2022年福建省福州市高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷及答案解析

2022年福建省福州市高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）若復(fù)數(shù)z滿足z（1-i）=4i,則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.（5分）已知4（-V3,0）,B（V3,0）,C（0,3）,則AABC外接圓的方程為（）

A.（X-1）2+y2=2B.（X-1）2+y2=4

C.?+（y-1）2=2D./+（y-1）2=4

3.（5分）中國(guó)營(yíng)養(yǎng)學(xué)會(huì)把走路稱為“最簡(jiǎn)單、最優(yōu)良的鍛煉方式”，它不僅可以幫助減肥，

還可以增強(qiáng)心肺功能、血管彈性、肌肉力量等，如圖為甲、乙兩人在同一星期內(nèi)日步數(shù)

的折線統(tǒng)計(jì)圖：

星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日

則下列結(jié)論中不正確的是（）

A.這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的中位數(shù)為11600

B.乙的日步數(shù)星期四比星期三增加了1倍以上

C.這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的平均值大于乙

D.這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的方差大于乙

4.（5分）是的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.（5分）已知尸是半徑為3cm的圓形砂輪邊緣上的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它從初始位置Po開始，按

第1頁共27頁

n

逆時(shí)針方向做圓周運(yùn)動(dòng)，角速度為ymd/s.如圖，以砂輪圓心為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)

系x°y,若/PoOx=E，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y關(guān)于時(shí)間r（單位：s）的函數(shù)關(guān)系式為（）

-rinn

A.y=3sin(4什可)B.y=3sin(—t+—)

TTnn

C.y=3sin(4r—3)D.y=3sin(—t——)

6.(5分)從集合｛1,2,3｝的非空子集中任取兩個(gè)不同的集合A和B,若ACBH0,則不

同的取法共有()

A.42種B.36種C.30種D.15種

7.（5分）已知平面向量b,"均為單位向量，且值一b|=l,則（a-bXb-c）的最

大值為（）

113

A.—B.-C.ID.—

422

8.（5分）折紙是我國(guó)民間的一種傳統(tǒng)手工藝術(shù).現(xiàn)有一張長(zhǎng)10c〃?、寬8cm的長(zhǎng)方形的紙

片，將紙片沿著一條直線折疊，折痕（線段）將紙片分成兩部分，面積分別為S”S2.若

51：52=1：3,則折痕長(zhǎng)的最大值為（）

A.V89C/7?B.10cmC.2\[2§cmD.2A/34C/M

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

x2y2

（多選）9.（5分）已知橢圓C：+「l的左、右焦點(diǎn)分別為F”尸2,P為C上一點(diǎn),

則（）

V2

A.C的離心率為三B.△PF1F2的周長(zhǎng)為5

C.ZFIPF7<90°D.1W|PFI|W3

（多選）10.（5分）已知等差數(shù)列｛4“｝的前"項(xiàng)和為S”公差”W0.若SWS6,則（）

A.41VoB.d<0C.〃6=0D.S13WO

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（多選）】1.（5分）設(shè)函數(shù)/（x）的定義域?yàn)镽,/（x-1）為奇函數(shù)，/（x+1）為偶函數(shù)，

當(dāng)在（-1,1］時(shí)，/（幻=-/+1,則下列結(jié)論正確的是（）

73

A./（一）=-7

24

B../（x+7）為奇函數(shù)

C./（%）在（6,8）上為減函數(shù)

D.方程/（x）+lgx=O僅有6個(gè)實(shí)數(shù)解

（多選）12.（5分）已知正四面體ABC。的棱長(zhǎng)為3,其外接球的球心為0.點(diǎn)E滿足族=XAB

（0〈入VI）,過點(diǎn)E作平面a平行于AC和BC,設(shè)a分別與該正四面體的棱BC,CD,

D4相交于點(diǎn)F,G,H,貝IJ（）

A.四邊形EFGH的周長(zhǎng)為定值

B.當(dāng)人=2時(shí)，四邊形EFGH為正方形

1_13

C.當(dāng)人=5時(shí)，a截球O所得截面的周長(zhǎng)為:~7T

j4*

D.四棱錐A-EFGH的體積的最大值為|V2

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中的橫線上。

13.（5分）己知函數(shù)/（x）="a+/,優(yōu)在x=l處取得極值，則實(shí)數(shù)a=.

