新教材北師大版數(shù)學(xué)學(xué)案第2章1從位移速度力到向量

§1從位移、速度、力到向量學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．理解向量的有關(guān)概念及向量的幾何表示．(重點(diǎn))2．掌握共線向量、相等向量的概念．(難點(diǎn))3．正確區(qū)分向量平行與直線平行．(易混點(diǎn))通過向量的有關(guān)概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．(1)起重機(jī)吊裝物體時，物體既受到豎直向下的重力作用，同時又受到豎直向上的起重機(jī)拉力的作用．(2)民航每天都有從北京飛往上海、廣州、重慶、哈爾濱等地的航班．民航客機(jī)飛行一次，位移變化一次，由于飛行的距離和方向各不相同，因此，它們是不同的位移．閱讀教材，結(jié)合上述情境回答下列問題：問題1：上述情境涉及哪些物理量？其特點(diǎn)是什么？問題2：在物理中，位移與路程是同一個概念嗎？為什么？問題3：平行向量一定是相等向量嗎？知識點(diǎn)1向量的概念數(shù)學(xué)中，我們把既有大小又有方向的量統(tǒng)稱為向量，而把那些只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量(如年齡、身高、體積等).兩個數(shù)量可以比較大小，那么兩個向量能比較大小嗎？[提示]數(shù)量之間可以比較大小，而兩個向量不能比較大?。R點(diǎn)2向量的表示方法(1)具有方向和長度的線段，叫作有向線段．以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的有向線段，記作eq\o(AB,\s\up8(→))，線段AB的長度也叫作有向線段eq\o(AB,\s\up8(→))的長度，記作eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up8(→)))).(2)向量可以用有向線段來表示．有向線段的長度表示向量的大小，即長度(也稱模)，記作|a|.箭頭所指的方向表示向量的方向．知識點(diǎn)3零向量與單位向量(1)長度為0的向量稱為零向量，記作0或eq\o(0,\s\up6(→))；(2)模等于1個單位長度的向量，叫作單位向量．1.把平行于某一條直線的所有向量歸結(jié)到共同的起點(diǎn)，則終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是________；若這些向量是單位向量，則終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是________．[答案]一條直線兩個點(diǎn)知識點(diǎn)4向量的基本關(guān)系(1)相等向量：長度相等且方向相同的向量，叫作相等向量，記作a＝b.(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共線向量；a平行于b，記作a∥b；規(guī)定零向量與任一向量共線．(3)相反向量：長度相等且方向相反的向量，叫作相反向量，a的相反向量記作－a；規(guī)定零向量的相反向量是零向量．2.下列說法錯誤的是()A．若a＝0，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝0B．零向量是沒有方向的C．零向量與任意向量平行D．零向量與任意向量垂直B[零向量的長度為0，方向是任意的，它與任何向量都平行、垂直，所以B是錯誤的．]知識點(diǎn)5向量的夾角(1)定義：已知兩個非零向量a和b，在平面內(nèi)選一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a與b的夾角；(2)夾角的大小與向量共線、垂直的關(guān)系：θ＝0°?a與b同向；θ＝180°?a與b反向；θ＝90°?a⊥b，規(guī)定：零向量與任一向量垂直．3.等邊△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角是________，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))的夾角是________．[答案]60°120°類型1向量的有關(guān)概念【例1】判斷下列命題是否正確，并說明理由．(1)a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b；(2)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則A、B、C、D四點(diǎn)是平行四邊形的四個頂點(diǎn)；(3)在平行四邊形ABCD中，一定有eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))；(4)若向量a與任一向量b平行，則a＝0.[解](1)當(dāng)a∥b且方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件，故(1)不正確．(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，A、B、C、D四點(diǎn)可能在同一條直線上，故(2)不正確．(3)在平行四邊形ABCD中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→))平行且方向相同，故eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，(3)正確．(4)零向量的方向是任意的，與任一向量平行，(4)正確．1.向量共線即表示共線向量的有向線段在同一條直線上或平行．，弄清基本概念之間的區(qū)別與聯(lián)系是解決向量概念辨析題的基礎(chǔ)．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．已知O是△ABC的外心，則eq\o(AO,\s\up8(→))，eq\o(BO,\s\up8(→))，eq\o(CO,\s\up8(→))是()A．相等向量 B．平行向量C．模相等的向量 D．起點(diǎn)相同的向量C[eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AO,\s\up8(→))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(BO,\s\up8(→))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(CO,\s\up8(→))))＝r.]類型2向量的表示【例2】(教材北師版P75例1改編)一輛消防車從A地去B地執(zhí)行任務(wù)，先從A地向北偏東30°方向行駛2千米到D地，然后從D地沿北偏東60°方向行駛6千米到達(dá)C地，從C地又向南偏西30°方向行駛了2千米才到達(dá)B地．(1)在如圖所示的坐標(biāo)系中畫出eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(CB,\s\up8(→))，eq\o(AB,\s\up8(→))；(2)求B地相對于A地的位置向量．[解](1)向量eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(CB,\s\up8(→))，eq\o(AB,\s\up8(→))，如圖所示．(2)由題意知eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))，∴AD與BC平行且相等，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))，∴B地相對于A地的位置向量為“北偏東60°，6千米”準(zhǔn)確畫出向量的方法是先確定向量的起點(diǎn)，再確定向量的方向，然后根據(jù)向量的大小確定向量的終點(diǎn)．