基于三折線線性軟化模型的土體球孔擴張問題研究

基于三折線線性軟化模型的土體球孔擴張問題研究

0土體材料模型圓形孔擴張理論廣泛應用于隧道、井、樁、沉樁等問題的應力分析，以及混凝土王家等原測試儀器的機械分析。國內外學者以理想彈塑性模型、一次跌落應變軟化模型、三折線線性軟化模型為基礎,通過采用不同屈服準則、流動法則是否相關聯(lián)、采用大應變還是小應變對圓孔擴張問題做了大量研究。土體是一種非常復雜天然材料,對于巖石、硬粘土、結構性粘土、緊密砂土等材料不僅表現出明顯的應變軟化特性,而且表現出土體在剪應力的作用下,也會產生體積變形的剪脹特性。根據常規(guī)試驗成果,這類土體的應力～應變關系可簡化為圖1的三折線線性軟化模型將更為合理。蔣明鏡采用三折線線性軟化模型,結合雙剪統(tǒng)一強度理論屈服準則給出了圓孔擴張問題的逐步求解方法,但未能給出問題的解析解;王曉鴻,梁發(fā)云進一步推導了三折線線性軟化Mohr-Coulomb和Treca材料中孔擴張問題的解析解,但都忽略了塑性區(qū)內的彈性變形,不符合土體材料的實際變形機理。本文在前人的基礎上考慮了塑性區(qū)彈性變形,推導了符合三折線應變軟化模型,服從Tresca屈服準則的土體中球孔擴張問題的解答,分析了是否考慮塑性區(qū)彈性變形對最終擴張壓力和塑性區(qū)半徑的影響,同時也分析了剪脹和軟化對球孔擴張的影響,所得規(guī)律與前人一致。1問題描述1.1孔周土體的內生區(qū)作用在孔壁處的內壓力p緩慢增大,最終增加到pmax,球孔半徑由0增加到ru,如果pmax足夠大,孔周土體從內向外形成三個區(qū):流動區(qū)、軟化區(qū)、彈性區(qū)。基本方程:平衡方程dσrdr+2σr-σθr=0dσrdr+2σr?σθr=0(1)幾何方程εr=durdr,εθ=-urrεr=durdr,εθ=?urr(2)邊界條件r=a時,σr=p(3)1.2土體剪脹表征的一般法土體受力變形,達A點土體屈服,進入軟化階段,此時應變?yōu)棣?,隨著荷載的繼續(xù)增大,達B點土體進入塑性流動階段。β由試驗可確定,ε1由計算確定。屈服準則,初始屈服:σr-ασθ=2K(4)軟化階段:σr-ασθ=[2K-λ(εr/ε1-1)](5)流動階段:σr-ασθ=2Kcr(6)其中,λ=(2K-2Kcr)/(β-1),K為初始材料常數,Kcr為殘余材料常數,它們可由常規(guī)試驗確定。為了考慮土體的剪脹特性,本文采用非相關聯(lián)的流動法則,假設土體均勻剪脹。應變軟化階段,流動法則為:hdεprpr/dεpθpθ=-2/h(7)流動階段,流動法則為:fdεfrfr/dεfθ=-2/f(8)h,f分別為軟化區(qū)和塑性流動區(qū)的剪脹率。2球孔擴張問題2.1土體初始應力由軸對稱問題彈性解答,可得,σr=(σrp-σ0)(rpr)3+σ0(9)σθ=-σrp-σ02(rpr)+σ0(10)ur=(1+v)(σrp-σ0)2E(rpr)3r(11)rp為塑性區(qū)半徑,σrp為彈塑性交界處的徑向應力,σ0為土體初始應力。在彈塑性交界處,式(9)、(10)應滿足式(4),得,σrp=3σ0+4Κ3(12)urp=δrp(13)式中δ=2(1+v)Κ3E。由彈塑性理論及應力～應變關系曲線可知,ε1即為彈塑性交界處的徑向應變,其大小為:ε1=εrp=2δ(14)2.2邊界條件假設由塑性增量理論:dεr=dεer+dεpr(15)dεθ=dεeθ+dεpθ(16)又dεeθ=1E{dσr-2vdσθ}(17)dεeθ=1E{-vdσr+(1-v)dσθ}(18)結合式(7)、(15)、(16)、(17)、(18)得,對上式積分,并結合式(2)、(12)、(13),可得:聯(lián)立式(1)、(2)、(5)、(20),可得關于σr和u的微分方程組(21)經計算得:上式中,G1、G2、G3、G4、H1、H2、H1、F1、F2為E、λ、v、ε1、σ0的函數,見附錄。C1、C2為待定常數,由邊界條件(12)、(13)確定。C1=-(8δΗ1Eλ-G4)r2F2Η2+√G1-G3Η2p+Η1(√G1+G2)(F3-σrp)rF2Η2+2√G1+F1Η2Η2pΗ1(√G1+G2)r2√G1Η2p+Η1(√G1-G2)r2F2p(23)C2=(8δΗ1Eλ-G4)r√G1-G3Η2p-Η1(√G1-G2)(F3-σrp)rF1+F2pΗ1(√G1+G2)r2√G1Η2p+Η1(√G1-G2)r2F2p(24)2.3變形參數在流動區(qū),由式(1)、(3)、(6),可得:σr=p-4Kcrln(r/ru)(25)σθ=p-4Kcrln(r/ru)-2Kcr(26)在流動區(qū),產生塑性流動,由式(2)、(8)、(15)、(16)得:fdudr+2ur=S1ln(r/ru)+S2(27)其中,S1=4Kcr(f+2)(1-2v)/E,S2=(f+2)(2v-1)p/E+2Kcr(1-v-fv)/E-D1解(27)式得,u=s1ln(r/ru)r2+f-sfr(f+2)2+s2r2+f+r(-2/f)D2(28)D1=fεrf+2εθf-(f-2v)σrfE-(2-2v-2fv)σθfED2=f[βε1(f+2)2+s1ln(x/ru)(f+2)+(s2f+2s2+2s1)]2(f+2)2r(-1-2/f)uεrf,εθf,σrf,σθf分別為軟化區(qū)與流動區(qū)交界處的應變和應力,可由(22)、(2)、(5)計算得到。