14.（5分）如圖，一個(gè)正六棱柱的茶葉盒，底面邊長(zhǎng)為10cm,高為20cm,則這個(gè)茶葉盒

的表面積約為c￡.（精確到0」，通21.732）

sinacosa

15.（5分）寫出一個(gè)使等式+/7C7=2成立的a的值為

sm(a+7)cos(a+-)

66

16.（5分）已知拋物線C：/=4x的焦點(diǎn)為凡過廣的動(dòng)直線/交C于A,B兩點(diǎn)，過A,

B分別作C的切線Z1，12,1\與12交于點(diǎn)P.經(jīng)探究可知點(diǎn)P必在一條定直線上，其方程

為;記/1，/2與y軸的交點(diǎn)分別為M,N,若/的傾斜角為30°,則四邊形PMFN

的面積為

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四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)已知數(shù)列｛即｝的前〃項(xiàng)和為S",ai=i,改=2,且S〃+2=S”+I+4M

(1)求斯

11

(2)求證:——+-----+…+------<2.

+1。2+1an+l

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18.（12分）iBAABC的內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知bsinC=sinC+

V3cosC,A=^.

(1)求c；

(2)在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為補(bǔ)充條件，判斷該三角形是否存在？若存在，求出

三角形的面積；若不存在，說明理由.

①BC邊上的中線長(zhǎng)為日；

②AB邊上的中線長(zhǎng)為迎；

③三角形的周長(zhǎng)為6.

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19.(12分)如圖，在直三棱柱ABC-AiBiCi中，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在BC上，且

AC=BC=3BF.

(1)證明：平面Ai8iF_L平面CGE；

473

(2)若乙48c=60°,A4i=2AB,且三棱錐E-4a尸的體積為7-，求CE與平面AiBiF

所成角的正弦值.

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20.(12分)某超市開展購(gòu)物抽獎(jiǎng)送積分活動(dòng)，每位顧客可以參加〃(〃6N*,且〃22)次

抽獎(jiǎng)，每次中獎(jiǎng)的概率為士不中獎(jiǎng)的概率為士且各次抽獎(jiǎng)相互獨(dú)立.規(guī)定第1次抽獎(jiǎng)

33

時(shí)，若中獎(jiǎng)則得10分，否則得5分.第2次抽獎(jiǎng)，從以下兩個(gè)方案中任選一個(gè)：

方案①：若中獎(jiǎng)則得30分，否則得。分：

方案②：若中獎(jiǎng)則獲得上一次抽獎(jiǎng)得分的兩倍，否則得5分.

第3次開始執(zhí)行第2次抽獎(jiǎng)所選方案，直到抽獎(jiǎng)結(jié)束.

(1)如果〃=2,以抽獎(jiǎng)的累計(jì)積分的期望值為決策依據(jù)，顧客甲應(yīng)該選擇哪一個(gè)方案？

并說明理由.

(2)記顧客甲第i次獲得的分?jǐn)?shù)為X,(i=l,2,…，〃)，并且選擇方案②.請(qǐng)直接寫出

7

E(X(+l)與E(Xi)的遞推關(guān)系式，并求E(X8)的值.(精確到0.1)參考數(shù)據(jù)：(|)

?=0.059.

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21.（12分）平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C：二X——v=1的右焦點(diǎn)為凡7為直線/：x

36

=1上一點(diǎn)，過尸作7F的垂線分別交C的左、右支于P,Q兩點(diǎn)，交/于點(diǎn)A.

（1）證明：直線0T平分線段PQ；

（2）若照|=3|Qfl，求177f的值.

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22.(12分)已知函數(shù)/(x)=e'-arsine-法+c的圖象與x軸相切于原點(diǎn).

