等積變形附答案

三角形的等積變形我們已經(jīng)掌握了三角形面積的計算公式：三角形面積二底X高F2這個公式告訴我們：三角形面積的大小，取決于三角形底和高的乘積.如果三角形的底不變，高越大（小），三角形面積也就越大（小）.同樣若三角形的高不變，底越大（小）,三角形面積也就越大（?。?這說明；當(dāng)三角形的面積變化時，它的底和高之中至少有一個要發(fā)生變化.但是，當(dāng)三角形的底和高同時發(fā)生變化時，三角形的面積不一定變化.比如當(dāng)高變?yōu)樵瓉淼?倍，底變?yōu)樵瓉淼耐羷t三角形面積與原來的一樣.這就是說：一個三角形的面積變化與否取決于它的高和底的乘積，而不僅僅取決于高或底的變化.同時也告訴我們：一個三角形在面積不改變的情況下，可以有無數(shù)多個不同的形狀.本講即研究面積相同的三角形的各種形狀以及它們之間的關(guān)系.為便于實際問題的研究，我們還會常常用到以下結(jié)論：等底等高的兩個三角形面積相等.底在同一條直線上并且相等,該底所對的角的頂點是同一個點或在與底平行的直線上，這兩個三角形面積相等.若兩個三角形的高（或底）相等,其中一個三角形的底（或高）是另一個三角形的幾倍，那么這個三角形的面積也是另一個三角形面積的幾倍.例如在右圖中，若厶ABD-^AAEC的底邊相等（ED二DE■二EC二*EU）它們所對的頂點同為A點，（也就是它們的高相等）那么這兩個三角形的面積相同時也可以知道厶ABC的面積是AABD或AAEC面積的3倍.例如在圖中，△ABC與厶DBC的底相同（它們的底都是BC），它所對的兩個頂點A、D在與底BC平行的直線上，（也就是它們的高相等），那么這兩個三角形的面積相等.A II

例如圖中，AABC與ADBC的底相同（它們的底都是BC）,△ABC的高是△DBC高的2倍（D是AB中點，AB=2BD，有AH=2DE），則厶ABC的面積是厶DBC面積的2倍.上述結(jié)論，是我們研究三角形等積變形的重要依據(jù).例1、用三種不同的方法，把任意一個三角形分成四個面積相等的三角形.?方法1：如右圖，將EC邊四等分（ED二DE■二EF二FC二扌EC）,連結(jié)AABE.AAEF.△止FCSfAABE.AAEF.△止FCSf積.方法2：如右圖，先將BC二等分，分點D、連結(jié)AD，得到兩個等積三角形，即△ABD與厶ADC等積.然后取AC、AB中點E、F,并連結(jié)DE、DF.以而得到四個等積三角形，即△ADF、ABDF、ADCE、AADE等積..方法又如右風(fēng)先將BC四等分，即ED二扌EC,連結(jié)AD,再將AD呂等分，即4EF=FD=#AD,連結(jié)CErCF,從而得到四個等積的三甬形,即ACDF,ACER&ACE^積.DEC

