論正確【考點(diǎn)】F6：演繹推理的基本方法．【分析】在使用三段論推理證明中，如果命題是錯(cuò)誤的，則可能是“大前提”錯(cuò)誤，也可能是“小前提"錯(cuò)誤，也可能是推理形式錯(cuò)誤，我們分析的其大前提的形式：“對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f（x）,如果f'（x0）=0，那么x=x0是函數(shù)f（x)的極值點(diǎn)",不難得到結(jié)論．【解答】解:∵大前提是：“對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f（x），如果f'（x0）=0,那么x=x0是函數(shù)f(x）的極值點(diǎn)”，不是真命題,因?yàn)閷?duì)于可導(dǎo)函數(shù)f（x），如果f’(x0）=0，且滿足當(dāng)x=x0附近的導(dǎo)函數(shù)值異號(hào)時(shí)，那么x=x0是函數(shù)f（x)的極值點(diǎn)，∴大前提錯(cuò)誤，故選A．2．用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60度”時(shí)，假設(shè)正確的是（)A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度B．假設(shè)三內(nèi)角都大于60度C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60度D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60度【考點(diǎn)】R9：反證法與放縮法．【分析】一些正面詞語的否定:“是”的否定：“不是”;“能”的否定:“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一個(gè)"的否定:“至少有兩個(gè)”；“至少有一個(gè)”的否定：“一個(gè)也沒有”；“是至多有n個(gè)”的否定:“至少有n+1個(gè)”；“任意的”的否定：“某個(gè)"；“任意兩個(gè)”的否定：“某兩個(gè)"；“所有的"的否定:“某些”．【解答】解：根據(jù)反證法的步驟，假設(shè)是對(duì)原命題結(jié)論的否定，“至少有一個(gè)”的否定：“一個(gè)也沒有”;即“三內(nèi)角都大于60度”．故選B3．某個(gè)命題與自然數(shù)n有關(guān)，若n=k(k∈N*）時(shí)命題成立,那么可推得當(dāng)n=k+1時(shí)該命題也成立．現(xiàn)已知當(dāng)n=5時(shí)，該命題不成立，那么可推得（）A．當(dāng)n=6時(shí)，該命題不成立 B．當(dāng)n=6時(shí),該命題成立C．當(dāng)n=4時(shí)，該命題不成立 D．當(dāng)n=4時(shí)，該命題成立【考點(diǎn)】RG：數(shù)學(xué)歸納法．【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)學(xué)歸納法,由歸納法的性質(zhì)，我們由P（n）對(duì)n=k成立，則它對(duì)n=k+1也成立，由此類推，對(duì)n＞k的任意整數(shù)均成立，結(jié)合逆否命題同真同假的原理，當(dāng)P（n）對(duì)n=k不成立時(shí)，則它對(duì)n=k﹣1也不成立，由此類推,對(duì)n＜k的任意正整數(shù)均不成立,由此不難得到答案．【解答】解：由題意可知，P（n）對(duì)n=4不成立（否則n=5也成立）．同理可推得P（n）對(duì)n=3，n=2，n=1也不成立．故選C4．若f（x）在R上可導(dǎo)，，則=（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】67：定積分．【分析】先求導(dǎo)，再求導(dǎo)，求出函數(shù)的表達(dá)式，再根據(jù)定積分的計(jì)算法則計(jì)算即可．【解答】解：f′（x）=2x+2f′(）+2cos2x，∴f′（）=2×+2f′()+2cosπ，∴f′（）=2﹣π,∴f（x）=x2+2（2﹣π）x+sin2x，∴f（x)dx=（x2+2（2﹣π）x+sin2x）dx=（x3+（2﹣π)x2﹣cos2x）｜=（+2﹣π﹣cos2）﹣（0+0﹣）=﹣π﹣cos2，故選：C5．在平面幾何中有如下結(jié)論:正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1，外接圓面積為S2，則=，推廣到空間可以得到類似結(jié)論，已知正四面體P﹣ABC的內(nèi)切球體積為V1，外接球體積為V2，則=(）A． B． C． D．【考點(diǎn)】F3:類比推理．【分析】平面圖形類比空間圖形，二維類比三維得到，類比平面幾何的結(jié)論，確定正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑之比，即可求得結(jié)論．【解答】解：從平面圖形類比空間圖形，從二維類比三維，如圖，設(shè)正四面體的棱長為a,則AE=，DE=設(shè)OA=R,OE=r,則∴R=，r=∴正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑之比是3:1故正四面體P﹣ABC的內(nèi)切球體積為V1，外接球體積為V2之比等于故選C6．