山東省棗莊市滕州市鮑溝中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

山東省棗莊市滕州市鮑溝中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（解析版）一、單選題（共36分）1．（3分）下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列各數(shù)是勾股數(shù)的是（）A．1、2、 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、63．（3分）在、3.1415、、0.121221222…、、、0.2、、、中，無理數(shù)的個數(shù)是（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個4．（3分）2、5、m是某三角形三邊的長，則等于（）A．2m﹣10 B．10﹣2m C．10 D．45．（3分）若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x＜1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥16．（3分）下列計算正確的是（）A． B． C． D．7．（3分）如圖在一個高為3米，長為5米的樓梯表面鋪地毯，則地毯至少需要（）A．3米 B．4米 C．5米 D．7米8．（3分）比較下列各組數(shù)的大小，錯誤的是（）A．＜ B．＜0.5 C．＞1.5 D．＞79．（3分）若y﹣＝﹣2023，則（x+y）2023的結(jié)果是（）A．1 B．0 C．﹣1 D．202310．（3分）海倫—秦九韶公式古希臘幾何學(xué)家海倫和我國南宋數(shù)學(xué)家秦九韶都曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，稱為海倫—秦九韶公式：如果一個三角形的三邊長分別為a、b、c，記，那么三角形的面積為：，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別是a、b、c，若a＝5、b＝8、c＝7，則△ABC的面積S為（）A． B．30 C． D．4511．（3分）在學(xué)習(xí)勾股定理時，甲同學(xué)用四個相同的直角三角形（直角邊長分別為a，b，斜邊長為c）構(gòu)成如圖所示的正方形；乙同學(xué)用邊長分別為a，b的兩個正方形和長為b，寬為a的兩個長方形構(gòu)成如圖所示的正方形，甲、乙兩位同學(xué)給出的構(gòu)圖方案，可以證明勾股定理的是（）A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以12．（3分）已知直角三角形兩邊的長分別為3和4，則此三角形的周長為（）A．12 B． C．12或 D．14二、填空題（共18分）13．（3分）若x＝21，則代數(shù)式x2+2x﹣3的值是．14．（3分）長方體的長為15cm，寬為10cm，高為20cm，點B離點C5cm，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距離是．15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC沿DE翻折，使點A與點B重合．若BC＝5，AB＝13，則BD的長為．16．（3分）若x＝+1，y＝﹣1，則x2+2xy+y2的值為．17．（3分）對于任意正數(shù)a，b，定義運算“*”如下：a*b＝，計算（9*8）+（16*18）結(jié)果為．18．（3分）已知如圖：小正方形邊長為1，連接小正方形的三個頂點，可得△ABC，則△ABC的周長為．三、解答題（共48分）19．（8分）計算：（1）；（2）．20．（8分）已知7a+1的立方根是，8a+b﹣2的平方根是±2．（1）求a，b的值．（2）求﹣8a+3b+3的平方根．21．（8分）閱讀下面計算過程：；；；請解決下列問題：（1）化簡：＝；（2）根據(jù)上面的規(guī)律，請直接寫出＝；（3）利用上面的解法，請化簡：+…+．22．（8分）如圖，一架梯子AB長10米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻6米．（1）這個梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了2米，那么梯子的底端在水平方向滑動了多少米？23．（8分）如圖，某工廠C前面有一條筆直的公路AB，原來有兩條路AC，BC可以從工廠C到達公路，經(jīng)測量AC＝6km，BC＝8km，AB＝10km，現(xiàn)需要修建一條路，使工廠C到公路的路程最短．請你用尺規(guī)作圖畫出最短路徑（不寫畫法，保留作圖痕跡），并求出新建路的長．24．（8分）學(xué)過《勾股定理》后，某班興趣小組來到操場上測量旗桿AB的高度，得到如下信息：①測得從旗桿頂端垂直掛下來的升旗用的繩子比旗桿長2米（如圖1）；②當(dāng)將繩子拉直時，測得此時拉繩子另一端的手到地面的距離CD為2米，到旗桿的距離CE為10米（如圖2）．根據(jù)以上信息，求旗桿AB的高度．