(1)求b,c的值;

(2)若/(X)在(0,1T)上有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

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2022年福建省福州市高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷

參考答案與試題解析

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）若復(fù)數(shù)z滿足z（1-i）=4i,則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

解:,:z（1-/）=4i,

??z=E=（i+i）（iT）=-2+2,,

??.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（-2,2）位于第二象限.

故選：B.

2.（5分）己知A（-V3,0）,B（V3,0）,C（0,3）,則△ABC外接圓的方程為（）

A.（X-1）2+夕=2B.（X-1）2+y2=4

C.7+（y-1）2=2D.A（y-1）2=4

解：由A（-V3,0）,B（V3,0）,可得△ABC外接圓的圓心在y軸上，

設(shè)圓心為M（0,b）,

由可得族-3|=后彳與，解得6=1,

則外接圓的半徑為r=2,

可得外接圓的方程為了+（y-1）2=4,

故選：D.

3.（5分）中國(guó)營(yíng)養(yǎng)學(xué)會(huì)把走路稱為“最簡(jiǎn)單、最優(yōu)良的鍛煉方式”，它不僅可以幫助減肥，

還可以增強(qiáng)心肺功能、血管彈性、肌肉力量等，如圖為甲、乙兩人在同一星期內(nèi)日步數(shù)

的折線統(tǒng)計(jì)圖：

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甲'乙日步數(shù)折線統(tǒng)計(jì)圖

星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日

則下列結(jié)論中不正確的是()

A.這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的中位數(shù)為11600

B.乙的日步數(shù)星期四比星期三增加了1倍以上

C.這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的平均值大于乙

D.這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的方差大于乙

解:對(duì)于A,甲的頻數(shù)從小于大為：2435,7965,9500,11600,12700,16000,16800,

中位數(shù)是11600,故A正確；

對(duì)于B,乙的暑期三步數(shù)7030,星期四12970,

12970

-----旬.84V2,?,?沒有增加1倍以上，故3錯(cuò)誤；

7030

1

對(duì)于C,=y(16000+7965+12700+2345+16800+9500+11600)=11000,

1

=y(14200+12300+7030+12970+5340+11600+10060)=10500,

，亍例〉元乙，故C正確；

對(duì)于D,S屋=1[(16000-11000)2+(7965-11000)2+(12700-11000)2+(2435-

11000)2+(16800-11000)2+(9500-11000)2+(11600-11000)2]=?147951678.57.

S/=3(14200-10500)2+(12300-10500)2+(7030-10500)2+(12970-10500)

2+(5340-10500)2+(11600-10500)2+(10060-10500)2]=7462842.86,

2

.*.s/>sz,故。正確.

故選：B.

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4.（5分）"Q<a〈b”是“a—!<b-^r的（）

ab

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解：（a-b）（1+白），怔（°，+8）,bE（0,+8）,

1?①若"0<a<b",則a—''<0,即所以具有充分性；

②若&V。-則（。-b）（1+"^）<。,不一*定可以推到0<a〈b,如u—~5,b—

-2,（〃-b）（1+/）<0,但aVbVO,所以不具有必要性；

故選：A.

5.（5分）已知尸是半徑為3cm的圓形砂輪邊緣上的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它從初始位置尸o開始，按

71

逆時(shí)針方向做圓周運(yùn)動(dòng)，角速度為丁ad/s.如圖，以砂輪圓心為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)

系x°y,若/PoOx=條則點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)y關(guān)于時(shí)間r（單位：s）的函數(shù)關(guān)系式為（）

A.y=3sin(4t+電B.y=3sin(—t+—)

,23

Tin

C.y=3sin(4?-J)D.y=3sin(-t——)

723

解：設(shè)點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)y關(guān)于時(shí)間,（單位：s）的函數(shù)關(guān)系式為y=4sin（a）r+（p）,

由題意可得A=3,<p=-J,

7Tt77Tit71

t（5）時(shí)，射線OP可視角-----的終邊，則y=3sin（------）.

2323

故選：D.

