2022屆長春市中考數(shù)學模擬試卷及答案解析

2022屆長春市中考數(shù)學模擬試卷

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

1.（3分）下列四個數(shù)中，最小的數(shù)是（）

4

A.一1B.-1C.0D.2

2.（3分）長白山位于吉林省延邊州安圖縣和白山市撫松縣境內(nèi)，是中朝兩國的界山、中華

十大名山之一、國家5A級風景區(qū).今年十一期間長白山景區(qū)共接待游客18.14萬人次,

將18.14萬用科學記數(shù)法表示為（）

A.18.14X104B.1.814X104C.1.814X105D.1.814X106

3.（3分）李明為好友制作一個（如圖）正方體禮品盒，六面上各有一字，連起來就是“預

祝中考成功”，其中“預”的對面是“中”，“成”的對面是“功。則它的平面展開圖可

能是（）

4.（3分）如果關(guān)于x的一元一次不等式組的解集在數(shù)軸上的表示如圖所示，那么該不等式

組的解集為（）

A.-1B.x<2C.-1&W2D.-1?2

5.（3分）《九章算術(shù)》中有一道“盈不足術(shù)”問題，原文為：今有人共買物，人出八，盈

三；人出七，不足四，問人數(shù)，物價各幾何？意思是：現(xiàn)有幾個人共同購買一件物品，

每人出8錢，則多3錢；每人出7錢，則差4錢，求物品的價格和共同購買該物品的人

數(shù).設(shè)該物品的價格是x錢，共同購買該物品的有y人，則根據(jù)題意，列出的方程組是

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()

A?伊一”(8y-x=3

(7y—%=4{7y-x=-4

r(y-8x=-3

J(7y-x=-4

6.（3分）如圖，。。的半徑為6tro,四邊形ABC。內(nèi)接于OO,連結(jié)。8、OD,若NBOD

=/BCD,則劣弧前的長為（）

C.2nD.In

7.（3分）在臺風來臨之前，有關(guān)部門用鋼管加固樹木（如圖），固定點A離地面的高度4c

=m,鋼管與地面所成角NABC=N〃，那么鋼管A3的長為（）

BC

mm

A.------B.nt*sinaC.m9cosaD.——

cosasina

8.（3分）如圖，△OAC和△RAD都是等腰直角三角形，NACO=乙4。8=90°,反比例

函數(shù)），='在第一象限的圖象經(jīng)過點B,則△OAC與△84。的面積之差S&OAC-S&BAD為

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

9.（3分）分解因式：16x4-1=

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10.（3分）已知a,6為兩個連續(xù)的整數(shù)，且aV遮VA,則〃=.

11.（3分）如圖，在數(shù)軸上，過數(shù)2表示的點8作數(shù)軸的垂線，以點8為圓心1為半徑畫

弧，交其垂線于點4,再以原點。為圓心，OA長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點C,則點C

表示的數(shù)為.

12.（3分）如圖所示，四邊形為矩形，AELEG,已知/1=25°,則/2=

13.（3分）如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=BC.將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)15°

得到RtZ\A8'C,B'C交AB于點E,若圖中陰影部分面積為2b，則3,E的長

14.（3分）如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABC。的頂點4的坐標為（3,0）,頂點B

在y軸正半軸上，頂點。在x軸負半軸上.若拋物線y=-7-5x+c經(jīng)過點8、C,則菱

形ABCD的面積為.

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CB

IDo|\Ax

三、解答題（本大題共10小題，共78分）

15.（6分）先化簡，再求值：（1+a）（1-a）+（.a-2）2,其中“=—2

16.（6分）某燈具廠計劃加工6000套彩燈，為盡快完成任務，實際每天加工彩燈的數(shù)量是

原計劃的1.5倍，結(jié)果提前5天完成任務.求該燈具廠原計劃每天加工這種彩燈的數(shù)量.