參考答案與試題解析一、單選題（共36分）1．（3分）下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)最簡二次根式的概念判斷即可．【解答】解：A、＝3，被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，不符合題意；B、＝，被開方數(shù)中含分母，不是最簡二次根式，不符合題意；C、是最簡二次根式，符合題意；D、＝＝2，被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，不符合題意；故選：C．【點評】本題考查的是最簡二次根式的概念，被開方數(shù)不含分母、被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次根式．2．（3分）下列各數(shù)是勾股數(shù)的是（）A．1、2、 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時還需驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方．【解答】解：A、1、2、不都是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，故此選項不符合題意；B、22+32≠42，則2、3、4不是勾股數(shù)，故此選項不符合題意；C、32+42＝52，則3、4、5是勾股數(shù)，故此選項符合題意；D、42+52≠62，則4、5、6不是勾股數(shù)，故此選項不符合題意．故選：C．【點評】此題考查了勾股數(shù)，解答此題要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三邊滿足a2+b2＝c2，則三角形ABC是直角三角形．3．（3分）在、3.1415、、0.121221222…、、、0.2、、、中，無理數(shù)的個數(shù)是（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】先將能化簡的數(shù)化簡，再根據(jù)無理數(shù)的定義逐個進行判斷即．【解答】解：根據(jù)題意可得：，，∴無理數(shù)有：0.121221222……，，，、，共5個，故選：D．【點評】本題主要考查了無理數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，常見的無理數(shù)有：開不盡方的數(shù)，含π的數(shù)，有規(guī)律但是不循環(huán)的數(shù)．4．（3分）2、5、m是某三角形三邊的長，則等于（）A．2m﹣10 B．10﹣2m C．10 D．4【分析】直接利用三角形三邊關(guān)系得出m的取值范圍，再利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案．【解答】解：∵2、5、m是某三角形三邊的長，∴5﹣2＜m＜5+2，故3＜m＜7，∴原式＝m﹣3+7﹣m＝4．故選：D．【點評】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系以及二次根式的化簡，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．5．（3分）若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x＜1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1【分析】直接利用二次根式的有意義，被開方數(shù)不小于0，進而得出答案．【解答】解：式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x﹣1≥0，解得：x≥1．故選：D．【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確掌握二次根式有意義的條件是解題關(guān)鍵．6．（3分）下列計算正確的是（）A． B． C． D．【分析】直接利用二次根式的加減運算法則以及二次根式的性質(zhì)分別化簡，進而得出答案．【解答】解：A．4﹣3＝，故此選項不合題意；B．+無法計算，故此選項不合題意；C．＝2，故此選項符合題意；D．3+2無法計算，故此選項不合題意．故選：C．【點評】此題主要考查了二次根式的加減運算以及二次根式的性質(zhì)與化簡，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．7．（3分）如圖在一個高為3米，長為5米的樓梯表面鋪地毯，則地毯至少需要（）A．3米 B．4米 C．5米 D．7米【分析】當(dāng)?shù)靥轰仢M樓梯時的長度是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，根據(jù)勾股定理求得水平寬度，即可求得地毯的長度．【解答】解：由勾股定理得：樓梯的水平寬度＝＝4（米），∵地毯鋪滿樓梯的長度應(yīng)該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，∴地毯的長度至少是3+4＝7（米）．故選：D．【點評】此題考查了生活中的平移現(xiàn)象以及勾股定理，屬于基礎(chǔ)題，利用勾股定理求出水平邊的長度是解答本題的關(guān)鍵．8．（3分）比較下列各組數(shù)的大小，錯誤的是（）A．＜ B．＜0.5 C．＞1.5 D．＞7【分析】利用平方法，以及估算無理數(shù)的大小，即可解答．【解答】解：A、∵（）2＝8，（）2＝10，∴8＜10，∴＜，故A不符合題意；B、∵4＜5＜9，∴2＜＜3，∴1＜﹣1＜2，∴＞，∴＞0.5，故B符合題意；C、∵4＜5＜9，∴2＜＜3，∴3＜+1＜4，∴＞，∴＞1.5，故C不符合題意；D、∵（）2＝50，72＝49，∴50＞49，∴＞7，故D不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了實數(shù)的大小比較，估算無理數(shù)的大小，準(zhǔn)確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．