6.（5分）從集合｛1,2,3｝的非空子集中任取兩個(gè)不同的集合A和B,若AC8W0,則不

同的取法共有（）

A.42種B.36種C.30種D.15種

解：根據(jù)題意，集合A中最少1個(gè)元素，最多3個(gè)元素,

第12頁共27頁

分3種情況討論：

①集合A中有1個(gè)元素，集合A有3種選法，集合3的選法有2?-1=3種選法，此時(shí)有

3X3=9種取法，

3

②集合A中有2個(gè)元素，集合A有C3=3種選法，集合B的選法有23-1-1-1=5種

選法，此時(shí)有3義5=15種取法，

③集合A中有3個(gè)元素，集合A有1種選法，集合B不是空集和全集即可，有23-2=6

種選法，此時(shí)有1義6=6種取法，

則有9+15+6=30種取法，

故選：C.

1.（5分）已知平面向量b,K均為單位向量，且值一句=1,貝！|（a-b）*Cb-c）的最

大值為()

113

A.-B.-C.1D.一

422

解：—〃2=。2—2。?匕+匕2=2—2a?b=l,

171

??.Q?b=1，

/.(a—b)-(b—c)=a-b—a-c—bz-I-b-c=—1—(a—b)-c=—\a-b\-

—>—>T—>]—>T—>

\c\cos<a—bfc>=-o—cos<a—b,c>,

cosVa—btc>G[-1/1]f

A（a-b）?（/?-c）G[-|,

TTT—1

（a—b）?（b—c）的最大值為3.

故選：B.

8.（5分）折紙是我國(guó)民間的一種傳統(tǒng)手工藝術(shù).現(xiàn)有一張長(zhǎng)10CM、寬8cm的長(zhǎng)方形的紙

片，將紙片沿著一條直線折疊，折痕（線段）將紙片分成兩部分，面積分別為Si,S2.若

Si：S2=l：3,則折痕長(zhǎng)的最大值為（）

A.>/89cmB.10cmC.2\[29cmD.2y/34cm

解：由題意得：長(zhǎng)方形紙片的面積為10X8=80（C77?）,又Si：52=1：3,

22

...Si=20cm,S2=60cm,

①當(dāng)折痕如下圖所示時(shí)，

第13頁共27頁

22

TS：AE=X,AF=y,則.oJx<10,解得：｛算［獸=x+y=/+曙,

k0<y<8

②當(dāng)折痕如下圖所示時(shí)，

(l(x+y)x8=20

(x+y=5

設(shè)AE=XfDF=y,則)Q<%<10解得:

IO<%<5

(0<y<10

???/（，）在（25,40）上單調(diào)遞減，在（40,100）上單調(diào)遞增,

又g(0)=25+64=89,gg)=64,g⑸=25+64=89,：.g(x)6[64,89],

：.EFG[8,V89],

③當(dāng)折痕如下圖所示時(shí),

1(x+y)x10=20

儼+y=4

解得:

0Vxv8lO<x<4>

{0<y<8

：.EF2^(x-y)2+100=(2x-4)2+100,

令〃（x）=（2x-4）2+100（0Wx<4）,則。（x）在（0,2）上單調(diào)遞減，在（2,4）

上單調(diào)遞增,

又h(0)=16+100=116,h(2)=100,h(4)=16+100=116,：.h又)G[100,116],

：.EFe［10,2V29］；

綜上所述：折痕長(zhǎng)的取值范圍為［8,2V29］;

二折痕長(zhǎng)的最大值為2內(nèi)cm.

故選：C.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

x2y2

（多選）9.（5分）已知橢圓C：y+y=1的左、右焦點(diǎn)分別為Fi，尸2,P為C上一點(diǎn),

則（)

第14頁共27頁

A.。的離心率為三B.△尸人尸2的周長(zhǎng)為5

C.NFiPF2V90°D.1W|PFI|W3

解：對(duì)于選項(xiàng)4：由題意可知。=2,c=y/a2-b2—A/4-3=1,

，離心率e=故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，

對(duì)于選項(xiàng)&由橢圓的定義|PFi|+|Pb2|=2a=4,|Q&|=2c=2,

???△PFia的周長(zhǎng)為4+2=6,故選項(xiàng)8錯(cuò)誤，

乙FiPF?CV3

對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，tan---=-=—y

2b3

又；0。(絲產(chǎn),〈go。,，/FJ2=30。,即NF|PF2=60°,

22

/.ZFIPF2<90°,故選項(xiàng)C正確，

對(duì)于選項(xiàng)D：由橢圓的幾何性質(zhì)可知a-cW|PFi|Wa+c,

；.1W|PQ|W3,故選項(xiàng)。正確，

故選：CD.