17.（6分）一個不透明的口袋中裝有形狀大小相同的四個小球，每個小球上各有一個數(shù)字，

分別是1,2,3,4.現(xiàn)規(guī)定：從袋子中任取一個小球，對應的數(shù)字作為一個兩位數(shù)的十

位數(shù)，不放回，再任取一個小球，對應的數(shù)字作為這個兩位數(shù)的個位數(shù).請用樹狀圖（或

列表）的方法，求這個兩位數(shù)能被3整除的概率.

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18.(7分)如圖，A8是。。的直徑，是。。的弦，延長8。到點C，使。C=B。，連接

AC,E為AC上一點,直線EO與AB延長線交于點凡若NCCE=ND4C,4c=12.

(1)求。0半徑；

(2)求證：OE為。。的切線；

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19.（7分）4月23日是世界讀書日，習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人

得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣.”某校響應號召，鼓勵師生利用課余時間廣泛閱讀.該

校文學社為了解學生課外閱讀情況，抽樣調(diào)查了部分學生每周用于課外閱讀的時間，過

程如下：

數(shù)據(jù)收集：從全校隨機抽取20名學生，進行了每周用于課外閱讀時間的調(diào)查，數(shù)據(jù)如下

（單位：min）

306081504011013014690100

60811201407081102010081

整理數(shù)據(jù)：按如下分段整理樣本數(shù)據(jù)并補全表格:

課外閱讀時間X0?4040?8080?120120^x<160

Qmin）

等級DCBA

人數(shù)3—8—

分析數(shù)據(jù)：補全下列表格中的統(tǒng)計量:

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

80______________

得出結(jié)論：

（1）用樣本中的統(tǒng)計量估計該校學生每周用于課外閱讀時間的情況等級為:

（2）如果該?，F(xiàn)有學生400人，估計等級為“B”的學生有多少名？

（3）假設(shè)平均閱讀一本課外書的時間為160分鐘，請你選擇樣本中的一種統(tǒng)計量估計該

校學生每人一年（按52周計算）平均閱讀多少本課外書？

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20.（7分）如圖，在4義5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1,點A、B在格點上,

點C是線段A3與格線的交點.利用網(wǎng)格和無刻度的直尺按下列要求畫圖.

（1）在圖①中，過點8作的垂線.

（2）在圖②中，過點C作48的垂線.

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21.（8分）有一科技小組進行了機器人行走性能試驗.在試驗場地有A、B、C三點順次在

同一筆直的賽道上，甲、乙兩機器人分別從A、2兩點同時同向出發(fā)，歷時

Jmin同時到達C點，甲機器人前3分鐘以〃〃?/〃”〃的速度行走，乙機器人始終以

hOm/min的速度行走，如圖是甲、乙兩機器人之間的距離y（相）與他們的行走時間x（加〃）

之間的函數(shù)圖象，請結(jié)合圖象，回答下列問題：

（1）A>B兩點之間的距離是m,A、C兩點之間的距離是m,a=

mlmin.

（2）求線段E尸所在直線的函數(shù)表達式.

（3）設(shè)線段F'G〃x軸，直接寫出兩機器人出發(fā)多長時間相距28加.

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22.（9分）閱讀材料

如圖①，ZVIBC與△OEF都是等腰直角三角形，NAC5=NEDF=90°,且點。在A8

邊上，AB、EF的中點均為0,連結(jié)8F、CD.CO,顯然點C、F、。在同一條直線上，

可以證明△BOF彩/XCO。，則BF=CD.