9．（3分）若y﹣＝﹣2023，則（x+y）2023的結(jié)果是（）A．1 B．0 C．﹣1 D．2023【分析】先根據(jù)二次根式有意義求出x和y的值，再計算即可．【解答】解：∵y﹣＝﹣2023，∴x﹣2022≥0，2022﹣x≥0，∴x＝2022，∴y＝﹣2023，∴（x+y）2023＝（2022﹣2023）2023＝（﹣1）2023＝﹣1．故選：C．【點評】此題考查了二次根式的有意義的條件，實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．10．（3分）海倫—秦九韶公式古希臘幾何學(xué)家海倫和我國南宋數(shù)學(xué)家秦九韶都曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，稱為海倫—秦九韶公式：如果一個三角形的三邊長分別為a、b、c，記，那么三角形的面積為：，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別是a、b、c，若a＝5、b＝8、c＝7，則△ABC的面積S為（）A． B．30 C． D．45【分析】根據(jù)公式算出p的值，代入公式即可求出解【解答】解：∵，∴p＝＝，S＝，故選：C．【點評】本題主要考查代入求值能力，考查了二次根式化簡的知識．11．（3分）在學(xué)習(xí)勾股定理時，甲同學(xué)用四個相同的直角三角形（直角邊長分別為a，b，斜邊長為c）構(gòu)成如圖所示的正方形；乙同學(xué)用邊長分別為a，b的兩個正方形和長為b，寬為a的兩個長方形構(gòu)成如圖所示的正方形，甲、乙兩位同學(xué)給出的構(gòu)圖方案，可以證明勾股定理的是（）A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以【分析】由圖形中的面積關(guān)系，應(yīng)用完全平方公式即可解決問題．【解答】解：甲同學(xué)的方案：∵大正方形的面積＝小正方形的面積+直角三角形的面積×4，∴（a+b）2＝c2+ab×4，∴a2+b2+2ab＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2，因此甲同學(xué)的方案可以證明勾股定理；乙同學(xué)的方案：∵大正方形的面積＝矩形的面積×2+兩個小正方形的面積，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴得不到a2+b2＝c2，因此乙同學(xué)的方案不可以證明勾股定理．故選：A．【點評】本題考查勾股定理的證明，關(guān)鍵是應(yīng)用面積法，完全平方公式．12．（3分）已知直角三角形兩邊的長分別為3和4，則此三角形的周長為（）A．12 B． C．12或 D．14【分析】先設(shè)Rt△ABC的第三邊長為x，由于4是直角邊還是斜邊不能確定，故應(yīng)分4是斜邊或x為斜邊兩種情況討論．【解答】解：設(shè)Rt△ABC的第三邊長為x，①當(dāng)4為直角三角形的直角邊時，x為斜邊，由勾股定理得，x＝＝5，此時這個三角形的周長＝3+4+5＝12；②當(dāng)4為直角三角形的斜邊時，x為直角邊，由勾股定理得，x＝，此時這個三角形的周長，故選：C．【點評】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，解答此題時要注意分類討論，不要漏解．二、填空題（共18分）13．（3分）若x＝21，則代數(shù)式x2+2x﹣3的值是8．【分析】先利用已知條件得x+1＝2，將所求代數(shù)式配方，然后利用整體代入的方法計算．【解答】解：∵x＝2﹣1，∴x+1＝2，∴x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4＝（2）2﹣4＝12﹣4＝8．故答案為：8．【點評】本題考查了二次根式的化簡求值：二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．14．（3分）長方體的長為15cm，寬為10cm，高為20cm，點B離點C5cm，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距離是25cm．【分析】分三種情況討論：把左側(cè)面展開到水平面上，連接AB，如圖1；把右側(cè)面展開到正面上，連接AB，如圖2；把向上的面展開到正面上，連接AB，如圖3，然后利用勾股定理分別計算各情況下的AB，再進行大小比較．【解答】解：把左側(cè)面展開到水平面上，連接AB，如圖1，AB＝＝＝5（cm）把右側(cè)面展開到正面上，連接AB，如圖2，AB＝＝25（cm）；把向上的面展開到正面上，連接AB，如圖3，AB＝＝＝5（cm）．∵＞＞25所以一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，需要爬行的最短距離為25cm．故答案為：25cm．【點評】本題考查了平面展開﹣最短路徑問題：先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點之間的最短路徑．一般情況是兩點之間，線段最短．在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問題．15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC沿DE翻折，使點A與點B重合．若BC＝5，AB＝13，則BD的長為．