函數(shù)y=sinx﹣的圖象大致是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】6B:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;3O：函數(shù)的圖象．【分析】判斷函數(shù)的奇偶性,通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用特殊函數(shù)值判斷圖象即可．【解答】解：函數(shù)y=sinx﹣是奇函數(shù)，排除D,函數(shù)y′=cosx+，x∈（0，)時(shí)，y′＞0，函數(shù)是增函數(shù)，排除A，并且x=時(shí)，y=1﹣＞0，排除C,故選：B．7．，則m等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考點(diǎn)】67:定積分．【分析】利用定積分的幾何意義計(jì)算定積分．【解答】解：y=，即（x+1)2+y2=1，表示以（﹣1，0）為圓心，以1為半徑的圓，圓的面積為π,∵，∴表示為圓的面積的二分之一，∴m=0，故選：B8．如圖所示的是函數(shù)f（x）=x3+bx2+cx+d的大致圖象，則x12+x22等于（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】63：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；36：函數(shù)解析式的求解及常用方法;7H：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系．【分析】由圖象知f（x）=0的根為0，1，2，求出函數(shù)解析式,x1，x2為導(dǎo)函數(shù)的兩根，可結(jié)合根與系數(shù)求解．【解答】解:由圖象知f（x）=0的根為0,1，2，∴d=0．∴f(x）=x3+bx2+cx=x(x2+bx+c）=0．∴x2+bx+c=0的兩個(gè)根為1和2．∴b=﹣3，c=2．∴f（x）=x3﹣3x2+2x．∴f′（x)=3x2﹣6x+2．∵x1，x2為3x2﹣6x+2=0的兩根,∴．∴．9．正整數(shù)按下表的規(guī)律排列（下表給出的是上起前4行和左起前4列）則上起第2015行，左起第2016列的數(shù)應(yīng)為（）A．20152 B．20162 C．2015+2016 D．2015×2016【考點(diǎn)】F1：歸納推理．【分析】觀察圖形可知這些數(shù)字排成的是一個(gè)正方形，上起第2015行，左起第2016列的數(shù)是一個(gè)2016乘以2016的正方形的倒數(shù)第二行的最后一個(gè)數(shù)字，進(jìn)而可得答案【解答】解：這些數(shù)字排成的是一個(gè)正方形上起第2015行,左起第2016列的數(shù)是一個(gè)2016乘以2016的正方形的倒數(shù)第二行的最后一個(gè)數(shù)字,所以這個(gè)數(shù)是2016×=2015×2016．故選：D10．設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí),f（x）+xf′（x)＞0，且f(1)=0，則不等式xf（x）＞0的解集為()A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣1，0）∪(0，1) C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．(﹣∞，﹣1）∪（0，1）【考點(diǎn)】3L：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】由題意構(gòu)造函數(shù)g（x)=xf(x)，再由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷出函數(shù)g（x)的單調(diào)性，由函數(shù)f（x)的奇偶性得到函數(shù)g（x)的奇偶性，由f（1）=0得g（1）=0、還有g(shù)(﹣1)=0，再通過奇偶性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用單調(diào)性求出不等式得解集．【解答】解：設(shè)g（x）=xf（x）,則g’（x）=[xf（x）]’=x'f（x)+xf’（x）=xf′(x）+f（x）＞0,∴函數(shù)g（x)在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù),∵f（x)是定義在R上的偶函數(shù),∴g（x）=xf（x)是R上的奇函數(shù)，∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（﹣∞，0)上是增函數(shù)，∵f（1)=0，∴f（﹣1）=0;即g（﹣1）=0,g（1)=0∴xf（x）＞0化為g(x)＞0，設(shè)x＞0，故不等式為g（x）＞g(1），即1＜x；設(shè)x＜0，故不等式為g（x）＞g（﹣1)，即﹣1＜x＜0．故所求的解集為（﹣1,0）∪(1，+∞)故選A．11．若點(diǎn)P是曲線y=x2﹣lnx上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y=x﹣2的最小距離為（）A．1 B． C． D．