DEC例2、用三種不同的方法將任意一個三角形分成三個小三角形，使它們的面積比為及1：3：4.方法1：如下左圖，將BC邊八等分，取1：3：4的分點D、E,連結(jié)AD、AE,從而得到厶ABD、AADE、AAEC的面積比為1：3：4.芳法厶如上右圖，先取EC中點D,再取AB的扌分點E,連結(jié)邊；DE,從而得到三個三角形：△ADE、ABDE、AACD.其面積比為1：3：4.方法玉如右圖，先取AB中點D,連結(jié)CD,再取CD上扌分點玖連緒AE,從而得到三個三角形，AACE.△ADE、ZXBCD,其面積比為1：3:4.當(dāng)然本題還有許多種其他分法，同學(xué)們可以自己尋找解決.例3、如圖，在梯形ABCD中，AC與BD是對角線，其交點O,求證：AAOB與△COD面積相等.證明：?「△ABC與厶DBC等底等高,TOC\o"1-5"\h\z?S 二S△ABC△DBC又…s二S —S△AOB△ABC△BOCS二S —S△DOC△DBC△BOC?S 二S△AOB△COD*例4、如圖，把四邊形ABCD改成一個等積的三角形.n分析本題有兩點要求，一是把四邊形改成一個三角形，二是改成的三角形與原四邊形面積相等.我們可以利用三角形等積變形的方法，如右圖，n把頂點A移到CB的延長線上的A'處，△3。與4ABD面積相等，從而△AzDC面積與原四邊形ABCD面積也相等.這樣就把四邊形ABCD等積地改成了三角形AA，DC.問題是A'位置的選擇是依據(jù)三角形等積變形原則.過A作一條和DB平行的直線與CB的延長線交于A，點.解：①連結(jié)BD；過A作BD的平行線，與CB的延長線交于A，.連結(jié)A，D,則AA，CD與四邊形ABCD等積.例5、如圖，已知在厶ABC中，BE=3AE，CD=2AD.若△ADE的面積為1平方厘米.求三角形ABC的面積.解法1：連結(jié)BD，在厶ABD中?/BE=3AE，?:Saabd=4Saade=4（平方厘米）.在厶ABC中，?.?CD=2AD，?:Saabc=3Saabd=3X4=12（平方厘米）.解法2：連結(jié)CE,如右圖所示，在△ACE中,???CD=2AD,?:???CD=2AD,?:S^ace=3S^ade=3（平方厘米）?在厶ABC中，?.?BE=3AE?S=4S△ABCAACE=4X3=12（平方厘米）.例6、孰；如下圖，在△ABC中，BD=2AD,AG=2CG,BE=EF=FC=P1：求陰影部分面積占三角形ABC面積的幾分之幾?解：連結(jié)BG，在解：連結(jié)BG，在△ABG中，YBD=2AD; =2AG=2CG,2在中,2=厶、-9%胡c，?s ?s +S +S△ADG△BDE△CFGz22_ （§+§+§）芯沁Is■-陰影部分面積二⑴”j=is—9口也』EC?例7、如右圖，ABCD為平行四邊形，EF平行AC,如果△ADE的面積為4平方厘米.求三角形CDF的面積.解：連結(jié)AF、CE,AS^ade=S^ace；S^cdf=S^acf；又???AC與EF平行，??怡厶二S ；ACE△ACF?:S8DE=SmDF=4（平方厘米）.例8、如右圖，四邊形ABCD面積為1,且AB=AE,BC=BF,DC=CG,AD=DH.求四邊形EFGH的面積.解：連結(jié)BD,將四邊形ABCD分成兩個部分S］與S2.連結(jié)FD,有S&BD=S△DBC=S1所以S^CGF=S^DFC=2S1-同理S^aeh=2S2，因此S^AEH+S^CGF=2S1+2S2=2(S1+S2)=2X1=2.同理，連結(jié)AC之后，可求出S^hgd+S^ebf=2所以四邊形EFGH的面積為2+2+1=5(平方單位).例9、如右圖，在平行四邊形ABCD中，直線CF交AB于E,交DA延長線于F,若S^ADE=1,求ABEF的面積.解：連結(jié)AC,VAB//CD,AS^ade=S^ace又???AD//bc，???Lacf=Labf而S^ACF=S^ACE+S△AEF：S^ABF=S^BEF+S^AEF?S=S*S=S=1△ACE△BEF △BEF△ADE

等積變換等積變換1、等面積圖形拼接類1、小明遇到一個問題：5個同樣大小的正方形紙片排列形式如圖1所示，將它們分割后拼請你參考小明的做法解決下列問題:請你參考小明的做法解決下列問題:現(xiàn)有5個形狀、大小相同的矩形紙片，排列形式如圖3所示.請將其分割后拼接成一個平行四邊形.要求：在圖3中畫出并指明拼接成的平行四邊形(畫出一個符合條件的平行四邊形即可)；如圖4,在面積為2的平行四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，分別連結(jié)AF、BG、CH、DE得到一個新的平行四邊形MNPQ.請在圖4中探究平行四邊形MNPQ面積的大小(畫圖并直接寫出結(jié)果). 圖3 圖42、根據(jù)所給的圖形解答下列問題：如圖1,'ABC中，AB=AC，上BAC=90°,AD丄BC于D，把△ABD繞點A旋轉(zhuǎn),并拼接成一個與AABC面積相等的正方形，請你在圖1中完成這個作圖；如圖2，'ABC中，AB=AC，上BAC=90。，請你設(shè)計一種與(1)不同的方法，將這個三角形拆分并拼接成一個與其面積相等的正方形，畫出利用這個三角形得到的正方形；圖1 圖2設(shè)計一種方法把圖3中的矩形ABCD拆分并拼接為一個與其面積相等的正方形，請你依據(jù)此矩形畫出正方形，并根據(jù)你所畫的圖形，證明正方形面積等于矩形ABCD的面積2、等分面積類問題1、請作一條直線通過割補(bǔ)把下面的四邊形變成面積相等的三角形DCDC2、如圖，一塊矩形的鐵皮ABCD被割去一個小矩形部分DEFG,剩下一個五邊形ABCGFE,請作一條直線把剩下的五邊形分成面積相等的兩部分DEGCBDEGCB3、(1)請過AABC邊BC中點D作一條直線平分厶ABC的面積(2)請過AABC邊BC中點D外任一點P作一條直線平分厶ABC的面積4、如圖，梯形紙片ABCD中，AD〃BC且ABDC.設(shè)AD=a,BC=b.BCBC過AD中點和BC的中點的直線可