界面動力學過冷對球晶生長速度的影響

界面動力學過冷對球晶生長速度的影響

1.界面動力學系數(shù)在晶體生長過程中，固相和液相界面的界面形狀對晶體的形成和性能有重要影響。球晶生長問題是一個由多個規(guī)模的小方程包圍的邊界問題。這種固液界面也是這個問題的解決方案的一部分。在對界面理論分析中，提出了一個復雜的數(shù)學物理問題。mu黎族和serkka首先研究了球晶生長界面形狀的穩(wěn)定性，然后許多工作研究了不同物理參數(shù)對界面形狀的影響。對于典型的金屬來說，在硬化過程中，球晶界面的生長速度可以達到幾百米氏以上，這表明溶液中附著在界面中的原子數(shù)遠遠大于固相，從界面逃到液相的原子數(shù)。硬化顯著偏離平衡條件。界面周圍的液相原子粘附在界面上的速度決定了晶體的生長速度。當界面溫度低于平衡固體溫度時，界面開始移動，相鄰溶液的原子的活動能力沒有明顯下降。界面生長速度隨著界面動態(tài)冷卻的增加而線性增加。當界面溫度明顯低于平衡固體溫度，即過度冷卻時，界面溫度顯著低于平衡固體溫度的一定程度時，由于相鄰溶液的原子溫度的下降，其活動能力顯著降低，因此，界面中的原子數(shù)量開始減少。此時，界面生長速度繼續(xù)增加，但隨后的增長率降低，這將抑制界面動態(tài)。因此，界面生長速度隨著界面動態(tài)冷卻的增加而線性增加。界面動態(tài)系數(shù)反映了界面的動態(tài)變化。近年來，在許多工作中，采用了非平衡固體條件下界面生長速度的u和界面動態(tài)冷卻tk之間的線性關(guān)系，研究了平面界面中的界面動態(tài)冷卻對橫冷祖母中冷界面的影響。其中μ被視為常數(shù)μ0,(被稱為界面動力學系數(shù)),μ0=ΔHM0V0/(ρLRgTM2),ΔH為熔體單位體積的潛熱,M0為熔體的摩爾質(zhì)量,V0為液相中的聲速,Rg為氣體常數(shù),ρL為液相密度,TM為純物質(zhì)的平衡凝固溫度.Turnbull研究了在金屬凝固過程中界面動力學過冷度ΔTK與界面附近溫度的變化和界面生長速度UI之間的聯(lián)系這說明界面動力學系數(shù)μ是依賴界面溫度TI變化的非線性函數(shù),其關(guān)系式為如果忽略界面形態(tài)彎曲的變化,用平界面的平衡凝固溫度代替彎曲界面的溫度,那么界面溫度TI等于純物質(zhì)的平衡凝固溫度TM,這是界面生長速度UI與界面過冷度之間線性關(guān)系(1)式的情形.對于純?nèi)垠w而言,當考慮由原子粘附引起的動力學過冷時,在固液界面上總的溫度過冷度ΔTtotal由熱過冷度ΔT、曲率過冷度ΔTR和界面動力學過冷度ΔTK組成,即(4)式表明界面動力學過冷度將影響界面形態(tài)的變化和生長速度.Li等利用界面動力學過冷與界面生長速度的關(guān)系(2)式研究了在非平衡凝固過程中平直界面的形態(tài)穩(wěn)定性.研究結(jié)果表明,依賴于界面溫度變化的界面動力學系數(shù)導致了絕對穩(wěn)定性判據(jù)的顯著改變.本文利用漸近分析方法求出在非平衡凝固條件下球晶生長問題的近似解析解,研究界面動力學系數(shù)對于球晶生長界面形態(tài)和生長速度的影響.2.球晶的溫度尺度考慮過冷液相熔體中球晶的生長,假定熔體為各向同性的,球晶的初始半徑為r0,遠場溫度為T∞(T∞<TM,TM為純物質(zhì)的平衡凝固溫度).利用文獻中所采用的無量綱化,其中選擇球晶的初始半徑r0作為長度尺度,界面的特征速度V=kLΔT/(r0ΔH)作為速度尺度,r0/V作為時間尺度,過冷度ΔT=TM-T∞作為溫度尺度.采用球坐標系,設(shè)球晶界面為r=R(θ,φ,t),球晶的界面將固相(r<R(θ,φ,t))與液相(r>R(θ,φ,t))分開,球晶生長在液相和固相的溫度控制方程分別為在球晶界面上,溫度滿足連續(xù)性條件考慮由原子附著引起的界面動力學過冷,由(4)式得到Gibbs-Thomson條件能量守恒條件為在遠場,溫度場滿足遠場條件:當r→∞時,以及球晶生長的初始條件:當t=0時,這里TL和TS分別為液相溫度和固相溫度,為Laplace算子,κ=κS/κT,κT和κS分別為液相和固相的熱擴散率,K為界面的局部平均曲率,Γ=γTM/(r0ΔTΔH),γ為各向同性的表面張力參數(shù),ΔH為熔體單位體積的潛熱,參數(shù)MK與μ0成反比例關(guān)系,即MK=ρLRgTM2/(ΔHΔTM0),C=ΔT/TM,β=V/V0,k=kS/kL,kL和kS分別為液相和固相的熱傳導系數(shù),n為界面的單位外法向量.本文假定固相和液相的密度相等,并且忽略浮力和熱膨脹的作用.3.界面初始條件的確定在金屬凝固過程中,當Stefan數(shù)S=ΔH/(cpρLΔT)的量級很大時,εue04d1.