解決問題

（1）將圖①中的RtZXQEF繞點。旋轉(zhuǎn)得到圖②,猜想此時線段BF與CD的數(shù)量關(guān)系，

并證明你的結(jié)論；

（2）如圖③，若△ABC與都是等邊三角形，AB、EF的中點均為0,上述（1）

中的結(jié)論仍然成立嗎？如果成立，請說明理由；如不成立，請求出B尸與CQ之間的數(shù)量

關(guān)系；

（3）如圖④，若aABC與△￡>￡：/都是等腰三角形，48、EF的中點均為0,且頂角NAC8

BF

=NEDF=a,請直接寫出工：的值（用含a的式子表示出來）

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23.（10分）如圖，在。ABC。中，對角線4CLBC,AC=BC=4cm.動點尸從點A出發(fā)沿

著A-B-C的路線運動，在AB邊上的速度為&c〃心，在BC邊上的速度為la*/s；動點

Q從點C開始沿著C-*A-*D的路線以lcm/s的速度運動，當點Q移動到點。時，點尸，

點。同時停止運動.在運動的過程中，過點尸作BC的垂線，過點。作AC的垂線，兩

條垂線相交于點M，以MP，MQ為鄰邊作矩形PMQN.點P、。分別從點A、C同時出

發(fā)，設(shè)點Q運動時間為x（s）,矩形PMQN與四邊形ABCD重疊部分的圖形周長為y

（cm）.（這里規(guī)定：線段的周長為該線段的長度的2倍）

（1）當矩形PMQV為正方形時，寫出自變量x的取值范圍.

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式.

（3）當矩形PMQN與四邊形ABC。重疊部分的圖形面積最大時，直接寫出自變量x的

值.

圖①圖②

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24.（12分）定義：在平面直角坐標系中，點（〃?，〃）是某函數(shù)圖象上的一點，作該函數(shù)圖

象中自變量大于m的部分關(guān)于直線的軸對稱圖形，與原函數(shù)圖象中自變量大于或

等于〃，的部分共同構(gòu)成一個新函數(shù)的圖象，則這個新函數(shù)叫做原函數(shù)關(guān)于點（，"，〃）的

“攣生函數(shù)”.

例如：圖①是函數(shù)y=x+l的圖象，則它關(guān)于點（0,1）的“攣生函數(shù)”的圖象如圖②

所示，且它的“攣生函數(shù)”的解析式為y=.

（-X+l（x<0）

（1）直接寫出函數(shù)y=x+l關(guān)于點（1,2）的“攣生函數(shù)”的解析式.

（2）請在圖③的平面坐標系（單位長度為1）中畫出函數(shù)）=|關(guān)于點（-1,-3）的“攣

生函數(shù)”的圖象，并求出圖象上到x軸距離為6的所有點的坐標.

（3）點M是函數(shù)G：y=-/+4x-3的圖象上的一點，設(shè)點M的橫坐標為機，G'是函

數(shù)G關(guān)于點M的“攣生函數(shù)”.

①當帆=1時，若函數(shù)值y的范圍是-lWy<l,求此時自變量x的取值范圍；

②直接寫出以點A（1,1）、8（-1,1）、C（-1,-1）、D（1,-1）為頂點的正方形

ABCZ）與函數(shù)G'的圖象只有兩個公共點時，，〃的取值范圍.

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2022屆長春市中考數(shù)學模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

1.（3分）下列四個數(shù)中，最小的數(shù)是（）

4

A.-專B.-1C.0D.2

【解答】解：..?在實數(shù)范圍內(nèi)，負數(shù)＜0（正數(shù)

和-1較小

又：兩個負數(shù)比大小，絕對值大的反而小

4

?"-"3VT

故選：A.

2.（3分）長白山位于吉林省延邊州安圖縣和白山市撫松縣境內(nèi)，是中朝兩國的界山、中華

十大名山之一、國家5A級風景區(qū).今年H??一期間長白山景區(qū)共接待游客18.14萬人次,

將18.14萬用科學記數(shù)法表示為（）

A.18.14X104B.1.814X104C.1.814X105D.1.814X106

【解答】解：18.14萬=181400=1.814X1（）5.

故選：C.