【考點(diǎn)】IT：點(diǎn)到直線的距離公式．【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)在切點(diǎn)處的函數(shù)值，就是切線的斜率，求出切點(diǎn)，然后再求點(diǎn)P到直線y=x﹣2的最小距離．【解答】解：過點(diǎn)P作y=x﹣2的平行直線，且與曲線y=x2﹣lnx相切，設(shè)P（x0，x02﹣lnx0）則有k=y′｜x=x0=2x0﹣．∴2x0﹣=1，∴x0=1或x0=﹣（舍去）．∴P（1，1)，∴d==．故選B．12．關(guān)于函數(shù)f(x）=+lnx，下列說法錯(cuò)誤的是（)A．x=2是f（x）的極小值點(diǎn)B．函數(shù)y=f（x）﹣x有且只有1個(gè)零點(diǎn)C．存在正實(shí)數(shù)k，使得f（x）＞kx恒成立D．對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)x1，x2，且x2＞x1，若f（x1）=f（x2）,則x1+x2＞4【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】對(duì)選項(xiàng)分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【解答】解:f′（x）=,∴(0，2）上，函數(shù)單調(diào)遞減,（2,+∞）上函數(shù)單調(diào)遞增,∴x=2是f（x）的極小值點(diǎn)，即A正確；y=f（x)﹣x=+lnx﹣x,∴y′=＜0,函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減,x→0，y→+∞,∴函數(shù)y=f（x)﹣x有且只有1個(gè)零點(diǎn)，即B正確；f（x）＞kx，可得k＜，令g（x）=,則g′(x）=，令h（x）=﹣4+x﹣xlnx,則h′(x)=﹣lnx，∴（0，1)上，函數(shù)單調(diào)遞增，（1，+∞)上函數(shù)單調(diào)遞減，∴h(x)≤h（1）＜0，∴g′（x）＜0，∴g（x)=在（0，+∞)上函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)無最小值，∴不存在正實(shí)數(shù)k，使得f（x）＞kx恒成立，即C不正確;對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)x1，x2,且x2＞x1，（0，2)上,函數(shù)單調(diào)遞減，（2,+∞）上函數(shù)單調(diào)遞增,若f(x1）=f（x2），則x1+x2＞4，正確．故選：C．二、填空題（本大題共4題,每題5分,共20分)13．設(shè)f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，則函數(shù)f(x）單調(diào)遞增區(qū)間是［2，+∞）．【考點(diǎn)】6B:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】先求函數(shù)的定義域,再求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0,解得x的范圍即為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．【解答】解：函數(shù)f（x）=x2﹣2x﹣4lnx的定義域?yàn)?0，+∞），f′(x)=2x﹣2﹣=，令f′（x）＞0，∵x＞0,解得，x＞2，∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[2,+∞），故答案為：［2,+∞）．14．如圖，函數(shù)F（x）=f(x)+x2的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是y=﹣x+8,則f（5）+f′(5）=﹣5．【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程;3T:函數(shù)的值．【分析】根據(jù)切點(diǎn)在函數(shù)F(x）的圖象上，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出函數(shù)F（x）的導(dǎo)函數(shù)F’（x）,根據(jù)F'（5）=﹣1求出f′(5)，從而求出所求．【解答】解:F（5）=f（5)+5=﹣5+8=3，所以f（5）=﹣2．又F′（x）=f′(x)+x，所以F′(5)=f′(5）+×5=﹣1,解得f′（5）=﹣3，f（5）+f′（5）=﹣5．故答案為：﹣515．已知函數(shù)f（x)=2ax﹣，x∈(0，1]．若函數(shù)f(x）在（0，1］上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥﹣1．【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】求導(dǎo)數(shù)，函數(shù)f（x）在（0，1]上是增函數(shù)，f′（x）=2a+≥0在（0，1]上恒成立，分離參數(shù)求最值,即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：由題意，∵f(x）=2ax﹣,∴f′（x）=2a+，∵函數(shù)f（x)在（0，1]上是增函數(shù)，∴f′(x)=2a+≥0在（0,1]上恒成立，∴2a≥﹣在（0，1]上恒成立,∴2a≥﹣2，∴a≥﹣1．