復(fù)生長曲線模型的解析解

復(fù)生長曲線模型的解析解

1復(fù)正態(tài)分布模型生長曲線模型主要用于分析生長曲線。一般復(fù)生長曲線模型是指其中Y=(y1,y2,…,yN)是p×N階觀察矩陣,B和A分別為p×q和m×N階已知復(fù)矩陣,ξ為q×m階復(fù)參數(shù)矩陣,ε=(ε1,ε2,…,εN)為N×N階隨機(jī)誤差復(fù)矩陣,∑為p×p階非負(fù)定參數(shù)復(fù)矩陣,W=(ωij)為N×N階已知非負(fù)定復(fù)矩陣。假定Y的列向量是取自p維復(fù)正態(tài)總體容量為N的相關(guān)子陣,設(shè)復(fù)正態(tài)總體的協(xié)方差矩陣為∑,樣本間的相關(guān)陣為W,Y的期望值為BξA,則Y服從復(fù)矩陣正態(tài)分布,記為Y～CNp,N(BξA,∑,W),其密度函數(shù)為為討論方便,進(jìn)而假定:∑和W均為正定矩陣,A和B的秩分別為m和q,且W=IN(IN為N階單位陣),于是有Y～CNp,N(BξA,∑,IN)。首先將模型簡化。設(shè)B0和A0分別為p×(p-q)和N×(N-m)階復(fù)矩陣,且使得和為酉矩陣,從而有其中,A=Δ∑Δ*,和Z分別為p×m和p×(N-m)階,Z1和Z2分別為q×m和(p-q)×m階。由此可知其中。從而可知球性檢驗(yàn)問題,即檢驗(yàn)假設(shè)H*:∑=λI(I為單位陣,λ>0且未知)等價(jià)于檢驗(yàn)假設(shè)H:Λ=λI(λ>0且未知),且易知檢驗(yàn)假設(shè)H的似然比準(zhǔn)則為其中y,12=7n—7I2f2V2i。2分布參數(shù)的材料中,有為敘述方便,先以引理形式給出以下結(jié)論。引理2.1Γ-函數(shù)的漸近表示式。對(duì)于有界的h,下式成立:其中Rn(x)=o(x-n),Br(h)是r次一級(jí)Bernoulli多項(xiàng)式,它由下式確定通過展開并比較兩端δr(r=1,2,3)的系數(shù),得到此引理的證明可參見王竹溪、郭敦仁。設(shè)k為非負(fù)整數(shù),K=(k1,k2,…,kp)為k的劃分,其中k1≥k2≥…≥kp≥0,k1+k2+…+kp=k;且記引理2.2記,那么對(duì)任何Hermitian正定矩陣S,下述諸式成立:其中為Zonal多項(xiàng)式。此引理的證明參見(CuptaA.k,NagarD.KandJainK。假設(shè)參數(shù)矩陣具有以下形式其中Λ1,Λ2分別為q×q和(p-q)×(p-q)階,則有如下結(jié)論:引理2.3在參數(shù)矩陣Λ具有(6)的形式下,球性檢驗(yàn)似然比準(zhǔn)則U*的h階矩為其≥中為正常數(shù)且使得。①V1.2～CWq(λ1,n-p+q)與V12及V22相互獨(dú)立;②～CWq(λ1,p-q)與V1.2及V22相互獨(dú)立;③V22～CWq-q(A2,n)。由此可知U*的h階矩為其中期望是對(duì)取的。因?yàn)閂11與相互獨(dú)立,利用Muirhed中定理8.3.4證明中的類似方法,可知的密度函數(shù)f(u)為其中0<η<+∞,,i=1,2。g(a,b)(u)表示參數(shù)為a和b的gamma分布的密度函數(shù)。式中第三個(gè)和第四個(gè)求和分別取遍k(1)和k(2)的所有可能劃分K(1)和K(2)。由于具有參數(shù)為p(n+m+h)-qm+qm+k(1)+k(2)和η的gamma分布的-ph階矩為將(10)代入(8),即知結(jié)論成立。由引理2.3可得到如下結(jié)論:推論當(dāng)原假設(shè)H:A=λI(λ>0且未知)成立時(shí),(3)給出的似然比統(tǒng)計(jì)量U*的h階矩為3似然比分布函數(shù)在(11)中令n=M+α(α值下面將確定),并利用Mellin逆變換,即知當(dāng)零假設(shè)H成立時(shí),似然比統(tǒng)計(jì)量U*的密度函數(shù)為其中作變換t=h+M,e=c+M,(12)式化為其中利用引理2.1將φ(t)展開,得到其中由(13)和(14),有利用Nair,U.S中方法,展開,利用引理2.1,有其中將(17)代入(16),比較兩端t的同次冪的系數(shù),有同時(shí)將(16)代入(15),逐項(xiàng)積分(這是允許的),有進(jìn)而得到似然比統(tǒng)計(jì)量U*的分布函數(shù)為其中Iu(·,·)為不完全beta分布函數(shù)。再利用引理2.1,分別將(20)右端中的T*和Γ(M+δ)/Γ(M+δ+f+i)展開,得到其中其中ci,j如(17)所示。將(21),(22)代入(20),并選取即得到如下結(jié)論:定理3.1當(dāng)零假設(shè)H成立時(shí),似然比統(tǒng)計(jì)量U*的分布函數(shù)按beta分布函數(shù)漸近表示為其中4材料u#的密度函數(shù)本小節(jié)將依次討論下述兩類接近零假設(shè)的備擇假設(shè)下似然比統(tǒng)計(jì)量U*的漸近分布問題:其中Ω,Q均為已知常數(shù)矩陣。不失一般性,假設(shè)Ω,Q均為對(duì)角陣,記為其中Ω1,Q1均為q×q階,Ω2,Q2均為(p-q)×(p-q)階。于是在H1和H2下,A均具有(6)的形式。為此利用引理2.3,即知在備擇假設(shè)H1下,似然比統(tǒng)計(jì)量U*的h階矩為其中于是利用Mellin逆變換得到U*的密度函數(shù)為其中按第3小節(jié)中的方法,可知U*的分布函數(shù)為且Ri(i=0,1,2)之值如下所示:其中另外,利用引理2.1,可知有其中又因?yàn)閷?duì)一個(gè)Hermitian矩陣A及充分小的t值,有下式成立利用這一結(jié)論,得到將(33),(34),(35)及(22)代入(32),即得到如下結(jié)論:定理4.1在備擇假設(shè)H1下,(3)所示球性檢驗(yàn)似然比統(tǒng)計(jì)量U*的分布函數(shù)可漸近地表示為其中為求在備擇假設(shè)H2下球性檢驗(yàn)似然比統(tǒng)計(jì)量U*的分布函數(shù)的漸近表示式,只需在對(duì)備擇假設(shè)H1所得到的結(jié)論中用替代Ω,在(37)的各系數(shù)中作如下替換:即得到如下結(jié)論:定理4.2在備擇假設(shè)H2下,(3)所示球性檢驗(yàn)似然比統(tǒng)計(jì)量U*的分布函數(shù)可漸近表示為且與Z相互獨(dú)立,