(多選)10.(5分)已知等差數(shù)列｛即｝的前”項(xiàng)和為S”公差1W0.若SWS6,則()

A.VOB.d<0C.“6=0D.S13WO

解：由題意，等差數(shù)列｛斯｝是首項(xiàng)為正數(shù)的遞減數(shù)列，

則ai>0,d<0,故選項(xiàng)A錯(cuò)，選項(xiàng)8對(duì)；

當(dāng)”=5時(shí)，有S5WS6，則46=S6-S520,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

當(dāng)"=7時(shí)，S7WS6，則a7=S7-S6W0,所以Si3=13〃7W0,故選項(xiàng)。正確.

故選：BD.

(多選)11.(5分)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,/(%-1)為奇函數(shù)，/(x+1)為偶函數(shù),

當(dāng)xe(-1,1］時(shí)，f(x)=-7+1,則下列結(jié)論正確的是()

73

A.f(-)=-4

724

B.f(x+D為奇函數(shù)

C.f(x)在(6,8)上為減函數(shù)

D.方程/(x)+/gx=O僅有6個(gè)實(shí)數(shù)解

解:V/(X-1)為奇函數(shù)，-X-1)=-/(X-1),即f(-X)=-f(X-2),則

函數(shù)關(guān)于(-1,0)對(duì)稱，

V/(x+l)為偶函數(shù)，x+1)=/(x+l),即為/(-x)=/(x+2),則函數(shù)關(guān)于x

第15頁共27頁

=1對(duì)稱，

則/(x+2)=-/(x-2),

當(dāng)％=0時(shí)，由=-/(x-1),得/(-I)=-/(-1),得f(-1)=0,

得f(x+4)=-f(x),即/(x+8)=f(x),同時(shí)/(x)=-/(x-4),

77qq1iQ

則“5)=/(--8)=/(-p=-/(-i+4)=-f(-p=-n-2]=寸,

故A正確，

/(x+7)=于(x+7-8)=/(%-1)=-/(-x-1)=-/(-%-1+8)=-/(-x+7),

則/(x+7)是奇函數(shù)，故8正確，

；函數(shù)的周期是8,.../(x)在(6,8)的單調(diào)性和(-2,0)的單調(diào)性相同，

由圖象知，/(X)在(-2,0)上為增函數(shù)，則/(x)在(6,8)上增函數(shù)，故C錯(cuò)誤，

由/(x)+lgx—0得f(x)=-Igx,

作出函數(shù)/(x)和y=~lgx的圖象如圖：由圖象知兩個(gè)函數(shù)有6個(gè)交點(diǎn)，即/(x)+1&x

=0有6個(gè)不同的根，故。正確，

故選：ABD.

(多選)12.(5分)已知正四面體ABC。的棱長(zhǎng)為3,其外接球的球心為。.點(diǎn)E滿足港=XAB

(0<A<l),過點(diǎn)E作平面a平行于AC和BD,設(shè)a分別與該正四面體的棱BC,CD,

D4相交于點(diǎn)F，G,H,則()

A.四邊形EFG”的周長(zhǎng)為定值

B.當(dāng)人=方時(shí)，四邊形EFGH為正方形

113

C.當(dāng)人=可D時(shí)，a截球。所得截面4的周長(zhǎng)為二兀

第16頁共27頁

D.四棱錐A-EFGH的體積的最大值為|V2

解：4c〃平面a,平面afl平面ABC=EF,平面a。平面4￡>C=G”,

則AC〃EF,AC//GH,

所以EF//GH,

又平面a,平面a。平面平面aC平面BOC=GF,

則BD//EH,BD//GF,

所以EH//GF,

所以四邊形EFG4為平行四邊形.