故答案為:a≥﹣1．16．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋郓?，5］，部分對(duì)應(yīng)值如下表．x﹣1045f（x）1221f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x）的圖象如圖所示：下列關(guān)于f（x)的命題：①函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；②函數(shù)f（x)在［0，2]是減函數(shù)；③如果當(dāng)x∈[﹣1,t］時(shí)，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為4；④當(dāng)1＜a＜2時(shí)，函數(shù)y=f（x）﹣a有4個(gè)零點(diǎn)；⑤函數(shù)y=f（x）﹣a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為0、1、2、3、4個(gè)．其中正確命題的序號(hào)是②⑤．【考點(diǎn)】6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；3Q:函數(shù)的周期性；51：函數(shù)的零點(diǎn)；6B:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】先由導(dǎo)函數(shù)的圖象和原函數(shù)的關(guān)系畫出原函數(shù)的大致圖象,再借助與圖象和導(dǎo)函數(shù)的圖象，對(duì)五個(gè)命題，一一進(jìn)行驗(yàn)證，對(duì)于假命題采用舉反例的方法進(jìn)行排除即可得到答案．【解答】解:由導(dǎo)函數(shù)的圖象和原函數(shù)的關(guān)系得，原函數(shù)的大致圖象可由以下兩種代表形式，如圖:由圖得：①為假命題．函數(shù)f（x）不能斷定為是周期函數(shù)．②為真命題，因?yàn)樵赱0,2]上導(dǎo)函數(shù)為負(fù)，故原函數(shù)遞減；③為假命題，當(dāng)t=5時(shí)，也滿足x∈［﹣1，t]時(shí)，f（x)的最大值是2;④為假命題,當(dāng)a離1非常接近時(shí)，對(duì)于第二個(gè)圖,y=f(x）﹣a有2個(gè)零點(diǎn)，也可以是3個(gè)零點(diǎn)．⑤為真命題,動(dòng)直線y=a與y=f(x）圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)可以為0、1、2、3、4個(gè),故函數(shù)y=f(x）﹣a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為0、1、2、3、4個(gè)．綜上得：真命題只有②⑤．故答案為：②⑤三、解答題（本大題共6題，第17題10分,其余每題12分，共70分．解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17．已知a＞b＞c，且a+b+c=0，求證:＜．【考點(diǎn)】R6:不等式的證明．【分析】本題宜用分析法證．欲證要證＜a，平方后尋求使之成立的充分條件即可．【解答】證明：因?yàn)閍＞b＞c，且a+b+c=0，所以a＞0，c＜0，要證明原不等式成立，只需證明＜a，即證b2﹣ac＜3a2,即證b2+a（a+b）＜3a2，即證（a﹣b）（2a+b）＞0，即證（a﹣b）（a﹣c）＞0．∵a＞b＞c，∴(a﹣b）?（a﹣c）＞0成立．∴原不等式成立．18．已知函數(shù)f（x）=x3﹣3x（1）求函數(shù)f（x）的極值;（2）過點(diǎn)P（2，﹣6）作曲線y=f（x）的切線，求此切線的方程．【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；6H:利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過導(dǎo)數(shù)為0，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解函數(shù)的極值．（2）設(shè)出切點(diǎn)，求出斜率，然后求解切線方程．【解答】解:（1）∵f（x)=x3﹣3x，∴f'（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）(x+1)…令f'（x）=0，解得x=﹣1或x=1…列表如下x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，1）1（1，+∞)f'(x）+0﹣0+f(x）↗極大值↘極小值↗…當(dāng)x=﹣1時(shí),有極大值f（﹣1）=2；當(dāng)x=1時(shí)，有極小值f(1）=﹣2…(2）設(shè)切點(diǎn)，∴…∴切線方程…∵切線過點(diǎn)P（2，﹣6）∴，∴x°=0或x°=3…所以切線方程為y=﹣3x或y=24x﹣54…19．