本文選擇ε為小參數(shù),對溫度場和球晶界面按照這個小參數(shù)作漸近展開.當ε→0時,界面的平均曲率K按照小參數(shù)ε展開為其中將(12)—(14)式連同(15)和(16)式代入(5)—(11)式,比較關(guān)于εn的系數(shù)得到各階近似項滿足的方程.首階近似項TL0,TS0和R0滿足如下方程和邊界條件:界面條件:在界面上,當r=R0(t)時,遠場條件:當r→∞時,界面的初始條件:當t=0時,一階近似項TL1,TS1和R1滿足如下的方程和邊界條件:界面條件:在界面上,其中界面的初始條件:當t=0時,類似地,可得到各階近似項所滿足的方程和邊界條件.因為邊界條件(22)式與角θ和φ無關(guān),所以Laplace方程(17)和(18)的解的形式為a0(t)+b0(t)/r,代入界面條件(19)和(20)式和遠場條件(22)式,得到其中從界面條件(21)式得到R0滿足的微分方程方程(33)與界面初始條件(23)式可確定R0=R0(t).當忽略界面動力學時,MK=0,方程(33)與文獻的結(jié)果一致.非齊次方程(24)和(25)的解可以表示為下面的球諧函數(shù)級數(shù)展開:其中Yn,m為球諧函數(shù),fn,m(r,t)和dn,m(r,t)為待定函數(shù).將(34)和(35)式代入方程(24)和(25)得到其中An,m,Bn,m為待定函數(shù).將界面一階項R1表示為球諧函數(shù)級數(shù)展開其中g(shù)n,m(t)為待定函數(shù),將(34)—(40)式代入界面條件(26)—(28)式得到:當n=0,m=0時,從上述方程組解得,當n=0,m=0時,其中利用初始條件(29)式,方程(41)的解可以表示為當n=1,2,3,…;m=0,1,2,…,n時,界面條件(26)—(28)式變?yōu)橐驗樯鲜鼋缑鏃l件關(guān)于An,m,Bn,m和gn,m(t)都是線性齊次的,所以由界面初始條件(29)式得到當n=1,2,3,…;m=0,1,2,…,n時,于是溫度場一階近似項可以表示為因此,我們得到了(12)—(14)式中球晶生長的一階近似解析解.從(33)和(41)式,球晶界面的生長速度可以表示為應當指出,球晶界面的近似解析解(12)—(14)式不滿足預先給定的初始條件(11)式和液相中遠場衰減條件(10)式.這是因為在初始時刻溫度有一個瞬變過程,有一個關(guān)于時間的邊界層,所以假設(shè)ue785TL/ue785t=O(1),ue785TS/ue785t=O(1)不再成立.為此需要求出在初始瞬變階段的內(nèi)解.可以證明,如果引入時間內(nèi)變量t^=t/ε,溫度場和界面的內(nèi)解分別用TL^(r,θ,φ,t^),TS^(r,θ,φ,t^)和R^(θ,φ,t^)仍然按照小參數(shù)ε作漸近展開,并且與所求的近似解析解(12)—(14)式匹配,那么溫度場的內(nèi)解滿足預先給定的初始條件.類似地,可以求出在遠離界面的溫度場的解,并且與所求的近似解析解(12)—(14)式匹配,證明溫度在遠場滿足遠場條件(10)式.在晶體生長過程中,相變過程主要發(fā)生在固液界面附近的區(qū)域,在物理上研究界面動力學系數(shù)對于球晶生長的影響只需計算在球面附近區(qū)域?qū)缑嫘螒B(tài)演化的作用.因此,我們得到了(12)—(14)式中球晶生長的一階近似解析解.圖1表明在界面動力學系數(shù)影響下球晶半徑與時間之間的關(guān)系.圖2顯示球晶界面生長速度與時間之間的關(guān)系.圖3和圖4表示在不同時刻的球晶界面形態(tài),圖中實線表示在時刻t=0,20,30,50(從內(nèi)向外)受到界面動力學過冷影響的球晶界面形態(tài).圖5表示不同的界面動力學系數(shù)對球晶界面形態(tài)的影響.從圖1—5可以看出,參數(shù)MK越小,球晶的生長速度越快;反之,參數(shù)MK越大,球晶的生長速度越慢.參數(shù)MK越大,界面動力學過冷度對球晶半徑的抑制作用越大.因為界面動力學系數(shù)μ0(常數(shù))與參數(shù)MK成反比,所以界面動力學系數(shù)μ0越大,球晶的生長速度越快;反之,表明界面動力學系數(shù)μ0越小,球晶的生長速度越慢.與忽略界面動力學系數(shù)的情形比較說明,非線性界面動力學會使界面過冷度顯著地減小,從而在球晶生長過程中顯著地減緩了晶體生長的速度.4.界面動力學估計和界面穩(wěn)定性之間的關(guān)系考慮了在非平衡凝固條件下界面動力學系數(shù)隨界面局部溫度的變化,建立了在過冷熔體中包括表面張力參數(shù)、界面動力