3.（3分）李明為好友制作一個（如圖）正方體禮品盒，六面上各有一字，連起來就是“預

祝中考成功”，其中“預”的對面是“中”，“成”的對面是“功”，則它的平面展開圖可

能是（）

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【解答】解：正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形,

A、“預”的對面是“考”，“成”的對面是“?！?故本選項錯誤;

B、“預”的對面是“功”，“成”的對面是“祝”，故本選項錯誤;

C、“預”的對面是“中”，“成”的對面是“功”，故本選項正確;

。、“預”的對面是“中”，“成”的對面是“?！?，故本選項錯誤.

故選：C.

4.（3分）如果關(guān)于x的一元一次不等式組的解集在數(shù)軸上的表示如圖所示，那么該不等式

組的解集為（）

A.x2-1B.x<2C.-1WXW2D.-lWx<2

【解答】解：；由圖形可知：x<2且x2-l,

不等式組的解集為-lWx<2.

故選：D.

5.（3分）《九章算術(shù)》中有一道“盈不足術(shù)”問題，原文為：今有人共買物，人出八，盈

三；人出七，不足四，問人數(shù)，物價各幾何？意思是：現(xiàn)有幾個人共同購買一件物品，

每人出8錢，則多3錢；每人出7錢，則差4錢，求物品的價格和共同購買該物品的人

數(shù).設(shè)該物品的價格是x錢，共同購買該物品的有y人，則根據(jù)題意，列出的方程組是

（）

A.伊一B.伊7=3

{7y—x=4[7y—x=-4

8x=

C.（r"!口.伊

（7y—x=—4（7y—y=4

【解答】解：設(shè)該物品的價格是X錢，共同購買該物品的有y人，

依題意，得：黑O

故選：B.

6.（3分）如圖，。。的半徑為6cm,四邊形ABCQ內(nèi)接于。。，連結(jié)。8、0D,若NBOD

=NBCD,則劣弧前的長為（）

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B

A.4nB.3nC.2nD.In

【解答】解：.??四邊形ABC。內(nèi)接于OO,

AZBCD+ZA=180°,

???N8OO=2NA,/BOD=/BCD,

?,.2NA+NA=180°,

解得：ZA=60°,

???NBO￡>=120°,

...劣弧BD的長=-12;齡=4TT；

loU

故選：A.

7.（3分）在臺風來臨之前，有關(guān)部門用鋼管加固樹木（如圖），固定點A離地面的高度AC

="?,鋼管與地面所成角NA3C=N〃，那么鋼管A3的長為（）

mm

A.------B.m9sinaC.tn9cosaD.

cosastna

【解答】解：在RtZ\ABC中,

Ar

AsinZABC=詼,

：'AB=贏

故選：D.

8.（3分）如圖，△OAC和△區(qū)4。都是等腰直角三角形，ZACO=ZADB=90°,反比例

函數(shù)y='在第一象限的圖象經(jīng)過點B,則△OAC與△84。的面積之差SAOAC-SABAD為

)

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【解答】解：設(shè)△OAC和△BAD的直角邊長分別為八b,

則點8的坐標為(〃+4a-b).

?.?點B在反比例函數(shù))，=怖的第一象限圖象上，

(a+h)X(a-b)—a2-/?2=6.

S^OAC-S4BAD=±2—如2=1(j_.)—1x6=3.

故選：D.

二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)

9.(3分)分解因式：16，-1=(4./+1)(2x+l)(2x-1).

【解答】解：16/-1

=(47+1)(47-1)

=(4?+1)(2x+l)(2x-1).

故答案為：(4?+1)(2x4-1)(2x7).

10.(3分)已知a,人為兩個連續(xù)的整數(shù)，且aV遮Vb,則公=9.

【解答】解：?；“，。為兩個連續(xù)的整數(shù)，且“V而9,

，。=2,6=3,

：.ba=32=9.

故答案為：9.

