《高等應用數(shù)學》016-0（曾慧平）課件 04-第四章 不定積分

高等應用數(shù)學目錄CONTENTS前言0002第2章導數(shù)與微分第4章不定積分04第1章函數(shù)與極限01第3章導數(shù)的應用03第5章微分方程05第6章微分方程06第7章多元函數(shù)微積分07不定積分第4章4.1不定積分概述4.2不定積分的積分方法導學4微積分包含微分學和積分學兩部分內(nèi)容。17世紀中期，牛頓和萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了微分與積分的互逆關(guān)系，創(chuàng)建了微積分．在這其中，連接微分學和積分學的重要知識就是不定積分。導學學習目標51．理解原函數(shù)和不定積分的概念，了解不定積分的幾何意義，熟練掌握不定積分的基本公式，了解不定積分的性質(zhì)。2．熟練掌握不定積分的換元法和分部積分法，能求基本類型函數(shù)的不定積分。素質(zhì)目標61．弘揚主動探索、勇于發(fā)現(xiàn)的科學精神。2．弘揚服務集體、團結(jié)協(xié)作的團隊精神。3．養(yǎng)成踏實細致、科學嚴謹、執(zhí)著專注的學習態(tài)度。不定積分概述4.14.1.1原函數(shù)與不定積分的概念8引例已知物體的運動速度為v(t)=2t，怎樣確定它的運動方程s=s(t)呢？根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知，s’(t)=v(t)=2t，從數(shù)學角度思考，要確定s=s(t)，需尋找一個函數(shù)使它的導數(shù)等于已知函數(shù)v(t)=2t即可，s(t)=t2就滿足上述要求,此時我們稱s(t)=t2為

v(t)=2t的一個原函數(shù)。4.1.1原函數(shù)與不定積分的概念9定義1設函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間I上的已知函數(shù)，若存在函數(shù)F(x)，使對于區(qū)間I上任意一點x都有F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，則稱函數(shù)F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)。4.1.1原函數(shù)與不定積分的概念10定理如果函數(shù)F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則f(x)有無窮多個原函數(shù)，且F(x)+C（C是任意常數(shù)）是f(x)的全體原函數(shù)。4.1.1原函數(shù)與不定積分的概念11定義2在區(qū)間Ⅰ上，函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)F(x)+C（C是任意常數(shù)）稱為f(x)的不定積分，記作∫f(x)dx。其中，∫稱為積分號，f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達式，x稱為積分變量。由以上定義可知，若F(x)=f(x)，則有∫f(x)dx=F(x)+C。4.1.1原函數(shù)與不定積分的概念12求∫x2dx。例1

求∫sinxdx。例2

4.1.1原函數(shù)與不定積分的概念13不定積分與導數(shù)（或微分）之間有如下運算關(guān)系:(1)[∫f(x)dx]’=f(x)或d[∫f(x)dx]=f(x)dx(2)∫F’(x)dx=F(x)+C或

∫dF(x)=F(x)+C4.1.2不定積分的幾何意義14如圖所示，設F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則稱函數(shù)y=F(x)的圖形為f(x)的一條積分曲線.顯然，將這條積分曲線沿著y軸的方向上下平移就可以得到無數(shù)條曲線，它們表示的函數(shù)就是f(x)的不定積分F(x)+C，這些曲線為f(x)的積分曲線族。4.1.3不定積分的基本積分公式15（1）∫kdx=kx+C（k是常數(shù)）（4）∫exdx=ex+C（6）∫cosxdx=sinx+C4.1.4不定積分的性質(zhì)16根據(jù)不定積分的定義，可以推得如下性質(zhì):直接積分法性質(zhì)1被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號前面，即性質(zhì)2兩個函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于這兩個函數(shù)不定積分的代數(shù)和，即

4.1.4不定積分的性質(zhì)17求：例3

解：

4.1.4不定積分的性質(zhì)18解：求：例4

求：例5

解：

4.1.4不定積分的性質(zhì)19解：求：例6

解：

求：例7

4.1.4不定積分的性質(zhì)20解：因為求：例8

，所以

4.1.4不定積分的性質(zhì)21解：例9已知某物體以速度v=(2t2+1)m/s做直線運動，當時間t為1s時，物體經(jīng)過路程s為3m,求該物體的運動方程。設所求物體的運動方程為s=s（t），則有s'(t)=v=2t2+1，所以

已知，當t=1時，S=3，代入上式有

所以，所求物體的運動方程為

課堂小結(jié)22原函數(shù)與不定積分的概念不定積分的幾何意義不定積分的基本積分公式不定積分的性質(zhì)不定積分的積分方法4.24.2.1不定積分的換元積分法24換元積分法是指通過引進中間變量，作變量替換，使被積函數(shù)變成容易積分的形式，然后進行積分，其一般包括第一類換元積分法和第二類換元積分法兩種。1．第一類換元積分法第一類換元積分法

定理1(第一類換元積分法)

4.2.1不定積分的換元積分法25求：例1

解：首先湊微分，因為

，所以求：例2

解：首先湊微分，因為，所以

4.2.1不定積分的換元積分法26求：例3求：例4

解：因為，所以

解：首先湊微分，因為，所以

4.2.1不定積分的換元積分法27（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）常用的湊微分形式

4.2.1不定積分的換元積分法28求：例5

解：因為，所以

求：例6

解：因為，其中

即

4.2.1不定積分的換元積分法29求：例7解：

因為：

，所以：

4.2.1不定積分的換元積分法30求：例8解：

(a>0)

即，求：例9

解：

即，4.2.1不定積分的換元積分法312．第二類換元積分法定理2第二類換元積分法

其中，t=ψ-1(x)為x=ψ(t)的反函數(shù)。4.2.1不定積分的換元積分法322．第二類換元積分法---簡單根式換元積分法求：例10

4.2.1不定積分的換元積分法33求：例11

4.2.1不定積分的換元積分法342．第二類換元積分法---三角換元法求：例12

于是得

不定積分的三角換元法4.2.1不定積分的換元積分法35求：例12

因為

，所以

即

4.2.1不定積分的換元積分法36求：例13

于是得

因為

，所以

即

4.2.1不定積分的換元積分法37

4.2.1不定積分的換元積分法38常用的積分結(jié)果:（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）

4.2.2不定積分的分部積分法39不定積分的分部積分法:設函數(shù)u=u(x)，v=v(x)具有連續(xù)導數(shù)，則這兩個函數(shù)乘積的導數(shù)為即

上式兩邊同時求不定積分，得

即

不定積分的分部換元法該公式稱為不定積分的分部積分公式4.2.2不定積分的分部積分法40求：例14

解：設u=x,dv=exdx=d(ex),則du=dx,v=ex

,代入分部積分公式，得

求：例15

解：設u=x2,dv=exdx=d(ex),則

4.2.2不定積分的分部積分法41求：例16解：設u=x,dv=sinxdx=d(-cosx),則du=dx,v=ex

,則求：例17

4.2.2不定積分的分部積分法42求：例18求：例19

解：因為被積函數(shù)是單一函數(shù)，這時可直接把lnx選作u而把dx選作dv,則

4.2.2不定