由后可得AE：AB=X,則HE：DB=人,EF：AC=\-A,

又正四面體ABC。的棱長(zhǎng)為3,

則"E=G尸=3入，EF=GH=3（1-入），

選項(xiàng)A：四邊形EFG”的周長(zhǎng)為HE+GF+EF+GH=2[3入+3（1-入）]=6.故4正確;

選項(xiàng)B：當(dāng)2=/時(shí)，HE=GF=^,EF=GH=

則平行四邊形EFG”為菱形，

又正四面體A8CD中，對(duì)棱BCJLAC,貝U

則菱形EfGH為正方形，故8正確；

分別取80、BC、AC的中點(diǎn)M、N、Q,連接。N、CM、MQ,

設(shè)。N、CM交于K,連接AK,則AK為正四面體的高，

正四面體48co的棱長(zhǎng)為3,其外接球的球心為0,則。在4K上，連接C0,

AM=CM=|V3，KM="M=掾x1遮=干，AK=>JAM2-KM2=瓜

設(shè)球O半徑為R,則CO2=KC2+KO2,

即R2=（通產(chǎn)+（遍—R）2,解得R='e，

第17頁共27頁

由4M=CM,AQ=QC,可得MQ_LAC,

同理有MQ±BD,則MQ為異面直線BD、AC之間的距離，

__Q

MQ=yjMC2-QC2=JV2,

則點(diǎn)K到AC的距離為近，球心O到AC的距離為三孤,

4

選項(xiàng)C：當(dāng)4=」時(shí)，設(shè)a與MC交于T,則7C=」MC=卓，T到AC的距離為座,

3322

y/2

球心0到平面EFGH的距離為一，

4

則平面a截球0所得截面半徑為J/?2—哈2=J卓同）2_昭2=孚，

則平面a截球。所得截面的周長(zhǎng)為舊兀，故C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)。：由4E=/L4B,MQ=|■夜，

3

可得點(diǎn)A到平面EFGH的距離為^^九

又平行四邊形EFGH為矩形，

則四棱錐A-EFGH的體積V=1x32x3(1-A)x|V21=|>/222(1-A),

Q_

令/'(X)=|V2x2(l-x)(0<x<l),

則/(%)=|V2x(2-3x),

由/，(x)>0得OVxV1

由,(幻<0得|<<1,

則/(x)在(0,|)單調(diào)遞增，在(|,1)單調(diào)遞減，

所以在％=|時(shí)，f(x)取最大值/(|)=x(|)2(1-1)=竽，

第18頁共27頁

即3亞M(1-4)的最大值為有一，

2\/2

故四棱錐A-EFG”的體積的最大值為丁.故。正確.

故選：ABD.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中的橫線上。

13.(5分)已知函數(shù)/(x)="y+/nx在x=l處取得極值，則實(shí)數(shù)a=-2.

解：因?yàn)?(x)=族+:=0,又因?yàn)楹瘮?shù)/G)在x=l處取得極值，

a

所以/(I)=0,于是5+1=0,解得。=-2,

故答案為：-2.

14.(5分)如圖，一個(gè)正六棱柱的茶葉盒，底面邊長(zhǎng)為10?！?，高為20a”，則這個(gè)茶葉盒

的表面積約為1719.6cm2.(精確到0.1,遍，1.732)

里

城

?**

串

耳

滯

爾

解：因?yàn)檎庵酌孢呴L(zhǎng)為10a",

1n

所以正六棱柱的底面積為6x1xlOX10Xsin600=300x貨=150遍2150義1.732=

259.8(cw2).

又因?yàn)楦邽?0cm,

所以這個(gè)正六棱柱的表面積為5=259.8X2+6X10X20=519.6+1200=1719.6(cm2),

即這個(gè)茶葉盒的表面積約為1719.6C“2.