用有向線段來表示向量是向量的幾何表示，必須確定起點(diǎn)、長度和終點(diǎn)，三者缺一不可．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．在如圖的方格紙中，畫出下列向量．(每個小正方形的邊長為1).(1)|eq\o(OA,\s\up8(→))|＝4，點(diǎn)A在點(diǎn)O正北方向；(2)|eq\o(OB,\s\up8(→))|＝2eq\r(2)，點(diǎn)B在點(diǎn)O東偏南45°方向；(3)畫一個以C為起點(diǎn)的向量c，使|c|＝eq\r(2)，并說出c的終點(diǎn)的軌跡是什么？[解](1)(2)(3)的圖象如圖所示．(3)c的終點(diǎn)軌跡是以C為圓心，半徑為eq\r(2)的圓．類型3共線向量與夾角【例3】(教材北師版P76例2改編)如圖，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，(1)分別寫出圖中所示與eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))相等的向量；(2)分別求出eq\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(FE,\s\up8(→))的夾角的大?。甗解](1)eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\o(DO,\s\up8(→))；eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))＝eq\o(EO,\s\up8(→))；eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(ED,\s\up8(→))＝eq\o(FO,\s\up8(→)).(2)eq\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(OB,\s\up8(→))的夾角的大小為60°，eq\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(FE,\s\up8(→))的夾角的大小為60°.1．例3中與eq\o(OA,\s\up8(→))模相等的向量有多少？[解]由圖知與eq\o(OA,\s\up8(→))的模相等的向量有23個．2．例3中向量eq\o(OA,\s\up8(→))的相反向量有哪些？[解]與向量eq\o(OA,\s\up8(→))長度相等方向相反的向量有eq\o(OD,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(FE,\s\up8(→))，eq\o(AO,\s\up8(→)).3．例3中與向量eq\o(OA,\s\up8(→))共線的向量有哪些？[解]與向量eq\o(OA,\s\up8(→))共線的向量有eq\o(EF,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(OD,\s\up8(→))，eq\o(FE,\s\up8(→))，eq\o(CB,\s\up8(→))，eq\o(DO,\s\up8(→))，eq\o(AO,\s\up8(→))，eq\o(DA,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→)).4．求出例3中eq\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(OA,\s\up8(→))的夾角的大小[解]eq\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(OA,\s\up8(→))的夾角的大小為120°.判斷一組向量是否相等，關(guān)鍵是看這組向量是否方向相同，長度相等，與起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置無關(guān)．對于共線向量，則只要判斷它們是否同向或反向即可．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])3.如圖所示，以1×2方格紙中的格點(diǎn)(各線段的交點(diǎn))為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中．(1)寫出與eq\o(AF,\s\up8(→))、eq\o(AE,\s\up8(→))相等的向量；(2)寫出與eq\o(AD,\s\up8(→))模相等的向量；(3)求eq\o(AE,\s\up8(→))與eq\o(CD,\s\up8(→))夾角的度數(shù)．[解](1)eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\o(BE,\s\up8(→))＝eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\o(BD,\s\up8(→)).(2)eq\o(DA,\s\up8(→))，eq\o(CF,\s\up8(→))，eq\o(FC,\s\up8(→)).(3)因?yàn)閑q\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(AF,\s\up8(→))，所以eq\o(AE,\s\up8(→))與eq\o(CD,\s\up8(→))夾角為∠EAF＝45°.1．下列結(jié)論正確的個數(shù)是()①溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量；②向量a與b不共線，則a與b都是非零向量；③若|a|＞|b|，則a＞b.A．0B．1C．2D．3B[①溫度沒有方向，所以不是向量，故①錯；③向量不可以比較大小，故③錯；②若a，b中有一個為零向量，則a與b必共線，故a與b不共線，則應(yīng)均為非零向量，故②對．]2．(多選題)下列說法錯誤的是()A．若|a|＝|b|，則a＝±bB．零向量的長度是0C．長度相等的向量稱為相等向量D．共線向量是在同一條直線上的向量ACD[對A，當(dāng)|a|＝|b|時，由于a，b方向不一定相同，a＝±b未必成立，所以A錯誤；對B，零向量的長度是0，正確；對C，長度相等的向量方向不一定相同，故C錯誤；對D，共線向量不一定在同一條直線上，故D錯誤．故選ACD.]3．在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))，且|eq\o(AD,\s\up8(→))|＝|eq\o(AB,\s\up8(→))|，則這個四邊形是()A．正方形B．矩形C．等腰梯形D．菱形D[由eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))可知AB∥DC，且|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝|eq\o(DC,\s\up8(→))|，所以四邊形ABCD為平行四邊形．又|eq\o(AD,\s\up8(→))|＝|eq\o(AB,\s\up8(→))|，所以平行四邊形ABCD為菱形．故選D.]4．設(shè)O是正方形ABCD的中心，則eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(BO,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(BD,\s\up8(→))中，模相等的向量是________．[答案]eq\o(OA,\s\up8(→))與eq\o(BO,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))與eq\o(BD,\s\up8