朗肯土壓力計算

5.3朗肯土壓力理論朗肯土壓力理論是根據(jù)半空間的應力狀態(tài)和土的極限平衡條件而得出的土壓力計算方法。圖5-5(a)表示一表面為水平面的半空間，即土體向下和沿水平方向都伸展至無窮，在離地表z處取一單位微體M，當整個土體都處于靜止狀態(tài)時，各點都處于彈性平衡狀態(tài)。設(shè)土的重度為丫，顯然M單元水平截面上的法向應力等于該處土的自重應力，即：而豎直截面上的法向應力為：由于土體內(nèi)每一豎直面都是對稱面，因此豎直截面和水平截面上的剪應力都等于零，因而相應截面上的法向應力°z和°x都是主應力，此時的應力狀態(tài)用莫爾圓表示為如圖5-5(b)所示的圓I，由于該點處于彈性平衡狀態(tài)，故莫爾圓沒有和抗剪強度包線相切。圖5-5半空間的極限平衡狀態(tài)設(shè)想由于某種原因?qū)⑹拐麄€土體在水平方向均勻地伸展或壓縮，使土體由彈性平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)為塑性平衡狀態(tài)。如果土體在水平方向伸展，則M單元在水平截面上的法向應力°2不變而豎直截面上的法向應力卻逐漸減少，直至滿足極限平衡條件為止(稱為主動朗肯狀態(tài))，此時°2達最低限值七，因此，七是小主應力，而°z是大主應力，并且莫爾圓與抗剪強度包線相切，如圖5-5(b)圓II所示。若土體繼續(xù)伸展，則只能造成塑性流動，而不致改變其應力狀態(tài)。反之，如果土體在水平方向壓縮，那末°x不斷增加而°z卻仍保持不變，直到滿足極限平衡條件(稱為被動朗肯狀態(tài))時°x達最大限值°p，這時，°p是大主應力而°2是小主應力，莫爾圓為圖5-5(b)中的圓III。2J［圖2J［圖5-5(c)］，當土體處于被動朗肯狀態(tài)時，大主應力所作用的面是豎直面，故剪切破壞面與水平面的夾角為（45V2)［圖5-5(d)］，因此，整個土體由互相平行的兩簇剪切面組f破壞面與水平面的夾角為（45V2)［圖5-5(d)］，因此，整個土體由互相平行的兩簇剪切面組f450平)V成。剪切破壞面與大主應力方向的夾角為朗肯將上述原理應用于擋土墻土壓力計算中，他設(shè)想用墻背直立的擋土墻代替半空間左邊的土(書中139頁圖5-3)，如果墻背與土的接觸面上滿足剪應力為零的邊界應力條件以及產(chǎn)生主動或被動朗肯狀態(tài)的邊界變形條件，則墻后土體的應力狀態(tài)不變。由此可以推導出主動和被動土壓力計算公式。5.3.1主動土壓力由土的強度理論可知，當土體中某點處于極限平衡狀態(tài)時，大主應力°1和小主應力°3之間應滿足以下關(guān)系式：粘性土°1=°3tan2(45°+?)+2ctan(45o+!|)或°3=°］tan2(45°—?)-2ctan(45。-?)?無粘性土°=°tan2(45°+-2)或°3=°1tan2（45。-?）對于如圖5-6所示的擋土墻，設(shè)墻背光滑(為了滿足剪應力為零的邊界應力條件)、直立、填土面水平。當擋土墻偏離土體時，由于墻后土體中離地表為任意深度z處的豎向應力°Jz不變，亦即大主應力不變，而水平應力°x卻逐漸減少直至產(chǎn)生主動朗肯狀態(tài)，此時，°z是小主應力°.，

也就是主動土壓力強度，由極限平衡條件得:?b=yz也就是主動土壓力強度，由極限平衡條件得:?b=yztan2（45?！o粘性土：。 2，或b=*k次a a(5-3)（5-4）粘性土c=農(nóng)tan2（45。—?）—2ctan（45。—?）或七=?七—2C不(5-6)(5-5)上列各式中Ka—主動土壓力系數(shù)，a 2；y一墻后填土的重度，kN/m3，地下水位以下用有效重度;中一填土的內(nèi)摩擦角，度；z—所計算的點離填土面的深度，m。圖中一填土的內(nèi)摩擦角，度；z—所計算的點離填土面的深度，m。圖5-6主動土壓力強度分布圖（a）主動土壓力的計算 （b）無粘性土 （c）粘性土由式（5-4）可知：無粘性土的主動土壓力強度與z成正比，沿墻高的壓力分布為三角形，如所示，如取單位墻長計算，則主動土壓力為：=1yH2tan2（45o—-）2 2=1yH2K2a圖5-6（b）（5-7）E或a2a （5-8）Ea通過三角形的形心，即作用在離墻底H/3處。由式（5-6）可知，粘性土的主動土壓力強度包括兩部分：一部分是由土自重引起的土壓力yzKa，另一部分是由粘聚力c引起的負側(cè)壓力2c<Ka，這兩部分土壓力疊加的結(jié)果如圖5-6（c）所示，其中ade部分是負側(cè)壓力，對墻背是拉力，但實際上墻與土在很小的拉力作用下就會分離，故在計算土壓力時，這部分應略去不計，因此粘性土的土壓力分布僅是abc部分。a點離填土面的深度Zo常稱為臨界深度，在填土面無荷載的條件下，可令式（5-6）為零求得Zo值，即：2c（5-9）如取單位墻長計算，則主動土壓力Ea為:將式（5-9）代入上式后得1 ■—2c2E=^yH2K-2cH（K+――）主動土壓力Ea通過在三角形壓力分布圖abc的形心，即作用在離墻底（H—zo）/3處。5.3.2被動土壓力當墻受到外力作用而推向土體時［圖5-7（a）］，填土中任意一點的豎向應力b廣*仍不變，而水平向應力bx卻逐漸增大，直至出現(xiàn)被動朗肯狀態(tài)，此時，bx達最大限值bp，因此bp是大主應力，也就是被動土壓力強度，而b^則是小主應力。于是由極限平衡條件得：無粘性土：bp=yzKP （5-11）

粘性土：°pKK粘性土：°pKKP+2c.,耳(5-12)式中Kp—被動土壓力系數(shù)，其余符號同前。K=tan2(45o+-)p 2。圖5-7被動土壓力的計算(a)被動土壓力的計算；(b)無粘性土；(c)粘性土由式(5-11)和式(5-12)可知，無粘性土的被動土壓力強度呈三角形分布［圖5-7(b)］，粘性土的被