故答案為：1719.6.

sinacosan

15.(5分)寫出一個(gè)使等式兀、+——^7=2成立的a的值為.(答案不唯一，

stn(a+-)cos(a+=)-8

66

a=5+絆，任取一個(gè)值均可),

oZ

sinacosasinacos(a+-)+cosasin(a+-)sin(2a+-)

6661

解：;?=2,

+/^7-sIa+7-T

sin(a+g)cos(a+：)sE(a+B)cos(a+m)2n((23

6666

rrjr

/?sin(2a+q)=sin(2a+可)，

第19頁共27頁

：.2a+j+2a+^-(2k+1)?；?Z),

解得：。=岑工兀一京戲2),

當(dāng)k=Q時(shí)，a=5,

o

71

故使得等式成立的一個(gè)a的值為g(答案不唯一).

8

故答案為：，(答案不唯一，只要滿足a=筆3兀一工(k￡Z)即可).

16.(5分)已知拋物線C：/=以的焦點(diǎn)為F,過尸的動(dòng)直線/交C于A,B兩點(diǎn)，過A,

B分別作C的切線八，12,4與/2交于點(diǎn)P.經(jīng)探究可知點(diǎn)P必在一條定直線上，其方程

為x=-1；記/I，/2與y軸的交點(diǎn)分別為M，N,若/的傾斜角為30°,則四邊形

PMFN的面積為4.

解：由拋物線方程知：F(1,0),

設(shè)/：x—ty+\,A(xi,yi)(yi>0),B(%2>”)(”<0),

%=ty+1

由y2=4x'得：y7-40-4=0,

.[%+=4t

"171y2=-4

?Y丫_W1一級(jí)豆一1

??X1&-彳?彳—]6—I'

當(dāng)y20時(shí)，由y2=4x得：y=2&：?y，=%

1

U：y-yi=-r=(x-x),

VX11

又yi=Zi-y--^=x+y/x7；

VX1

當(dāng)y<0時(shí)，由/=4x得:y=-2y/x,：.y，=-&

?'-11：y-y2=--^=(x-x2)?又=-2低，：.l2：y=-義X一圾,

Vx2Vx2

又ko，",x=~y/xix2=-1'

...點(diǎn)P必在定直線彳=-1上;

由/i，，2方程可求得M(0,O，N(0,—V^2)，

A\MN\=y/x[+

當(dāng)/傾斜角為30°時(shí)，/的方程為：x=V3y+1,

?fyi+y2=4百，

,?尿乃=一4

第20頁共27頁

.?儼1+%2=V3（71+丫2）+2=14

2

/.\MN\=+上+2"I%2=14+2=16,

解得：|MN=4,

1

四邊形PMFN的面積S=S“MN+SNMN=\IMMx2=4.

四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)已知數(shù)列｛“”｝的前〃項(xiàng)和為Sn，01=1,42=2,且S"+2=S”+i+4a”.

⑴求an;

111

（2）求證:++…+<2.

a2+lGn+1

解：（1）數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”ai=b。2=2,且％+2=S?+I+4即,

整理得Sn+2-S“+l=4〃〃;

故?！?2=4?！?

所以當(dāng)〃=2%-I時(shí)，。2阱1=4。2，1，

所以數(shù)歹U｛〃2h]｝是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)歹U；

所以Q2MT=22k-2=2（2kT）T；

當(dāng)n=2k時(shí)，同理可得：a2k=2x4fe-1=22fc-1；

71

所以=2T(HGN+).

11n—1

證明：（2）-----

Qn+12"T+1

所以武+喜+???+點(diǎn)v$°+6&?..

18.（12分）記AABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知bsinC=sinC+

V3cosC,a=*

(1)求c；

（2）在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為補(bǔ)充條件，判斷該三角形是否存在？若存在，求出

三角形的面積；若不存在，說明理由.

①BC邊上的中線長(zhǎng)為y學(xué)[2；

②AB邊上的中線長(zhǎng)為近；

③三角形的周長(zhǎng)為6.