11.(3分)如圖，在數(shù)軸上，過數(shù)2表示的點B作數(shù)軸的垂線，以點8為圓心1為半徑畫

弧，交其垂線于點A,再以原點O為圓心，OA長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點C,則點C

表示的數(shù)為_遍_.

第15頁共31頁

【解答】解：：04=V22+I2=V5,

，點C所表示的實數(shù)為遙，

故答案為：V5.

12.（3分）如圖所示，四邊形ABC。為矩形，AE1EG,己知Nl=25°,則N2=115°

【解答】解：：四邊形48C。是矩形

：.AD//BC

：.NDFE=Z2

■:NDFE=N1+NE=115°

.*.Z2=115°

故答案為：115°

13.（3分）如圖，在Rt^ABC中，NC=90°,AC=BC.將AABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)15°

得到RtZ\AB'C,B'C'交AB于點、E,若圖中陰影部分面積為2百，則3,E的長為

2V3-2.

【解答】解：???將RtZXACB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)15°得到RtZVIB'C,

.?.△ACB也△AC'B',

：.AC=AC',CB=C'B',NC4B=NC'AB',

第16頁共31頁

:在RtZXABC中，ZC=90°,AC=BC,

：.ZCAB=45°,

'：ZCAC'=15°,

AE=30°,

：.AE=2CE,AC=y/3CE,

???陰影部分面積為2g,

1

A-xCEx依C￡=2V3,

：.C'E=2,

：.C'B'=AC=>/3C'E=2y[3,

：.B'E=2V3-2,

故答案為：2H一2.

14.（3分）如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點A的坐標為（3,0）,頂點B

在y軸正半軸上，頂點。在x軸負半軸上.若拋物線y=-/-5x+c經(jīng)過點8、C,則菱

【解答】解：拋物線的對稱軸為》=-/=-今

,拋物線y=-5x+c經(jīng)過點B、C,且點B在），軸上，BC〃x軸,

.?.點C的橫坐標為-5.

?.?四邊形ABC。為菱形，

.'.AB=BC—AD—5,

.?.點。的坐標為（-2,0）,04=3.

在RtZVIBC中，AB=5,OA=3,

：.OB=y/AB2-0A2=4,

：.S^KABCD=AD-OB=5X4=20.

第17頁共31頁

故答案為：20.

三、解答題（本大題共10小題，共78分）

15.（6分）先化簡，再求值：（1+a）（1-4）+（a-2）2,其中4=一/

【解答】解：原式=1-d+J_4a+4

=5-4a,

當時，原式=5-4X（-|）=5+6=11.

16.（6分）某燈具廠計劃加工6000套彩燈，為盡快完成任務，實際每天加工彩燈的數(shù)量是

原計劃的1.5倍，結(jié)果提前5天完成任務.求該燈具廠原計劃每天加工這種彩燈的數(shù)量.

【解答】解：設(shè)原計劃每天加工x個，

解得：JC=400,

經(jīng)檢驗，x=400是原方程的解且符合題意.

答：原計劃每天加工400個.

17.（6分）一個不透明的口袋中裝有形狀大小相同的四個小球，每個小球上各有一個數(shù)字，

分別是1,2,3,4.現(xiàn)規(guī)定：從袋子中任取一個小球，對應的數(shù)字作為一個兩位數(shù)的十

位數(shù)，不放回，再任取一個小球，對應的數(shù)字作為這個兩位數(shù)的個位數(shù).請用樹狀圖（或

列表）的方法，求這個兩位數(shù)能被3整除的概率.

【解答】解：列表如下：

1234

1--213141

212--3242

31323--43

4142434--

由表可知共有12種等可能結(jié)果，其中這個兩位數(shù)能被3整除的有4種結(jié)果,

41

所以這個兩位數(shù)能被3整除的概率為一=

123

18.（7分）如圖，AB是的直徑，BO是。。的弦，延長84到點C,使DC=BD,連接

AC,E為AC上一點，直線EC與43延長線交于點F,若NCDE=NDAC,AC=\2.