【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AD＝BD，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵將△ABC沿DE翻折，使點A與點B重合，∴AD＝BD，∵∠ACB＝90°，BC＝5，AB＝13，∴AC＝＝12，∴CD＝12﹣AD＝12﹣BD，∵BD2＝CD2+BC2，∴BD2＝（12﹣BD）2+52，解得BD＝，故答案為：．【點評】本題考查了翻折變換（折疊問題），勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．16．（3分）若x＝+1，y＝﹣1，則x2+2xy+y2的值為20．【分析】先計算出x+y的值，再利用完全平方公式得到x2+2xy+y2＝（x+y）2，然后利用整體代入的方法計算．【解答】解：∵x＝+1，y＝﹣1，∴x+y＝2，∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝（2）2＝20．故答案為20．【點評】本題考查了二次根式的化簡求值：二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．二次根式運算的最后，注意結(jié)果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運算要與加減運算區(qū)分，避免互相干擾．注意整體代入方法的運用．17．（3分）對于任意正數(shù)a，b，定義運算“*”如下：a*b＝，計算（9*8）+（16*18）結(jié)果為．【分析】根據(jù)題目已知的定義運算進行計算即可．【解答】解：（9*8）+（16*18）＝﹣+﹣＝3﹣2+3﹣4＝﹣1．故答案為：．【點評】本題考查了實數(shù)的運算，理解題目已知的定義運算是解題的關(guān)鍵．18．（3分）已知如圖：小正方形邊長為1，連接小正方形的三個頂點，可得△ABC，則△ABC的周長為2+．【分析】由勾股定理求出AB、AC以及BC的長，即可解決問題．【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝，AC＝＝，BC＝＝，∴△ABC的周長＝AB+AC+BC＝++＝2+，故答案為：2+．【點評】本題考查了勾股定理以及三角形周長，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共48分）19．（8分）計算：（1）；（2）．【分析】（1）先根據(jù)完全平方公式和二次根式的除法法則運算，然后合并即可；（2）先利用二次根式的性質(zhì)、負整數(shù)指數(shù)冪和絕對值的意義計算，然后合并即可．【解答】解：（1）原式＝5﹣2+1+＝6﹣2+＝6﹣；（2）原式＝2﹣3+4+﹣1＝5﹣2．【點評】本題考查了二次根式的混合運算：熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則、除法法則和負整數(shù)指數(shù)冪的意義是解決問題的關(guān)鍵．20．（8分）已知7a+1的立方根是，8a+b﹣2的平方根是±2．（1）求a，b的值．（2）求﹣8a+3b+3的平方根．【分析】（1）根據(jù)平方根立方根的性質(zhì)進行運算即可．（2）將a、b代入代數(shù)式計算數(shù)值后再求它的平方根即可．【解答】解：（1）∵7a+1的立方根是，8a+b﹣2的平方根是±2．∴7a+1＝；8a+b﹣2＝4，解得；（2）當(dāng)，b＝7時，﹣8a+3b+3＝﹣8×（﹣）+3×7+3＝25．則25的平方根是±5．∴﹣8a+3b+3的平方根是±5．【點評】本題考查了平方根立方根的性質(zhì)，正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)．21．（8分）閱讀下面計算過程：；；；請解決下列問題：（1）化簡：＝2﹣；（2）根據(jù)上面的規(guī)律，請直接寫出＝；（3）利用上面的解法，請化簡：+…+．【分析】（1）利用分母有理化的法則進行運算即可；（2）分析所給的式子的形式，從而可求解；（3）利用（2）的規(guī)律進行求解即可．【解答】解：（1）＝＝＝2﹣，故答案為：2﹣；（2）由題意得：＝，故答案為：；（3）+++…+＝+…+＝．【點評】本題主要考查二次根式的混合運算，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握．22．（8分）如圖，一架梯子AB長10米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻6米．（1）這個梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了2米，那么梯子的底端在水平方向滑動了多少米？【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的頂端距離地面的高度．（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑2米后，可得出梯子的頂端距離地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距離墻的距離為2米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距離．【解答】解：（1）根據(jù)勾股定理：所以梯子距離地面的高度為：AO＝＝＝8（米）；答：這個梯子的頂端距地面有8米高；（2）梯子下滑了2米即梯子距離地面的高度為OA′＝8﹣2＝6（米），根據(jù)勾股定理：OB′＝＝＝8（米），∴BB′＝OB′﹣OB＝