設(shè)函數(shù)f（x)=x2+ex﹣xex（1)求f（x）的單調(diào)區(qū)間;（2）若當(dāng)x∈［﹣2，2]時(shí)，不等式f(x）＞m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6K:導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】(1）求出導(dǎo)數(shù)，討論x＞0,x＜0，導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，注意運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求出單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)x∈［﹣2,2］時(shí),不等式f（x）＞m恒成立,即為當(dāng)x∈［﹣2，2］時(shí)，f(x）min＞m，由（1）即可求出最小值．【解答】解：(1）∵函數(shù)f（x）=x2+ex﹣xex．∴f（x）的定義域?yàn)镽，f’（x）=x+ex﹣（ex+xex)=x（1﹣ex），當(dāng)x＜0時(shí),1﹣ex＞0,f'（x)＜0；當(dāng)x＞0時(shí),1﹣ex＜0,f’（x）＜0∴f（x）在R上為減函數(shù),即f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞,+∞）．（2)當(dāng)x∈[﹣2,2］時(shí),不等式f（x）＞m恒成立，即為當(dāng)x∈[﹣2,2］時(shí)，f（x）min＞m．由（1）可知，f（x）在［﹣2，2]上單調(diào)遞減，∴f（x）min=f(2)=2﹣e2,∴m＜2﹣e2時(shí),不等式f(x）＞m恒成立．20．已知數(shù)列｛an｝滿足an+1﹣an=1，a1=1，試比較與的大小并證明．【考點(diǎn)】RG：數(shù)學(xué)歸納法．【分析】先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可【解答】解:an+1﹣an=1，a1=1,∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=n，要證≥只要證1+++…+≥，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1)當(dāng)n=1時(shí)，1+=，結(jié)論成立，(2)假設(shè)n=k時(shí)成立，即1++…+≥,則當(dāng)n=k+1時(shí)，1++…+++…+＞++…+，＞+++…+，＞+=，即當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立,綜上(1）(2)可知，對(duì)一切正整數(shù)，都有1+++…+≥21．已知函數(shù)f（x）=lnx﹣．（Ⅰ)若a＞0，試判斷f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性；（Ⅱ）若f（x）在[1,e]上的最小值為，求實(shí)數(shù)a的值;(Ⅲ)若f（x）＜x2在(1,+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【考點(diǎn)】6B:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；6K：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）先求出f（x)的定義域,再求出f′（x）=,從而得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ)分別討論①若a≥﹣1，②若a≤﹣e，③若﹣e＜a＜﹣1的情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出a的值;（Ⅲ)由題意得a＞xlnx﹣x3，令g（x)=xlnx﹣x3，得到h（x)=g′（x）=1+lnx﹣3x2,h′(x）=,得出h（x）在（1，+∞)遞減，從而g（x）在（1,+∞)遞減,問題解決．【解答】解：（Ⅰ）由題意得f(x）的定義域是(0，+∞），且f′（x)=,∵a＞0,∴f′（x)＞0，故f（x)在(0，+∞）單調(diào)遞增；(Ⅱ)由（Ⅰ）可得f′（x）=，①若a≥﹣1，則x+a≥0,即f′（x)≥0在［1,e]上恒成立，此時(shí)f(x）在［1，e］上遞增，∴f（x)min=f（1）=﹣a=，∴a=﹣（舍）,②若a≤﹣e，則x+a≤0，即f′（x）≤0在［1，e］上恒成立，此時(shí)f(x）在［1，e］上遞減，∴f（x)min=f（e）=1﹣=，∴a=﹣（舍)，③若﹣e＜a＜﹣1,令f′（x）=0，得x=﹣a，當(dāng)1＜x＜﹣a時(shí),f′（x）＜0，∴f（x）在（1，﹣a)遞減,當(dāng)﹣a＜x＜e時(shí),f′(x）＞0，∴f（x）在（﹣a，e）遞增,∴f（x)min=f（﹣a)=ln（﹣a)+1=，∴a=﹣，綜上a=﹣；（Ⅲ）∵f(x）＜x2,∴l(xiāng)nx﹣＜x2，又x＞0，∴a＞xlnx﹣x3，令g（x）=xlnx﹣x3，h（x）=g′（x）=1+lnx﹣3x2，h′（x）=，∵x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，∴h（x）在(1，+∞）遞減,∴h（x）＜h(1）=﹣2＜0，即g′（x）＜0，∴g(x）在（1，+∞)遞減,∴g（x）＜g（1）=﹣1