（1）求半徑；

第18頁共31頁

(2)求證：OE為O。的切線;

【解答】解：（1）;AB為OO的直徑,

AZADB=90°,

：.ADLBC,

又,：BD=CD,

.\AB=AC=i2f

.?.00半徑為6；

ZCDE+ZC^ZDAC+ZC,

：.NAED=NADB,

由⑴知乙403=90°,

:.NAED=90°,

,:DC=BD,OA=OB

：.OD//AC.

：.^ODF^ZAED^9Q0,

半徑ODLEF.

.?.QE為。。的切線.

19.(7分)4月23日是世界讀書日，習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人

第19頁共31頁

得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣.”某校響應號召，鼓勵師生利用課余時間廣泛閱讀.該

校文學社為了解學生課外閱讀情況，抽樣調(diào)查了部分學生每周用于課外閱讀的時間，過

程如下：

數(shù)據(jù)收集：從全校隨機抽取20名學生，進行了每周用于課外閱讀時間的調(diào)查，數(shù)據(jù)如下

（單位：加〃）

306081504011013014690100

60811201407081102010081

整理數(shù)據(jù)：按如下分段整理樣本數(shù)據(jù)并補全表格：

課外閱讀時間X0?4040?8080^x<120120?160

（,min）

等級DCBA

人數(shù)3584

分析數(shù)據(jù)：補全下列表格中的統(tǒng)計量

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

808181

得出結(jié)論：

（1）用樣本中的統(tǒng)計量估計該校學生每周用于課外閱讀時間的情況等級為3

（2）如果該?，F(xiàn)有學生400人，估計等級為“B”的學生有多少名？

（3）假設(shè)平均閱讀一本課外書的時間為160分鐘，請你選擇樣本中的一種統(tǒng)計量估計該

校學生每人一年（按52周計算）平均閱讀多少本課外書？

【解答】解：（1）根據(jù)上表統(tǒng)計顯示：樣本中位數(shù)和眾數(shù)都是81,平均數(shù)是80,都是8

等級，

故估計該校學生每周的用于課外閱讀時間的情況等級為B.

8

（2）V—x400=160

20

,該?，F(xiàn)有學生400人，估計等級為“B”的學生有160名.

（3）以平均數(shù)來估計：

80

—X52=26

160

假設(shè)平均閱讀一本課外書的時間為160分鐘，以樣本的平均數(shù)來估計該校學生每人一

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年（按52周計算）平均閱讀26本課外書.

故答案為：5,4,81,81,B-.

20.（7分）如圖，在4X5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1,點4、8在格點上,

點C是線段A8與格線的交點.利用網(wǎng)格和無刻度的直尺按下列要求畫圖.

（1）在圖①中，過點B作A8的垂線.

（2）在圖②中，過點C作A8的垂線.

圖①圖②

【解答】解：（1）如圖①所示：BD即為所求;

（2）如圖②所示：CE即為所求.

圖①圖②

21.（8分）有一科技小組進行了機器人行走性能試驗.在試驗場地有A、B、C三點順次在

同一筆直的賽道上，甲、乙兩機器人分別從A、8兩點同時同向出發(fā)，歷時

7min同時到達C點，甲機器人前3分鐘以am/min的速度行走，乙機器人始終以

60m/mm的速度行走，如圖是甲、乙兩機器人之間的距離＞（，*）與他們的行走時間x^min）

之間的函數(shù)圖象，請結(jié)合圖象，回答下列問題：

（1）4、8兩點之間的距離是70—4、C兩點之間的距離是490a=95mJmin.

（2）求線段E尸所在直線的函數(shù)表達式.

（3）設(shè)線段FG〃彳軸，直接寫出兩機器人出發(fā)多長時間相距28%

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【解答】解：(1)由圖象可知，A、8兩點之間的距離是70米,

甲機器人前2分鐘的速度為：(70+60X2)4-2=95(米/分);

即4=95；

A、C兩點之間的距離是：70+60X7=490(/?).

