3 4平面向量數(shù)乘運(yùn)算坐標(biāo)表示

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思考:如果向量a，b

共線（其中b

0），那么a，b

滿足什么關(guān)系？

提示:

a＝

b.2.會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線；會(huì)用兩向量共線的坐標(biāo)表示解決向量共線、點(diǎn)共線、直線平行等問題．(重點(diǎn)、難點(diǎn)）向量的數(shù)乘運(yùn)算主要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。1.復(fù)習(xí)鞏固平面向量坐標(biāo)的概念.體會(huì)課堂探究的樂趣，汲取新知識(shí)的營(yíng)養(yǎng)，讓我們一起

走

吧！進(jìn)

課堂

例1已知a

(2,1),b

(

3,4),求3a

4b的坐標(biāo)解：3a

4b

3(2,1)

4(

3,4)

(

6,19)微課1

平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)

，其中共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)

，使如果用坐標(biāo)表示，可寫為

，我們知道，a

，b

即消去

后得這就是說，當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，向量

a,b(b

0)

共線.【即時(shí)訓(xùn)練】下列各組向量中，共線的是(

D

)a＝(－2,3)，b＝(4,6)a＝(2,3)，b＝(3,2)C．a(chǎn)＝(1，－2)，b＝(7,14)D．a(chǎn)＝(－3,2)，b＝(6，－4)例2.已知

=（4，2）, =（6，y）,

且a

b

，求y.a

b

【解析】因?yàn)閍

b

,所以4y-2×6=0,所以y=3.【變式練習(xí)】設(shè)向量a=(2,4)與向量b=(x,6)共線,則實(shí)數(shù)x=

)A.2(

BB.3C.4D.6例3.已知A(－1,－1)，B(1,3)，C(2,5)，試判斷A，B，C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系.解:在平面直角坐標(biāo)系中作出A，B，C三點(diǎn)，觀察圖形，我們猜想A，B，C三點(diǎn)共線.下面給出證明.

因?yàn)锳B=(1-(-1),3-(-1))=(2,4),

AC

=(2

-(-1),5

-(-1))=(3,6),又2×6-3×4=0,所以AB∥AC.因?yàn)橹本€AB與直線AC有公共點(diǎn)

A,所以A，B，C三點(diǎn)共線.xyAB

C注意向量共線與直線重合的區(qū)別例4：設(shè)P是線段P1P2上的一點(diǎn)，點(diǎn)P1，P2

的坐標(biāo)是P1(x1，y1)，P2(x2，y2)。若點(diǎn)P是線段P1P2的中點(diǎn)時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo).當(dāng)P是P1P2的三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).解：(1)中點(diǎn)所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1P2MxOyP三等分點(diǎn)如圖，當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，有兩種情況，即xyOP1P2PxyOP1P2P1OP

OP1

P1P

OP1

3

P1P21

211

23

33

OP）

2

OP

1

OP

OP

1

OP（即點(diǎn)P的坐標(biāo)是同理，如果，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是21P

P

2PP（

x1

2x

2

,

y1

2

y2

）.3

31

22如果

PP

1，P那P

么思考：一般地，若點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，點(diǎn)P1

2有何計(jì)算公式？是直線P

P上一點(diǎn)，且

,那么點(diǎn)P的坐標(biāo)

P1P

PP2xyOP2P1P提示:P(

x1

x2

,

y1

y2

)1

1

【即時(shí)訓(xùn)練】△ABC的三條邊的中點(diǎn)坐標(biāo)分別為(2,1)和(－3,4),,

)(－1,－1)，則△ABC的重心坐標(biāo)為

3

3

.(

2

41.向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示.

2.共線向量的坐標(biāo)表示.

3.中點(diǎn)坐標(biāo)公式.向量平行問題利用共線向量定理a＝λb(b≠0).利用坐標(biāo)表達(dá)式x1y2－x2y1＝0.1.數(shù)學(xué)抽象：向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示.2.邏輯推理：推導(dǎo)共線向量的坐標(biāo)表示.3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：用坐標(biāo)進(jìn)行向量的相關(guān)運(yùn)算，由向量共線求參數(shù)的值.向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式x1y2－x2y1＝0可簡(jiǎn)記為：縱橫交錯(cuò)積相減.1．若a＝(6,6)，b＝(5,7)，c＝(2,4)，則下列結(jié)論成立的是(C

)A．a(chǎn)－c

與b

共線C．a(chǎn)

與b－c

共線B．b＋c

與a

共線D．a(chǎn)＋b

與c

共線【解析】

因?yàn)?/p>

b－c＝(3,3)，a＝2(3,3)＝2(b－c)，故選C.3

1

2.設(shè)a

=(2

，sinα)，b

=(cosα，3

)，且a

∥b

，則銳角α為（

）A．

30０B．

600C．

450D．

750C

3.已知向量OA

(k,12),OB

(4,5),OC

(

k,10)，且A、B、C三點(diǎn)共線，則

k=

.

【解析】可通過向量的減運(yùn)算得到BA、BC的坐標(biāo)，再利用共線條件求解。3

25.O

是坐標(biāo)原點(diǎn)，→＝(k,12)，→＝(4,5)，→＝(10，k)．當(dāng)k

為何值時(shí)，A,OA

OB

OCB,C

三點(diǎn)共線？解析：∵→＝

→－→＝(4,5)－(k,12)＝(4－k，－7)，AB

OB

OA→

→

→BC＝OC－OB＝(10，k)－(4,5)＝(6，k－5)．∵A,B,C

三點(diǎn)共線，∴→與→共線，AB

BC∴(4－k)(k－5)－6×(－7)＝0，解得k＝11

或k＝－2.6.已知點(diǎn)A（0，1），B（1，0），C（1，2），D（2，1），試判斷AB與CD的位置關(guān)系，并給出證明.

證明:因?yàn)锳B=(1,-1),CD=(1,-1),因?yàn)锳B=CD,所以AB//CD，所以AB//CD.量ka－b與a

3b

平行?并確定它