第21頁共27頁

解：⑴因?yàn)?=泉

1F5

所以Z?sinC=sinC+V3cosC=2(-sinC4--VcosC)=2(sinCcosA+cosCsinA)=2sin(A+C)

22

=2sinB,

bc

由正弦定理知,

sinBsinC'

所以加inC=csinB,所以c=2.

(2)選擇條件①：

設(shè)。為BC的中點(diǎn)，貝ijA￡>=:，

因?yàn)閹?AC=2AD，所以(幾+成1)2=4\AD|2,^\AB^+2\AB|?|品|cosA+|=4|/W|2,

所以4+2X2Xbx*+/=4x(孝)2=2,化簡(jiǎn)得廿+2>2=0,無解,

所以△ABC不存在.

選擇條件②：

設(shè)點(diǎn)E為A8的中點(diǎn)，則CE=夕，AE=^AB=1,

在△ACE中，由余弦定理知，C￡2=AC2+AE2-2AC-AEcosA,

所以7=廿+1-26?12，解得6=3或-2,

2

所以△4BC的面積S=/csirh4=*x3X2x苧=與三

選擇條件③：

因?yàn)槿切蔚闹荛L(zhǎng)為6,且c=2,所以a+匕=4,

在△ABC中，由余弦定理知，i?=fe2+c2-2bccosA,

所以“2=〃2+4-2bX2x^,即(4-b)2=Z>2+4-2b,解得6=2,

所以△ABC的面積S=/csinA=x2X2x亨=V3.

B

C

A

第22頁共27頁

B

A-------------------。

19.(12分)如圖，在直三棱柱ABC-4BC1中，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)/在8c上，且

AC=BC^3BF.

(1)證明：平面AiBiF,平面CC1E；

4V3

(2)若NABC=60°,AA\=2AB,且三棱錐E-A\B\F的體積為——，求CE與平面A\B\F

9

所成角的正弦值.

解:(1)在直三棱柱ABC-AiBiCi中，CCi，平面AiBiG,：.CC\LA\B\,

?.?點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),且AC=8C,C.ABLCE,'：AB//A\B\,：.A\B\X.CE,

：CEnCCi=C,...AiBi_L平面CC1E,

；48匚平面A\B\F,；.平面48iF_L平面CCiE；

(2)VZABC=60°,△ABC為正三角形，設(shè)AB=f,則AAi=248=2f,

由(1)可得，CELL平面區(qū)44Bi，

依題意得BF=故點(diǎn)F到平面BAA\B\的距離為拉=|x多=易，

:?S△&8述='xABXA4=]xrX2/=廣,/.VE-A-^B^F=尸一必8送=gS△人便送x

*/磊副

?.?三棱錐E-AiBiF的體積為手，...[戶=華，..“=2,

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EC,EB,A4i所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

第23頁共27頁

2

V3

zXz一

自O(shè)4尸O

(J(3,-

0),Al(0,x,Z\3

旭5

0),0%=(0,2,0),--4

：.CE=(-V3,0,3,3

設(shè)平面AiB］尸的一個(gè)法向量為幾=(x,y,z),

(2y=0

n-AB=0

則11，即萬，5，

-5-x+n-y—4z=n0

n-ArF—0oJ

令z=l,得晶=(4^3,0,1),

-1_-12_4/3

??cos<CE,n>=~——=r-=—廠.

\CE\-\n\43X7/

4V3

:?CE與平面48產(chǎn)所成角的正弦值為一^―?

20.(12分)某超市開展購(gòu)物抽獎(jiǎng)送積分活動(dòng)，每位顧客可以參加〃(/1GNS且〃22)次

抽獎(jiǎng)，每次中獎(jiǎng)的概率為二，不中獎(jiǎng)的概率為3且各次抽獎(jiǎng)相互獨(dú)立.規(guī)定第1次抽獎(jiǎng)

33

時(shí)，若中獎(jiǎng)則得10分，否則得5分.第2次抽獎(jiǎng)，從以下兩個(gè)方案中任選一個(gè)：

方案①：若中獎(jiǎng)則得30分，否則得0分；

方案②：若中獎(jiǎng)則獲得上一次抽獎(jiǎng)得分的兩倍，否則得5