故答案為：70；490；95；

(2)設(shè)線段EF所在直線的函數(shù)解析式為：y=kx+b(&W0),

'.,IX(95-60)=35,

二點尸的坐標為(3,35),

則亶獸=鼠，

13k+b=35

解得仁3

則線段EF所在直線的函數(shù)解析式為y=35x-70；

(3)如圖，設(shè)。(0,70),H(7,0).

,:D(0,70),E(2,0),

二線段OE所在直線的函數(shù)解析式為y=-35x+70,

VG(4,35),H(7,0),

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線段GH所在直線的函數(shù)解析式為產(chǎn)-專x+學,

設(shè)兩機器人出發(fā)tmin時相距28〃?，

由題意，可得-35x+70=28,或35x-70=28,或—彳xd—~=28,

解得f=1.2,或1=2.8,或f=4.6.

即兩機器人出發(fā)1.2或2.8或4.6〃”〃時相距28〃?.

22.（9分）閱讀材料

如圖①，△ABC與△￡>￡/:"都是等腰直角三角形，NACB=NEZ）F=90°,且點。在A8

邊上，AB.EF的中點均為。，連結(jié)8F、CD、CO,顯然點C、F、。在同一條直線上，

可以證明△80F絲△C。。，則8F=C￡>.

解決問題

（1）將圖①中的RtZiQEF繞點。旋轉(zhuǎn)得到圖②,猜想此時線段BF與CQ的數(shù)量關(guān)系，

并證明你的結(jié)論；

（2）如圖③，若△ABC與△■DEF都是等邊三角形，AB.EF的中點均為O,上述（1）

中的結(jié)論仍然成立嗎？如果成立，請說明理由；如不成立，請求出8尸與CD之間的數(shù)量

關(guān)系；

（3）如圖④，若aABC與△￡>￡/都是等腰三角形，AB、EF的中點均為0,且頂角/AC8

【解答】解：（1）猜想：BF=CD.理由如下:

如答圖②所示，連接OC、OD.

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答圖⑵

:△ABC為等腰直角三角形，點。為斜邊A8的中點，

：.OB=OC,ZBOC=90°.

???△O所為等腰直角三角形，點。為斜邊打的中點，

AOF=OD,NDOF=90°.

VZBOF=ZBOC+ZCOF=90°+/COF,NCOD=NDOF+NCOF=90°+ZCOF,

：.ZBOF=ZCOD.

???在△BO尸與△COD中,

OB=OC

Z-BOF=乙COD

OF=OD

:.△B0F9XC0D(5AS),

：.BF=CD.

(2)答：(1)中的結(jié)論不成立.

如答圖③所示，連接OC、OD.

:△ABC為等邊三角形，點。為邊AB的中點,

OBVJ

???一=tan30°=好，NBOC=90°.

0C3

?..△DE/為等邊三角形，點。為邊E/的中點,

OF

??.一=tan300=警，ZDOF=9O0.

0D3

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.OBOFV3

9OC~OD~3

VZBOF=ZBOC+ZCOF=90°+ZCOF,ZCOD=ZDOF+ZCOF=90°+NCOF,

：.ZBOF=ZCOD.

在△80b與△CO。中,

OBOFV3

—=—,NBOF=NCOD,

OCOD3

:ABOFSACOD,

.BFyj3

…CD-3

(3)如答圖④所示，連接OC、OD.

答圖④

:△ABC為等腰三角形，點O為底邊A3的中點,

OBa

：.一=tan-,ZBOC=90°.

OC2

???△DE尸為等腰三角形，點0為底邊防的中點,

OFa

：.—=tan-,ZDOF=90°.

OD2

OBOFa

—=—=tan-.