3.4球孔擴張應力、應變、位移計算根據體積平衡條件,有:43π(r3u)=43π[r3p-(rp-urp)3]+Δp+Δf(29)ru為孔最終半徑,Δp、Δf分別為軟化區(qū)和流動區(qū)的體積變形,大小見(30)、(31)。Δp=4π∫rfa(εr+2εθ)r2dr=π(-√G1+G2)C1[r(3-√G1/Η2+G3/Η2)p-r(3-√G1/Η2+G3/Η2)f]2λE+πG4(r3p-r3f)2Η1λE+π(√G1+G2)C2[r(3+√G1/Η2+G3/Η2)p-r(3+√G1/Η2+G3/Η2)f]2λE(30)Δf=4π[s1(r3u+3ln(rf/ru)r3f-r3f)3(2+f)+D2(r(2-2/f)u-r(2-2/f)f)+13(3s1ff2+4f+4-s1f+2-3s22+f)(r3f-r3u)](31)在軟化區(qū)與流動區(qū)的交界處,應力和應變連續(xù),可得方程(32)、(33)。結合(29)、(32)、(33)三方程可解得塑性區(qū)半徑rp、軟化區(qū)半徑rf和最終擴張壓力pmax,把這三個值代入相應表達式,可求得球孔擴張問題的應力、應變、位移的所有解。-(-√G1+G2)(Η2-√G1+G3)r(-√G1+G3)/Η2fC18λEΗ2-(√G1+G2)(Η2+√G1+G3)r(√G1+G3)/Η2fC28λEΗ2-G48Η1λE=4β(1+v)Κ3E(32)pmax=p=r-F1-F2fC1+r-F1+F2fC2+F3+4ln(rf/ru)(33)3標準響應建議為了分析剪脹、軟化、彈性模量對球孔擴張問題的影響,取v=0.3,K=40kPa,σ0=0,ru=0.25m?？紤]到只有硬粘土、緊密砂土才出現軟化現象,取土體彈性模量E≥20MPa。3.1脹特性對球形孔擴張壓力的影響圖2為h=f=1、1.42、3三種不同剪脹特性對球形孔擴張最終擴張壓力與土體彈性模量關系曲線的影響圖,從圖中可以看出,彈性模量相同時,剪脹率越大,最終擴張壓力越大。3.2軟化功能的影響3.2.1土體彈性模量與壓力的關系圖3中三條曲線表示不同軟化程度下最終擴張壓力與土體彈性模量的關系。結果表明在彈性模量相等的情況下,要使土體按球孔擴張到相同的半徑,軟化程度越高的土體所需擴張壓力越小。3.2.2影響擴張由圖1可知土體軟化規(guī)律是由軟化程度和β值共同決定的。由圖4可見,β值越大,最終擴張壓力也越大。3.3彈性區(qū)域彈性變形的影響3.3.1曲線忽略塑性區(qū)彈性變形所得擴張壓力偏小圖5中1曲線考慮塑性區(qū)彈性變形,2曲線忽略塑性區(qū)彈性變形,可見不考慮塑性區(qū)的彈性變形所得擴張壓力偏小。且隨著彈性模量的增大,這種差值越大。3.3.2量關系的影響圖圖6為是否考慮塑性區(qū)彈性變形對塑性區(qū)半徑與彈性變量關系的影響圖。由圖示,不考慮塑性區(qū)彈性變形,大致在彈性模量E≤50MPa時,所得塑性區(qū)半徑偏大,而當E≥50MPa時,所得的塑性區(qū)半徑偏小。5不同因素對最終擴張壓力的影響本文以塑性理論為基礎,推導了符合三折線線性軟化模型的土體中球孔擴張問題的嚴密解,本解考慮了塑性區(qū)的彈性變形,更加符合土體變形機理。本文在理論解的基礎上分析了考慮塑性區(qū)彈性對球性孔擴張的影響,指出如不考慮塑性區(qū)彈性變形將比考慮所得的最終擴張壓力小,且隨著土體彈性模量的增大,這種差值變大,所以球孔擴張時考慮塑性區(qū)彈性變形是有必要的。本文分析了剪脹、軟化對最終擴張壓力的影響,所得的影響規(guī)律與前人研究結果是一致的。附錄本附錄列出了方程(22)中的各個系數表達式:G1=G11+G22+G33G2=[(2v-2)h+6v-2]λ-(h+2)ε1EG3=[(-6v+2)h-10v+6]λ-Efh-2ε1EG4=-16λ(2Κ+λ)Eε1(v-0.5)Η1=λ(2v-1),Η2=(4hv+4v-4)λ+2ε1EhF1=2ε1E+ε1Eh+6λvh-6λ+10λv-2λhF2=√(F21+F22+F23)/F24F3=2λ(2v-1)Κ-ε1Eλ-2Eε1Κ(2v-1)λ其中,G