OCOD2

VZBOF=ZBOC+ZCOF=90°+ZCOF,ZCOD=ZDOF+ZCOF=90°+ZCOF,

:?/BOF=/COD.

在ABO尸與△C。。中,

OBOFa

—=—=tan-,ZBOF=ZCOD,

OCOD2

:.△BOFs^COD,

BFa

—=tan-.

CD2

23.(10分)如圖，在QABCD中，對角線AC_LBC,AC=BC=4cm.動點P從點A出發(fā)沿

著A-B-C的路線運動，在AB邊上的速度為&cm/s,在BC邊上的速度為lc7〃/s；動點

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。從點C開始沿著C-A-。的路線以\cmls的速度運動，當點Q移動到點D時，點P,

點。同時停止運動.在運動的過程中，過點P作BC的垂線，過點。作AC的垂線，兩

條垂線相交于點M,以MP,MQ為鄰邊作矩形PMQM點P、。分別從點A、C同時出

發(fā)，設(shè)點Q運動時間為x(s),矩形PMQN與四邊形ABCD重疊部分的圖形周長為y

(cm).(這里規(guī)定：線段的周長為該線段的長度的2倍)

(1)當矩形PMQN為正方形時，寫出自變量x的取值范圍.

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式.

(3)當矩形PMQV與四邊形A8C。重疊部分的圖形面積最大時，直接寫出自變量x的

值.

圖①圖②

【解答】解：(1)如圖①中，

圖①

：AC=8C,ZACB=90°,

.?.NB=/CAB=45°,

?.?四邊形PMQV是矩形，

:.ZPNQ=4PNA=90°,

，NB4N=NAPN=45°,

：.AN=PN,

PA=y/2x,

：.AN=PN=x,

當PN=NQ時，四邊形PMQN是正方形,

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'：AN=NQ=CQ=x,

；.3x=4,

._4

..x—3，

如圖①-1中，當點P在8C上，點。在40上時，四邊形PMQN是邊長為4的正方形,

此時4WxW8.

(2)如圖②-1中，當0<xW2時，重疊部分是四邊形PMQN,y=2(PN+NQ)=2(x+4

-2%)=8-2%.

圖②-1

如圖②-2中，當2<xW4時，重疊部分是四邊形PHQN,AQ=4-x,NC=4-x,NQ

=4-(4-x)-(4-x)=2x-4,

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D

圖②-2

：.PH=V2PM=V2(2x-4),

：.y=4-x+2x-4+x+V2(2x-4)=(272+2)x-472

如圖②-3中，當4VxW8時，重疊部分是六邊形AFPCEQ.

圖①-3

AQ=PB=PF=x-4,AM=MF=PC=DQ=QE=S-x,AF=V2(8-x),EC=V2(x-

4),

：.y^AQ+AF+FP+PC+CE+QE^x-4+V2(8-x)+(x-4)+(8-x)+V2(x-4)+8

-x=4或+8.

(8-2x(0<x<2)

綜上所述，)=(2V2+2)x-4V2(2<x<4).

l4V2+8(4<x<8)

(3)觀察圖象可知，當點P在BC上，點。在AD上時，矩形PMQN與四邊形ABCD

重疊部分的圖形面積有最大值，設(shè)重疊部分的面積為S.

則有S—S平行四邊形ABCD_S&PBF~S^QDE—16—(X-4)?―^(8-X)2=-(X-6)~+12,

V-1<0,

；.x=6時，S有最大值.

24.(12分)定義：在平面直角坐標系中，點(m,〃)是某函數(shù)圖象上的一點，作該函數(shù)圖

象中自變量大于m的部分關(guān)于直線x=m的軸對稱圖形，與原函數(shù)圖象中自變量大于或

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等于，〃的部分共同構(gòu)成一個新函數(shù)的圖象，則這個新函數(shù)叫做原函數(shù)關(guān)于點（，〃，”）的

“李生函數(shù)”.

例如：圖①是函